Chuyên đề Thể tích khối đa diện

VẤN ĐỀ 1: ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG
1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho D ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:

A

B

 BC 2 = AB 2 + AC 2 ( Pitago)
 AH .BC = AB .AC
 AB 2 = BH .BC , AC 2 = CH .CB
1
1
1
=
+
, AH 2 = HB .HC

2
2
2
AH
AB
AC
BC
 AM =
2

C

H M

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác bất kỳ
a) Định lí hàm số cosin

A
c

b
a

B

b2 + c2 - a2
2bc
2
a + c2 - b2
* b2 = a2 + c2 - 2ac cosB Þ cosB =
2ac
2
a + b2 - c2
* c2 = a2 + b2 - 2ab cosC Þ cosC =
2ab
* a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA =

C

b) Định lí hàm số sin


A

c
B

b
R

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)

C

a

c) Công thức tính diện tích của tam giác

A
c

b
a

B

C

– nửa chu vi
– bán kính đường tròn nội tiếp
R – bk đường ngoại nội tiếp


d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

A
.

K
B

N
M

C

AB 2 + AC 2 BC 2
BA2 + BC 2 AC 2
2
2
.
* AM =
* BN =
2
4.
2
4
* CK 2 =

CA 2 + CB 2 AB 2
2
4
Trang 1



Chuyên đề Thể tích khối đa diện

3/ Định lí Talet

A

AM
AN
MN
=
=
=k
AB
AC
BC
2
æ
AM ö
÷
ç
÷
=ç
= k2
÷
ç
÷
AB
è

ø

* MN / / BC Þ

M

N

B

*

C

SD AMN
SDABC

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

4/ Diện tích của đa giác
a/ Diện tích tam giác vuông

B

Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc
vuông.

A

C


b/ Diện tích tam giác đều
2

B

. 3

+ Diện tích tam giác đều:

SDđều = (cạnh)
4

+ Chiều cao tam giác đều:

. 3
hD đều = (cạnh)
2

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật
+ Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.
+ Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 .
+ Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.

ha
A

C

A


B

a

O

D

C

A

d/ Diện tích hình thang

SHình Thang

1
2 .(đáy lớn + đáy bé) . chiều cao

2
ìï
ïï SD ABC = a 3
ï
4
Þ ïí
ïï
a 3
ïï h =
2

ïî

ìï SHV = a2
ï
Þ ïí
ïï AC = BD = a 2
ïî

D

Þ S=

Diện tích hình thang:

=

1
Þ SD ABC = AB .AC
2

B

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
+ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau A
bằng ½ tích hai đường chéo.
+ Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại
trung điểm của mỗi đường.

H


( AD + BC ) .AH
2

C

B
CÞ

1
SH .Thoi = AC .BD
2

D

Lưu y: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau đó cộng
các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác.

VẤN ĐỀ 2: ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
1/ Chứng minh đường thẳng d // mp(a )

Trang 2


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

ìï d // d '
ïï
ï
a. Phương pháp 1: Chứng minh í d ' Ì (a) Þ d // mp(a)
ïï

ïï ( d Ë (a))
ïî
ìï d Ì (b)
ï
Þ d // mp(a)
b. Phương pháp 2: Chứng minh í
ïï ( b) // (a )
ïî
c. Phương pháp 3: Chứng minh d và (a ) cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt
phẳng.

( )

2/ Chứng minh mp(a ) // mp b

( )

a. Phương pháp 1: Chứng minh mp(a ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp b .

( )

b. Phương pháp 2: Chứng minh mp(a ) và mp b cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1
đường thẳng.
3/ Chứng minh hai đường thẳng song song:

( )

a. Phương pháp 1: Hai mp(a ), b

có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a,b thì


(a) Ç ( b) = Sx // a // b .
ìï a // mp(a)
ïï
Þ a// b.
b. Phương pháp 2: Chứng minh ïí a Ì mp( b)
ïï
ïï (a) Ç ( b) = b
î
c. Phương pháp 3: Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với
đường thẳng đó.
d. Phương pháp 4: Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song.
e. Phương pháp 5: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
f. Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …

( )

4/ Chứng minh đường thẳng d ^ mp a

ìï d ^ a
ïï
ïï d ^ b
Þ d ^ mp( a )
a. Phương pháp 1: Chứng minh: ïí
ïï a Ç b
ïï
ïïî a,b Ì mp( a )
ìï d // d '
ï
Þ d ^ mp( a )

b. Phương pháp 2: Chứng minh: í
ïï d ' ^ mp( a )
ïî
ìï d ^ mp( b)
ï
Þ d ^ mp( a )
c. Phương pháp 3: Chứng minh: í
ïï mp( b) // mp( a )
ïî
d. Phương pháp 4: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông

ìï ( a ) ^ ( P )
ïï
Þ d ^(P )
góc với mặt phẳng thứ 3: ïí ( b) ^ ( P )
ïï
ïï ( a ) Ç ( b) = d
î

Trang 3


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

e. Phương pháp 5: Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao

ìï ( a ) ^ ( b)
ïï
ïï a Ç b = a
( ) ( )

Þ d ^ ( b)
tuyến của 2 mặt phẳng, cũng vuông góc với mặt phẳng kia: ïí
ïï d Ì ( a )
ïï
ïï d ^ a
î
5/ Chứng minh đường thẳng d ^ d '
a. Phương pháp 1: Đường thẳng d ^ ( a ) thì d ^ tất cả các đường thẳng nằm trong mp( a ) .
b. Phương pháp 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
c. Phương pháp 3: Chứng tỏ góc giữa d và d ' bằng 900 .
d. Phương pháp 4: Sử dụng hình học phẳng.

( )

( )

6/ Chứng minh mp a ^ mp b

ìï ( a ) É d
ï
Þ mp( a ) ^ mp( b) (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông
ïï d ^ ( b)
ïî

a. Phương pháp 1: Chứng minh ïí

góc với mp kia)
b. Phương pháp 2: Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 .
PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
(Phần này cần nắm cho thật vững)

I. TÍNH GÓC
1. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:
a. Cách 1: (theo phương pháp hình học)
+ Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0
+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc tạo bởi hai đường
thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó:

ìï a // a '
ï
Þ (a¶,b) = (a· ',b') = f
í
ïï b // b'
î

a
φ

a'
b'b

(chú ý: Góc giữa hai đường thẳng chỉ lấy góc nhọn không lấy góc tù)

ur ur
a ×b
b. Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ): cos ( a, b ) == ur ur .
a ×b

2. Tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P )
Phương pháp xác định :

+ a ∩ ( P ) = { A}
+ Trên đường thẳng a lấy điểm M bất kỳ.
+ Tìm điểm H là hình chiếu của M trên mp ( P ) ⇒ MH ⊥ ( P )

·
+ a· ; ( P ) = MAH
=β
Chú y: đường thẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng thì góc bằng 0
3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q )
Phương pháp :
+ Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P ) và ( Q )
+ Tìm 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng ( P ) và ( Q )
đồng thời 2 đường thẳng này cùng vuông góc với giao tuyến chung
của 2 mặt phẳng ( P ) và ( Q )
+ Góc của 2 mặt phẳng

( P)

và ( Q ) là góc của 2 đường thẳng
Trang 4


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

cùng vuông góc với giao tuyến chung của 2 mặt phẳng ( P ) và ( Q )
Chú y: 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc bằng 0
II. TÍNH KHOẢNG CÁCH
1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó
đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :

Cách 1 :
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .
+ Xác định m = ( P ) ∩( Q ) .
+ Dựng MH ⊥ m = ( P ) ∩( Q ) , ⇒ MH ⊥ ( P )
Suy ra MH là đoạn cần tìm .
Cách 2: Dựng MH / / AK ⊥( P )
Chú ý :
+ Nếu MA / / ( P ) ⇒ d  M ,( P )  = d  M ,( P )  .




