LÝ THUYẾT TOÁN THPT 10-11-12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (693.04 KB, 17 trang )

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664

01

LÝ THUYẾT TOÁN 10 – 11 - 12
THI THPT QUỐC GIA 2018

ai

H
oc

A. Hình học:
I. Chương trình lớp 10:
1. Các kiến thức liên quan đến vectơ:
  
 
+ Tích vô hướng của hai vectơ: ab  a b cos(a; b )




uO
nT
hi
D

+ Cho a  (a1 ; a2 ) . Khi đó a  a12  a22
+ Cho A(xA ; yA); B(xB; yB). Khi đó:

AB  ( x B  x A ; y B  y A )

AB  x B  x A    y B  y A 


+ Cho a  (a1 ; a2 ); b  (b1 ; b2 ) . Khi đó:

ab  a1b1  a2 b2
 
a  b  a1b1  a2 b2  0 . Ta thường dùng tính chất này để kiểm tra hai vectơ (hai
2

đường thẳng) vuông góc.

 

a1b1  a 2 b2
a12  a 22 b12  b22



ro

up

 a  b1
 
a b  1
.
a 2  b2



. Với (a; b ) là góc giữa hai vectơ a và b .

s/

 
cos(a; b ) 

Ta

iL

ie

2

+ Cho A(xA ; yA); B(xB; yB). Gọi I(xI; yI) là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

om

/g

x A  xB

 xI 
2

y A  yB

 yI 
2


bo

ok

.c

2. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho tam giác ABC có độ dài các là a, b, c; bán kính đường tròn
ngoại tiếp là R; bán kính đường tròn nội tiếp là r; đường cao, trung tuyến xuất phát từ A lần lượt là
hA; mA; nữa chu vi là p; S là diện tích tam giác ABC. Khi đó ta có:
+ Định lý cosin: a2 = b2 + c2 - 2bc. cosA (tương tự ta có các hệ thức còn lại)
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
b2  c2 a2
2
m


+ Công thức trung tuyến: a
(tương tự ta có các hệ thức còn lại)
2
4

.fa

ce

+ Định lý sin:

w

w

w

Công thức tính diện tích:
1
1
1
S  aha  bhb  chc
2
2
2
1
1
1
 ab sin C  ac sin B  bc sin A
2
2
2
abc
 pr 

4R

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664
S

p( p  a)( p  b)( p  c) (hệ thức Hê-rông)

H
oc

01

3. Phương trình đường thẳng:

+ Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua M(x o; yo) và có vectơ pháp tuyến n  (a; b) là:
a(x - xo) + b(x - xo) = 0

+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(x o; yo) và có vectơ chỉ phương n  (a; b) là:

ai

 x  xo  at
(tR)

 y  y o  bt

d ( M ; ) 

uO
nT
hi
D

+Khoảng cách từ điểm M(x o; yo) đến đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c =
0 là:
axo  by o  c
a2  b2

+ Cho đường thẳng  và ' có các vectơ chỉ phương (vectơ pháp tuyến) lần lượt là


n1  (a1 ; a2 ) và n2  (b1 ; b2 ) . Gọi góc giữa hai đường thẳng . Khi đó ta có:

ie

a1b1  a 2 b2
a12  a 22 b12  b22

iL

cos 

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

4. Phương trình đường tròn:
+ Phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R là:
(x- a)2 + (y-b)2 = R2
+ Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
a 2  b 2  c >0. Khi đó nó có tâm là I(- a; - b) và bán kính R  a 2  b 2  c .

5. Một vài chú ý:
+ Hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến
+ Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
+ Ta viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
+ Một đường thẳng cắt các trục toạ độ tại hai điểm mà khoảng cách từ các điểm đó đến gốc
toạ độ bằng nhau thì đường thẳng đó có phương trình là y = ± x + b
+ Giả sử  là góc tạo bởi tia Ox và tia nằm trên đường thẳng y = ax + b có tung độ không âm.
Khi đó tan = a.
+ Khi giải các bài toán về toạ đô cần chú ý đến tính đối xứng tâm; đối xứng trục của hình
bình hành, hình chữ nhật và hình vuông, các tính chất của đường tròn; vận dụng tích vô
hướng vào giả thiết vuông góc.
II. Hình học 11:
1. Quan hệ song song:
- Chứng minh hai đường thẳng song song:
+

a // c 
  a // b (với a, b phân biệt)
b // c 

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664

ai

H
oc

( ) //(  )


