1

C5 DKTD

Chương 7.

TỔNG HỢP BỘ HIỆU CHỈNH RST
7.1. NGUYÊN TẮC CHUNG VÀ MỤC TIÊU ĐIỀU KHIỂN.
Sự sắp đặt bố trí các cực là một phương pháp liên quan đến điều khiển hình thái.
Phương pháp này dựa trên các mô hình hàm truyền dễ dàng thực hiện hơn là các mô hình
trạng thái, đặc biệt trong trường hợp đơn biến.

Về giới hạn, nó cung cấp cho người sử dụng một phương pháp dễ tiếp cận khi
không biết gì về các biến trạng thái. Tuy nhiên, để sử dụng hợp lý nó cần có một sự
hiểu biết đầy đủ về những nguyên tắc của phương pháp biến trạng thái.
Đối với một hệ thống điều khiển, khi có một thông số biến đổi (như hệ số
khuếch đại, hằng số thời gian...) từ 0 đến vô cùng, ta cần phải xác dịnh trong phạm vi
nào đó của thông số biến đổi thì hệ thống sẽ ổn dịnh. Ứng với một giá trị cố định của
thông số biến đổi, hệ thống có một trạng thái ổn định nào đó. Ta có thể biểu diễn trạng
thái ổn định của hệ thống bằng vị trí nghiệm số phương trình đặc tính hệ kín trên mặt
phẳng phức. Khi giá trị thông số biến đổi thì vị trí nghiệm phương trình đặc tính trên
mặt phẳng phức cũng thay đổi theo. Do sự thay đổi đó mà vị trí các nghiệm số phương
trình đặc trưng (các cực) sẽ tạo nên một số quĩ đạo nào đó trong mặt phẳng phức.

Khảo sát một quá trình và một bộ hiệu chỉnh được mô tả bởi đa thức như trên sơ đồ
Hình 7.1. Ta xác định được ngay các hàm truyền của hệ kín với chức năng theo dõi và điều
chỉnh như sau:

y=

BT

S
d
yc +
AS + BR
AS + BR

(7.1)

Nguyên tắc bố trí các cực là nhằm xác định một đa thức ổn định tạm thời D(s) và tính
S(s), R(s) sao cho ta có:
AS + BR = D
(7.2)
Phương trình này được gọi là phương trình Bezout.

Bộ hiệu chỉnh
yc

T
-

Quá trình
S-1

u

B

d
A-1


y

R

Hình 7.1 - Hệ kín và các mô hình đa thức
Giả sử rằng tín hiệu đặt vào yc và các nhiễu là d có dạng hằng (ví dụ như các tín hiệu
bậc thang và các hằng số trên từng khoảng - xung Dirac). Theo phương trình (7.1), hàm
truyền y/d sẽ bằng không ở chế độ xác lập nếu ta cho vào ràng buộc S(0)=0 maf trong đó S
phải được hệ số hoá dưới dạng:
S ( s) = sS ' ( s )
(7.3)
Để đảm bảo rằng độ lợi tĩnh của hàm truyền y/yc bằng 1, phương trình (7.1) chứng tỏ
rằng trong trường hợp này ta đủ điều kiện lựa chọn đa thức T(s) với ràng buộc T(0) = R(0).


2

C5 DKTD

Ta biết rằng, đa thức T(s) ở đây là hoàn toàn tự do; có thể dùng T(s) để đơn giản hoá
hàm truyền theo dõi y/yc = BT/D: Vậy ta sẽ chọn T bằng với một nhân tố bất kỳ của D.
Trong trường hợp đặc biệt ở đó các đa thức D(s) và T(s) sẽ không đủ để xác định hàm
truyền theo dõi y/yc ta sẽ thay thế đa thức T(s) bởi một hàm truyền hữu tỷ.
Bài toán chủ yếu ở đây là xác định S và R qua việc giải phương trình Bezout (7.2)
dưới ràng buộc (7.3).
7.2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BEZOUT.
Trước tiên ta phân tích bậc của các đa thức có trong phương trình.
Quá trình G=B/A và bộ hiệu chỉnh C=R/S là riêng biệt, bậc của AS + BR được xác
định bởi bậc của tích AS, do vậy bậc của D là:
deg(D) = deg(A) + deg(S)

Việc cân bằng các hệ số của s trong hai vế của đẳng thức AS + BR = D sẽ cho ta một
hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng deg (D) + 1. Để hệ phương trình này có
một lời giải là các hệ số của đa thK ( z − z0 )
H ( z) = = 2
yc z + ( K − 2) z + (1 − Kz0 )
C ( z )G ( z ) =

Độ lợi tĩnh H(1) bằng 1 với mọi K và z0.
Hệ ổn định (theo tiêu chuẩn Zury) nếu:
0 < z0 < 1 và 0 < K <4/(1+z0)
Ta thấy rằng việc chọn K và z0 sẽ xác định đáp ứng quá độ.

