ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH

MỘT SỐ ĐA TẠP
TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH

MỘT SỐ ĐA TẠP
TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

62 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2017


3

Mục lục

Bảng ký hiệu

ii

Mở đầu

1

1

Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân

3

1.1

Khái niệm đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3

1.1.2

Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4

Hàm, ánh xạ trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.5

Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10


1.2.1

Không gian tiếp xúc Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạp . . . . . . . . .

12

1.2.3

Đạo hàm của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.4

Một số ánh xạ khả vi đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Phân thớ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.1


Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.2

Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.3

Móc Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.4

Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.5

Trường véc tơ bất biến trên nhóm Lie. . . . . . . . . . . . . .

24

1.2


1.3


4
1.4

1.5

1.6

2

Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.2

Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.4.3


Nhóm đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4.4

Không gian thuần nhất Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4.5

Phân thớ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.5.1

Liên thông trong Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.5.2

Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


30

1.5.3

Trường chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.5.4

Dạng cơ bản thứ hai và liên thông Levi- Civita trên đa tạp con

33

Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.6.1

Trường véc tơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.6.2

Cung trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35


1.6.3

Ánh xạ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Một số đa tạp trong đại số tuyến tính

39

2.1

Đa tạp Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1.1

Cấu trúc tô pô của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.1.2

Cấu trúc vi phân của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.1.3


Cấu trúc Riemann của đa tạp Grassmann. . . . . . . . . . . .

44

2.1.4

Đường trắc địa, ánh xạ mũ và ánh xạ logarith . . . . . . . . .

45

Đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương . . . . . . . . . . . .

48

2.2.1

Định nghĩa và đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.2.2

Không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.2.3

Mêtríc Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


50

2.2.4

Không gian pháp và phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.2.5

Liên thông Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2


i
2.2.6

Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Kết luận và Đề nghị

56

Tài liệu tham khảo


57


ii

Bảng ký hiệu
dimM

Số chiều của đa tạp M

C ∞ (M )

tập tất cả các hàm trơn trên M

C ∞ (E)

tập các lát cắt trơn của (E, M, π)

C ∞ (T M ) tập các trường vectơ trơn X : M → T M
Sm

mặt cầu đơn vị trong Rm

Tp Rm

tập các toán tử vi phân tuyến tính tại p

Tp M


không gian tiếp xúc của M tại p

G

đại số Lie của G

⊗

tích tenxơ của các không gian vectơ

Ap

hạn chế đa tuyến tính của A trên tích tenxơ Tp M ⊗ ... ⊗
Tp M

G(k, n)

tập tất cả các không gian k chiều của R

O(k, n)

tập các ma trận có các cột trực chuẩn trong Rn

ST (k, n) tập các ma trận hạng đủ n hàng, k cột
colsp(Y ) không gian con của Rn sinh bởi các cột của Y
Ink

tập tất cả các đa chỉ số J với J = (j1 , ..., jk ) ∈ Nk với
1 ≤ j1 < ... < jk ≤ n


AJ

ma trận con cỡ k × k chứa các hàng j1 , ..., jk của A với
A ∈ Rk×n

AC
J

ma trận bù của AJ trong A


iii
||x||

chuẩn Euclid

E J := [ej1 ...ejk ] các ma trận chứa các vectơ đơn vị tương ứng trong Rn

với J ∈ Ink
J

phần bù của chỉ số J trong Ink

S+ (k, n)

tập các ma trận thực cỡ n × n đối xứng nửa xác định
dương có hạng cố định k , k ≤ n

