Bài 5 bất đẳng thức cauchy
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (872.29 KB, 3 trang )
Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải
TOANHOC24H
Tài liệu bài giảng
Bài 2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Giáo viên: Phạm Tuấn Khải
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bất đẳng thức Cauchy
Nếu a,b là các số thực không âm thì a b 2 ab . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b .
Nếu a, b, c là các số thực không âm thì a b c 3 3 abc . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b c.
Một số hệ quả
Cho a, b, c, x , y, z là các số thực dương, ta có
1. 2(a 2 b 2 ) (a b )2 4ab .
2. 3(a 2 b 2 c 2 ) (a b c )2 3(ab bc ca ) .
3. 9(a 3 b 3 c 3 ) (a b c )3 27abc .
4.
1 1
4
1 1 1
9
;
.
a b a b a b c a b c
5.
a 2 b 2 (a b )2 a 2 b 2 c 2 (a b c )2
;
.
x
y
x y
x
y
z
x y z
6. ax by a 2 b 2 . x 2 y 2 ; ax by cz a 2 b 2 c 2 . x 2 y 2 z 2 .
7.
a 2 b 2 x 2 y 2 (a x )2 (b y )2 ;
a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 (a x )2 (b y )2 (c z )2 ;
a 2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 (a b c)2 (x y z )2 .
II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
1) a 2 b 2 c 2 ab bc ca
2)
a 2 b2 c2
a b c.
b
c
a
3)
a
b
c
1 1 1
2 2 .
2
a b c
b
c
a
4)
a2
b2
c2
a b c
a b b c c a
2
5)
a 3 b3
c3
a b c
bc ca ab
Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC
Trang | 1
TOANHOC24H
Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải
6) a 3 b 3 c 3 a 2b b 2c c 2a
7)
a 3 b3 c3
a2 b2 c2
b
c
a
8)
a
b
c
1
1
1
3 3 2 2 2
3
b
c
a
a
b
c
9)
a3
b3
c3
a 2 b2 c2
b c c a a b
2
10)
a3
b3
c3
a b c
b(a b ) c(b c) a(c a )
2
11)
a3
b3
c3
a b c
(a b)(a c ) (b c )(b a ) (c a )(c b )
4
Ví dụ 2. 1) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3 .
Chứng minh rằng
a2
b2
c2
1.
a 2b b 2c c 2a
2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 .
Chứng minh rằng
a3
b3
c3
3
.
b c b c c a 2
3) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 .
Chứng minh rằng
1
1
1
3
3
3
.
a (b c) b (a a ) c (a b ) 2
3
Ví dụ 3. 1) Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng
1 1
4
.
x y x y
2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nữa chu vi.
Chứng minh rằng
1 1 1
1
1
1
2 .
a b c
p a p b p b
3) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 4abc . Chứng minh rằng
1
1
1
1.
2a b c a 2b c a b 2c
Ví dụ 4. 1) Cho a,b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
a 2 b 2 (a b )2
và từ đó suy ra
x
y
x y
a 2 b 2 c 2 (a b c )2
.
x
y
z
x y z
Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC
Trang | 2
TOANHOC24H
Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải
2) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
1 2 3
9
.
a b c a 2b 3c
3) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 4abc . Chứng minh rằng
1
1
1
1.
2a b c a 2b c a b 2c
Ví dụ 5. 1) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ax by a 2 b 2 . x 2 y 2 và từ
đó suy ra ax by cz a 2 b 2 c 2 . x 2 y 2 z 2 .
2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 3b 4c 26 . Chứng minh a 2 b 2 c 2 26 .
3) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab b ca 3(a 2 b 2 1) . Chứng minh rằng
a 2 b2 c2 3 .
Ví dụ 6. 1) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh
a2 x 2 b2 y2 (a b)2 (x y)2
và từ đó suy ra a 2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 (a b c)2 (x y z )2 .
2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1 . Chứng minh rằng
a2
1
1
1
b 2 2 c 2 2 82 .
2
a
b
c
Ví dụ 7. 1) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a b)(b c)(c a ) 8abc và từ đó suy
ra (a b)(b c)(c a )
8
(a b c)(ab bc ca ) .
9
2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng
a3
b3
c3
3
.
2
2
2
4
a 1 b 1 c 1
Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC
Trang | 3
