PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dạng toán “ giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở bậc Trung học cơ sở là
một dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Do đặc trưng của loại toán này
thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và thường được kết hợp giữa toán học,
vật lý, hóa học và một số bài toán liên quan đến thực tế.
Hầu hết các bài toán có dữ liệu ràng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suy luận
tốt mới tìm được mối liên quan giữa các đại lượng để lập được phương trình.
Trong phân phối chương trình toán ở trường Trung học cơ sở thì ở lớp 8 học sinh
mới được học khái niệm về phương trình nhưng việc giải phương trình đã có trong
chương trình toán từ các lớp dưới với mức độ và yêu cầu đơn giản hơn.
Đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội
dung thực tế. Vì vậy mà việc chọn ẩn thường là những đại lượng có liên quan đến
thực tế. Do đó khi giải bài toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly khỏi thực tế
dẫn đến quên điều kiện của ẩn số. Học sinh không khai thác hết mối quan hệ ràng
buộc trong thực tế. Từ những lý do dẫn đến rất nhiều học sinh rất ngại giải loại toán
này. Mặt khác trong quá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan giáo
viện chỉ dạy cho học sinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà chưa biết phân loại
dạng toán, chưa khai thác được phương pháp giải cho mỗi dạng toán, do kỹ năng
phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu. Vì thế trong quá trình đặt ẩn, mối liên hệ
giữa các số liệu trong bài toán dẫn đến lúng túng trong việc giải dạng toán này.
Để giải được bài toán bằng cách lập phương trình điều quan trọng là phải biểu diễn,
diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán học. Do vậy
nhiệm vụ của những người thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập. Vì
vậy khi hướng dẫn cho hoc sinh học về “giải dạng toán bằng cách lập phương
trình” phải dựa trên các nguyên tắc sau:
- Yêu cầu về giải bài toán.
- Quy tắc giải bài toán về cách lập phương trình.
1

- Phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng (tăng
giảm, thêm bớt …)
- Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình.
Với mong muốn có một chuyên đề chuyên sau cho dạng toán giải bài bài toán bằng
cách lập phương trình vì thế em đã chọn đề tài “ Giải bài toán bằng cách lập
phương trình ở Trung học cở sở”
2. Mục tiêu nghiên cứu
Thông qua đề tài này em muốn giới thiệu đến bạn đọc một số vấn đề cơ bản liên
quan đến giải toán bằng cách lập phương trình. Đề tài đi sâu vào nghiên cứu một số
bài toán cụ thể về các dạng toán giải bằng cách lập phương trình.
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh bậc trung học cơ sở
- Khách thể nghiên cứu: Trình bày một số kiến thức phù hợp với từng nội dung
của đề tài, từ đó hình thành cách giải, hệ thống các ví dụ nhằm bổ sung sáng tỏ
phần lý thuyết và bài tập giúp người đọc hiểu sâu hơn
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong chương trình trung học cơ sở, bài tập về giải bài toán bằng cách lập
phương trình nâng cao, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách có liên quan đến đề tài
- Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề một cách chi tiết.
- Sử dụng phương pháp tổng hợp các kiến thức, trình bày vấn đề theo trình tự
logic để người đọc dễ theo dõi.
6. Nhiệm vụ của đề tài
- Hệ thống những kiến thức cơ bản về “ giải bài toán bằng cách lập phương
trình”
- Hệ thống các bài tập cụ thể, từ đơn giản đến phức tạp
- Tìm ra phương pháp giải hiệu quả nhất với từng dạng toán,
2



PHẦN NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương 1 Ý NGHĨA LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ BÀI
1.1. Cơ sở lý luận
Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí
truệ phát triển, giàu tính sáng tạo và nhân văn cao.
Với vai trò mạnh mẽ của toán học nên yêu cầu đặt ra phải làm cho học sinh nắm
được các kiến thức toán học một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống, có
năng lực vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán thực tế. Muốn vậy
học sinh phải có phương pháp học tập thích hợp. Trong việc đổi mới phương pháp
dạy học thì học sinh đóng vai trò chủ động trong việc tìm hiểu tri thức qua sự dẫn
dắt, hướng dẫn của giáo viên.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, em thấy
cần phải tạo ra cho các em học sinh có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt
ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có
nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập.
“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” là phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ
thông thường sang ngôn ngữ đại số rồi dùng các phép biến đổi đại số để tìm ra đại
lượng chưa biết thỏa mãn điều kiện bài cho.