Rn×n
sym


tập các ma trận đối xứng cỡ n × n

trace(A)

vết của ma trận A

rank(A)

hạng của ma trận


1

Mở đầu
Đa tạp là một trong những đối tượng cơ bản của hình học và giải tích. Nó là một
cấu trúc phong phú không chỉ về tính chất mà ta còn có thể xây dựng rất nhiều khái
niệm khác trên đó. Thông thường, chúng ta được làm quen với đa tạp trong Rn hay
các đa tạp trừu tượng trong không gian tôpô ở bậc đại học. Trên thực tế, nhiều vấn đề
tính toán, tối ưu có ràng buộc được quy về bài toán trên các tập các đối tượng trong
đại số tuyến tính có tính chất đặc biệt, chẳng hạn như tập các không gian con k chiều
của Rn , hay tập các ma trận đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định. Ta không
thể tính toán trên các tập đó, chẳng hạn nội suy, chiếu từ không gian lớn hơn lên đó
nếu không có hiểu biết đầy đủ về chúng. Hóa ra, các tập đó có những cấu trúc phong
phú và lập lên những đa tạp khả vi. Luận văn này sẽ trình bày một số đa tạp mà các
phần tử của nó lại là các đối tượng trong đại số tuyến tính. Chúng tôi sẽ trình bày cấu
trúc hình học của chúng, cũng như khía cạnh tính toán các đối tượng liên quan đến
đa tạp. Những kiến thức này vô cùng quan trọng và là nền tảng không thể thiếu được
cho việc tính toán trong đại số tuyến tính số cũng như ứng dụng trong những thuật
toán tối ưu trên đa tạp. Nội dung của luận văn được dự kiến như sau. Chương I trình

bày, có phần chi tiết, lý thuyết hình học vi phân, lý thuyết đa tạp đã được nghiên cứu
ở bậc đại học. Tài liệu về vấn đề này bằng tiếng Việt, thậm chí cả tiếng Anh tương
đối phong phú. Tuy nhiên, chúng tôi đã không thể tìm được một cuốn sách có đầy đủ
những nguyên liệu cần cho chương sau, chẳng hạn ánh xạ mũ, liên thông Riemann,
đường trắc địa và phương trình xác định nó,... Do vậy, chúng tôi đã dựa vào tập bài
giảng [7]và chọn cách trình bày lại chi tiết các khái niệm một cách hệ thống. Nội dung


2
chính của luận văn nằm ở chương II. Cụ thể, chúng tôi trình bày các cấu trúc hình học
phong phú của đa tạp Grassmann - tập các không gian con có số chiều cố định của Rn
và của đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương. Còn rất nhiều chủ đề hay đã
không được trình bày tại đây do giới hạn về thời gian cũng như khuôn khổ một luận
văn thạc sĩ. Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng luận
văn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Kính mong sự góp ý của các
thầy cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thanh Sơn. Tác giả xin được bày
tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người
đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm
để tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác
và nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các
Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y; Nhà trường và các
phòng chức năng của Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, ủng
hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập.
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên...

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Tuyết Thanh


3

Chương 1

Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi
phân
Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết những khái niệm, tính
chất quan trọng của hình học vi phân. Trong khi phần lớn kiến thức có thể tìm thấy
trong các tài liệu tiếng Việt [2–4] và nhiều tài liệu tiếng Anh kinh điển khác, một số
công cụ cho chương II lại không được trình bày trong các tài liệu nêu trên. Vì thế, khi
viết chương này, chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu [7]. Người đọc cũng có thể tham
khảo tài liệu [1].

1.1
1.1.1

Khái niệm đa tạp
Đa tạp tô pô

Định nghĩa 1.1.1. Cho (M, τ ) là không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được.
Khi đó M được gọi là một đa tạp tô pô nếu có một số nguyên không âm m sao cho
với mỗi điểm p ∈ M , tồn tại một lân cận U của p và một tập con mở V ⊂ Rm và một
phép đồng phôi x : U → V .
Cặp (U, x) được gọi là một bản đồ hay một tọa độ địa phương trong M .

Số nguyên m được gọi là chiều của M . Ta viết M m để thể hiện đa tạp M có m
chiều.
Như vậy, một không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được là một đa tạp
tô pô m chiều nếu về mặt địa phương, nó đồng phôi với Rm .


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full