7.4.5 ĐIỀU CHỈNH QUÁ TRÌNH DẠNG P2.
Khi bậc của tử của G(z) khác với bậc của mẫu hơn một đơn vị, đó chính là trường hợp
thuần trễ, việc xác định C(z) thực hiện theo phương pháp khác.
Nguyên tắc là bố trí và bổ sung các cực để đạt được một mô hình bậc 2 thích hợp. Tuy
nhiên H(z) không hoàn toàn tự do, mà nó sẽ chứa các bộ trễ cần thiết (z-1) trong C(z).


9

C5 DKTD

7.4.6. ĐIỀU CHỈNH QUÁ TRÌNH DẠNG P3.
Cấu trúc tổng quát của hệ thống điều chỉnh R, S, T cho phép điều chỉnh các quá trình

G( z ) =

B( z )
A( z )


không có các điều kiện trên các đa thức B và A, đặc biệt đối với các quá

trình có các zé ro mất ổn định.
Luật điều khiển nhận được:

S ( z )u ( z ) = T ( z ) yc ( z ) − R ( z ) y ( z )
yc

+

T(z)

e

⊗

S-1(z)

u

G(z)

y

-

R(z)
Hình 7.3. Sơ đồ cấu trúc tổng quát bộ hiệu chỉnh RST
Mô hình hệ kín thích hợp (tính chọn) phải có dạng: H m ( z ) =

Từ sơ đồ ta có:

Bm ( z )
(1)
Am ( z )

y( z )
T ( z ) B( z )
=
(2)
y c ( z ) A( z ) S ( z ) + B( z ) R( z )
Ta sẽ tính các đa thức R, S, T để cho H(z) trùng với mô hình thích hợp Hm(z) trên đây.
H ( z) =

1. Các tính chất của quá trình G(z).
Ta có

G( z ) =

B( z )
, tử số B(z) cho các zé ro của quá trình.
A( z )

Ta đặt: B(z) = Bi(z).Bs(z)

Với
Bs(z) = (z - z0)(z - z1)...= zm + am-1zm-1 +...
trong đó các zé ro z0, z1,... nằm bên trong vùng D của mặt phẳng phức. Tổng quát D là vòng
tròn đơn vị, nhưng cũng có thể chỉ là vùng giới hạn cho các Zéro giảm chấn mạnh. Ta gọi D
chứa các zé ro có thể bổ sung.

Bi(z) = K(z - z'0)(z - z'1)...
trong đó: z'0, z'1,... nằm bên ngoài vùng D và không được bổ sung bởi bộ hiệu chỉnh. Nó bao
gồm các zéro làm hệ mất ổn định.
2. Chọn mô hình Hm(z).
Nếu ta xấp xỉ Hm(z) tà G(z) thì ta sẽ không bao giờ bổ sung các quá trình trễ ở G(z) và
chúng được biểu thị bởi sự khác nhau về bậc của các đa thức B(z) và A(z).
B ( z)
Mô hình Hm(z) có dạng:
H m ( z) = m
và phải thoả mãn:
Am ( z )
bậcAm - bậcBm ≥ bậcA - bậcB
Từ sơ đồ ta biết rằng tử số của hệ kín có được từ tử số của hệ hở được hiệu chỉnh.


10

C5 DKTD

Vì Bi(z) chứa một phần không bổ sung của B(z), nên nó vẫn tồn tại trong Bm(z). Do
vậy, ta có:
Bm(z) = Bi(z).B'm(z)
3. Tính chất của các đa thức R, S, T.
Từ sơ đồ ta có các hàm truyền:
Trong hệ hở:

BR
AS

B

AS + BR
TB
B
Trong hệ đầy đủ:
= m
AS + BR Am
Ta xét các tính chất của các đa thức R, S và T.
• Đa thức S(z).
S(z) có mặt trong mẫu số của hàm truyền hệ điều chỉnh. Bậc của nó phải đủ để thoả mãn yêu
cầu điều kiện ban đàu bằng 0 trong bộ hiệu chỉnh. Các đa thức R và T có bậc cao nhất là bằng
bậc của S.
S(z) bổ sung các zé ro có thể bổ sung được của quá trình G(z) chứa trong Bs(z). Có nhiệm vụ
đảm bảo sự hiện diện của các bộ tích hợp cần thiết nhằm làm cho độ chính xác điều khiển tốt
nhất với loại tín hiệu đầu vào cho trước.
Vì vây:
S(z) = (z-1)i .Bs(z).S’(z)