+ ( )  ( )  a   a // b
(  )  ( )  b 
a  ( )


b  ( )

  a // c
a // b
 (b // c)
( )  (  )  c 

01

( )  (  )  a 
( )  ( )  b  a // c
+
(với a, b, c là ba đường thẳng phân biệt)

( )  ( )  c  b // c

a // b

a //( )

a //( )

uO
nT
hi
D



a  ( )
  a // b
( )  (  )  b

s/

Ta

d // a 
( ) //(  )

d  ( )  d //( )
  a //(  )
a  ( ) 

a  ( ) 

iL

- Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

ie

a  ( )

b  (  )   a // b
a  b 



a //(  )
  a // b
( )  (  )  b

ro
/g

( ) //(  ) 
  ( ) //(  )
(  ) //(  )

( )  d 
  ( ) //(  )
( )  d 

om

a, b  ( )

a b


  ( ) //(  )
a //(  ) 
b //(  ) 

up

- Chứng minh hai mặt phẳng song song (với ( ); ( ) là hai mặt phẳng phân biệt) :

ok

.c

2. Quan hệ vuông góc:
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
+ Sử dụng định lý Pitago

bo

d  ( )
d  ( )
d a
d a
a  ( ) 
a //( ) 

ce

- Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
d a

d b

w

w

w

.fa




  d  ( )
a b

a, b  ( )
( )  ( )


(  )  ( )
  d  ( )
( )  (  )  d 

d  ( ) 
  d  ( )
( ) //(  )
a  ( )
  b  ( )
a // b 

- Hai mặt phẳng vuông góc:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664

H
oc

a  ( )
  ( )  (  )
a  ( )

01

( )  (  )

( )  (  )  b
  a  ( )
a  ( )


ab

om

Khoảng

cách giữa
đường
thẳng và
mặt phẳng
song song

Khoảng
cách giữa
điểm và
mặt
phẳng

bo

ok

.c

Khoảng
cách giữa
hai đường
thẳng chéo
nhau

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO
nT
hi
D

ai

3, Khoảng cách:
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến
mặt phẳng () ta làm như sau:
+ Xác định mặt phẳng () qua M và vuông góc với ()
+ Xác định giao tuyến d của () và ().
+ Trong mặt phẳng (), dựng hình chiếu H của M lên d. Khi đó MH chính là khoảng
cách từ M đến ().
- Khảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d':
Khi xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d' cần chú ý đến các tính
chất sau:
+ Khoảng cách giữa d và d' bằng khoảng cách giữa đường thẳng d' và mặt phẳng chứa
d và song song với d'
+ Khoảng cách giữa d và d' bằng khoảng cách giữa mặt phẳng song song nhau và lần
lượt chứa d và d'.
+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách giữa một

điểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng. Do đó khi xác định khoảng cách ta nên chọn
những điểm trên mặt phẳng mà thuận tiện cho việc xác định và tính toán.
Tóm lại, để xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có sơ đồ sau:

w

w

w

.fa

ce

4, Xác định góc trong không gian:
-Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau d và () (với d () = O)
+ Trên d lấy điểm M khác O
+ Xác định hình chiếu H của M lên (). Khi đó góc MOH chính là góc cần xác định.
- Xác định góc giữa mặt phẳng () và (). Với ()  () = d:
+ Tìm mặt phẳng () vuông góc với d.
+ Xác định các giao tuyến a và b của () và (), của () và (). Khi đó góc giữa a và b là
góc cần xác định.
(Chú ý ab và nếu việc chỉ ra đường thẳng a và b dễ dàng thì có thể bỏ qua bước 1)
Một số chú ý liên quan đến quan hệ vuông góc và xác định khoảng cách, xác định góc trong
không gian:

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO
nT
hi
D

ai

H
oc

01

+ Khi giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc cần chú ý đến các đường
thẳng "tựa" (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nào đó) BỔ SUNG HÌNH
+ Trục của đa giác là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông
góc với mặt phẳng chứa đa giác. Ta có các tính chất liên quan:
 Nếu một điểm cách đều các đỉnh của đa giác đáy hình chóp thì điểm đó nằm trên trục
của đa giác đáy
 Hai điểm S và S' đều cách đều các đỉnh đa giác đáy của một hình chóp thì SS' vuông
góc với mặt phẳng đáy đó.
5. Một số kiến thức khác:
- Định lý diện tích hình chiếu: Cho hình H có diện tích S. Giả sử H' là hình chiếu vuông góc của H
lên () và H' có diện tích S'. Gọi  là góc giữa mặt phẳng chứa H và (). Khi đó ta có:
S' = Scos
- Cách chứng minh ba điếm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy:

