TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

Bài tiểu luận:

CỦNG CỐ KIẾN THỨC
CƠ BẢN
HÀM NHIỀU BIẾN

Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Lê Anh
Sinh viên thực hiên: Lê Thị Ngọc Anh 42.01.105.005
Trần Bảo Toàn 42.01.105.107
Nguyễn Thị Kiều Oanh 42.01.105.088
Chu Thị Lương 42.01.105.065

MỤC LỤC


Lời mở đầu....................................................................................................................2
.......................................................................................................................................2
PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.........................................................................5
I. Định nghĩa hàm nhiều biến..................................................................................5
II. Một số khái niệm..................................................................................................5
III.

Đồ thị, đường và mặt đẳng trị...........................................................................6

1. Đồ thị................................................................................................................6
2. Tập đẳng trị.......................................................................................................7
PHẦN II: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC...........................................................................7
I. Giới hạn................................................................................................................7
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm....................................................................7

2. Giới hạn lặp.......................................................................................................9
3. Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp...................10
4. Hướng dẫn làm bài tập....................................................................................11
II. Hàm số liên tục..................................................................................................12
1. Hàm số liên tục tại một điểm..........................................................................12
2. Hàm số liên tục đều.........................................................................................12
3. Hàm số liên tục theo từng biến.......................................................................13
4. Hướng dẫn bài tập...........................................................................................14
PHẦN III: ĐẠO HÀM................................................................................................14
I. Đạo hàm riêng cấp 1.............................................................................................14
1. Định nghĩa:......................................................................................................15
2. Các ví dụ minh họa:........................................................................................16
II. Đạo hàm riêng cấp cao:......................................................................................18
1. Tìm hiểu về đạo hàm riêng cấp cao:...............................................................18
2. Các ví dụ minh họa cho đạo hàm riêng cấp cao:............................................19
Phần IV. KHẢ VI VÀ VI PHÂN................................................................................21
I. Định nghĩa hàm khả vi và vi phân.....................................................................21
1. Hàm khả vi......................................................................................................21

Trang 1


2. Vi phân............................................................................................................22
II. Điều kiện cần và đủ khả vi.................................................................................22
1. Điều kiện cần khả vi.......................................................................................22
2. Điều kiện đủ khả vi.........................................................................................23
3. Các ví dụ.........................................................................................................24
III.

Tính gần đúng.................................................................................................25


IV.

Vi phân cấp cao...............................................................................................26

V. Tính chất của vi phân.........................................................................................27
Phần V. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP...................................27
I. Định nghĩa đạo hàm riêng.................................................................................27
II. Đạo hàm riêng của hàm hợp..............................................................................29
III.

Vi phân của hàm hợp......................................................................................30

IV.

Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp............................................31

1. Đạo hàm cấp 2 của hàm hợp...........................................................................31
2. Vi phân cấp 2 của hàm hợp.............................................................................32
Phần VI: HÀM ẨN, ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN.................33
I. Hàm ẩn và đạo hàm riêng của nó.......................................................................33
1. Hàm ẩn và đạo hàm riêng của nó:...................................................................33
2. Định lý:...........................................................................................................33
II. Trường hợp hàm ẩn nhiều biến..........................................................................34
III.

Định lý về hàm ẩn...........................................................................................35

IV.


Hệ các hàm ẩn và vi phân của chúng:.............................................................36

V. Các ví dụ minh họa............................................................................................37
PHẦN VII: CÔNG THỨC TAYLOR..........................................................................39