+ Nếu MA∩( P ) = I ⇒

d  M ,( P ) 
IM


=
d  M ,( P ) 
IA



2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:
+ Khi a / / ( P ) ⇒ d  a ,( P )  = d  A,( P )  với A∈( P ) .





+ Khi đường thẳng a ∩( P ) hoặc a ⊂ ( P ) thì khoảng cách bằng 0
3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
+ Khi ( P ) / / ( Q )

⇒ d ( P ) , ( Q )  = d  M , ( Q ) 






( P ) ∩( Q )
⇒ d P , Q  = 0
+ Khi 
( ) ( ) 
 ( P ) ≡ ( Q )
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
( ∆ ) ∩( ∆ ' )
⇒ d ∆ , ∆ '  = 0 .
a. Khi 
( ) ( ) 
 ( ∆ ) ≡ ( ∆ ')



với

b. Khi ( ∆ ) / / ( ∆ ' ) ⇒ d ( ∆ ) , ( ∆ ')  = d  M , ( ∆ ') 

A∈( P)


= d  N , ( ∆) 




.

với M ∈( ∆ ) , N ∈( ∆ ') .

c. Khi hai đường thẳng chéo nhau :
+ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
∆
( ) và ( ∆ ') là đường thẳng ( a ) cắt ( ∆ ) ở M và cắt ( ∆ ') ở N
đồng thời vuông góc với cả ( ∆ ) và ( ∆ ') .
+ Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau ( ∆ ) và ( ∆ ') .
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó .
Phương pháp :
+ Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P)
+ Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là
khoảng cách cần tìm .
+ Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .
* Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :
+ Dựng ( P ) ⊃ b , ( P ) / / a .
+ Dựng a '= hch( P ) a , bằng cách lấy M ∈a
+ Dựng đoạn MN ⊥ ( α ) , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N
và song song a .


Trang 5


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

+ Gọi H = a '∩b , dựng HK / / MN
⇒ HK là đoạn vuông góc chung cần tìm
( Hay MN là đoạn vuông góc chung cần tìm) .
* Nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì:
+ Dựng một mp ( P ) ⊃ b , ( P ) ⊥ a tại H .
+ Trong (P) dựng HK ⊥ b tại K .
+ Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b .
VẤN ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT
I. HÌNH CHÓP ĐỀU
1/ Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với
tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
+ Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
+ Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
+ Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
+ Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông ...)
2/ Hai hình chóp đều thường gặp
a/ Hình chóp tam giác đều:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Khi đó:
+ Đáy ABC là tam giác đều.
+ Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
+ Chiều cao: SO .( O là tâm của đáy)
·
·
·

+ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
= SBO
= SCO

S

C

A

·
+ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
.

O

+ Tính chất: AO = 2 AH , OH = 1 AH , AH = AB 3 .
3
3
2
Lưu y: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều:
+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.
b/ Hình chóp tứ giác đều:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD .
+ Đáy ABCD là hình vuông.
+ Các mặt bên là các tam giác cân tại S .

·

·
·
·
.
SAO
= SBO
= SCO
= SDO
·
+ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
.

B

S
D

A

+ Chiều cao: SO .
+ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

B

H

O

H
C


II. TỨ DIỆN ĐỀU:
+ Tứ diện đều có 4 mặt là các tam giác đều
+ Khi hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy thì đó là tứ diện đều. Do đó tứ diện đều có tính chất như
hình chóp tam giác.
III. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
HÌNH LĂNG TRỤ

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

Trang 6


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình hành

+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2
mặt đáy
+ Chiều cao là cạnh bên

+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy
Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành

Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là
hình chữ nhật

Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là
hình vuông.

IV. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT
1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với
đáy

(

)

Ví du: Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA ^ ABCD thì chiều cao là SA .
2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa
trong mặt bên vuông góc với đáy.

(

)

(

)

Ví du: Hình chóp S.ABC có mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy ABC thì chiều cao của hình chóp là chiều
cao của D SAB .
3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng
vuông góc với đáy.

(


) (

)

(

)

Ví du: Hình chóp S.ABCD có hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD thì chiều cao
là SA .

4/ Hình chóp đều và tứ diện đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy.
Ví du: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm O của hai đường chéo hình vuông
ABCD thì có đường cao là SO .
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
LÝ THUYẾT: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, DIỆN TÍCH XUNG QUANH,
DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN
Thể tích

1
V = B.h
3

KHỐI CHÓP

+ B là diện tích đáy
+ h đường cao hình chóp

V = B.h


KHỐI LĂNG
TRỤ

+ B là diện tích đáy
+ h là đường cao lăng trụ

KHỐI CHÓP
CỤT

h
B + B '+ BB '
3
+Với B, B ' là diện tích hai
V =

(

đáy
+ h đường cao hình chóp

)

Diện tích xung quanh

Diện tích toàn phần

Sxq = Tổng diện tích các mặt
bên

Stp = Sxq + Diện tích mặt

đáy

Sxq = Tổng diện tích các mặt
bên

Stp = Sxq + Diện tích 2 mặt
đáy

Sxq = Tổng diện tích các mặt
bên

Stp = Sxq + Diện tích mặt
đáy

Chú y:
I. Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abc
. . Þ Thể tích khối lập phương: V = a3
a
Trang 7


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

a

a

b
a


c
Hình hộp chữ nhật

Hình lập phương

II. 4 phương pháp thường dùng tính thể tích
1.Tính thể tích bằng công thức.
+ Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,….
+ Sử dụng công thức tính thể tích.
+ Cần năm vững các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, ....
2. Tính thể tích bằng cách chia nho: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể
tích của chúng. Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm.
3. Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho khối đa
diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích.
4. Tính thể tích bằng tỉ số thể tích.
* Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện có thể gặp khó khăn vì hai lí do:
+ Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao.
+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng.
* Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:
+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà
các khối này dễ tính hơn.
+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích.
* Trong dạng này, ta thường hay sử dụng phương pháp tỉ số, lấy kết quả của bài toán sau:
Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó:

VS .A 'B 'C '
VS.ABC

=


Chứng minh:
Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng.
Ta có:

VS.A 'B 'C '
VS .ABC

=

VA 'SB 'C '
VA.SBC

S

1
SDSB 'C '.A 'H '
3
=
1
S
.AH
3 DSBC

1
SB '.SC '.sin a.A 'H '
SB '.SC '.SA '
2
=
=

Þ ( Ðpcm) .
1
SB .SC .SA
SB .SC .sin a.AH
2
· 'SC ' = BSC
·
Trong đó: a = B
.

SA ' SB ' SC '
.
.
.
SA SB SC

H
’

A
’

A

B
’
H

C
’


B

C

Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm A º A ', B º B ',C º C ' .
Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,…
III. Sử dung phương pháp thể tích khối đa diện để tính khoảng cách
* Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường
thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách này dựa vào công thức hiển
nhiên: h =

3V
V
, ở đâyV , B, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của một hình chóp nào đó (hoặc h = đối
B
S

với hình lăng trụ).
* Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách về bài toán
tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó. Dĩ nhiên, các chiều cao này thường là không tính được trực tiếp
bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí Pitago, công thức lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diện
này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy. Như vậy, chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên.
Trang 8


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

* Phương pháp: Sử dụng các định lí của hình học trong không gian sau đây:


( )
+ Nếu mp( P ) // mp( Q )
d ( AB,CD ) = d é
mp P , mp(Q ) ù
ê
ú
ë ( )
û.