+ Để chứng mình ba điểm thẳng hàng hoặc ba đường thẳng đồng quy trong không gian ta
thường sử dụng định lý sau:
Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo giao tuyến phân biệt a, b, c. Khi đó a, b, c hoặc
là đồng quy hoặc là song song.
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là
trung điểm của MN, A' là giao điểm của AG và mặt phẳng (BCD). Qua M, kẻ đường thẳng Mx
song song với AA' và Mx cắt (BCD) tại M'. Chứng minh B, M', A' thẳng hàng.
+ Ngoài ra để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta cũng có thể sử dụng tính chất sau: Ba điểm
phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB  k AC
- Cách chứng minh bốn điểm đồng phẳng và các bài toán liên quan đến vectơ trong không gian:
+ Để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta thường sử dụng định lý sau: bốn điểm phân biệt
M, N, P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số p, q sao cho MN  p MP  q MQ .
Ta thấy để giải các bài toán trên ta cần phải biểu diễn một vectơ theo các vectơ còn lại. Để
thực hiện bước này ta làm như sau:
+ Trước hết ta chú ý đến tính chất sau: Cho ba điểm A, B, C. Khi đó ta có AC  AB  BC
+ Đối với hình học phẳng (trong bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng) thì ta chọn hai
vectơ không cùng phương sao cho việc biểu diễn các vectơ cần hiển thị theo hai vectơ này dễ dàng.
Tương tự trong hình học không gian thì ta chọn ba vectơ không đồng phẳng sau đó hiển thị các
vectơ liên quan theo ba vectơ này.

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664

(h: Chiều cao)

H

oc

1
3

+ Thể tích khối chóp: V= Sđáy.h

01

III. Hình học 12:
1. Các khối, mặt và thể tích, diện tích của chúng:
a. Thể tích, diện tích:

4
R3
3

uO
nT
hi
D

Thể tích khối cầu: V =

ai

+ Thể tích khối lăng trụ: V = S đáy.h (h: Chiều cao)
+ Mặt cầu: Diện tích hình cầu: S = 4R2
+ Hình trụ, khối trụ: Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq = 2Rl
Thể tích khối trụ: V = R2l

(R: bán kính đáy, l chiều cao)
+ Hình nón, khối nón: Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = Rl
1
3

ie

Thể tích khối nón: V= R2h

/g

ro

up

s/

Ta

iL

(R: bán kính đường tròn đáy, l: độ dài đường sinh, h: chiều cao)
Một số chú ý khi tính thể tích:
+ Nắm được cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song.
+ Các hệ thức lượng trong tam giác, tam giác đồng dạng, có thể sứ dụng công thức diện
tích hình chiếu (S'=Scos).
+ Ngoài ra ta có thể sử dụng tính chất sau khi tính thể tích: Cho tứ diện SABC. Trên các
cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P. Khi đó ta có:

om

VSMNP SM SN SP

VSABC
SA SB SC

.c

+ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Khi đó: V S.ABD = VS.BCD =

1
VS.ABCD.
2

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

b. Xác định tâm các mặt cầu:

- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta làm
như sau:
+ Xác định trục của đa giác đáy
+ Tìm đường trung trực của một cạnh bên mà đường này cắt trục của đa giác đáy. Khi
đó tâm của mặt cầu chính là giao điểm của đường trung trực với trục của đa giác đáy.
Chú ý:
* Thông thường, để giảm bớt độ phức tạp, người ta thường cho bài toán mà trục
của đa giác đáy và cạnh bên của hình chóp đồng phẳng. Khi đó, tâm của hình chóp chính
giao điểm của đường trung trực của cạnh bên (trung trực nằm trong mặt phẳng chứa cạnh
bên và trục đa giác đáy) và trục của đa giác đáy.
* Khi vẽ tâm cần chú ý tâm nằm bên trong hay bên ngoài khối chóp.
- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón: Chính là giao điểm của đường thẳng đi qua đỉnh của hình nón
và tâm của đường tròn đáy (trục của đường tròn đáy) và đường trung trực của một đường sinh bất
kỳ (đường trung trực này nằm trong mặt phẳng chứa đường sinh và trục của đường tròn đáy).