Trang 2


Lời mở
đầu
Bài tiểu luận về “Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến ” sẽ đưa ra cho
chúng ta thấy được những khái niệm cũng như những tính chất, định lí cơ bản của
Hàm nhiều biến. Bên cạnh đó cũng thông qua những ví dụ cũng như các bài tập củng
cố để ta nắm bắt rõ và chuyên sâu hơn về hàm nhiều biến. Thông qua bài tiểu luận
này chúng ta sẽ thấy được rằng : Toán học nằm trong sự trừu tượng và cái ích của
toán học nằm trong sự cụ thể. Qua đó ta sẽ hiểu rõ hai mặt đó của toán học nhằm rèn
luyện được những khả năng rèn luyện của sinh viên.
Phần 1: Chúng ta sẽ tìm hiểu và biết được những khái niệm cơ bản của hàm
nhiều biến, ta sẽ thấy được giữa hàm một biến và hàm nhiều biến có nhiều sự khác
biệt rất căn bản song song đó giữa hàm hai biến và hàm nhiều hơn hai biến không
khác nhau về nguyên tắc.
Phần 2: Ta sẽ biết được giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến cũng như biết
được các hàm hữu tỉ liên tục tại những điểm mà chúng ta xác định cũng như hợp của
hai hàm liên tục là một hàm liên tục.
Phần 3: Ta sẽ tìm hiểu về đạo hàm của hàm nhiều biến thông qua một số định
lý.
Phần 4: Sẽ tìm hiểu về khả vi và vi phân của hàm nhiều biến, biết được điều
kiện cần của khả vi và vi phân cũng như thông qua các phép tính và các tính chất liên
quan cần biết.
Không những vậy, phần 5 ta sẽ biết được thế nào là đạo hàm riêng và vi phân

của hàm hợp. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến thì có gì khác so với hàm
bình thường.
Phần 6: Sẽ nói về hàm ẩn, đạo hàm riêng và vi phân của nó. Ta sẽ biết được
hàm ẩn ra sao cũng như nó khác gì về đạo hàm riêng và vi phân so với hàm khác và
những bài tập liên quan giúp ta hiểu rõ hơn.
Phần 7: Nói về công thức Taylor.

Trang 3


Và trong tiểu luận , chúng ta cố gắng đưa vào những định lí hay cũng như một
số bài tập cơ bản với nhiều cách giải tối ưu với những phương pháp suy luận rất điển
hình , rất cần cho việc rèn luyện tư duy. Và người đọc không cần nhớ chi tiết mà chỉ
cẩn hiểu là đã xem là đạt yêu cầu.Chúng tôi hy vọng rằng, với bài tiểu luận về “ Củng
cố kiến thức về hàm nhiều biến” này sẽ là cẩm nang tốt cho những ai chưa hiểu sâu
về hàm nhiều biến cũng như là những người đam mê giải tích.
Đây cũng là những lần đầu tập viết tiểu luận song không tránh khỏi những sai
sót ngoài ý muốn mong các quý thầy cô cũng như quý độc giả thông cảm. Rất mong
những sự góp ý từ thầy cô và độc giả, chúng tôi sẽ ghi nhận nhiệt tình để cho những
bài tiểu luận sau tốt hơn.
Tập thể thành viên nhóm làm bài tiểu luận “Củng cố kiến thức về hàm nhiều
biến” xin chân thành cảm ơn.

Trang 4


PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I. Định nghĩa hàm nhiều biến.
Xét các ví dụ: trong quá trình tính toán để xác định một dữ kiện nào đó. Ta thường
phải xác định rất nhiều thông số.

Ví dụ 1: Thể tích của hình trụ được xác định bởi
Như vậy khi xác định được bán kính r và chiều cao h thì ta tính được thể tích của
hình trụ .
Ví dụ 2: Bài toán về con lắc
Một chất điểm khối lượng m, chuyển động theo một đường tròn L trong mặt phẳng
đứng, dưới tác dụng của trọng lực. Phương trình chuyển động của chất điểm là:
( l là bán kính, s0 là biên độ) nếu bỏ qua sức cản.
Như vậy khi ta xác định được thông số s 0, l ,t thì sẽ xác định được vị trí của chất
điểm tại thời gian t: .
Định nghĩa: Giả sử D là tập hợp của n số thực . Một hàm số thực f trên D là
một biểu thức (quy tắc toán học) ứng mỗi phần tử của D xác định một giá trị thực .
Kí hiệu: .
xác định trên D.
Trong trường hợp hàm 2 biến, ta dùng kí hiệu z=f(x,y)
Tập hợp tất cả các giá trị làm cho biểu thức f có nghĩa được gọi là miền xác định
của hàm số f, ký hiệu Df
Nếu tương ứng cặp giá trị (x,y) với 1 điểm M(x, y) trong mặt phẳng Oxy thì miền
xác định của hàm số chính là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho tại những
điểm đó hàm số được xác định. Vì vậy, miền xác định của hàm số 2 biến thường được
biểu diễn hình học.
Tập hợp các giá trị w được xác định bởi hàm số f được gọi là miền giá trị của hàm
số.
II.