( )

(
)
mp( P ) , mp(Q )

( )

ù.
+ Nếu AB // mp P trong đó mp P chứaCD thì d AB,CD = d é
êAB, P û
ú
ë
trong

đó

lần

lượt


AB

chứa

CD

và

thì:

+ Từ đó, qui bài toán tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán về việc tìm chiều cao của khối chóp (hoặc một khối
lăng trụ) nào đó.
+ Giả sử bài toán đã được qui về tìm chiều cao kẻ từ đỉnh S của một hình chóp (hoặc một lăng trụ). Ta tìm thể tích
của hình chóp (lăng trụ) này theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh S này, chẳng hạn như quan niệm hình chóp
ấy có đỉnh S ' ¹ S . Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnh S . Như thế, ta suy ra được chiều cao kẻ từ S cần tìm.
CHỦ ĐỀ 1: CÁC DẠNG TOÁN KHỐI CHÓP
DẠNG 1: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

(

)

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là D ABC vuông cân ở B, AC = a 2, SA ^ mp ABC , SA = a .

a3
( đvtt ) .
6
b. Gọi G là trọng tâm của D SBC , mp( a ) đi qua AG và song song với BC cắt SC , SB lần lượt tại M , N . Tính
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC .


ĐS: VS .ABC =

2a3
( đvtt ) .
27
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là D ABC đều cạnh a và SA ^ ( ABC ) , SA = 2a . Gọi H , K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm A lần lượt lên cạnh SB, SC .
thể tích khối chóp S.AMN .

ĐS: VSAMN =

a. Tính thể tích khối chóp H .ABC theo a .

ĐS: V

b. Tính thể tích khối A.BCK H theo a .

ĐS: V

(

=

H .ABC

A.BCK H

a3 3
( đvtt ) .
30


=

3a3 3
( đvtt ) .
50

a 3
ĐS: dé
=
đvđd .
ù
H , SAC

)

c. Tính khoảng cách từ H đến mp SAC .

(

(

) úû

)

10
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp( ABC ) , AC = AD = 4( cm) , AB = 3( cm) ,
ê
ë


BC = 5( cm) . Tính khoảng cách từ A đến mp( BCD ) .

6 34
ĐS: dé
=
cm
A, DBC ù
ê
ë

(

) ûú

17

( )

·
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác có AC = a, AB = 3a , BAC
= 600 . Gọi H là hình chiếu

(

)

của S trên ABC biết H Î AB và AH = 2HB . Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 450 .
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC


(

)

b. Tính khoảng cách từ A đến mp SBC .

(

)

·
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy D ABC là tam giác vuông tại B và SA ^ ABC với ACB
= 600 ,
BC = a, SA = a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh SB .

(

)

(

)

a. Chứng minh rằng: mp SAB ^ mp SBC .
b. Tính thể tích khối chóp S.ABC .

a3
( đvtt ) .
2
a3

ĐS: VMABC =
( đvtt ) .
4
a
ĐS: d
đvđd
(
éM ,( SAC ) ù =
ê
ú
ë
û
2
ĐS: VS .ABC =

c. Tính thể tích khối tứ diện MABC .

(

)

d. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp SAC .

)
Trang 9


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

(


)

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ^ ABCD , SA = a 3 . Gọi O là giao
điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD .
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .

ĐS: V

b. Tính thể tích khối chóp SOBC
theo a .
.

ĐS: V

S .ABCD

=

a3 3
( đvtt ) .
3

S .ABCD

=

a3 3
( đvtt ) .
12


(

)

a 3
ĐS: d
đvđd
éA, SBC ù =

(

)

(

)

a 3
ĐS: d
đvđd
éA, SBC ù =

(

)

c. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp SBC .

ê

ë

d. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp SBC .

(

) úû

2

(

) úû

S .ABCD

=

4
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ^ ( ABCD ) . Cạnh SC tạo với mặt phẳng

(

ê
ë

)

đáy ABCD một góc 600 .
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .


ĐS: V

a3 6
( đvtt ) .
3

a 3
b. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và BD . ĐS: d
=
( SC ;BD )
4

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , chiều cao SA = 2a . Gọi N là trung điểm của SC .
a. Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD .
b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .

ĐS: VS.ABCD =

( )

2a3
( đvtt ) .
3

c. Mặt phẳng P chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB, SD tại M , P . Tính thể tích khối chóp S.AMNP

2a3
( đvtt ) .
9

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA ^ mp( ABCD ) . Biết AB = 3a , góc
theo a .

ĐS: VS .AMNP =

0
·
BAC
= 600 . Mặt bên ( SBC ) hợp với đáy một góc 45 .

(

)

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .

ĐS: VS .ABCD = 9a3 3 đvtt .

b. Tính thể tích khối chóp SOAD .

ĐS: V

S .OAD

9a3 3
=
( đvtt ) .
4

c. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp SBC .


3a 2
ĐS: d
đvđd
=
é
O , SBC ù

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD .

ĐS: V

(

)

(

) ûú

S .ABCD

=

(

)

2
Bài 10. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng SA ^ ( ABCD ) , SC hợp với mặt phẳng

chứa đáy ABCD một góc 300 và AB = a, BC = 2a .
ê
ë

a3 15
( đvtt ) .
3

a3 15
( đvtt ) .
S .ABC
6
c. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm O đến mp( SCD ) .
b. Tính thể tích khối chóp S.ABC .

a 1140
ĐS: d
đvđd
=
é
O , SCD ù
ê
ë

(

) ûú

60


(

ĐS: V

=

)

Trang 10


Chuyờn Th tớch khi a din

DNG 2: HèNH CHểP Cể MT MT VUễNG GểC VI Y
Chỳ ý:

ỡù P ^ Q
ùù ( ) ( )
ùù
ù ( P ) ầ (Q ) = a ị b ^ Q
-ớ
( )
ùù b è ( P )
ùù
ùù b ^ a
ợ
- Tam giac BAC cõn tai A , I la trung iờm BC ị AI va ng cao va ng trung tuyờn va ng phõn giac
D ABC .
- Tam giac ABC ờu , G la trng tõm D ABC , M , N , P ln lt la trung iờm canh BC , AC , AB . Ta cn nh:
ỡù

ùù AG = 1GM = 2 AM
ùù
3
3
ùù
1
2
+ ớ BG = GN = BN
ùù
3
3
ùù
1
2
ùù CG = GP = CP
3
3
ùùợ
+ AM , BN ,CP va ng cao va ng trung tuyờn va ng phõn giac cua D ABC .
Bai 1. Cho hinh chop S.ABCD co ay ABCD la hinh vuụng canh a . Mt bờn SAB la tam giac ờu nm trong mt
phng vuụng goc vi mt phng ay ( ABCD ) .
a. Chng minh rng chõn ng cao cua khụi chop a cho trung vi trung iờm cua canh AB .
b. Tinh thờ tich khụi chop S.ABCD .

S: V

c. Tinh thờ tich khụi chop S.BCD .

S: V


(

S .ABCD

=

=

S .BCD

a3 3
( vtt ) .
6

a3 3
( vtt ) .
12

a 3
S: dộ
=
vd .
D , SBC ự

)

d. Tinh khoang cach t D ờn mp SBC .

ờ
ở


(

) ỷỳ

(

2

)

Bai 2. Cho hinh chop S.ABCD co ay ABCD la hinh ch nhõt. Mt bờn SAB la tam giac ờu canh la a va nm trong

(

)

(

)

mt phng vuụng goc vi mp ABCD . Canh bờn SC hp vi mp ABCD mụt goc bng 300 .
a. Tinh thờ tich khụi chop S.ABCD a cho.

chop

S.ABC co

S .ABCD


)

a 3
S: dộ
=
vd .
C , SAD ự

(

)

a 390
S: dộ
=
vd .
B , SAC ự

c. Tinh khoang cach cua iờm B ờn mp SAC
hinh

a3 30 .
=
12

(

b. Tinh khoang cach cua iờm C ờn mp SAD

Bai 3. Cho


S: V

ờ
ở

(

) ỷỳ

(

) ỷỳ

ã
ã
BAC
= 900, ABC
= 300, D SBC

la

ờ
ở

2

(

)


(

)

giac

ờu

13

tam

canh

mp( SAB ) ^ mp( ABC ) .
a. Tinh thờ tich khụi chop S.ABC .