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664

01

- Tâm mặt cầu nội tiếp hình nón là giao điểm của trục hình tròn đáy và đường phân giác của góc
tạo bởi một đường sinh và đường kính hình của đường tròn cắt đường sinh đó. hvẽ.
2. Phương pháp toạ độ trong không gian:
- Cho A(xA ; yA; zA); B(xB; yB; zB). Khi đó:
AB  x B  x A    y B  y A   ( z B  z A ) 2



 

- Cho a  ( x1 ; y1 ; z1 ); b  ( x2 ; y2 ; z 2 ) . Khi đó: a  b  ab  0  x1 x2  y1 y2  z1 z2  0


- Tích có hướng của hai vectơ: a  ( x1 ; y1 ; z1 ); b  ( x2 ; y2 ; z 2 )
   y z1 z1 x1 x1 y1 
  ( y1 z 2  y 2 z1 ; z1 x2  z 2 x1 ; x1 y 2  x2 y1 )
a , b   1
;
;

y
z
z
x
x
y
2
2
2
2
2 
 2

ai

2

uO
nT
hi
D

2

H
oc

AB  ( x B  x A ; y B  y A ; z B  z A )

 

+ Tính chất: 



     
 Vectơ a, b  vuông góc với cả hai vectơ a và b . Tức là: a, b . a = a, b . b =0
a, b  a b sin(a, b)


 Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi a, b  = 0
  
  
 Ba vectơ a, b , c đồng phẳng khi và chỉ khi a, b c  0
- Phương trình mặt cầu:
+ Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c) và bán kính R là:
(x-a)2 + (y-b)2 + (z - c)2 = R2

+ Phương trình x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu khi và
chỉ khi a 2  b 2  c 2  d  0 . Khi đó đường tròn có tâm là I(-a, -b, -c), bán kính

ro

up

s/

Ta

iL

ie

 

/g

R  a2  b2  c2  d

bo

ok

.c

om

- Phương trình mặt phẳng:

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x o; yo; zo) và có vectơ pháp tuyến

n  ( A; B; C ) là:
A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0.
+ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm
M(a; 0; 0); N(0; b; 0); P(0; 0; c) (với abc  0) là:
x y z
  1
a b c

.fa

ce

- Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và A'x + B'y
+ C'z + D' = 0. Khi đó có thể xả ra một trong ba trường hợp sau:
A B
 
A' B'
A
+ Hai mặt phẳng song song nhau khi và chỉ khi: 
A'

w

w

w

+ Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi:

C D

C ' D'
B C D


B' C ' D'

+ Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: A:B:C  A':B':C'

- Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x o; yo; zo) và có vectơ chỉ phương n  (a; b; c) :
+ Phương trình chính tắc (nếu abc  0):

x  xo y  y o z  z o


a
b
c

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664
+ Phương trình tham số:

01

 x  xo  at

 y  y o  bt (tR)
 z  z  ct
o


ai



uO
nT
hi
D



 

u , u 'MM '  0
+ d // d'    
u  ku '

 

u , u 'MM '  0
+ d và d' cắt nhau    


u  ku ' (k  R)
 
+ d và d' chéo nhau  u , u 'MM '  0

H
oc

- Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian cho đường thẳng d có vectơ chỉ


phương là u và đi qua M; đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là u ' và đi qua M'. Khi đó:

 

+ d và d' trùng nhau  u , u '  u , MM '  0

iL

ie

Chú ý để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta có thể xét hệ phương trình
- Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là


u và đi qua M; và mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến n  ( A; B; C ) . Khi đó:

ro

up

s/

Ta


un  0
+ d  ()  
M  ( )

un  0
+ d // ()  
M  ( )

+ d cắt ()  un  0

Chú ý để xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ta có thể xét hệ phương

a1b1  a 2 b2  a3b3

ok

Cos =

.c

om

/g

trình

- Góc trong không gian:

+ Cho đường thẳng d và đường thẳng d' lần lượt có vectơ chỉ phương là u = (a1; a2; a3)

và u ' = (b1; b2; b3) Gọi  là góc giữa d và d'. Khi đó ta có:
a12  a 22  a32 b12  b22  b32

.fa

ce

bo

+ Tương tự đối với góc giữa hai mặt phẳng.