3


Chương 2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI
TOÁN
2.1. Phương pháp nghiên cứu
- Dựa vào phân phối chương trình chung của Bộ giáo dục – Đào tạo ban hành
về chương trình toán Trung học cơ sở với nội dung: Phương trình và hệ phương
trình.

- Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên tắc
chung: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
* Nội dung quy tắc gồm các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình:
- Chọn ẩn ( chỉ rõ đơn vị và điều kiện của ẩn)
- Biểu thị các số liệu chưa biết và đã biết qua ẩn.
- Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phương trình.
Bước 2: Giải phương trình:
(Chọn cách giải cho phù hợp)
Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời:
- So sánh kết quả tìm được với điều kiện của ẩn xem có phù hợp không rồi trả
lời kết quả
2.2. Yêu cầu về giải một bài toán
- Yêu cầu 1: Lời giải không phạm phải sai lầm, không sai sót dù là nhỏ nhất.
Muốn vậy giáo viên phải cho học sinh hiểu kĩ đề bài, trong quá trình giải không có
sai sót về kiến thức cơ bản, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, cách kí kiệu
ẩn phải chính xác, phải phù hợp với bài toán và phù hợp với thực tế.
- Yêu cầu 2: Lời giải bài toán phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực
hiện từng bước phải có logic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt
phải có chú ý tới việc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn phải khéo
léo, mối quan hệ và các dữ liệu đã cho phải làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối
tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình, từ đó tìm
4


được các giá trị của ẩn. muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ đâu là
ẩn, đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện. Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay
không. Từ đó xác định được hướng đi, xây dựng được lời giải.
- Yêu cầu 3: Lời giải phải giải thích đầu đủ mang tính toàn diện. Hướng dẫn học
sinh không được bỏ sót khả năng, chi tiết nào, không thừa, không thiếu. Rèn cho

học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa. Kết quả của bài toán đã là
đại diện phù hợp với mọi cách chưa. Nếu thay đổi điều kiện của bài toán rơi vào
trường hợp đó thì kết quả vẫn luôn đúng.
- Yêu cầu 4: Lời giải bài toán phải đơn giản, phù hợp với kiến thức của học sinh,
đại đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng được.
- Yêu cầu 5: Lời giải phải được trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bước
giải trong bài toán phải logic, chặt chẽ với nhau, các bước sau được suy ra từ các
bước trước, nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trước.
- Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ rang, đầy đủ. Các bước lập luận không được chồng
chéo, phụ định lẫn nhau. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải
xong cần phải thử lại kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nghiệm,
đặc biệt là phương trình bậc 2.

5


Chương 3 CÁC DẠNG BÀI TOÁN “GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
PHƯƠNG TRÌNH” VÀ CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI MỘT BÀI TOÁN
3.1. Các dạng bài toán “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình”
Trong chương trình lớp 8, 9 giải bài toán bằng cách lập phương tình có thể phân
loại như sau:
- Loại toán về quan hệ các số, tìm số.
- Loại toán về chuyển động.
- Loại toán liên quan đến công việc là chung, làm riêng.
- Loại toán liên quan tới các kiến thức hình học.
- Loại toán dân số, lãi suất, tăng thưởng.
- Loại toán sử dụng kiến thức vật lý, hóa học.
3.2. Các giai đoạn giải một bài toán
- Với bài toán bậc nhất 1 ẩn: Là dạng bài toán sau đây khi xây dựng phương
trình, biến đổi tương đương về dạng ax + b = 0 (a


0)

- Với bài toán bằng cách lập phương trình bậc 2 là bài toán sau khi xây dựng
phương trình biến đổi tương đương về dạng ax2 + bx + c = 0 (a

0)

Để đảm bào 6 yêu cầu về bài toán và 3 bước trong quy tắc giải bài toán bằng
cách lập phương trình thì bài toán có thể chia thành các giai đoạn như sau:
+ Giai đọan 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận của bài toán
giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ liệu gì? Cần tìm gì?
+ Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phương trình. Tức là
chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn.
+ Giai đoạn 3: Lập phương trình dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng
đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương
đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải
được.
+ Giai đoạn 4: Giải phương trình phải vận dụng các kỹ thuật giải phương
trình đã biết để tìm nghiệm của phương trình.
6


+ Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình, để xác định lời giải của
bài toán, tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán,
với hiện thực xem có phù hợp không.
+ Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm (sau khi đã thử
lại)
+ Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải, phần này thường mở rộng cho
học sinh khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi bài toán

thành bài toán khác, ta có thể:
- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác.
- Giữ nguyên giữ kiện, thay đổi các yếu tố khác nhằm phát triển tư
duy học sinh.
- Giải bài toán bằng cách khác. Tìm cách giải hay nhất.