(

S: V

)

b. Tinh khoang cach t B ờn mp SAC .

a3 39
=
( vtt ) .
96


S .ABC

a 39
S: dộ
=
vd .
B , SAC ự

(

ờ
ở

(

)

) ỷỳ

8

(

)

c. Goi G la trong tõm D SBC . Tinh khoang cach cua iờm G ờn mp SAC .
Trang 11

a


va


Chuyờn Th tớch khi a din

(

Bai 4. Cho hinh chop S.ABC co ay ABC la tam giac vuụng cõn tai B , co BC = a . Mt bờn SAC

(

)

vuụng goc vi

)

mt phng ay, mt bờn SAB tao vi mt phng ay mụt goc 450 . Biờt D SAC cõn tai S .

(

)

a. Goi H la trung iờm AC . Chng minh SH ^ ABC .
b. Tinh thờ tich khụi chop S.ABC .

S: VS .ABC =

(


a3
( vtt ) .
12

a 2
S: dộ
=
vd .
H , SBC ự

)

c. Tinh khoang cach t H ờn mp SBC .

(

(

) ỷỳ

)

4
Bai 5. Cho hinh chop S.ABCD co ay ABCD la hinh vuụng canh a , mp( SAB ) ^ mp( ABCD ) , SA = SB , goc
ờ
ở

gia ng thng SC va mt phng ay bng 450 .
3


a
S: V
=
S .ABCD

a. Tinh theo a thờ tich cua khụi chop S.ABCD .

(

5

6

( vtt ) .

a 30
S: dộ
=
vd .
ự
D , SBC

)

b. Tinh khoang cach t D ờn mp SBC .

(

ờ

ở

(

) ỳỷ

(

6

)

2a 5 .
S: dộ
=
ự
G , SCD

)

c. Goi G la trong tõm D SAB . Tinh khoang cach cua iờm G ờn mp SCD .

(

) ỳỷ

9
Bai 6. Cho hinh chop S.ABCD co ay ABCD la hinh vuụng canh a , mp( SAC ) ^ mp( ABCD ) , D SAC , vuụng
cõn tai S .
ờ

ở

3

a. Tinh theo a thờ tich cua khụi chop S.ABCD .

a
S: V
=
S .ABCD

b. Tinh theo a thờ tich cua khụi chop S.BCD .

a
S: V
=
S .BCD

(

2

6

( vtt ) .

3

2
( vtt ) .

12

a 6
S: dộ
=
vd .
B , SAD ự

)

b. Tinh khoang cach t B ờn mp SAD .

(

ờ
ở

) ỷỳ

12

(

)

DNG 3: HèNH CHểP Cể HAI MT VUễNG GểC VI Y
Chỳ ý:

(Q ) ^ ( P ) ỹùùù
( R ) ^ ( P ) ùýù ị

(Q ) ầ ( R ) = aùùùỵ

a ^ (P )

Bai 1. Cho hinh chop S.ABC co SA = AB = AC = BC = a . Hai mp(SAB ) va mp(SAC ) cung vuụng goc vi
mp(SBC ) .

a3 3
( vtt )
12

a. Tinh thờ tich cua hinh chop S.ABC .

S: V

b. Tinh goc gia ng thng SB va mp(ABC ) .

S: SB, ABC = 450 .

(

)

c. Tinh khoang cach t A ờn mp SBC .

S .ABC

ã

=


(

)

a 15
S: dộ
=
vd .
ự
A, SBC
ờ
ở

(

) ỳỷ

5

(

)

(

)

(


Bai 2. Cho hinh chop S.ABCD co ay ABCD la hinh ch nhõt co AB = a, BC = 2a . Hai mp SAB va mp SAD
cung vuụng goc vi mt phng ay, canh SC hp vi ay mụt goc 600 .
a. Tinh thờ tich khụi chop S.ABCD theo a .

{ }

b. Goi O = AC ầ BD . Tinh thờ tich khụi chop SOBC
theo a .
.

S: V
S: V

ABCD

=

2a3 15
( vtt )
3

S .OBC

=

a3 15
vtt
(
6


)

Trang 12

)


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

(

)

a 60

( đvđd) .
2 19
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A . Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc
c. Tính khoảng cách từ O đến mp SCD .

(

ĐS: déO, SCD ù =
ê
ë

)

(


)

(

(

) ûú

)

với mặt phẳng đáy ABC , cho BC = a 2 , mặt bên SBC tại với đáy ABC một góc 600 .
a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC

(

)

b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC .

2
AB . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SAC ) .
3
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với
c. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho: AD =

( ABCD ) . Cho SB = 3a . Gọi M là trung điểm của CD .
a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCM .

(


b. Tính khoảng cách của điểm M đến mp SBC

)
(

)

(

)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với

(

)

(

)

mặt đáy ABCD , cho AB = a, AD = 2a, SC tạo với mặt đáy ABCD một góc 450 .
a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a .
b. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BD . Tính thể tích của khối chóp S.AHCD theo a .

(

)

c. Tính khoảng cách của điểm C đến mp SAH .

d. Tính khoảng cách 2 đường thẳng SB và AH .

(

)

(

·
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD
= 1200 . Biết mặt bên SAB và SAD

(

)

)

cùng vuông góc với mặt đáy ABCD . Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 600 .

a3
( đvtt ) .
2
a3
= ( đvtt ) .
4

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD .

ĐS: VS .ABCD =


b. Tính thể tích khối chóp S.BCD .

ĐS: VS .BCD

(

)

c. Tính khoảng cách từ C đến mp SAB .

a 3
ĐS: dé
=
đvđd .
C , SAB ù
ê
ë

(

) ûú

2

(

)

DẠNG 4: HÌNH CHÓP ĐỀU

Định nghĩa:
+ đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều ...)
+ các mặt bên là tam giác cân tại đỉnh của hình chóp.
+ đường cao là đường hạ từ đỉnh đến tâm của đa giác đều.
+ các cạnh bên tạo với đáy 1 góc đều bằng nhau.
+ các mặt bên tạo với đáy 1 góc đều bằng nhau.
Chú ý:
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên.
+ Hình chóp đều khác với hình chóp có đáy là đa giác đều (hình chóp có đáy là tứ giác đều là hình chóp chỉ có đáy là
đa giác đều )
Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam
giác D SAC .

4a3 3
ĐS: V
=
đvtt .
S .ABCD

a. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD .

(

3

)

b. Tính khoảng cách từ A đến mp SBC .

(


(

)

)

ĐS: déA,( SBC ) ù = a 3 đvđd .
ê
ú
ë
û
Trang 13


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

(

c. Tính khoảng cách từ G đến mp SAB

a 3
ĐS: dé
=
đvđd .
G , SAB ù

)

( )


ê
ë

(

) ûú

(

3

)

Bài 2. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Một mặt phẳng P qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích
của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

ĐS:

VS.ABMN

=

VABCDNM

3
5

Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Lấy các điểm B ',C ' trên AB và AC sao cho AB ' =
a. Tính thể tích khối tứ diện AB 'C 'D .


ĐS: V

(

)

b. Tính khoảng cách từ B ' đến mp ACD .

a
2a
.
, AC ' =
2
3

a3 2
( đvtt ) .
36
a 6
=
( đvđd )
6

=

AB 'C 'D

ĐS: d  B '; ACD 
(

)




Bài 4. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của cạnh DC .
a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD .

(

`

ĐS: V

=

ABCD

a3 2
( đvtt ) .
12

a
ĐS: V
=
M .ABC

)

b. Tính khoảng cách từ M đến mp ABC . Suy ra thể tích hình chóp M .ABC .