Trong hệ kín:

trong đó: S’(z) là một đa thức mà hệ số ở bậc cao nhất bằng 1.
• Đa thức T(z).
T(z) đảm bảo sự ngăn cách của hệ với tín hiệu vào, do vậy nó cung cấp các zé ro cần thiết để
nhận được tử số của mô hình Bm(z) mà một phần của nó đã được cung cấp bởi phần không
được bổ sung của quá trình.
Do đó ta chọn:
T(z) = B’m(z).A0(z)
Bậc của A không được tuỳ ý. Nó phải cho phép tổng hợp được R và S. Người ta đã chứng
minh rằng:
Bậc A0 ≥ 2 bậc A - bậc Am - bậc Bs + i -1
• Đa thức R(z).

Giống như S(z), R(z) là lời giải của một phương trình đa thức của các hàm truyền trên trong
đó ta thay các đa thức B bởi B=Bi.Bs, Bm bởi Bm=Bi.B’m, S bởi S=(z-1)i.Bs.S’ và T bởi
T=B’m.A0.
Ta có:
Bm' . A0 .Bi .Bs
Bi .Bm'
=
A.( z − 1)i .Bs .S ' + Bi .Bs .R
Am
Sau khi đơn giản ta có:
(z-1)i.A.S’ + Bi.R = A0.Am
Phương trình này giống phương trình BEZOUT cho một lời giải duy nhất đối với S’(z)
và R(z), nếu bậc của S’(z) và R(z) là phù hợp.
Bậc R < bậc A +i
Bậc S’ = bậc A0 + bậc Am - bậc A - i


11

C5 DKTD

Phương trình thứ 2 này là kết quả của những yêu cầu của phương trình Bezout đặc tính điều
kiện ban đầu bằng 0 của bộ hiệu chỉnh.
4. Phương pháp thực hiện tổng hợp.
•

Các số liệu ban đầu:
-

B

A

Bm
có độ lợi tĩnh bằng 1 với:
Am
bậc Am - bậc Bm ≥ bậc A - bậc B
- Đa thức A0 thoả mãn:
Bậc A0 ≥ 2 bậc A - bậc Am - bậc Bs + i -1
- Vùng D chứa tất các các zé ro có thể bổ sung.
- Số bộ tích phân i trong bộ hiệu chỉnh.
Cách thức tiến hành.
Phân tích B thành tích 2 đa thức B = Bi.Bs
Bs chứa các zé ro có thể bổ sung, có hệ số ở bậc cao nhất của z bằng 1.
Bm được chọn sao cho Bm = Bi.B’m
-

•

Quá trình có hàm truyền: G =
Mô hình: H m =

Từ đó ta đặt:

S' ( z ) = z m + ... + s1 z + s0

có bậc thoả mãn các điều kiện trên
R ( z ) = rn z n + ... + r1 z + r0
Giải bằng phương pháp cân bằng bậc đa thức 2 vế của phương trình:
TB
B

= m
AS + BR Am
i
ta được:
(z-1) .A.S’ + Bi.R = A0.Am

•
•

Các kết quả:
S = Bs.(z-1)i.S’ ;
T = B’m.A0 ; R = R
Luật điều khiển:
S(z).u(z) = T(z).yc(z) - R(z).y(z).

Ví dụ: Xác định các đa thức R, S và T của bộ hiệu chỉnh RST cho một hệ điều chỉnh vị trí sử
dụng 1 động cơ một chiều DC có BOZ và bộ lọc với hàm truyền như sau:
z + 0, 718
B( z )
G ( z) = 0,37
=
( z − 1)( z − 0,37) A( z )
Việc điều chỉnh phải đảm bảo một đáp ứng chính xác với tín hiệu vào bậc thang. Bộ hiệu
chỉnh không được bổ sung zé ro âm (z0 = -0,718) (vì tính ổn định) để không tạo ra cực âm
(điều khiển dao động).
Lời giải: Chọn một mô hình bậc 2 có hệ số tắt dần ξ = 0,8, độ lợi t ĩnh bằng 1 và có chứa zé ro
không bổ sung như sau:
B ( z)
z + 0, 718
H m ( z) = m

= 0, 29 2
Am ( z)
z − 0, 75 z + 0, 25
Từ đày dùng phương pháp trên để giải tìm các đa thức R, S và T.