Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

CHƯƠNG III
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN
Đối với các mạch phức tạp, cơ sở của việc phân tích là hai định luật Kirchhoff, có
những phương pháp cho phép áp dụng các định luật này một cách có hệ thống hơn, hiệu
quả hơn và giải mạch nhanh hơn, các phương pháp này sẽ được trình bày trong chương
này. Các phương pháp, định lý, tính chất đối với mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập
hình sin được trình bày bằng ảnh phức của dòng điện và điện áp. Khi áp dụng cho mạch
tuyến tính xác lập DC chỉ cần thay trở kháng bằng điện trở, dẫn nạp bằng điện dẫn, số
phức dòng áp bằng các chỉ số một chiều của dòng và áp.
3.1. Phương pháp dòng nhánh.
Phương pháp dòng nhánh áp dụng định luật Kirchhoff 1 và 2 để viết các phương
trình với các ẩn số là dòng điện các nhánh. Với bài toán có: n số nhánh; d số nút, ta cần
phải viết số phương trình như sau:
• (d-1) phương trình Kirhhoff 1 (K1)
• (n-d+1) phương trình Kirhhoff 2 (K2)
Vậy giải với n phương trình.
Ví dụ 3-1: cho mạch điện được phức hoá như hình 3-1.
Nhận xét mạch điện:
+ số nút: 4;
+ số nhánh: 6;
Số phương trình K1: 3;
Số phương trình K2: 3.
Theo chiều dòng điện như sơ đồ
mạch đã chọn thực hiện viết các phương
trình K1 và K2.
* Các phương trình K1:
& &
I&
1 − I2 − J = 0

(3-1)

& &
I&
2 − I3 − I 4 = 0

(3-2)

& &
I&
4 − I5 + J = 0

(3-3)

* Các phương trình K2:

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 1


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

&
&
− E&1 + R1 I&
1 + R3 I 2 + jω L1 I 2 +
E&2 + rI&
1 −

U&j −

1 & &
I 3 − rI1 = 0
jωC1

(3-4)

1 &
1 &
&
I 3 + R4 I&
I 4 + R2 I&
4 +
5 + jω L2 I 5 = 0
jωC1
jωC2

1 &
&
&
I 4 + R4 I&
4 + R3 I 2 − jω L1 I 2 = 0
jωC2

(3-5)
(3-6)

& & & & U&j ;
Kết luận số phương trình bằng số nhánh n = 6, các ẩn số: I&

1 ; I 2 ; I3 ; I 4 ; I5 ;
(khi không cần tìm U&j ta có thể bỏ phương trình số 6)

Chú ý: Khi viết các phương trình K2 cần chọn các mạch vòng độc lập – Mạch
vòng độc lập là mạch vòng có ít nhất một nhánh mới so với các mạch vòng trước nó.
Ví dụ 3-2: Cho mạch điện được phức hoá như hình 3-2, tìm công suất cung cấp
bởi nguồn và công suất tiêu thụ trên các điện trở.

Phương trình K1:

& &
I&
1 − I 2 − I3 = 0

Phương trình K2:

&
−10∠00 + I&
1 (2 − j 2) + j 2 I 2 = 0

(3-8)

&
− j 2 I&
2 + I 3 (3 − j 5 + 1) = 0

(3-9)

(3-7)


Giải hệ phương trình ta được:
5(5 + j 4)
205
I&
=
∠ − 24, 77 0 ( A)
2 =
3(1 + j 2)
3
5(3 + j 4) 5 5
I&
=
∠ − 10,30 ( A)
1 =
3(1 + j 2)
3
I&
3 =

−10
2 5
=
∠116,560 ( A)
3(1 + j 2)
3

3.2. Phương pháp thế nút.
Phương pháp thế nút là một trong những phương pháp giải mạch khá ưu điểm, vì
phương pháp này sẽ giúp người giải giảm số phương trình khi giải. Phương pháp không
tính trực tiếp với ẩn số dòng điện các nhánh mà qua ẩn số trung gian là điện thế của các

nút.

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 2


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

Khi bắt đầu giải mạch người ta sẽ chọn 1 nút trong mạch và gọi là nút gốc có điện
thế bằng không (có thể chọn tuỳ ý, như thường người ta chọn nút có nhiều nhánh nối
tới nhất làm nút gốc).