Bài 5. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a .
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC .

ĐS: V

=

S .ABC

3

2
24

a3 11
( đvtt ) .
2

1
AC . Tính khoảng cách từ E đến mp( SBC ) .
3
Bài 6. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằng a , mặt bên hợp với đáy một góc 600 . Trên cạnh SB lấy
SE
1
SF
2
điểm E sao cho:
= , trên cạnh SC lấy điểm F sao cho:
= .
SB

3
SC
3
b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho: AE =

a. Tính thể tích khối chóp S.ABC .

ĐS: V

a3 3
=
( đvtt ) .
24

S .ABC

b. Tính thể tích khối chóp S.AEF .
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 .
a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a .
b. Gọi O là tâm của đáy ABCD . Tính thể tích của khối tứ diện SOAB .

(

)

c. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp SBC .

·
Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và BSA
= 600 .

2

ĐS: S = a

a. Tính diện tích xung quanh của hình chóp đều này.

3

3

( đvdt ) .

a3 2
=
( đvtt ) .
S .ABCD
6
Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 600 .
b. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .

ĐS: V

a. Tính diện tích toàn phần của hình chóp đều này.

2
ĐS: Stp = a

b. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .

ĐS: V


S .ABCD

(

)

10 + 1 ( đvdt ) .

a3 6
=
( đvtt ) .
6

Trang 14


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

CHỦ ĐỀ 2: THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ
DẠNG 1: LĂNG TRỤ ĐỨNG
HÌNH LĂNG TRỤ

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình hành
+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy
Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành


+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2
mặt đáy
+ Chiều cao là cạnh bên
Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là
hình chữ nhật
Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là
hình vuông.

Chú ý: + Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là tam giác đều.
+ Hình lăng trụ có đáy tam giác đều là hình lăng trụ xiên có 2 đáy là tam giác đều.
+ Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình vuông.
Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều. Biết cạnh bên AA ' = a . Tính thể tich khối
lăng trụ trong các trường hợp sau:

(

)

a. mp A 'BC hợp với đáy mặt phẳng chứa đáy ABC một góc 600 .

(

)

(

ĐS: VABC .A 'B 'C ' = a3 3 đvtt


a3 3
( đvtt )
4

b. Đường thẳng A 'B hợp với mp ABC một góc 450 .

ĐS: V

c. Chiều cao kẻ từ A ' của D A 'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.

ĐS: VABC .A 'B 'C ' = a3 3 đvtt

ABC .A 'B 'C '

=

)

(

)

·
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ACB
= 600 . Đường chéo
BC ' của mặt bên ( BC 'C 'C ) tạo với mặt phẳng mp( AA 'C 'C ) một góc 300 .

(


)

a. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a .

ĐS: VABC .A 'B 'C ' = a3 6 đvtt .

b. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.

2
ĐS: Sxq = 2 2 3 + 3 a đvdt

(

)

(

(

)
)

Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a , mp A 'BC tạo với
đáy một góc 300 và D A 'BC có diện tích bằng a2 3 .

3a3 3
( đvtt )
2

a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' .


ĐS: V

b. Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ.

2
ĐS: Stp = 3 + 4 3 + 30 a đvdt

ABC .A ' B 'C '

=

(

)

(

)

Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .A ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và A 'C bằng a 15 .

5

a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' .

ĐS: VABC .A 'B 'C ' =

3a3

( đvtt ) .
4
Trang 15


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

b. Tính thể tích khối đa diện A 'BCB 'C ' .

(

)

c. Tính khoảng cách từ A đến mp A 'BC .
Bài 5. Cho lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết rằng AB ' hợp với mặt bên

( BCC 'B ')

một góc 300 .

(

)

a. Tính độ dài đoạn thẳng AB ' .

ĐS: AB ' = a 3 đvđd .

b. Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' .


ĐS: V

(

ABC .A 'B 'C '

)

=

a3 3
( đvtt ) .
2

c. Tính khoảng cách từ C đến mp AB 'C ' .

·
Bài 6. Cho lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Biết AB = a;ACB
= 600 và đường

(

)

thẳng BC ' hợp với mặt bên AA 'C 'C một góc 300 .

(

)


a. Thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C '

ĐS:VABC .A 'B 'C ' = a3 6 đvtt

b. Tính diện tích tam giác ABC ' .

3a2 3
ĐS: S
=
đvdt .
D ABC '

(

)

2
B
,
AB
= a, AA ' = 2a , A 'C = 3a .
Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại
Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A 'C ' và I là giao điểm của AM và A 'C .
4a3
a. Tính thể tích của khối tứ diện IABC .
ĐS: VIABC =
( đvtt )
9
2a 5
ĐS: d

=
đvđd
( A,( IBC ) )
5
Bài 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ; AC = 2a . Biết rằng

(

)

(

b. Tính khoảng cách từ A đến mp IBC theo a .

)

mp( A 'BC ) hợp với mp( ABC ) một góc 450 .

(

)

ĐS: VABC .A 'B 'C ' = a3 2 đvtt .

a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' .
b. Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ.

·
Bài 9. Cho lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , góc ACB
= 300, AA ' = 3a ,

AC = 2a .
a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' .
b. Tính thể tích khối chóp A 'BCC 'B ' .

(

c. Mặt phẳng A 'BC

)

chia khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' thành hai khối đa diện. Tính thể tích của mỗi khối đa diện.

Bài 10. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a .
3

ĐS: V = a

a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
b. Tính thể tích khối tứ diện ABCB ' .

4

3

;Sxq = 3a2 .

DẠNG 2: HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O . Cạnh bên CC ' = a và hợp

(


)

trùng với O .

a. Chứng minh rằng: AA 'B 'B là hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật này.

ĐS: S = a

với mặt phẳng chứa đáy ABC một góc 600 . Hình chiếu của điểm C ' lên mp ABC

b. Chứng minh hình chóp O.A 'B 'C ' là hình chóp tam giác đều.

2

2

3.

3
ĐS: V = 3a 3 .

c. Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' này.

8

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Điểm H là hình chiếu vuông góc

(


của A ' xuống mp ABC

)

(

là trung điểm của AB . Mặt bên AA 'C 'C

)

tạo với đáy một góc bằng 45o .
Trang 16


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

3a3
( đvtt )
16

a. Tính thể tích của khối lăng trụ này.

ĐS: VABC .A 'B 'C ' =

b. Tính khoảng cách từ điểm C ' đến mp ( AHA ' ) .

a 3
ĐS: dé
=
đvđd

ù
C ', AHA '
ê
ë

(

) úû

(

2

)

Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết cạnh bên bằng a 3 và nó
hợp với mặt phẳng chứa đáy ABC một góc 600 .

3a3 3
( đvtt ) .
8

a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' .

ĐS: V

b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp ( A ' BC ) .

a 15
ĐS: dé

=
đvđd
A, A 'BC ù

ABC .A 'B 'C '

ê
ë

(

=

) ûú

5

(

)

Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của điểm A ' trên

mp( ABC ) trùng với trọng tâm G của D ABC . Biết cạnh bên AA ' = a 2 .
a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' .
b. Tính thể tích khối chóp G .A 'B 'C ' .
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của điểm A ' xuống
mp( ABC ) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp D ABC và biết rằng đường thẳng AA ' tạo với mặt phẳng chứa
đáy ABC một góc 450 .Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' đã cho.
CHỦ ĐỀ 3: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHỐI CHÓP-KHỐI LĂNG TRỤ

Câu 1. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AB
A. V = 2 2a 3

= 2a

D. V =

C. V = 2a 3

B. V = 2a 3

.