7


Chương 4 CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TRONG “ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG
CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH”
4.1. Dạng 1: Toán về quan hệ các số, tìm số
4.1.1. Các kiến thức cần nhớ
- Biểu diễn số có hai chữ số:
= 10a + b ( 0 < a

9;0
9; a, b

N)

- Biểu diễn số có 3 chứ số:
= 100a + 10b + c (0 < a, b, c

9; a, b, c

N)

- Tổng bình phương hai số x, y là:

- Bình phương của tổng hai số x, y là:
- Tổng nghịch đảo hai số x, y là:
- Trong bài toán tìm số đưa bài về dạng đơn giản:

tổng - tỷ, hiệu – tỷ, tổng –

hiệu, tổng – tích để giải bài toán một cách dễ dàng.
4.1.2. Một số ví dụ bài toán về quan hệ các số, tìm số
* Ví dụ 1: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí
nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân
hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11. Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp
hiện nay.
Phân tích bài toán:
- Có hai đối tượng tham gia trong bài toán, đó là xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2.
- Nếu gọi số công nhân của xí nghiệp 1 là x, thì số công nhân của xí nghiệp 2
biểu diễn bằng biểu thức nào?
- Học sinh điền vào các ô trống còn lại và căn cứ vào giả thiết: Số công nhân của
hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 để lập phương trình.

8


Số công nhân
Xí nghiệp 1

Trước kia
x

Sau khi thêm
x + 40

Xí nghiệp 2

4
x
3

4
x + 80
3

Bài giải:
Gọi số công nhân xí nghiệp I trước kia là x (công nhân), x nguyên, dương.
Số công nhân xí nghiệp II trước kia là

4
x (công nhân).
3

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: x + 40 (công nhân).
Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là:

4
x + 80 (công nhân).
3

Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình:
4
x + 80
x + 40 3

=
8
11

33x + 1320 = 32x + 1920
x = 600
Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: 600 + 40 = 640 công nhân.
Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là:

4
.600 + 80 = 880 công nhân.
3

*Ví dụ 2: Tổng các chữ số của 1 phân số có hai chữ số là 9. Nếu thêm số đó 63
đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại.
Tìm số đó?
Phân tích bài toán:
- Khi hoán đổi vị trí 2 chữ số cho nhau thì vai trò của 2 chữ số sẽ hoán đổi cho
nhau.
Bài giải:
Gọi chữ số hàng chục là: x (

)

9


Chữ số hàng đơn vị là:
Vì tổng 2 chữ số là 9 ta cố:

x+y=9

Số đó là:
Số viết ngược lại là:
Vì thêm vào số ban đầu 63 đơn vị thì được số viết theo thứ tự ngược lại nên ta có:
+ 63 =
10x + y + 63 = 10y + x (2)
Thế (1) vào (2) ta được:
10(9 – y) + y + 63 = 10y + 9 – y
90 – 10y + y + 63 – 9y – 9 = 0
y = 8 ( thỏa mãn điều kiện)
x = 1 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy số cần tìm là: 18
* Ví dụ 3: Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa
thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu
tuổi?
Phân tích bài toán
- Nếu gọi tuổi phương năm nay là x thì tuổi mẹ được biểu diễn theo đại lượng
nào?
- Yêu cầu học sinh điền vào ô còn trống là tuổi mẹ và Phương 13 năm sau là
3x + 13 và x + 13
Năm nay
x
3x

Tuổi mẹ
Tuổi Phương
Bài giải:
Gọi tuổi Phương năm nay là:

x
10

13 năm sau
x + 13
3x + 13


Vậy tuổi mẹ năm nay là:

3x

Tuổi Phương 13 năm nữa là :
Tuổi mẹ 13 năm nữa là :

x + 13

3x + 13

Vì 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi nên có phương trình:
3x + 13 = 2 ( x + 13)
3x + 13 = 2x + 26
x

= 13 ( thảo mãn điều kiện)

Vậy năm nay Phương 13 tuổi
4.1.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Học kì một, số học sinh giỏi lớp 8A bằng

số học sinh cả lớp. Song học

kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi
bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?
Bài 2: Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng
chục. Nếu thêm chữ số 1 xem giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn chữ
số ban đầu là 370. Tìm số ban đầu?
Bài 3: Hiệu của hai số bằng 22, số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó biết rằng
hai số cần tìm là hai số dương.
Bài 4: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và
giảm mẫu số đi 4 đơn vị thì được một phân số bằng

. Tìm phân số ban đầu?