Điện thế (hoặc gọi tắt là thế) của một nút được định nghĩa là điện áp của nút đó so
với nút gốc.
Ví dụ 3-3: Cho mạch điện như hình 3-3, viết phương trình thế nút A và thế các nút
liên quan trực tiếp với A (thế các đỉnh B và C).
Áp dụng K2 cho vòng ABNA.
− E&1 + R1 I&
1 + ϕA = 0 ;
−ϕ A + ( R3 + jω L1 ) I&
2 + ϕB = 0

E&1 − ϕ A
⇒ I&
=
1
R1
ϕ A − ϕB
⇒ I&

2 =
R3 + jω L1

& &
Áp dụng K1 tại nút A. I&
1 − I2 − J = 0

(3-10)
(3-11)
(3-12)

Thế (3-10) và (3-11) vào phương trình (3-12)
E&1 − ϕ A
ϕ − ϕB
− A
− J&= 0
R1
R3 + jω L1
1



1
1
E&1
ϕA  +
÷− ϕ B 
÷− ϕC (0) = − J&
R1
 R1 R3 + jω L1 

 R3 + jω L1 

(3-13)

Lưu ý:
(1) Trở kháng của nguồn áp bằng không (“0”)
(2) Trở kháng của nguồn dòng bằng vô cùng (∞)
Qui tắc viết phương trình thế của một nút:
(1) Phương trình viết cho nút A thì φ A mang dấu “+”, còn các nút khác nối đến nút
A sẽ mang dấu “-”.

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 3


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

(2) Hệ số φA trong phương trình viết cho nút A, bằng tổng các dẫn nạp các nhánh
nối đến nút A (Y=1/Z).
(3) Hệ số của thế các nút khác trong phương trình viết cho nút A bằng tổng các
dẫn nạp của các nhánh nối từ A đến nút đó.
(4) Vế phải của phương trình bằng tổng nguồn dòng hoặc tỷ số của sức điện động
và trở kháng của nhánh. Trong đó chiều đi vào nút A mang dấu “+”, đi ra khỏi nút A
mang dấu “–”
Tương tự viết cho nút B và C
Nút B







1
1
1
1 ÷
1
rI&
ϕA 
+
+ ÷− ϕC ( ) = − 1
÷+ ϕ B 
1
1
R4 ÷
R4
 R3 + jω L1
 R3 + jω L1 

÷
jωC
jωC



Nút C
 1 
 1
1 

E&1
1
−ϕ A  ÷− ϕ B  ÷+ ϕC  +
=
÷
∞
 R4 
 R4 jω L2  jω L2

(3-15)

Sau khi viết phương trình thế cho (n-1) nút, giải hệ phương trình này tìm thế của
các nút. Dòng điện các nhánh sẽ được tính từ thế các nút. Ví dụ dòng điện I&
1 tính theo
biểu thức (3-10) và dòng I&2 được tính theo biểu thức (3-11).
Phương pháp thế nút thực hiện như sau:
-

Chọn một nút làm nút gốc có thế bằng không.

-

Viết phương trình thế các nút khác.

Điện thế tại một nút nhân với tổng điện dẫn của các phần tử tại nút đó trừ đi
điện thế tại nút kia nhân với tổng điện dẫn của các phần tử chung giữa hai nút
bằng tổng nguồn dòng nối tới nút đó. Nguồn dòng mang dấu “ + “ nếu nó đi vào
nút và mang dấu “ - “ nếu nó đi ra nút.
-


Giải hệ (n-1) phương trình thế nút.

-

Tìm dòng điện nhánh từ thế các nút.

Nhận xét: Để viết trực tiếp hệ phương trình, trong mạch điện chỉ có nguồn dòng,
nếu có nguồn áp thì phải chuyển nguồn áp sang nguồn dòng.
Ví dụ 3-4: Cho mạch điện được phức hoá như hình 3-4. Tìm dòng điện trên các
nhánh.Phương trình thế nút cho nút φ.

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 4


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

1
1
1  50∠00
ϕ +
+
= 5∠00 = 5(V )
÷=
10
−
j
5
3

+
j
4
10


10(4 − j 3)
⇒ϕ =
2− j

ϕ
10(4 − j 3)
8 − j6
I&
=
=
= 0,8 + j 4, 4 = 4, 472∠79, 690 ( A)
2 =
− j 5 (2 − j )(− j 5) −1 − j 2
I&
3 =

ϕ
10(4 − j3)
8 − j6
=
=
= 2 − j 4 = 4, 472∠ − 63, 430 ( A)
3 + j 4 (2 − j )(3 + j 4) 2 + j


0
& &
I&
1 = I 2 + I 3 = (0,8 + j 4, 4) + (2 − j 4) = 2,8 + j 0, 4 = 2,828∠8,13 ( A)

Phương pháp thế nút còn có thể trình bày ở dạng ma trận:
Ví dụ 3-5: Cho mạch điện như hình 3-5. Viết phương trình thế nút theo dạng ma
trận như sau:

Y1 + Y3 + Y4 −(Y3 + Y4 )  ϕ&A   J&1 − E&.Y4 
 −(Y3 + Y4 ) Y2 + Y3 + Y4  ϕ&  =  − J& + E&.Y 

 B   2
4

Trong trường hợp tổng quát đối với mạch d nút, người ta chứng minh được hệ
phương trình đối với (d-1) thế nút có dạng sau:
Y11ϕ&1 + Y12ϕ&2 + .... + Y1( d −1)ϕ&( d −1) = Y&
d 1 (Phương trình viết cho nút 1)
Y21ϕ&1 + Y22ϕ&2 + .... + Y2( d −1)ϕ&( d −1) = Y&
d 2 (Phương trình viết cho nút 2)
Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 5


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

……………………………….
Y( d −1)1ϕ&1 + Y( d −1)2ϕ&2 + .... + Y( d −1)( d −1)ϕ&( d −1) = Y&

d ( d −1) (Phương trình viết cho nút d-1)

Có thể viết theo dạng ma trận như sau:

Trong đó:
Yii (i=1÷(d-1)) = tổng các dẫn nạp của các nhánh nối tới nút i.
Yij (i=1÷(d-1), j=1÷(d-1), i≠j) = - (tổng các dẫn nạp của các nhánh nối giữa 2 nút i
và j)
Y&
di = tổng đại số các nguồn dòng chảy vào nút I, mang dấu “+” nếu nguồn dòng

chảy vào nút I, ngược lại mang dấu “-”
3.3. Phương pháp dòng mắt lưới.
Theo phương pháp này, mỗi mắt lưới ta gán cho nó một biến (dòng điện khép
mạch trong mắt lưới đó) gọi là dòng mắt lưới. Ví dụ như hình 3-17. Ta gán cho chúng
ba biến gọi là dòng mắt lưới I&A ; I&B ; I&C (lấy dòng mắc lưới làm ẩn số trung gian).
Chiều của dòng điện mắt lưới có thể cho tuỳ ý, nhưng thường ta chọn chúng cùng
chiều với nhau (cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược lại)
Dòng nhánh có thể tính từ dòng mắt lưới bằng sự phát triển định luật Kirchhoff 1,
ta có phát biểu như sau: Dòng điện trong nhánh bằng tổng đại số các dòng điện mắt
lưới qua nhánh đó.
Qui ước dòng mắt lưới với dòng nhánh lấy dấu (+) và ngược chiều lấy dấu (-).
& & & & & & & &
I&
2 = I A − IC ; I I = IC − I B ; I 4 = I A − I B
& &
& & &
&
&
I&

1 = I A ; I5 = − I B ; I 6 = IC = β I I = β I A

Theo phương pháp này ta cần viết
(n-d+1) phương trình với (n-d+1) ẩn số
dòng mắt lưới theo định luật K2. Giải
hệ phương trình đó ta sẽ tìm được các
dòng điện mắt lưới, từ dòng mắt lưới
suy ra dòng nhánh của mạch điện.
Cụ thể phương trình K2 cho mắt

lưới I&A

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 6


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

1
1
I&A ( R1 + R2 − j
+ jω L1 ) − I&B ( jω L1 ) − I&
) − E&− rI&
C ( R2 − j
2 =0
ωC
ωC

Phương trình K2 cho mắt lưới I&B

&
− I&A ( jω L1 ) + I&B ( jω L1 + jω L2 + jω L3 + R3 ) − I&
C ( jω L2 ) + rI 2 = 0

3.4. Các định lý biến đổi.
3.4.1. Định lý chuyển vị nguồn.
+ Nguồn áp (hình 3-9)

+ Nguồn dòng (hình 3-10)

Ví dụ 3-6: Cho mạch điện (hình 3-11a). Tìm dòng điện trên các nhánh bằng
phương pháp thế nút. Áp dụng các định lý thay thế và biến đổi nguồn ta được như hình
3-11c.

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 7


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

Viết phương trình thế nút:

Ví dụ 3-7: Cho mạch điện (hình 3-12a). Tìm v(t)?
Áp dụng định lý chuyển vị nguồn dòng (mục 3.3.2.2) ta có như sau:

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 8



Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

0
Ví dụ 3-8: Cho mạch điện (hình 3-13), có E&= 250∠90 (V ) ; J&= 5 2∠450 ( A) hiệu
dụng phức. Tìm các số chỉ ampe kế.

Áp dụng phương pháp thế nút ta có hệ phương trình.

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 9


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

3.4.2. Định lý Thevenin – Norton.
Giả sử một mạch điện có thể tách ra hai phần, xét mạch ở chế độ xác lập điều hoà.
Nếu trong mạch A có chứa các nguồn phụ thuộc thì các biến dòng, áp điều khiển nguồn
phụ thuộc, giả sử cũng cùng nằm trong phần mạch A.
Gọi I& là dòng điện; U& là điện áp giữa hai cực a và b với chiều dương như hình 314a.

Định lý Thévenin: “Có thể thay tương đương một mạng một cửa tuyến tính bởi
một nguồn áp bằng điện áp hở mạch mắc nối tiếp với trở kháng Thévenin của mạng
một cửa”.
Định lý Norton: “Có thể thay tương đương một mạng một cửa tuyến tính bởi một
nguồn dòng bằng dòng điện trên cửa khi ngắn mạch mắc song song với trở kháng
Thévenin của mạng một cửa”.
Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1


Trang 10


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

Nhận xét:
a. Khi biết mạch tương đương Thévenin có thể suy ra mạch tương đương Norton
và ngược lại.
b. Tìm trở kháng Thévenin Zth, có thể dùng các cách sau đây:
Cách 1: lần lượt tiến hành hở mạch cửa ab xác định điện áp hở mạch U&hm , và ngắn
mạch cửa ab xác định dòng điện ngắn mạch I&nm , từ đó suy ra:

U&hm
Z tn =
I&
nm

Ví dụ 3-9: Xét mạch điện như hình 3-15a:
a. Tìm mạch tương đương Thévenin và Norton cho phần mạch bên trái a và b.
b. Tìm giá trị Zt để công suất tác dụng trên nó cực đại. Tình công suất cực đại đó.

Tìm mạch thay thế tương đương Thévenin

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 11


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện


Sơ đồ thay thế tương đương Thévenin như hình 3-15b. Tổng trở Z tải sẽ được chọn
như sau:
Z tai = Z th* = 15 − j 20(Ω)

Xác định công suất cực đại trên tải:
−10(10 + j 2) + (15 + j 20) I&+ (15 − j 20) I&= 0
10(10 + j 2)
I&=
= 3,366∠8, 040 ( A)
30
P = Rtai ( I ) 2 = 15(3,366) 2 = 169,95(W )

Cách 2: Trường hợp phần mạch A không chứa các nguồn phụ thuộc, người ta
thường tính Zth bằng cách triệt tiêu tất cả các nguồn độc lập bên trong mạch A (Nguồn
áp nối tắt, nguồn dòng hở mạch), sau đó dùng các phép biến đổi tương đương để tính
Zth.
Ví dụ3-10: Xét mạch điện như hình 3-16a:
a. Tìm mạch tương đương Thévenin và Norton cho phần mạch bên trái A và B.
b. Tìm giá trị Zt để công suất tác dụng trên nó cực đại. Tình công suất cực đại đó.

Khi hở mạch AB

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 12


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

3.4.3. Nguyên lý xếp chồng.

• Đáp ứng của mạch với nhiều nguồn kích thích độc lập bằng tổng các đáp ứng
với từng nguồn kích thích độc lập riêng rẽ.
• Khi tìm đáp ứng của mạch với một nguồn kích thích độc lập nào đó phải triệt
tiêu các nguồn độc lập khác.
+ Nguồn áp: ngắn mạch.
+ Nguồn dòng: hở mạch.
Ví dụ 3-13: Cho mạch điện như hình 3-20a, R 1=R2=100Ω, L=100mH, C=10μF,
β=3, với e(t)=50(V), j(t)=2sin(1000t)(A); tìm u(t) và i(t).
Bước 1: Tìm đáp ứng với nguồn một chiều
e(t)=50V. Triệt tiêu nguồn dòng J(t)(hở mạch) vẽ
lại mạch như hình 3-20b (lưu ý không triệt tiêu
nguồn phụ thuộc). Ở đây ZL=jωL = 0; ZC = 1/ωC
= ∞ (hở mạch)
Áp dụng định luật Kirhhoff 1 và 2
K1: 3i0 +i0 – i1 = 0

(3-22)

K2: -50 + 100i0 + 100i1 = 0

(3-23)

i1 = 4i0
i0 = 0,1(A) và i1 = 0,4(A)
Vậy u0 = 100*i1 = 40(V)

Bước 2: Tìm đáp ứng với nguồn dòng xoay chiều J(t)=2sin(1000t)(A). Triệt tiêu
nguồn áp e(t) (ngắn mạch) vẽ lại mạch như hình 3-20c:
Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1


Trang 13


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

ZL=jωL = j1000*100*10-3H = j100(Ω )

cxzc

3.5. Khử hổ cảm.
Để tiện cho việc giải mạch có chứa hỗ cảm, ta có thể thực hiện bước khử hỗ cảm
trước khi tiến hành giải mạch.

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 14


Chương 3: Các Phương Pháp Phân Tích Mạch Điện

Khi cực cùng tính của cuộn dây ghép hỗ cảm cùng phía so với điểm “O” như hình
3-21a ta thay thế như hình 3-21c.
Khi cực cùng tính của cuộn dây ghép hỗ cảm khác phía so với điểm “O” như hình
3-21b ta thay thế như hình 3-21d.
Ví dụ 3-14: Xét mạch điện như hình 3-22a.
Khử hỗ cảm của mạch ta được hình 3-22b

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1

Trang 15