Một số khái niệm
1. Khoảng cách

Trang 5



Giả sử , là hai điểm trong . Khoảng cách giữa hai điểm ấy lí hiệu là d(M, N) .

2. Lân cận
Cho M0 là một điểm thuộc Rn . Lân cận (bán kính hoặc lân cận) là tập hợp tất cả
những điểm M của Rn sao cho . Kí hiệu .
+ Điểm trong (Interrior point)
E là một tập hợp trong Rn. Điểm M E được gọi là điểm trong của E nếu .
+ Điểm biên (Boundary point)
Điểm M được gọi là điểm biên của E nếu mỗi lân cận của M đều có chứa điểm
thuộc E và điểm không thuộc E. Tập hợp các điểm biên được gọi là biên của E kí
hiệu .
+ Tập mở
Tập E được gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
+ Tập đóng
Tập E được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó.
+ Tập bị chặn
Tập E được gọi là bị chặn (giới nội) nếu
+ Tập liên thông
Tập E gọi là liên thông nếu mọi cặp điểm trong E luôn có một đường cong lien tục
nối và nằm hoàn toàn trong E
III.

Đồ thị, đường và mặt đẳng trị.

1. Đồ thị
Đồ thị hàm số là tập (thuộc không gian )

2. Tập đẳng trị
Tập tất cả các điểm (x, y) sao cho f(x, y) = const được gọi là tập đẳng trị (hoặc tập
đồng mức) của hàm f(x, y).


Trang 6


Ví dụ: Cho hàm số . Tập hợp các điểm (x, y) thỏa mãn điều kiện là một tập đẳng
trị, đó là mặt trụ trục Oz, bán kính bằng 1.

PHẦN II: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
I. Giới hạn
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1: Giả sử và : , M0(x0,y0) là điểm tụ của tập . Ta nói rằng hàm có giới
hạn tại M0 và viết:

nếu sao cho thoả mãn ρ(M,M0) < δ thì

Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau
Định nghĩa 2: Hàm có giới hạn khi M  M0 nếu với mọi dãy điểm M n(xn,yn)
(khác M0) thuộc lân cận V của điểm M0 dần đến M0 ta đều có:

Khi đó ta viết:

Hay

Ta còn gọi giới hạn trên là giới hạn kép hay là giới hạn theo tập hợp các biến.

Nhận xét:
Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x,y) phần dần tới cùng
số L dù (x,y) dần đến (x0,y0) theo bất kỳ kiểu gì. Trong không gian nhiều chiều, càng
có nhiều kiểu để (x,y) dần đến (x0,y0) nên càng khó tồn tại giới hạn.
Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm

một biến số. Chẳng hạn:
khi (x,y)  (0,0)


Định lý: Cho

Trang 7


Khi ấy ta có:
1)
2)
3)
4)

nếu

Tất cả các giới hạn xx0,yy0
Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm vơi
Giải:
Vì
Nên
Do đó:
Ví dụ 2: tìm
Giải:
Nếu cho (x,y)→(0,0) theo phương của đường thẳng y = kx2, ta có:

Như vậy không tồn tại giới hạn vì k thay đổi giới hạn sẽ đổi.
2. Giới hạn lặp

Xét hàm số f(x,y) cố định giá trị , xem hàm f(x,y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại
giới hạn:

Nếu tồn tại giới hạn: thì được gọi là giới hạn lặp của khi xx0, yy0 và viết:

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

Trang 8


Ví dụ 1: Cho hàm số . Hãy tìm
Giải:
y≠0 ta có 
x≠0 ta có

Ta thấy hai giới hạn tồn tại và bằng nhau.
Ví dụ 2: Tìm giới hạn lặp của hàm số: tại (x,y) = (0,0)
x≠0, ta có

∀ y≠0, ta có

Ta thấy hai giới hnaj này tồn tại và không bằng nhau.
3. Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp

Định lí: Cho hàm xác định trên tập hợp và (x 0,y0) là điểm tụ của . Giả sử tồn
tại giới hạn . Khi đó nếu tồn tại giới hạn lặp nào của hàm số tại (x 0,y0) thì giới hạn
đó cũng bằng .
Chứng minh: Giả sử tồn tại giới hạn

Ta hãy chứng minh . Đặt:


Bởi vì :
Nên  ε ≥ 0,  δ > 0 sao cho (x,y) thỏa
Thì
Ta có:

sao cho

Trang 9



Cho xx0 ta được  L=L’
 Chú ý
 Sự tồn tại các giới hạn lặp kể cả khi chúng bằng nhau không suy ra được sự
tồn tại giới hạn của hàm theo tập hợp các biến.
 Sự tồn tại giới hạn theo tập hợp các biến không suy ra được sự tồn tại các giới
hạn lặp.
Ví dụ : Tìm giới hạn khi (x,y)→ (0,0) của hàm số



Ta có khi (x,y)→ (0,0).Vậy
Dễ thấy và

4. Hướng dẫn làm bài tập.
Tìm giới hạn của hàm hai biến f(x,y) khi (x,y)(a,b)
 Cách 1: tìm giới hạn theo định nghĩa.
- Bằng kinh nghiệm, dự đoán giới hạn là L.
-Với ε > 0, xuất phát từ bất đẳng thức , ta biến đổi tương đương hoặc tìm điều kiện

đủ (dạng ⟺ hoặc ⟸) để đi đến bất đẳng thức .
- Lấy δ = B(ε). Vậy ta đã chứng minh được rằng
,
⟹
Tức là khi (x, y) → (a, b).
 Cách 2: (khi a = b = 0)
Đặt (hay y = tx). Xét 3 khả năng của t

t → 0 (VD , thì )

t → ∞ (VD , thì )

t → k ≠ 0, k ≠ ∞ (VD y = 2x, thì )
Nếu trong mọi khả năng trên mà đều dần tới cùng một giá trị f0 thì f0 chính là giới
hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0). Trái lại thì không có giới hạn.
 Cách 3: (khi a = b = 0).
Xét phương trình f(x, y) = k.

Nếu tồn tại duy nhất một giá trị của k để phương trình có nghiệm trong lân cận
đủ bé của (0, 0), thì giá trị k đó chính là giới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0).

Nếu tồn tại ít nhất hai giá trị của k để phương trình có nghiệm thì không tồn tại
giới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0).
Chú ý bằng phép đổi biến x' = x – a, y' = y – b, khi đó việc tìm giới hạn của f(x, y)
khi (x, y) → (a, b) tương đương với tìm giới hạn của g(x', y') khi (x', y') → (0, 0)

Trang 10


II.


Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại một điểm
 Định nghĩa 1: hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại M0(x0,y0)  Df nếu ∀ ε > 0,
∃ δ>0 sao cho ∀ M∈ Df mà ρ(M,M0)< δ thì:
 Định nghĩa 2: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại M0D nếu:
Nếu D là tập hợp đóng, M0 là một điểm biên của D thì được hiểu là giới hạn của
f(M) khi M dẫn tới M0 ở bên trong của D.
 Định nghĩa 3: Hàm số f(M) liên tục tại M0(x0,y0)D nếu với mọi dãy

{Mk(xk,yk)} D, MkM0 khi k ∞ ta đều có: f(Mk)f(M0) hay

f(xk,yk)f(x0,y0)
Hàm f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x,y) xác định trong được cho bởi biểu thức
Ta thấy
 →0 khi (x,y)→(0,0).
Vậy hàm số liên tục tại (0,0).
Ví dụ 2: Trong R2 xét hàm số f(x,y) được xác định bởi:
Ta thấy dãy khi n→+∞
Nhưng khi n → +∞ .
Vậy hàm số không liên tục tại điểm (0,0).
5. Hàm số liên tục đều
 Định nghĩa: Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu: ∀ε>0,
∃δ>0 sao cho với mọi cặp điểm M1,M2 ∈ D mà ρ(M1,M2) < δ ta đều có:

Ví dụ: Xét hàm số trên R2.
Với mọi cặp điểm M1(x1,y1) và M2(x2,y2) ta có:

Trang 11