Bài 5: Ông của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần
tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông, tổng số tuổi của cả ba người bằng 130. Hãy
tính tuổi của Bình?
* Hướng dẫn:
Bài 1: 40 học sinh
Bài 2: Số 48

11


Bài 3: Hai số cần tìm là 22 và 44
Bài 4: Phân số ban đầu là :
Bài 5: Bình 14 tuổi
4.2. Dạng 2: Toán chuyển động
4.2.1. Các kiến thức cần nhớ
- Nếu gọi quãng đường là S, vẫn tốc là v, thời gian là t thì: S = v × t

- Gọi vận tốc thực của canô là:
Vận tốc của dòng nước là:
Thì vận tốc canô khi xuôi dòng là : v =
Vận tốc của canô khi ngược dòng là: v =
- Nếu chuyển động cùng quãng đường thì vận tốc thời gian là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch với nhau.
- Nếu chuyển động ngược chiều thì sau một thời gian 2 chuyển động gặp nhau ta
có S1 + S2 = khoảng cách ban đầu.
- Nếu chuyển động cùng chiều thì sau một thời gian 2 chuyển động gặp nhau ta
có S1 – S2 = khoảng cách ban đầu.
4.2.2. Một số ví dụ
* ví dụ 1: Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35 km/h.
Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ôtô xuất phát từ Nam Định đi Hà
Nội với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường Nam Định – Hà Nội dài 90 km. Hỏi
sau bao lâu kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?
Phân tích bài toán:
- Nếu gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x thì
ôtô sẽ đi trong thời gian bao lâu?
- Yêu cầu học sinh điền vào ô trống là quãng đường đi được của hai xe trong
thời gian đó là 35x và
12


Thời gian (h)
x

Xe máy

Quãng đường (km)
35x

Ô tô
Bài giải:
Đổi 24 phút =

giờ

- Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là: x ( giờ)
( Điều kiện: x >

)

- Trong thời gian đó, xe máy đi được quãng đường là : 35x (km)
- Vì ôtô xuất phát sau xe máy 24 phút ( tức là

Nên ôtô đi trong thời gian là:

Và đi được quãng đường là:

giờ)

(h)

(km)

Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường chúng đi được đúng bằng quãng đường
Nam Định – Hà Nội dài 90 km nên ta có phương trình:

13

Vậy thời gian để hai xe gặp nhau là

giờ, tức là 1h 21 phút kể từ lúc xe máy

khởi hành.
* Ví dụ 2: Xe máy thứ nhất đi trên đường từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20
phút. Xe máy thứ 2 đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe
máy thứ hai 3 km. Tính vận tốc của mỗi xe máy và quãng đường từ Hà Nội về Thái
Bình?
Phân tích bài toán:
- Đổi:

3 giờ 20 phút =
3 giờ 40 phút =

- Nếu gọi vận tốc của xe máy thứ nhất là x thì vận tốc của xe máy thứ 2 được biểu
diễn như thế nào?
Có bảng:
Vận tốc (km/h)

Quãng đường (km)

Xe máy thứ nhất

x

x

Xe máy thứ hai

x-3

(x – 3)

Bài giải:
Gọi vận tốc xe máy thứ nhất là: x ( km/h) (điều kiện: x > 3)
Vận tốc của xe máy thứ hai là: x – 3 (km/h)
Trong 3 giờ 20 phút (bằng

giờ) xe máy thứ nhất đi được là:

x (km)

Trong 3 giờ 40 phút (bằng

giờ) xe máy thứ hai đi được là:

(x – 3)(km)

14


Cả hai xe đều đi trên quãng đường từ Hà Nội về Thái Bình nên có phương trình:

(

thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là: 33 km/h

Vận tốc của xe thứ hai là : 30km/h
Quãng đường từ Hà Nội về Thái Bình là: 110 km/h
* Ví dụ 3: Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ
bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc
của dòng nước là 2 km/h.
Phân tích đề bài:
- Vận tốc xuôi dòng của canô = vận tốc thực + vận tốc dòng nước.
- Vận tốc ngược dòng của canô = vận tốc thực – vận tốc dòng nước
- Gọi vận tốc thực của canô là x thì quãng đường xuôi dòng và ngược dòng
được biểu diễn như thế nào?
Bài giải:
Gọi vận tốc thực của canô là : x (km/h) (điều kiện: x >0)
Quãng đường xuôi dòng từ A đến B là: (x + 2).4
Quãng đường ngược dòng từ A đến B là: (x – 2).5
15


Vì khoảng cách giữa A và B là không đổi nên ta có phương trình:
(x + 2).4 = (x – 2).5
4x + 8
x

= 5x – 10
= 18

( thỏa mãn điều kiện)

Vậy khoảng cách giữa A và B là 80 km
4.2.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Một ôtô đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc 40 km/h. Sau 2 giờ nghỉ

tại Thanh Hóa, ô tô lại từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30 km/h. Tổng thời
gian cả đi cả về là 10 giờ 45 phút. Tính quãng đường từ Hà Nội về Thánh Hóa?
Bài 2: Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 8h sáng. Dự kiến đến Hải Phòng lúc 10 giờ 30
phút. Nhưng mỗi giờ ô tô đi chậm hơn so với dự kiến 10 km nên mãi đến 11 giờ 20
phút xe mới tới Hải Phòng. Tính quãng đường từ Hải phòng – Hà nội?
Bài 3: Một tàu chở hàng từ ga Vinh về ga Hà Nội. Sau đó 1,5 giờ, một tàu chở
khách xuất phát từ ga HÀ Nội đi Vinh với vận tốc lớn hơn tàu chở hàng là 7 km/h.
Khi tàu khách đi được 4h thì còn cách tàu hàng 25 km. Tính vận tốc mỗi tàu, biết
rằng hai ga cách nhau 319 km.
Bài 4: Một người đi xe đạp từ A đến B. Lúc đầu trên đoạn đường đá, người đó đi
với vận tốc lá 10 km/h. Trên đoạn đường còn lại là đường nhựa, dài gấp rưỡi đoạn
đường đá, người đó đi với vận tốc 15 km/h. Sau 4 giờ người đó đến B. Tính độ dài
quãng đường AB
Bài 5 : Lúc 7 giờ sáng, một chiếc ca nô xuôi dòng từ A đến B, cách nhau 36 km,
rồi ngay lập tức quay trở về và đến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi
xuôi dòng biết vận tốc nước chảy là 6 km/h.
* Hướng dẫn:
Bài 1: 150 km
Bài 2: 100km
Bài 3: Vận tốc tàu hàng là 28 km/h
Vận tốc tàu khách là 35 km/h
16


Bài 4: 50 km
Bài 5: Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là 24 km/h
4.3. Dạng 3: Toán làm chung công việc
4.3.1. Các kiến thức cần nhớ
- Xem toàn bộ công việc là một.
- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được

công việc.
4.3.2. Một số ví dụ
* Ví dụ 1: Một phân xưởng may lập kế hoạch may lô hàng, theo đó mỗi ngày
phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kĩ thuật, phân xưởng đã may
được 120 cái áo mỗi ngày. Do đó, phân xưởng không những đã hoàn thành kế
hoạch trước thời hạn 9 ngày mà còn may thêm được 60 cái áo. Hỏi theo kế hoạch
phân xưởng phải may bao nhiêu cái áo?
Phân tích bài toán:
- Gọi số ngày may theo kế hoạch là x vậy tổng số áo may theo kế hoạch là bao
nhiêu?
- Yêu cầu học sinh điền vào ô trống số ngày và số áo may được trong thực tế
là x – 9 và 120(x – 9)
Số ngày
Tổng số áo
Bài giải:

Kế hoạch
x
90x

Thực tế
x-9
120(x – 9)

Gọi số ngày may theo kế hoạch là: x (ngày) (x>9)
Tổng số áo may theo kế hoạch là: 90x
Thực tế phân xưởng đã thực hiện kế hoạch trong: x – 9 (ngày) và may được:
120( x – 9 ) (áo)

17

Theo giả thuyết, số áo may được nhiều hơn so với kế hoạch là 60 chiếc nên
ta có phương trình:
120(x – 9) = 90x + 60
120x – 90x = 60 + 1080
30x
x

= 1140
= 38 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy theo kế hoạch số áo phân xưởng phải may là:
38 . 90 = 3420 (cái)
* Ví dụ 2: Hai thợ cùng đào một mương thì sau 2 giờ 55 phút thì xong việc. Nếu
họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc?
Phân tích bài toán
- Đổi 2 giờ 55 phút =
- Nếu đội 1 làm xong công việc trong x giờ thì đội 2 làm xong công việc trong bao
lâu?
- Trong 1 giờ đội 1 và đội 2 làm được bao nhiêu công việc và cả hai đội làm được
bao nhiêu công việc?
Bài giải:
Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là: x (giờ)
(Điều kiện: x>0)
Vậy thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là: x + 2 (giờ)
Mỗi giờ đội 1 làm được

Mỗi giờ đội 2 làm được

công việc

công việc

Cả hai đội cùng làm thì xong sau 2 giờ 55 phút (Tức là

18

giờ)


Vậy trong 1 giờ cả hai đội làm được

công việc.

Theo bài ta có phương trình:

2 = -2 (loại)

x

Vậy đội thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc trong 5 giờ, đội thứ hai
làm một mình thì hoàn thành công việc trong 7 giờ.
* Ví dụ 3: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công
việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm
công việc khác, tổ thứ hai làm một mình, phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi
tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Phân tích bài toán:
19

- Khối lượng công việc cả hai tổ làm chung trong 4 giờ là bao nhiêu?
- Số công việc tổ hai phải làm là bao nhiêu?
Bài giải:
Gọi thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành công việc là: x (giờ) (x > 12)
Trong 1 giờ tổ hai làm được khối lượng công việc là:

(khối lượng công việc)

Sau 4 giờ cả hai tổ đã chung được khối lượng công việc là:

(khối lượng

công việc)
Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là:

(khối lượng công việc)

Vì tổ hai hoàn thành khối lượng công việc trong 10 giờ nên ta có phương trình:

Vậy thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành khối lượng công việc là 15 giờ.
4.3.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ. Nếu người

thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 7 giờ thì được
mỗi người làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong công việc.

20

công việc. Hỏi


Bài 2: Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm
chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác. Tổ một đã làm hoàn thành công việc
còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì bao lâu xong công việc.
Bài 3: Hai đội công nhân cùng đào một con mương. Nếu họ cùng làm thì trong 2
ngày sẽ xong công việc. Nếu làm riêng thì đội hai hoàn thành công việc nhanh hơn
đội một là 3 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để
xong công việc?
Bài 4: Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công.
Hãy tính số công nhân của đội biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để
hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.
Bài 5: Bếp ăn của một đơn vị bộ đội chuẩn bị đủ gạo cho 356 chiến sĩ ăn trong
30 ngày. Do nhiệm vụ đột xuất nên sau 9 ngày thì có một số chiến sĩ được điều đi
làm nhiệm vụ ở tỉnh khác. Vì vậy, số gạo đã chuẩn bị ăn được nhiều hơn dự kiến 7
ngày. Hỏi đã có bao nhiêu chiến sĩ được điều đi tỉnh khác ( Giả thiết sức ăn của các
chiến sĩ như nhau).
* Hướng dẫn:
Bài 1: Người thứ nhất làm một mình trong 54 giờ.
Người thứ hai làm một mình trong 27 giờ.
Bài 2: Tổ thứ nhất làm một mình trong 10 giờ.
Tổ thứ hai làm một mình trong 15 giờ.
Bài 3: Đội thứ nhất làm một mình trong 6 ngày.
Đội thứ hai làm một mình trong 3 ngày.
Bài 4: Số công nhân của đội là 15 người
Bài 5: Số chiến sĩ phải chuyển đi tỉnh khác là 89 chiến sĩ.
4.4. Dạng 4: Toán liên quan tới các kiến thức hình học
4.4.1. Kiến thức cần nhớ
- Diện tích hình chữ nhật: S = x.y ( x là chiều rộng, y là chiều dài)

21


- Diện tích tam giác:

( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng).

- Độ dài cạnh huyền: c2 = a2 + b2 ( c là cạnh huyền; a,b là hai cạnh góc vuông)
- Số đường chéo của một đa giác

(n là số đỉnh)

4.4.2. Một số ví dụ
* Ví dụ 1: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết rằng
nếu tăng mỗi kích thước thêm 3cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Phân tích đề bài:
- Shcn = x.y
Bài giải:
Gọi các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là: x và y (cm)

( x,y > 0)

Diện tích hình chữ nhật là: x.y (cm2)
Theo bài ra ta có phương trình: x.y = 40 (1)
Khi tăng mỗi chiều thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2 nên ta có phương
trình:
(x +3).(y +3) = x.y + 48
x.y + 3.x + 3.y + 9 – x.y = 48
x + y

= 13

(2)

Từ (1) và (2) suy ra x và y là nghiệm của phương trình:
X2 – 13X + 40 = 0
Có

22


Phương trình có hai nghiệm:

Các kích thước của hình chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm)
* Ví dụ 2: Cạnh huyện của một tam giác vuông bằng 5m. Hai cạnh góc vuông
lớn hơn nhau 1m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác.
Phân tích đề bài:
- Gọi cạnh thứ nhất là x (m) thì cạnh thứ 2 được biểu diễn như thế nào?
- Yêu cầu học sinh nhắc lại định lý py-ta-go?
Bài giải:
Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m)
Cạnh góc vuông thứ hai là: x + 1 (m)
Vì cạnh huyền bằng 5 (m) nên theo định lý py-ta-go ta có phương trình:
X2 + (x + 1)2 = 52
x2 + x2 + 2x + 1 – 25 = 0
2.x2 + 2x – 24 = 0
x2 + x – 12 = 0
Ta có

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: X1 = 3 (Thỏa mãn điều kiện)
X2 = -4 (Loại)
Vậy kích thước của cạnh góc vuông của tam giác vuông là 3m và 4m.
* Ví dụ 3: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 (m). Tính diện tích của
thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi
thửa ruộng không đổi.
Phân tích bài toán:
- Nửa chu vi hcn = Chcn : 2
23


- Nếu gọi chiều rộng của hcn là x thì chiều dài của hcn là bao nhiêu?
- Shcn = chiều dài × chiều rộng
Bài giải:
Nửa chu vi là: 250 : 2 = 125 (m)
Gọi chiều rộng của thửa ruộng là: x (m) (x > 0, x < 125)
Chiều dài của thửa ruộng là: 125 – x (m)
Vì chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi không đổi do đó
ta có phương trình:

Chiều rộng của thửa ruộng là: 50 (m)
Chiều dài của thửa ruộng là: 70 (m)
Vậy diện tích của thửa ruộng là:

50.70 = 3570 m2

4.4.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 (m), chiều dài hơn chiều rộng
7 (m). Tính diện tích hình chữ nhật đó?
Bài 2: Một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu

đỉnh?
Bài 3: Một hình tam giác có diện tích 180 (m2). Tính cạnh đáy của nó biết rằng
nếu tăng cạnh đáy 4 (m) và giảm chiều cao tương ứng 1 (m) thì diện tích không đổi.
Bài 4: Một miếng đất hình thang có chiều cao là 35 (m), hai đáy lần lượt là 30
(m) và 50 (m), người ta làm hai đoạn đường có cùng chiều rộng. Các đường lần
lượt là đường trung bình của hình thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai

24


đáy. Tính chiều rộng đoạn đường đó biết rằng diện tích phần làm đường bằng
diện tích hình thang.
Bài 5: Tìm hai cạnh của một tam giác vuông, biết cạnh huyền bằng 13 (cm) và
tổng hai cạnh góc vuông bằng 17 (cm).
* Hướng dẫn:
Bài 1: Diện tích hình chữ nhật là 60 m2
Bài 2: Đa giác có 10 đỉnh.
Bài 3: Cạnh đáy của tam giác là 36 m
Bài 4: Chiều rộng của đoạn đường là 5m.
Bài 5: Độ dài của cạnh góc vuông lần lượt là 12 cm và 5 cm
4.5. Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng
4.5.1. Những kiến thức cần nhớ
- Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ tăng dân số là x% thì dân số năm nay của

tỉnh A là:

Số dân năm sau là:
4.5.2. Một số ví dụ
*Ví dụ 1: Năm ngoái, tổng số dân của 2 tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân số
của tỉnh A tăng thêm 1,1% còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy, số dân

của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn số dân của tỉnh B là 807200 người. Tính số dân
năm ngoái của mối tỉnh.
Phân tích đề bài:
25