Câu 2. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết BB ' = 2m .
A. V = 8m 3

B. V = 2m3

C. V =

8 3
m
3

2 2 3
a
3

D. V = 6m3


Câu 3. Hỏi khi các cạnh của khối lập phương tăng lên 5 lần, thì lúc đó thể tích của khối lập phương sẽ tăng lên bao nhiêu
lần?
A. 125 lần.
B. 15 lần.
C. 25 lần.
D. 5 lần.
Câu 4. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a 2 và AC = a 5 .Tính độ dài đường sinh l của hình
nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. l = 7a
B. l = 10a
C. l = 3a
D. l = 7 a
Câu 5. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 và BC = a 6 .Tính độ dài đường sinh l của hình
nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. l = 2a

B. l = 2 2a

C. l = 4a

D. l = 3a

Câu 6. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1m và AD = 2m. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD
và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.
A. Stp = 2π m 2 .

B. Stp = π m 2 .

C. Stp = 6π m 2 .


D. Stp = 10π m 2 .

Câu 7. Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB = 1m, AD = 2m và AA’=3m.
Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
A. V = 6m3
B. V = 2m3
C. V = m3
D. V = 12m3
Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), SC = 2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính bán kính R của mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.

Trang 17


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

A. R = a

C. R = 2a

B. R = 2a

2
a
2

D. R =

Câu 9. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB = 1m, AD = 2m và AA’=3m.
Tính diện tích toàn phần Stp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

A. Stp = 22 m 2 .
Câu 10.

B. Stp = 6 m 2 .
3
B. Stp = 64a

= 2a .

3
C. Stp = 2a

3
D. Stp = 8a

Tính diện tích toàn phần Stp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AA ' = 2m .

3
A. Stp = 24m

Câu 12.

D. Stp = 11 m 2 .

Tính diện tích toàn phần Stp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AB

3
A. Stp = 12a

Câu 11.


C. Stp = 2 m 2 .

3
B. Stp = 64m

3
C. Stp = 12m

3
D. Stp = 8m

Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), SC = 2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính thể tích V của

khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. V =

4π 3
a
3

Câu 13.

B. V =

4 3
a C. V = 4π a 3
3

D. V = 4a3


Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), SA =

2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính bán kính R

của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
A. R =

B. R = a C. R = 2a

2a

Câu 14.

2
a
2

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AC

A. V = 2a 3
Câu 15.

D. R =

= 2a

D. V =

C. V = 2a 3


B. V = 2 2a 3

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết BC ' = 2
C. V =

B. V = 8m3

A. V = 2 2m 3

.

8 2 3
m
3

2 2 3
a
3

2m .

D. V = 6 2m3

Câu 16.

Hỏi khi thể tích của khối lập phương tăng lên 8 lần, thì lúc đó các cạnh của khối lập phương sẽ tăng lên bao

nhiêu lần?
A. 8 lần.

Câu 17.

B.2 lần.
C. 4 lần.
D. 24 lần.
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AC = a 2 và AB = a 5 .Tính thể tích V của khối nón

nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. V =

2 5 3
a
3

Câu 18.

B. V =

2 5π 3
a
3

C. V = 2 5π a 3

D. V =

10 3
a
3


Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 3m và BC = 2m . Tính thể tích V của khối nón

nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. V = 12m3
Câu 19.

B. V = 12π m3

C. V = 6m3

D. V = 2π m3

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1m và AC =

3 m. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ
đó.
A. Stp = 2π m 2 .
Câu 20.

B. Stp =

3 π m2 .

C. Stp = 2 3 π m 2 .

D. Stp =

3π 2 .

m
3

Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB = 1m, AA’=3m và có

độ dài đường chéo AC =
A. V = 2m3

3 m. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
B. V = 6m3

C. V = m3

D. V = 12m3
Trang 18


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

Câu 21.

Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), SA =

2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính bán kính R

của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD..
B. R = a

A. R = 2a
Câu 22.


C. R = 2a

D. R =

2
a
2

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh

2a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt

0

phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
B. R = a

A. R = 2a
Câu 23.

C. R =

2 3
a
3

D. R =

3

a
2

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh

2a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt

phẳng (SBD) bằng 300. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
B. R =

A. R = 2a
Câu 24.

6
a
3

C. R =

2 3
a
3

D. R =

3
a
2

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh


2a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt

phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. V =

8 3π 3
a
9

Câu 25.

B. V =

2 3π 3
a
9

C. V =

32 3π 3
a
27

D. V =

2 3π 3
a
9


Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB = 1m, AC =

5 m và

AA’=3m. Tính thể tích V của khối chóp D.A’B’C’D’.
A. V = 3 5m3
Câu 26.

B. V = 6m3

D. V = 5m3

C. V = 2m3

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1m , cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0. Tính diện tích toàn phần Stp của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD.
A. Stp = 5 m 2 .
B. Stp = 3 π m 2 .
C. Stp = 5 π m 2 .
D. Stp = 1 m 2 .
Câu 27.
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AB = 6a. có SA ⊥ (ABC), SB = 10a .
Tính diện tích toàn phần Stp của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. Stp = 544 a2
Câu 28.

B. Stp = 60 a2


C. Stp = 136 a2 D. Stp = 30a2

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H

thuộc cạnh BC sao cho HC = HB. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính diện tích toàn phần Stp của
khối nón nhận được khi quay tam giác SHA xung quanh trục SH.
A. Stp = 6π a2 B. Stp = 9a2
Câu 29.

C. Stp = πa2

D. Stp = 9πa2

Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB = 1m, AC =

5 m và

Góc giữa mặt (A’BC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích V của khối chóp D.A’B’C’D’.
A. V =
Câu 30.

5 3
m
3

B. V = 2 5m3

C. V = 2 3m3

D. V =


3 3
m
3

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2m. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H

thuộc cạnh BC sao cho HC = HB. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. Tính thể tích V của khối nón
nhận được khi quay tam giác SHB xung quanh trục SH.
A. V = 3m3

B. V =

3 3
m
3

C. V = 3m3

D. V = m3

Câu 31. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi
thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu lần?

Trang 19


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

1

.
2

B. 2 .

C. 3 .

D.

Câu 32. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .

C. 3 .

D. 2 .

A. 4 .

Câu 33. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số p là
A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.

Câu 34. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số q là
A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 35. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .

A.

a3 2
×
12

B.

a3 2
×
4

B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.
C. a 3 .

D.

a3
×
6

Câu 36. Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB = a , SA = a .
A. a 3

B.

a3 2
2


C.

a3 2
.
6

D.

a3
3

Câu 37. Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB = a ,

SA = a .
A.

a3 3
.
12

B.

a3 3
.
4

C. a 3 .

D.


a3
3

Câu 38. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích S . ABCD biết AB = a ,

AD = 2a , SA = 3a .
A. a 3 .

B. 6a 3 .

B. 2a 3 .

D.

a3
×
3

Câu 39. Thể tích khối tam diện vuông O. ABC vuông tại O có OA = a, OB = OC = 2a là
A.

2a 3
×
3

B.

a3
×
2


C.

a3
×
6

D. 2a 3 .

S . ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA = 2cm ,
AB = 4cm, AC = 3cm . Tính thể tích khối chóp.

Câu 40. Cho hình chóp

A.

12 3
cm .
3

B.

24 3
cm .
5

C.

24 3
cm .

3

D. 24cm3 .

Câu 41. Cho hình chóp S . ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, AB = a, AD = 2a . Góc giữa SB và đáy bằng

450 . Thể tích khối chóp là
A.

a3 2
×
3

B.