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u =

(a1; a2; a3) và mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến n  ( A; B; C ) . Gọi  là góc giữa d và (). Khi

w

đó ta có:

sin  

a1 A  a 2 B  a3C
a12  a 22  a32 A 2  B 2  C 2

w

w

- Khoảng cách trong không gian:
+ Khoảng cách từ điểm M(x o; yo; zo) đến mặt phẳng () có phương trình Ax + By + Cz
+ D = 0 là: d ( M ; ( )) 

Ax o  By o  Cz o  D
A2  B 2  C 2



+ Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng  có vectơ chỉ phương là u và đi qua M:

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664
d ( M ; ) 

M M , u
o


u



ai

H
oc

u, u'M o M
u, u'

- Một số công thức tính thể tích, diện tích:
+ Diện tích ABC là S  AB, AC







uO
nT
hi
D

d (; ' ) 

01

+ Cho đường thẳng  có vectơ chỉ phương là u và đi qua M; đường thẳng ' có vectơ

chỉ phương là u ' và đi qua M' (với d và d' chéo nhau). Khi đo khoảng cách giữa  và ' là:



+ Thể tích của hình hộp ABCD.A'B'C'D' là: V  AB, AC . AD '





AB , AC . AD '
V

Độ dài đường cao hình hộp h 
S ABC
AB , AC

V
S ABC

Ta

Độ dài đường cao tứ diện h 

ie


AB, AC .AD

6. AB , AC 

1
AB, AC . AD '

6

iL





s/

+ Thể tích tứ diện ABCD là: V 



/g



ok

.c

om



ro

up

- Một số bài toán liên quan:
+ Đưa phương trình đường thẳng từ dạng tham số sang dạng chính tắc và ngược lại.
+ Để chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
 Kiểm tra AB, AC . AD  0
 Viết phương trình mặt phẳng (ABC) sau đó thế toạ độ điểm D vào phương trình
mặt phẳng
+ Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
+ Giải bài toán hình học không gian (lớp 11) bằng cách đưa hệ trục toạ độ vào.
- Một vài chú ý về phương pháp toạ độ trong không gian:
d  ( )
  d  a (với mọi đường thẳng a)
a  ( ) 



+ Cho mặt phẳng () có phương là a và b . Khi đó vectơ pháp tuyến của () là a, b .

bo

+ Chú ý tính chất:

.fa

ce

 

w

w

w

B. Đại số và giải tích:
I. Đại số 10: Chương trình đại số 10 cần nắm các kiến thức sau:
- Cách lấy phần giao, hợp trong việc giải các hệ bất phương trình một ẩn.
- Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai. Sử dụng hai định lý này để xét biểu thức
(biểu thức ở dạng tích hoặc thương), giải bất phương trình bậc hai. (Chú ý: Khi   0 thì tam thức
bậc hai luôn luôn không âm hoặc luôn luôn không dương, còn  > 0 thì nó vừa nhận giá trị âm, vừa
có thể nhận giá trị âm)
II. Đại số - giải tích 11:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664
1. Công thức lượng giác:

b. Công thức cộng - trừ:
1/ sin a b
sin a.cos b
cos a.cos b

sin b.cos a

2/ sin a

b

sin a.sin b

4/ cos a

b

tga tgb
1 tga.tgb

b

6/ tg a

c. Công thức góc nhân đôi:
1/ sin2a = 2sina.cosa
3/ tg2a

2tga
1 tg2a

4/ cot g2a

d. Công thức hạ bậc hai:
1  cos 2a
2

2/ cos 2 a 

01
sin b.cos a

cos a.cos b

sin a.sin b

sin2 a

2 cos2 a

1

2 sin2 a

1

1  cos 2a
2

tgx
:
2

up

1/ sin 2 a 

cos2 a
cot g2a 1
2 cot ga

sin a.cos b

tga tgb
1 tga.tgb

b

2/ cos 2a

1

ie

5/ tg a

b

6/ tg .cot g

iL

3/ cos a

1
sin2

cot g2

H
oc

5/ 1

cos
sin

3/ cot g

ai

1
cos2

tg2

sin
cos

2/ tg

uO
nT
hi
D

1

Ta

4/ 1

cos2

s/

1/ sin2

ro

e. Công thức biểu diễn sin x, cos x, tgx qua t

om

1

t2
2t

.c

cot gx

t2
t2

1
1

2/ cos x

/g

2t
1/ sin x
1 t2
2t
3/ tgx
1 t2

ok

f. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
2

1
2

bo

1/ cos a. cos b  [cos(a  b)  cos(a  b)] 2/ sin a. sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)]
1
2

ce

3/ sin a. cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)]

.fa

g. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos b

3/ sin a

sin b

w

w

w

1/ cos a

2 cos

a

b
2

. cos

a

b

2
a b

a b
2 sin
. cos
2
2

2/ cos a

cos b

4/ sin a

sin b

2 sin
2 cos

2. Phương trình lượng giác:

a. Phương trình lượng giác cơ bản:
a1. Phương trình sin:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

a

b
2
b

a

2

. sin

. sin

a

b
2
b

a
2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664
 a  1: PTVN

+ sin x  a : 
 x  arcsin a  k 2
 a  1, PTCN :  x    arcsin a  k 2



 x    k 2
 x      k 2

01

+ sin x  sin   

;
; +

 x    k 2
cos x  cos   
 x    k 2

tan x  tan   x    k
cot x  cot   x    k

+

ai

+

uO
nT
hi
D

 a  1: PTVN

+ cos x  a : 
 x  arc cosa  k 2
 a  1, PTCN :  x   arc cosa  k 2



a3 Phương trình: + tan x  a  x  arctan a  k
a4 Phương trình: + cot x  a  x  arccot a  k

H
oc

a2. Phương trình:

b. Phương trình lượng giác thường gặp:
b1. Phương trình đưa được về bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Khi gặp những
phương trình đưa được về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ta
thường sử dụng các công thức sau:

ie

1.sin 2 x  cos 2 x  1

s/

Ta

iL

3.cos2 x  1  2sin 2 x  2cos2 x 1( cos 2 x  sin 2 x)
1
1
k
2.t anx 

; cot x 
(x 
)
cot x
t anx
2
b2. Cách giải phương trình a.sin 2 x  b.cos x sin x  c.cos2 x  d :

1
 1  tan 2 x
2
cos x

ta đưa được về phương trình bậc hai theo tanx.

/g

công thức

ro

up

+ Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 có thỏa mãn phương trình không. Nếu thỏa thì
phương trình có một nghiệm là x  k , k  Z .
+ Bước 2: Xét cos x  0 . Chia hai vế của phương trình cho cos2x và sử dụng

a.sin x  b.cos x  c 

.sin x 

b

.cos x 

a b
a b
sin  cos  cos sin   sin(   )
2

.c

2

ok

công thức

a

om

b3 .Phương trình a.sin x  b.cos x  c (a2  b2  0) :
2

cos cos  sin  sin   cos(

2

)

c
a b
2

2

(chia 2 vế cho a 2  b2 ) Sử dụng các

để đưa phương trình về PTLGCB

.fa

ce

bo

b4. Cách giải phương trình chứa biểu thức: (sin x  cos x); sin x cos x .
Đặt t  sin x  cos x , ta có: | t | 2 .  t 2  1  2sin x cos x  sin x cos x  . Thay vào phương trình rồi
giải ra t.

w

w

w

c. Chú ý:
- Trong việc giải phương trình lượng giác, thông thường đề bài cho dạng tổng thì
ta biến đổi thành dạng tích và ngược lại. Ngoài ra ta thường sử dụng công thức hạ bậc

hoặc nhân đôi để giải phương trình.
- Một số phương trình lượng giác đặc biệt:

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664
 k 2

sin X  1  X  
sin X  0  X  k


2

cos X  1  X  k 2
cos X  1  X    k 2

 k 2



cos X  0  X 

2

3. Tổ hợp – chỉnh hợp:
Ank 

n!
(n  k )!

C nk 

- Tính chất: Cnk  Cnnk

 k

n!
k!(n  k )!