2a 3
×
3

C.

a3
×
3

D.

a3 2
×
6


Câu 42. Hình chóp S . ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a 3, AC = a 2 . Khi đó thể tích khối chóp

S . ABCD là
A.

a3 2
×
2

B.

a3 2
×
3

C.

a3 3
×
2

D.

a3 3
×
3

Trang 20



Chuyên đề Thể tích khối đa diện

Câu 43. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết ∆SAB là tam giác đều và thuộc mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB = a , AC = a 3 .
A.

a3 6
×
12

B.

a3 6
×
4

C.

a3 2
×
6

D.

a3
×
4

Câu 44. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên ( SAB ) là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt

phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết BD = a , AC = a 3 .
A. a 3 .

B.

a3 3
×
4

C.

a3 3
×
12

D.

a3
×
3

Câu 45. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung
điểm H của BC . Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB = a , AC = a 3 , SB = a 2 .
A.

a3 6
×
6

B.


a3 3
×
2

C.

a3 3
×
6

D.

a3 6
×
2

Câu 46. Các mặt bên của một khối bát diện đều là hình gì?
A. Hình vuông
B. Tam giác cânC. Tam giác đềuD. Tam giác vuông cân.
Câu 47. Xét các mệnh đề sau. (1): Hai khối đa diện đều có thể tích bằng nhau là hai đa diện bằng nhau. (2): Hai khối đa
diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. (3): Hai khối chóp có thể tích bằng nhau thì có chiều cao bằng nhau. (4): Hai khối
lập phương có thể tích bằng nhau là hai đa diện bằng nhau. (5): Hai khối hộp chữ nhật có thể tích bằng nhau là hai đa diện
bằng nhau.
Trong năm mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 48. Một khối chóp có diện tích mặt đáy bằng S, chiều cao bằng h, thể tích của khối chóp đó là:

A. V = S .h

B. V =

1
.S .h 2
3

C. V =

1
.S .h
2

D. V =

1
.S .h
3

Câu 49. Một khối lăng trụ có diện tích một mặt đáy bằng B, chiều cao bằng h. Thể tích của khối lăng trụ là:
A. V = S .h

B. V =

1
B.h
3

C. V = B.h


D. V = B 2 .h

Câu 50. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là x, y, z. Thể tích khối hộp chữ nhật bằng
A. x. y.z

B.

1
x. y.z
3

C. ( x + y ).z

D. ( x + z ). y

Câu 51. Thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng 1m là:
A. V = 3m

B. V = 1m 3

C. V =

1 3
m
3

D. V = 1m 2

Câu 52. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SC vuông góc với mặt đáy (ABC). Thể tích khối chóp S.ABC tính được theo

công thức nào sau đây?
A. V =

1
S ∆ABC .SA
3

B. V =

1
S ∆ABC .SB
3

C. V =

1
S ∆ABC .SC
3

D. V = S ∆ABC .SC

Câu 53. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Thể tích khối lăng trụ tính được theo
công thức nào sau đây?
A. V = S ∆ABC .CC '

B. V = S ∆ABC . A' H

C. V =

1

S ∆ABC . A' A
3

D. V =

1
S ∆ABC . A' H .
3

Câu 54. Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB = 1, AC = 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABC) và SA = 3. Thể tích của khối chóp đó bằng:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
Câu 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với
mp(ABCD). Cạnh SC = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
A.

2 5a 3
3

B. 2 3a 3

C.

4 3
a
3


D. 6a 3

Câu 56. Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tai B, cạnh AB = a, cạnh BC = a 3 , cạnh bên
AA’= 2a 5 . Thể tích của khối lăng trụ đó bằng:
Trang 21


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

A. 2a 3 15

B. a 3 15

C.

a 3 15
3

D. a 3 10

Câu 57. Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Thể tích của khối tứ diện đó được tính theo
công thức nào sau đây?
A. V =

1
1
OA.OB.OC B. V = OA.OB.OC
6
3


D. V =

C. V = OA.OB.OC

1
OA.OB.OC
2

Câu 58. Cho khối chóp S.ABCD. Nếu thể tích khối chóp S.ABD bằng V thì khối chóp S.ABCD có thể tích bằng bao
nhiêu?
A. 3V

B. 4V

C. 2V

D.

3
V
2

Câu 59. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1 và có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD.
Tính thể tích khối chóp S.AOD.
A.

1
4

B.


1
3

C.

1
2

D.

2
3

Câu 60. Cho hình chóp S.ABC có thể tích V . Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2 MC và V1 ,V2 lần lượt là
thể tích của các khối chóp S . ABM , S . AMC Tìm kết luận sai?
A. V = V1 + V2
B. V = 2V1
C. V = 3.V2
D. V1 = 2V2
Câu 61. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích V . Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp A. A' B ' C ' , A'.ABC
. Tìm mệnh đề sai?
A. V = 3.V1
C. V1 = V2
C. V = V1 + V2
D. V = 3.V2
Câu 62. Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = 2OB = 3OC = 3a. Thể tích của khối
tứ diện đó bằng:
A. 6a


3

4a 3
B.
3

3a 3
C.
4

D. 9a 3

Câu 63. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng a 3 . Diện tích tam giác SBC bằng

a2
. Khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng:
3

A. 9a
B. 6a
C. 4a
D. 2a
Câu 64. Cho hình chóp S.ABC có thể tích V . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC và V1 ,V2 lần
lượt là thể tích của khối chóp S.MNP và khối chóp cụt MNP.ABC. Tìm kết luận sai?
A. V2 = 3.V1

B. V = V1 + V2

C. V = 3V1


D. V =

4
V2
3

Câu 65. Một khối lập phương có độ dài một đường chéo bằng 1. Thể tích khối lập phương đó bằng
A.

3
3

B.

3
6

C.

3
9

D.

1
3

Câu 66. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mp(ABCD)
bằng 60 0 . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
A. a 3 3


B.

a3 3
3

C. a 3 6

D.

a3 6
3

Câu 67. Khối chóp S.ABCD có thể tích bằng a 3 6 , mặt đáy ABCD là hình chữ nhật, diện tích tam giác BCD bằng

a2 3
2

. Chiều cao của khối chóp đó bằng:
A. 3a 2

B.

3a 2
2

C. 2a 3

D. 6a 2


Câu 68. Một hình lăng trụ đứng tam giác có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích khối lăng trụ đó bằng:
A. a 3 3

B.

a3 3
4

C. a 3

D.

a3 3
12

Câu 69. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, cạnh AB = a, BC = a 3 , SO vuông góc với
mp(ABCD). Góc giữa SC và mp(ABCD) bằng 45 0 . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

Trang 22


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

A. 2a 3 3

B.

a3 3
3


C. a 3

D.

a3
3

Câu 70. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi H là trung điểm AB, biết SH vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 600

a3
a3
D. VS . ABCD =
6
3
Câu 71. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật; AD = 2a; AB = a . Gọi H là trung điểm AD, biết SH vuông
góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 450
2a 3
a3
a3 3
A. VS . ABCD =
B. VS . ABCD = a 3 3
C. VS . ABCD =
D. VS . ABCD =
3
3
2
Câu 72. Cho khối chóp S.ABC có ABCD là hình vuông cạnh a ; SA ⊥ ( ABCD ) . Góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
A. VS . ABCD =


2a 3 15
3

B. VS . ABCD =

4a 3 15
3

C. VS . ABCD =

bằng 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD

a3 6
9
Câu 73. Cho khối lăng trụ đứng ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 . Tính thể tích
khối lăng trụ ABC. A1 B1C1 biết A1 B = 3a
A. VS . ABCD =

a3 3
3

B. VS . ABCD =

a3 2
3

C. VS . ABCD =

a3 6
18


D. VS . ABCD =

a3 2
a3 3
3
=
a
2
= 6a 3 3
B. VABC . A1BC
C.
D. VABC . A1BC
V
=
ABC . A1BC
! 1
! 1
! 1
3
2
Câu 74. Cho khối lăng trụ đứng ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 . Tính thể tích
khối lăng trụ ABC. A1 B1C1 biết A1C tạo với đáy một góc 600 .
A. VABC . A BC =
1 ! 1

3a 3 3
a3 3
3
=

3
a
3
= 6a 3 3
B. VABC . A1BC
C.
D. VABC . A1BC
V
=
ABC . A1BC
! 1
! 1
! 1
2
2
Câu 75. Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết mặt bên là tam giác vuông
A. VABC . A BC =
1 ! 1

cân ?
A. VS . ABC =

a 3 21
36

B. VS . ABCD =

a 3 21
12


C. VS . ABCD =

a3 6
8

D. VS . ABCD =

a3 6
4

Câu 76. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Nếu tam giác A’BC có diện tích bằng 1 và khoảng cách từ A đến mp(A’BC) bằng 2 thì
thể tích khối lăng trụ đó bằng bao nhiêu?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
Câu 77. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết cạnh bên bằng
2a .
A. VS . ABCD =

a 3 10
2

B. VS . ABCD =

a 3 10
4

C. VS . ABCD =


a3 3
6

D. VS . ABCD =

a 3 12
3

Câu 78. Khối tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng:
A.

1 3
a
3

B.

a3 3
12

C.

a3 2
12

D.

a3 6
12


Câu 79. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi M là trung
điểm của cạnh CD, góc giữa SM và mp(ABCD) bằng 45 0 . Khoảng cách từ C đến mp(SBM) bằng:

a 205
41

2a 41

2a 2
a 6
D.
3
5
5
Câu 80. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA ⊥ ( ABCD ) ; AC = 2 AB = 4a . Tính thể tích khối chóp
A.

B.

C.

S.ABC biết rằng góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 300
A. VS . ABCD =

4a 3
9

B. VS . ABCD =

8a 3

9

C. VS . ABCD =

2a 3 3
3

D. VS . ABCD =

4a 3 6
9

Câu 81. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Cạnh AB = BC = a, cạnh AD = 2a. Gọi O là
giao điểm của AC và BD. SO ⊥ (ABCD), góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60 0 . Thể tích khối chóp
S.ABCD bằng:
Trang 23


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

A.

a3 3
6

B.

a3 6
6


C.

a3 6
3

D.

a3 3
3

Câu 82. Lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AB = a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’
trên mp(ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa AA’ với mp(ABC) bằng 60 0 . Khoảng cách từ C đến
mp(ABB’A’) bằng:
A.

2a 6
3

B.

3a 2
5

C.

Câu 83. Lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng

a 21
6


D.

a 42
7

a3 3
, mặt bênh ABB’A’ có diện tích bằng a 2 2 . Khoảng cách từ C đến
2

mp(ABA’) bằng:
A.

a 3
3

B.

a 2
2

C.

a 6
2

D.

a
6


Câu 84. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2AB.
Gọi M là trung điểm của cạnh SC, mp(Q) chứa AM và song song với BD cắt SB tại N và cắt SD tại P. Gọi V1 và V lần lượt
là thể tích của hai khối chóp S.ANMP và S.ABCD. Tỉ số

2
5
Câu 85. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a . Góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của AD . Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt
A.

1
2

V1
bằng:
V
2
C.
3

B.

1
3

D.

phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. VS . ABCD = 6a 3 3


B. VS . ABCD =

6a 3 15
5

C. VS . ABCD =

3a 3 15
5

3
D. VS . ABCD = 6a

Câu 86. Khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AB = a .
Nếu thể tích của khối lăng trụ bằng
A. 75 0

a3 2
thì số đo của góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng:
4

B. 60 0

C. 45 0

D. 30 0 .

Câu 87. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là chữ nhật, cạnh AB = a, BC = 2a . Hình chiếu vuông góc của S trên
mp(ABCD) trùng với trung điểm H của cạnh AD. Góc giữa đường thẳng SB và mp(ABCD) bằng 60 0 . Khoảng cách từ B
đến mp(SCD) bằng:

A.

a 42
7

B.

a 42
14

C.

3a 42
7

D.

2a 42
7

Câu 88. Hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AB = AA’ = a 2 . Đỉnh A’ cách đều ba
đỉnh A, B, C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC’ bằng:
A.

a 2
2

B.

a 3

2

C. a

D.

a 3
4

Câu 89. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung
điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Thể tích của khối chóp cụt A’B’C’D’.ABCD bằng:
A.

7 a 3 14
48

B.

a 3 14
8

C.

9a 3 14
48

D.

a 3 14
6


Câu 90. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a 3 ; cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) ; góc BAD = 1200 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 600

a3 6
a3 6
D. VS . ABCD =
8
4
Câu 91. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; cạnh AB = 8a; AD = 6a . Gọi H là trung điểm của cạnh
A. VS . ABCD =

3a 3 3
8

B. VS . ABCD =

a3 3
6

C. VS . ABCD =

AB, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng góc giữa mặt phẳng (SCD) và
(ABCD) bằng 600
Trang 24


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

A. VS . ABCD = 32a 3 3

B. VS . ABCD = 32a
C. VS . ABCD = 96a D. VS . ABCD = 96a 3 3
Câu 92. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với đáy. Biết AD = 2 BC = 2a và BD = a 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng góc giữa SB và (ABCD)
3

3

bằng 300

a3 3
8
Câu 93. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A’.ABCD là một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 3 . Góc giữa
đường thẳng A’D và mặt đáy (ABCD bằng 600 . Tính thể tích V của khối hộp.
3a 3 2
9a 3 2
6a 3 2
3a 3 6
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
2
2
2
2
0
Câu 94. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 30 . SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên
A. VS . ABCD =


a3 3
6

B. VS . ABCD =

4a 3 21
9

C. VS . ABCD =

2a 3 21
3

D. VS . ABCD =

(SBA) vuông góc với đay. Tính khoảng cách từ C đến mp(SAB).
A.

a 17
12

B.

a 2
4

C.

a 39
13


D.

a 51
17

Câu 95 . Cho một khối lập phương có thể tích V1 và một khối hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích V2 . Nếu
cạnh của khối lập phương bằng cạnh của khối hộp thì:
A. V1 ≥ V2
B. V1 > V2
C. V1 ≤ V2
D. V1 = V2
Câu 96. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông
góc với mp (ABCD). Nếu khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 1 thì thể tích khối chóp S.ABCD bằng
A.

7 7
18

B.

7 7
16

C.

7 3
9

D.


3 7
6

Câu 97. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ trên mp(ABC) trùng với trung điểm của
cạnh AB. Góc giữa A’C và mặt đáy bằng 60 0 . Tính khoảng cách từ B đến mp(ACC’A’).
A.

3a
13

B.

2a
11

C.

3a
26

D.

4a
33

Câu 98. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45 0 . Nếu thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.


a 2
2

B.

a
2

C.

2a
3

a3
thì khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng
3
a 3
D.
3

Câu 99. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng hai lần cạnh đáy. Gọi (T) là hình trụ có một đáy là đường tròn
ngoại tiếp hình vuông ABCD, mặt đáy còn lại có tâm là đỉnh S. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Giả sử V1
và V2 lần lượt là thể tích của khối trụ (T) và khối cầu (S). Ta có:

V1 146
V1 149
V1 148
=
=
=

C.
D.
V2 257
V2 258
V2 259
Câu 100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc
giữa SC với mặt phẳng (SAB ) bằng 300. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S
trên đường thẳng BM . Khi điểm M di động trên cạnh CD , tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABH ?
a3 3
5a 3 2
a3 2
a3 2
A.
B.
C.
D.
13
36
6
12
Câu 101. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một mặt
A.

V1 147
=
V2 256

B.

phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N .Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất

của

V1
V

?
A.

3
8

B.

1
3

C.

1
4

D.

1
2
Trang 25