Cnk  Cnk1  Cnk11

- Công thức nhị thức newton:

uO
nT
hi
D

Pn  n! 1.2.3...n

01

2

H
oc



ai

sin X  1  X 

( x  y) n  Cn0 x n  Cn1 x n1 y  Cn2 x n2 y 2  ...  Cnk x nk y k  ...  Cnn1 x y n1  Cnn y n

Số hạng thứ k + 1 có dạng: Tk + 1 =

Cnk x nk y k

(1) k Cnk x nk y k

iL

+ 1 có dạng: Tk + 1 =

ie

( x  y) n  Cn0 x n  Cn1 x n1 y  Cn2 x n2 y 2  ...  (1) k Cnk x nk y k  ...  (1) n1 Cnn1 xy n1  (1) n Cnn y n Số hạng thứ k

n(u1  u n )
n(n  1)
 nu1 
un
2
2

ro

Sn =

up

s/

Ta

4. Kiến thức về cấp số cộng, cấp số nhân:
a. Cấp số cộng:
Số hạng tổng quát: un + 1 = un + d = u1 + (n - 1)d (d: công sai)
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

/g

b. Cấp số nhân:

om

Số hạng tổng quát: un + 1 = q.un = qn - 1u1 (q: công bội)
Sn = u1

.c

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

5. Tính liên tục của hàm số:
+ Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu:

qn 1
q 1

ok

lim f ( x)  f ( x0 )

x  xo

bo

+ Định lý kiểm tra sự liên tục của hàm số tại một điểm:
f ( x)  lim
Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu: xlim
x
x x

ce


o


o

f ( x)  f ( x 0 )

w

w

w

.fa

+ Chú ý: Định lý này thường dùng để kiểm tra sự liên tục của hàm số cho bởi nhiều
công thức. (Ví dụ ta dễ dàng kiểm tra hàm số trên không liên tục tại x = 1)
6. Định lý chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình: cho hàm số y = f(x) liên tục trên
[a; b] và f(a)f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;
b).
Đạo hàm của hàm số: f ' ( xo )  xlim
x

o

f ( x)  f ( xo )
x  xo

7. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm:

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mua tài liệu word dạy thêm toán 10 – 11 – 12 LH Thầy Thái 0982708664

f ' ( xo ) 

OI

(với I (xo; yo)) là:

uO
nT
hi
D

III. Giải tích 12:
1. Công thức đổi hệ trục toạ độ: Phép tịnh tiến hệ trục toạ độ theo

1
k

ai

+ Vuông góc với đường thẳng y = kx + b khi và chỉ khi:

H
oc

01

- Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), M(xo; yo) là một điểm thuôc (C). Khi đó phương trình
tiếp tuyến của (C) tại M là:
y = f'(xo)(x - xo) + yo.
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x):
+ có hệ số k khi và chỉ khi: f’(xo) = k
+ song song với đường thẳng y = kx + b khi và chỉ khi: f’(x o) = k

 x  X  xo

 y  Y  yo

Chú ý công thức đổi hệ trục toạ độ dùng để chứng minh tính đối xứng của đồ thị hàm

iL

ie

số.
2. Tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số y = f(x). Khi đó:
- Đường thẳng y = yo là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu
lim f ( x)  y o

x 

Ta

x 

lim f ( x)  y o hoặc

x  xo

up

s/

- Đường thẳng x = xo là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu thoả mãn một trong
các hệ thức sau:
lim f ( x)   ; lim f ( x)   ; lim f ( x)   ; lim f ( x)  
x  xo

x  xo

x  xo

x

x 

om

x  

/g

ro

- Cách tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x):
f ( x)
f ( x)
a = lim
; b = lim[ f ( x) ax] (Hoặc a = lim
;b=
x

lim[ f ( x) ax]

x  

x 

). Khi đó đường

thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên.

.c

Khi đó hàm số có thể viết lại

y  kx  h 

p
và
dx  e

đồ thị

ok

- Cho hàm số

ax 2  bx  c
y
.
dx  e

bo

của nó có tiệm cận xiên là y = kx + h.
3. Vấn đề tiếp xúc: Đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương
trình
và nghiệm của hệ chính là hoành độ của tiếp điểm.

.fa

ce

 f ( x)  g ( x)
có nghiệm

 f ' ( x)  g ' ( x)

w

w

w

4. Luỹ thừa và hàm luỹ thừa:
- Hàm số y = ax (a >0) đồng biến khi và chỉ khi a >1 và nghịch biến khi và chỉ khi
0 < a < 1.
- Một số tính chất liên quan:
+ ax = ay  x = y (a  1)
+ Nếu a > 1 thì ax > ay  x > y.
+ Nếu 0 - Tính chất khác: Cho 0 < a < b. Khi đó: