ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THU THỦY

NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI TRONG BÀI TOÁN
MÔ PHỎNG HOẠT ĐỘNG MỘT SIÊU THỊ

Ngành: Công nghệ thông tin
Chuyên ngành: Kỹ thuật phần mềm
Mã số: 60480103

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Hà Nội – 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THU THỦY

NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI TRONG BÀI TOÁN
MÔ PHỎNG HOẠT ĐỘNG MỘT SIÊU THỊ

Ngành: Công nghệ thông tin
Chuyên ngành: Kỹ thuật phần mềm
Mã số: 60480103

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TIẾN SĨ LÊ QUANG MINH


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu do chính tôi thực hiện trên cơ
sở tìm kiếm, thu thập, nghiên cứu, tổng hợp trình bày bằng văn bản. Các tài liệu tham
khảo đều được nêu ở phần cuối của luận văn. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn
là trung thực và không sao chép nguyên bản từ bất kì một nguồn tài liệu nào khác.
Nếu có gì sai sót, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
HỌC VIÊN

NGUYỄN THU THỦY


MỤC LỤC
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI....................................................................................2
Hà Nội - 2017................................................................................................................2
....................................................................................................................................... 2
LỜI CAM ĐOAN..........................................................................................................3
MỤC LỤC..................................................................................................................... 4
DANH MỤC HÌNH VẼ.................................................................................................5
DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................................6
CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI.......................................................................9
1.1 Các khái niệm cơ bản............................................................................................9
1.2 Một số mô hình hàng đợi cơ bản........................................................................19
1.3 Các điều kiện để bài toán có thể giải được bằng lý thuyết.................................24
1.4 Phương pháp giải quyết bài toán bằng lý thuyết hàng đợi.................................25
CHƯƠNG 2. CÔNG CỤ MÔ PHỎNG GPSS WORLD..............................................26

1.5 Cách tiếp cận mô phỏng.....................................................................................26
1.6 Hiện trạng một số công cụ mô phỏng chuyên dụng...........................................26
1.7 Giới thiệu về GPSS World....................................................................................27
1.8 Hàng đợi có ưu tiên Priority Queueing...............................................................43
1.9 Các bước mô phỏng bài toán trên GPSS World..................................................44
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI VÀ CÔNG CỤ MÔ PHỎNG
VÀO BÀI TOÁN HÀNG ĐỢI SIÊU THỊ...................................................................48
1.10 Một số quan sát về hàng đợi siêu thị................................................................48
1.11 Bài toán xếp hàng gồm 1 phase phục vụ...........................................................49
1.12 Bài toán xếp hàng nhiều phase phục vụ...........................................................56
KẾT LUẬN.................................................................................................................69


DANH MỤC HÌNH VẼ


DANH MỤC CÁC BẢNG


LỜI MỞ ĐẦU
Hàng đợi ảnh hưởng đến nhiều mặt trong cuộc sống thực tế cũng như lĩnh vực kỹ
thuật. Trong hoạt động xã hội, hàng đợi là điều không mong muốn của các hệ thống
phục vụ đám đông, từ thực tế đó các nhà quản lý luôn mong muốn đánh giá được hiệu
quả hệ thống dịch vụ của họ để cải tiến chất lượng phục vụ, giảm chi phí vô ích.
Trong các hoạt động sản xuất kinh doanh cũng như đời sống hàng ngày đều tồn tại
những hệ thống phục vụ như: Bến cảng, khách sạn, nhà hàng, trạm điện thoại, cửa
hàng bán xăng dầu... Trong các hệ thống ấy thường diễn ra 2 quá trình: Quá trình nảy
sinh các yêu cầu và quá trình phục vụ các yêu cầu. Tuy nhiên, trong quá trình hoạt
động của hệ thống do nhiều nguyên nhân khác nhau thường dẫn đến các tình trạng:
-


Khả năng phục vụ của hệ thống không đáp ứng yêu cầu dẫn đến kết quả là một
số yêu cầu không được phục vụ hoặc phải chờ đợi để được phục vụ.
Khả năng phục vụ của hệ thống vượt quá yêu cầu dẫn đến kết quả là hệ thống
không sử dụng hết năng lực về lao động, vật tư, thiết bị.

Cả hai tình trạng trên đều gây nên thiệt hại về mặt kinh tế nói chung. Vì vậy bài toán
đặt ra là phân tích bản chất của các quá trình diễn ra trong hệ thống và thiết lập mối
quan hệ về lượng giữa các đặc trưng của các quá trình ấy. Trên cơ sở các mối liên hệ
đã được xây dựng và các số liệu thu thập được từ hệ thống, tính toán, phân tích và đưa
ra quyết định nhằm điều khiển hệ thống hoạt động có hiệu quả.
Để trả lời cho những câu hỏi về hàng đợi, chúng ta có 2 phương pháp cơ bản để phân
tích là phương pháp phân tích bằng lý thuyết hàng đợi (hay còn gọi là phương pháp
giải tích) và mô phỏng hàng đợi. Lý do dùng 2 phương pháp thay vì chỉ dùng một
phương pháp là: phân tích bằng lý thuyết chỉ khả thi với các hệ thống hàng đợi đơn
giản như hàng đợi đơn, hệ thống với những đặc điểm riêng về quy tắc đến và phân
phối thời gian dịch vụ (phân phối Possion hay Normal); hầu hết hệ thống phức tạp đều
cần sử dụng mô phỏng, như hệ thống cần quan sát dữ liệu thật hoặc phụ thuộc vào yếu
tố thời gian, sẽ khó phân tích bằng lý thuyết.
Trên thực tế, mỗi hệ thống phục vụ đám đông có tính đặc thù riêng và cần được phân
tích kỹ lưỡng bằng mô hình toán học cũng như mô phỏng. Mô phỏng tính toán là
phương pháp xem xét thông tin về hành vi của hệ thống. Khi phân tích hiệu suất của
hàng đợi, chúng ta cần tìn hiểu, thiết kế và điều khiển năng lực của hệ thống phục vụ
và quyết định khi nào mở hay đóng dịch vụ. Sử dụng thông tin ước lượng giá trị lãng
phí, xác định được hạn chế của dịch vụ taị mỗi thời điểm xác định để có giá trị lãng
phí nhỏ nhất (giá trị dịch vụ + thời gian chờ đợi)
Có nhiều cách để mô phỏng hàng đợi như: xây dựng giải thuật và triển khai bằng ngôn
ngữ lập trình; Mô phỏng bằng các công cụ chuyên nghiệp như (Petri Nets, MatLab,



GPSS, NS2,…). Công cụ mô phỏng cần sinh ngẫu nhiên sự kiện và quản lý vòng đời
của sự kiện theo thời gian và mô phỏng vận hành của của hệ thống, vì vậy sử dụng
công cụ lập trình để triển khai thuật toán tốn khá nhiều thời gian. Công cụ mô phỏng
sự kiện rời rạc của IBM phát triển vào khoảng thập niên 1960 - General Purpose
Simulation System (viết tắt là GPSS) là công cụ được lựa chọn để giới thiệu và sử
dụng trong luận văn này.
Vấn đề nghiên cứu và ứng dụng ngôn ngữ mô phỏng GPSS tại Liên bang Nga,
cũng như một số quốc gia phát triển khác không còn xa lạ [1]. Ở Việt Nam, việc ứng
dụng GPSS cũng đã được đề cập tới ở một số công trình, luận văn khoa học; tuy nhiên
việc áp dụng GPSS để mô phỏng chưa áp dụng theo một phương pháp có tính tổng
quát. Trên cơ sở các nghiên cứu về phương pháp giải bài toán hệ thống phục vụ đám
đông, luận văn đã tập trung vào các mục tiêu sau:
Luận văn tập trung nghiên cứu về một số kiến thức cơ bản trong “ Lý thuyết hàng
đợi”, các mô hình hàng đợi, công cụ mô phỏng hàng đợi là GPSS. Đề xuất quy trình
xây dựng mô phỏng bằng GPSS và vận dụng để giải quyết bài toán xếp hàng tại siêu
thị có thành phần ưu tiên và không ưu tiên.
Luận văn được trình bày trong ba chương với nội dung chính của mỗi chương như sau
Chương 1: Lý thuyết hàng đợi.
Luận văn tập trung trình bày về lý thuyết hàng đợi, các mô hình hàng đợi có thể sẽ liên
quan đến bài toán hoạt động của một siêu thị.
Chương 2: Công cụ mô phỏng GPSS
Luận văn tập trung trình bày về các công cụ mô phỏng GPSS các cách tiếp cận mô
phỏng. Quy trình mô phỏng bài toán thực tế bằng GPSS
Chương 3: Ứng dụng lý thuyết hàng đợi và công cụ mô phỏng vào bài toán hàng
đợi siêu thị.
Trình bày bài toán mô phỏng hoạt động của siêu thị cụ thể; bằng phương pháp phân
tích sử dụng lý thuyết hàng đợi. Áp dụng công cụ mô phỏng GPSS World và áp dụng
quy trình mô phỏng hệ thống hàng đợi để giải quyết bài toán. Từ kết quả thu được đưa
ra so sánh và đánh giá hiệu quả của mô phỏng.
Kết luận

Tóm lược kết quả chính của luận văn, nêu lên các hạn chế của nghiên cứu từ đó định
hướng phát triển trong thời gian tới.


CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI
Chương này tập trung trình bày các khái niệm liên quan đến lý thuyết hàng đợi.
Đây là những kiến thức tổng quan, cơ bản nhất để phân tích và giải bài toán hàng đợi.
1.1 Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Biến ngẫu nhiên
Trong hệ thống hàng đợi dễ dàng nhìn thấy 2 quá trình ngẫu nhiên độc lập: quá
trình khách hàng xuất hiện ở đầu vào hệ thống và quá trình phục vụ khách hàng tại đầu
ra của hệ thống. Số lượng khách hàng tại một thời điểm được đặc trưng bởi một biến
ngẫu nhiên rời rạc. Tốc độ đến tại một thời điểm cũng như thời gian phục vụ được đặc
trưng bởi các biến ngẫu nhiên.
Biến ngẫu nhiên được ký hiệu bởi X, Y có giá trị kỳ vọng E(X). Phương sai:
với độ lệch chuẩn

. Hệ số biến thiên là đại lượng mô tả mức độ biến động

tương đối của biến ngẫu nhiên . Tính hệ số biến thiên:
1.1.2 Phân phối sác xuất thường gặp
Mục tiêu của việc phân tích hàng đợi bằng lý thuyết là xây dựng mô hình chuyển
trạng thái để xác định phân phối dựa vào xác suất ở đầu vào và phân phối xác suất ở
đầu ra của hệ thống. Tốc độ đến và thời gian phục vụ được đặc trưng bởi một phân
phối xác suất. Các phân phối thường gặp [2] hai đại lượng này được trình bày trong
bảng 1.1.
Bảng 1. 1- Một số hàm phân phối thường gặp
ST
T


Viết tắt

Tên

1

M

Phân phối
mũ

2

Ek

Phân phối
Erlang

Hàm phân phối

k

3

Hk

Phân phối
siêu bội

f (t ) = ∑q j (1 −e


−µj t

)

j =1

Trong đó: μj >0, qj>0, j∈{1..k},


ST
T

Viết tắt

Tên

5

G

Phân phối
hình học

Hàm phân phối

Phân phối
Possion

6


1.1.2.1
Phân phối hình học (Geometric distribution)
Là phân phối đặc trưng cho số các biến cố sảy ra trong một khoảng thời gian cho
trước. Một biến ngẫu nhiên hình học [2 tr.18] với phân phối xác suất:

Với phân phối này chúng ta có một số công thức sau

1.1.2.2
Phân phối Poisson (Poisson distribution)
Là phân phối thường gặp nhất trong các mô hình hàng đợi phân phối Poisson [6
tr.6-7] được đặc trưng cho những quá trình đến và phục vụ hoàn toàn ngẫu nhiên, độc
lập. Một biến phân phối Poisson

với tham số

,

có phân phối

n=0, 1, 2,…

Trong đó:
-

là xác suất để trong khoảng thời gian τ có n yêu cầu xuất hiện;
n là số yêu cầu xuất hiện trong khoảng thời gian quan sát τ;
là số yêu cầu trung bình xuất hiện trong từng khoảng thời gian quan sát τ.

Phân phối Poisson ta có:


Biến ngẫu nhiên tuân có phân phối Poisson khi dòng đến có đủ các đặc điểm của
quá trình Poisson. Quá trình Poisson có 3 tính chất sau:
Tính không hậu quả: Dòng yêu cầu có tính không hậu quả có nghĩa là: nếu xác
suất xuất hiện một số yêu cầu nào đó trong một khoảng thời gian nhất định không phụ
thuộc vào việc đã có bao nhiêu yêu cầu xuất hiện trước khoảng thời gian đó. Hay nói


khác, số yêu cầu xuất hiện trước và sau thời điểm

nào đó không chịu ảnh hưởng qua

lại lẫn nhau.
Tính đơn nhất Dòng yêu cầu có tính chất đơn nhất có nghĩa là: nếu xét trong
khoảng thời gian khá bé thì biến cố “có nhiều hơn một yêu cầu xuất hiện” hầu như
không xảy ra. Về mặt thời gian, chúng ta có thể xem dòng yêu cầu có tính chất đơn
nhất nếu thời điểm xuất hiện các yêu cầu không trùng nhau.
Tính dừng (tính thuần nhất theo thời gian) Dòng yêu cầu có tính chất dừng có
nghĩa là: nếu xác suất xuất hiện k yêu cầu trong khoảng thời gian τ chỉ phụ thuộc vào
giá trị của τ và của k chứ không phụ thuộc vào việc khoảng thời gian τ này nằm ở vị trí
nào trên dòng thời gian. Điều này có nghĩa là với những khoảng thời gian τ dài bằng
nhau thì xác suất xuất hiện k yêu cầu như nhau.
1.1.2.3

Phân phối mũ (Exponential Distributions)

Mật độ của một phân phối mũ [2 tr.20]với tham số
,

được cho bởi hàm


t>0.

Có hàm phân phối xác suất:

Với hàm phân phối này ta có một số công thức tính kỳ vọng và phương sai như
sau:

1.1.2.4
Một biến

Phân phối Erlang (Erlang distribution)
có một phân phối Erlang-k [9 tr.5] (k=1,2,…) với

của E biến độc lập
hoặc ngắn gọn là

có phân phối mũ chung
.

Hàm phân phối xác suất bằng:

nếu X là tổng

. Ký hiệu chung là


Tham số

được gọi là tham số quy mô (scale parameter),


(shape parameter) Một sơ đồ trạng thái của

là tham số hình dạng

được biểu diễn bởi Hình 1.1

Hình 1. 1- Sơ đồ chuyển trạng thái của phân phối Erlang-k với biến quy mô là
Các đặc trưng phương sai, phương sai và hệ số bình phương bằng nhau đều bằng nhau

1.1.2.5

Phân phối siêu bội

Một biến ngẫu nhiên

là phân phối siêu bội [2 tr.24] nếu

i=1,...,k một biến phân phối mũ

,

với 1/ . Biến ngẫu nhiên này được ký hiệu là

hoặc thu gọn là

Hệ số biến thiên của

là xác suất


. Hàm mật độ cho bởi:

hàm này luôn lớn hơn 1 hoặc bằng 1

1.1.3 Khái niệm hàng đợi và lý thuyết hàng đợi
Hàng đợi (hay dòng chờ) [11] là một dòng đợi dịch vụ. Yêu cầu được phục vụ từ
khách hàng sinh ra theo thời gian thông qua 1 nguồn đầu vào. Khách hàng sẽ phải chờ
trong hàng đợi đến lượt được phục vụ. Khách rời khỏi hệ thống sau khi đã được phục
vụ.
Đầu những năm 1900, A. K. Erlang, kỹ sư điện thoại Đan Mạch bắt đầu nghiên
cứu sự tắc nghẽn và thời gian chờ trong những cuộc gọi điện thoại. Từ đó, lý thuyết


hàng đợi đã phát triển và được sử dụng rộng rãi cho nhiều tình huống. Mô hình hàng
đợi gồm những biểu thức và những mối liên hệ được dùng để xác định những chỉ tiêu
phản ảnh đặc trưng của các hệ thống.

Hình 1. 2- Thành phần cơ bản của hàng đợi

Các thành phần cơ bản của hàng đợi [6 tr.6-7] bao gồm:
Tiến trình đến
Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng các đối tượng đi đến hệ thống và đòi hỏi
được thoả mãn yêu cầu phục vụ. Ví dụ: Dòng khách tới trung tâm bưu điện, dòng các
tàu biển đến cảng để bốc dỡ hàng hóa...
Dòng các yêu cầu đến hệ thống hàng đợi được đặc trưng bởi tốc độ đến (arrival
rate), ký hiệu là λ. Là một biến ngẫu nhiên được đặc trưng bởi phân phối xác suất của
các lần khách hàng đến liên tiếp. Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng biến cố ngẫu
nhiên và tuân theo những phân phối xác suất nhất định, như đã nêu ở mục 1.2.2.
Tiến trình phục vụ
Bao gồm hàng đợi phục vụ và quá trình phục vụ. Hàng đợi phục vụ: là tập hợp

các yêu cầu sắp xếp theo một trật tự để chờ được phục vụ theo một nguyên tắc phục vụ
nhất định.
Trong đó nguyên tắc phục vụ là cách thức nhận các yêu cầu vào các kênh phục
vụ. Nguyên tắc phục vụ cho biết trường hợp nào thì các yêu cầu được nhận vào phục
vụ và cách thức phân bố các yêu cầu vào các kênh như thế nào. Đồng thời nguyên tắc
phục vụ cũng cho biết trong trường hợp nào yêu cầu bị từ chối.


Một số quy tắc xếp hàng là FCFS (Fist-come-fist-server), LCFS (Last-come-fistserver), SIRO (Service-in-random-order), dịch vụ ưu tiên. Tùy thuộc vào loại dịch vụ
mà hệ thống phục vụ được thiết kế theo mô hình đơn hàng (có một hàng đợi), hay đa
hàng (nhiều hàng đợi), một bước phục vụ hay nhiều bước phục vụ. Thời gian phục vụ
được đặc trưng bởi phân phối xác suất khoảng thời gian mà khách hàng sử dụng các
dịch vụ.
Quá trình phục vụ hay kênh phục vụ là những thiết bị kỹ thuật, con người hoặc tổ
hợp các thiết bị kỹ thuật và con người mà hệ thống sử dụng để phục vụ các yêu cầu
đến hệ thống. Một đặc trưng quan trọng nhất của các kênh phục vụ là thời gian phục
vụ, đó là thời gian ít nhất mỗi kênh phải tiêu hao để phục vụ xong một yêu cầu.
Tiến trình ra.
Là dòng các yêu cầu đi ra khỏi hệ thống bao gồm các yêu cầu đã được phục vụ
và các yêu cầu bị từ chối. Ở đây chúng ta chỉ chú ý đến dòng yêu cầu đã được phục vụ;
vậy có thể coi tiến trình ra là dòng các yêu cầu đã được phục vụ rời khỏi hệ thống,
dòng ra được đặc trưng bởi tốc độ ra (departure rate), ký hiệu là �.
1.1.1. Các đặc điểm của hàng đợi
a) Đặc điểm của tiến trình đến
Kích thước khách hàng đến
Là giới hạn hoặc không giới hạn. Ví dụ: không ước lượng được số xe đến bãi rửa
xe trong thành phố lớn hoặc lượng sinh viên đăng ký môn học tại một trường đại học
lớn, đó là những hàng đợi không xác định được kích thước giới hạn của tiến trình đến.
Hầu hết mô hình hàng đợi có kích thước đến là không giới hạn.
Quy tắc của dòng đến

Khách hàng đến với dịch vụ theo một lịch trình (VD: Cứ 15 phút có một bệnh
nhân đến khám hoặc đúng 30 phút có một sinh viên đến đăng ký học) hoặc đến một
cách ngẫu nhiên không xác định chính xác được thời gian khách hàng kế tiếp đến.
Để tính toán số khách hàng trung bình đến dịch vụ trong một khoảng thời gian,
hay trung bình số lần xảy ra thành công của một sự kiện trong một khoảng thời gian
nhất định ta sử dụng phân phối Possion [6 tr.8] với giá trị trung bình này được ký hiện
là . Những hàng đợi có khách hàng đến ngẫu nhiên, độc lập và không xác định trước
thời gian đến. Số yêu cầu đến tại một thời điểm bất kỳ có thể ước lượng bằng phân
phối xác suất Possion được biểu diễn bởi hàm sau:


Trong đó: P(x) = xác suất xuất hiện x khách hàng vào hệ thống
x= Số yêu cầu đến trong 1 đơn vị thời gian
tốc độ đến (arrivals rate) của khách hàng

Ví dụ: với

Khách hàng đến/1 giờ thì xác suất không có khách hàng (k=0)

đến tại thời điểm bất kỳ là 13%, khả năng 1 khách hàng là 27%, 2 khách hàng khoản
27%, 3 khách hàng là 18%, 4 khách hàng là khoảng 9%.
Hành vi (tính chất) của tiến trình đến
Con người hay máy móc nói chung thường tuân theo quy luật xếp hàng cho đến
khi được phục vụ mà không chuyển giữa các hàng. Nhiều khách hàng từ chối chờ hoặc
thiếu kiên nhẫn nên từ bỏ giữa chừng. Những khách hàng đó sẽ đến và rời khỏi khi
chưa được phục vụ. Trên thực tế, cả hai trong số các trường hợp này chỉ phục vụ để
làm nổi bật sự cần thiết cho lý thuyết xếp hàng.
b) Đặc điểm hàng đợi
Hàng đợi gồm 2 đặc điểm:
Kích thước: Chiều dài của hàng đợi cũng có thể là giới hạn hoặc vô hạn. Giới

hạn khi số yêu cầu phục vụ chỉ tăng được đến một số lượng hữu hạn. Ngược lại, Dòng
đợi vô hạn có kích thước không bị giới hạn.
Nguyên tắc phục vụ:Hầu hết các hàng đợi thường sử dụng nguyên tắc phục vụ là
Fist-in, Fist-out hay còn gọi là Fist come – fist server (FCFS). Một phòng cấp cứu của
bệnh việc hoặc quầy thanh toán của một siêu thị thường áp dụng FCFS. Tuy nhiên
trong một số trường hợp như bệnh nhân đưa đến cấp cứu có mức độ nghiêm trọng cao
hơn thì sẽ được phục vụ trước, từ đó việc tính toán các yếu tố của hàng đợi cần đảm
bảo một số quy tắc ưu tiên. Với những hàng đợi có ưu tiên, ta cũng cần tính xác suất
xuất hiện yêu cầu cần ưu tiên.
c) Đặc điểm dịch vụ
Phần thứ 3 của mỗi hệ thống hàng đợi là đặc điểm về dịch vụ. Hai thuộc tính
quan trọng của dịch vụ là: Thiết kế của hệ thống phục vụ và phân phối thời gian phục
vụ.
Thiết kế của hệ thống dịch vụ là cách thiết kế số kênh, số bước (phase) phục vụ
để thực hiện các giao dịch với khách hàng. Hầu hết các ngân hàng và các siêu thị lớn
hiện nay đều có nhiều quầy phục vụ, và tùy vào tính chất dịch vụ mà số bước giao dịch
được thiết kế cho phù hợp. Trong một hệ thống với một bước xử lý duy nhất, khách
hàng đến dịch vụ chỉ thực hiện giao dịch tại 1 trạm sau đó rời khỏi hệ thống. Các hệ


thống dịch vụ công thực hiện chức năng tiếp nhận yêu cầu, xử lý hồ sơ và trả kết quả
cho người làm thủ tục là mô hình với 1 bước xử lý duy nhất. Tuy nhiên cũng có những
thủ tục hành chính cần thực hiện nộp hồ sơ tại một bộ phận, thanh toán lệ phí tại một
bộ phận và nhận kết quả tại 1 bộ phận khác là mô hình với nhiều bước xử lý.
Phân phối thời gian phục vụ. Thời gian phục vụ thường là chính xác hoặc ngẫu
nhiên. Thời gian phục vụ chính xác là khoảng thời gian phục vụ giống nhau với mọi
khách hàng, phân phối này thường đặc trưng cho hoạt động của máy móc. Trong thực
tế, hầu hết thời gian phục vụ thường tuân theo phân phối ngẫu nhiên.
1.1.4 Kí hiệu Kendall
Kendall [3 tr.14] sử dụng ký tự để mô tả một cách ngắn gọn cấu trúc hệ thống

hàng đợi, bao gồm 3 phần cơ bản: A/B/c, với:
-

-

-

A: là hàm phân phối thời gian của các lần đến liên tiếp. Tùy thuộc vào đặc điểm
của hàng đợi mà luật phân phối được thể hiện trong ký hiệu sẽ có giá trị tương
ứng như sau: M (phân phối mũ), G (phân phối chung), D (phân phối đều),
Er( phân phối Erlangian), H (phân phối siêu mũ)
B: hàm phân phối thời gian phục vụ. Tương tự như phân phối thời gian đến, luật
phân phối được thể hiện trong ký hiệu sẽ một trong những giá trị tương ứng như
sau: M (phân phối mũ), G (phân phối chung), D (phân phối đều), Er( phân phối
Erlangian), H (phân phối siêu mũ)
c: Số kênh phục vụ (c>0)
Ký tự mô tả có thể mở rộng thêm một số thông số sau:

-

K: Số lượng khách hàng lớn nhất có thể có trong hệ thống (trong hàng đợi và
đang được phục vụ)
n: Nguồn khác hàng vô hạn (∞) hoặc hữu hạn (n)
D: Nguyên tắc phục vụ

Một số ví dụ để hiểu rõ về ký hiệu Kendall:
Ví dụ 1: hệ thống hàng đợi M/M/1, là mô hình hệ thống hàng đợi cổ điển, đơn
giản nhất với 3 thành phần:
- Thời gian giữa các lần tín hiệu xuất hiện liên tiếp tuân theo luật phân phối mũ
(M).

- Thời gian phục vụ theo luật phân phối mũ (M).
- Có 1 kênh phục vụ (c=1).
Ví dụ 2: Hệ thống có cách thành phần G/G/1/∞/∞/FCFS nghĩa là:
- Thời gian giữa các tín hiệu xuất hiện liên tiếp tuân theo luật phân phối G
(General);
- Thời gian phục vụ theo luật phân phối G;


- Dung lượng hệ thống là vô hạn;
- Kích thước dòng đến (population size) là vô hạn;
- Nguyên tắc phục vụ FCFS;
- Có 1 kênh phục vụ.
1.1.2. Hệ số sử dụng dịch vụ
Giá trị đến λ, thời gian phục vụ E(B) công việc đến trong 1 đơn vị thời gian là
λE(B). Quầy phục vụ thực hiện 1 công việc trên 1 đơn vị thời gian. Điều kiện dừng là:
λE(B) < 1 Với B là thời gian phục vụ trung bình.
Nếu ρ < 1 thì ρ được gọi là hệ số sử dụng bởi nó đặc trưng cho thời gian hệ thống
phục vụ làm việc. Với hệ thống có c quầy phục vụ thì ta có λE(B)< c. Vậy hệ số phục
vụ là: ρ = λE(B)/c
1.1.5 Định nghĩa các độ đo hiệu suất
Đo hiệu suất của hàng đợi là việc sử dụng cơ sở toán học để xác định được các
tham số sau:
-

Phân phối thời gian chờ đợi và tạm trú của một khách hàng (thời gian tạm trú
bằng thời gian chờ + thời gian phục vụ).
Phân phối số lượng khách hàng trong hệ thống (bao gồm hoặc không bao gồm
những khách hàng đang được phục vụ).
Phân phối khối lượng các công việc trong hệ thống (Tổng thời gian khách hàng
chờ đợi và thời gian còn lại của khách hàng trong dịch vụ).

Phân phối thời gian bận rộn của kênh phục vụ (là khoảng thời gian phục vụ liên
tục của kênh).
Đặc biệt, đối với hệ thống hàng đợi chúng ta quan tâm đến một số các tham số

sau:
Bảng 1. 2 - Một số tham số của hàng đợi
STT

Ký
hiệu

Mô tả

1.

λ

Tốc độ đến (arrival rate) của khách hàng

2.

µ

Tốc độ phục vụ (service rate)

3.

tn

Khoảng thời gian giữa khách hàng liên tiếp (tn= τn - τn-1 )


4.
5.

Wq
Ws

Thời gian chờ để được phục vụ trong hàng đợi
Thời gian tạm trú của khách hàng trong hệ thống (thời gian
đợi + thời gian phục vụ) của khách hàng thứ n


Sn=Wq+ � n
6.
An(t)

Hàm phân phối xác suất thời gian giữa hai khách hàng liên
tiếp
( An(t)=P[tn≤t] )

7.

B(�)

Phân phối thời gian phục vụ

8.

Số khách hàng đến trong khoảng thời gian (0,t)


9.

Số khách hàng ra khỏi hệ thống trong khoảng thời gian (0,t)

10.

Số khách hàng ở trong hệ thống tại thời điểm t
L(t)

11.

Lq

Số khách hàng trong hàng đợi

12.

T

Tổng thời gian phục vụ của toàn bộ hệ thống

13.

Hệ số sử dụng hệ thống
ρ

14.

pK


xác suất có K khách hàng trong hệ thống

1.1.6 Luật Little
Luật Little [12 tr.82] phát biểu như sau: “Trong điều kiện trạng thái dừng, số
lượng trung bình khách hàng trong một hệ thống hàng đợi bằng với tốc độ trung bình
khách hàng đến nhân với thời gian trung bình mà một khách hàng sử dụng trong hệ
thống”
Luật Little đưa ra mối quan hệ quan trọng giữa
thống,

- số khách hàng trong hệ

thời gian lưu trú của khách hàng trong hệ thống và

– số khách hàng

trung bình đến trong một đơn vị thời gian [4 tr.26].
Luật Little ký hiệu như sau:
E(L)= λE(S)

(3.1)

Để mô tả cho luật Little ta xét với mô hình hàng đợi 1 quầy phục vụ. Với mô
hình này chúng ta có thể thu được một số thông số hiệu suất khi áp dụng luật. Áp
dụng luật cho hàng đợi (không gồm quầy phục vụ) thu được mối quan hệ giữa chiều
dài hàng đợi

và thời gian đợi

như sau:



Cuối cùng, khi áp dụng luật Little cho quầy phục vụ ta có

Với

là số khách hàng ở trong quầy phục vụ (áp dụng tương tự với hàm thời

gian phục vụ) và

là thời gian phục vụ.

1.2 Một số mô hình hàng đợi cơ bản
Trong thực tế có rất nhiều mô hình hàng đợi được áp dụng trong quản lý, Bảng
1.2 liệt kê một số mô hình thường thấy áp dụng trong các ứng dụng. Với mỗi mô hình
sẽ có những đặc điểm và quá trình chuyển trạng thái riêng; các đặc điểm và phương
pháp tính hiệu suất của từng mô hình sẽ được trình bày trong các tiểu mục của mục 1.2
này.
Bảng 1. 3-Một số mô hình hàng đợi cơ bản
Tên hàng đợi

Số kênh Số
phục vụ bước
phục
vụ

Phân
Phân phối Kích
Nguyên
phối tín thời gian thước

tắc phục
hiệu đến phục vụ
của dòng vụ
đến

Hệ thống đơn 1
hàng M/M/1

1

Luật
Luật phân Không
phân phối phối mũ
giới hạn
mũ

FIFO

Hệ thống đa hàng c (c>1)
M/M/c

1

Possion

Luật phân Không
phối mũ
giới hạn

FIFO


Hệ thống hàng 1
đợi có thời gian
phục vụ chính
xác (M/D/1)

1

Possion

Luật phân Không
phối mũ
giới hạn

FIFO

Hệ thống hàng c(c>1)
đợi M/M/c/K

c

Possion

Luật phân Giới hạn
phối mũ

FIFO

Trong phần tiếp theo, luận văn nêu chi tiết đặc điểm cũng như các độ đo hiệu
suất của những hàng đợi đã nêu trong bảng 1.3.

1.2.1 Hệ thống một kênh phục vụ M/M/1
a) Đặc điểm:
Là hàng đợi đơn giản nhất với một số đặc điểm:


-

Không giới hạn kích thước dòng vào
Không giới hạn kích thước hàng đợi
Có duy nhất một kênh phục vụ
Áp dụng quy tắc phục vụ FCFS
Phân phối tốc độ đến và thời gian phục tuân theo phân phối Poisson

Mô hình hàng đợi được miêu tả như sau:

Input

Hàng đợi
(queue)

K-1 vị trí

Output
FCFS

Server

W thời gian
đợi Hình
Hình1.1.3- -Mô

Môhình
hìnhhàng
hàngđợi
đợiM/M/1
M/M/1
b) Đo hiệu suất hàng đợi M/M/1

Hình 1. 4 - Sơ đồ chuyển trạng thái của hàng đợi M/M/1

Đối với mô hình chuyển trạng thái như hình 1.4 [4 tr.30] tốc độ đến và tốc độ phục vụ
không phụ thuộc trạng thái, mà được đặc trưng bởi số khách hàng trong hệ thống.
-

Phân phối thời gian đến

-

Phân phối thời gian phục vụ

-

Để hàng đợi đảm bảo điều kiện dừng (không vượt quá khả năng phục vụ) cần
đảm bảo ràng buộc [4 tr.29]

Ta có các biến cần tính toán sau:
= Số khách hàng đến trung bình trong một đơn vị thời gian
= Số khách hàng được phục vụ trong một đơn vị thời gian
Số lượng khách hàng lưu trú trong hệ thống (lượng khách đang chờ đợi + đang
được phục vụ)



Thời gian trung bình khách hàng trong hệ thống (thời gian chờ đợi + thời gian
phục vụ)

= Số khách hàng trung bình trong hàng đợi

Thời gian chờ đợi trung bình trong hàng đợi

Xác suất không có khách hàng trong hệ thống (hệ thống nhàn rỗi)

1.2.2 Hệ thống đa kênh phục vụ M/M/c
Hàng đợi M/M/c được mô tả như sau: Mô hình hàng đợi với 2 hoặc nhiều quầy phục
vụ, khách hàng đến một hàng đợi và tiến đến quầy phục vụ đầu tiên trống. Đây là mô
hình áp dụng nhiều tại các ngân hàng hoặc các hệ thống tổng đài hỗ trợ.
a) Đặc điểm:

Server 1

Input

Hàng đợi
(queue)

FCFS

Server 2

…
W thời gian
đợi


Server c

Hình 1. 5- Mô hình hàng đợi M/M/c

-

Phân phối thời gian đến là

Output


-

Phân phối thời gian phục vụ

-

Hiệu suất phục vụ:

b) Đo điệu suất hệ thống M/M/c:

Hình 1. 6 - Sơ đồ chuyển trạng thái hàng đợi M/M/c
Sơ đồ chuyển trạng thái hình 1.7 [4 tr.43] cho thấy tốc độ phục vụ phụ thuộc vào
số kênh phục vụ; các biến của hệ thống M/M/c:
Số kênh phục vụ
= Số khách hàng đến trung bình trong một đơn vị thời gian
= Số khách hàng được phục vụ trong một đơn vị thời gian ở mỗi kênh
Xác xuất hệ thống không có khách hàng


Trung bình số khách hàng trong hệ thống là

Thời gian trung bình khách hàng trong hệ thống (bao gồm thời gian chờ và được phục
vụ)

Số khách hàng trong hàng đợi phục vụ


Thời gian trung bình khách hàng ở trong hàng đợi

1.2.3 Hệ thống hàng đợi có thời gian phục vụ chính xác (M/D/1)
Một số hàng đợi có thời gian phục vụ chính xác [6 tr.14] thay vì phân phối mũ.
Khi khách hàng yêu cầu dịch vụ quá trình phục vụ theo một vòng đời được định sẵn,
như trong trường hợp máy rửa xe tự động. Vì thời gian phục vụ là cố định nên các giá
trị

[3 tr.61] luôn luôn nhỏ hơn các thông số tương tự ở mô hình

M/M/1. Cả chiều dài hàng đợi và thời gian chờ đợi trung bình đều giảm một nửa.
Độ dài trung bình của hàng đợi

Thời gian đợi trung bình

Số khách hàng trung bình trong hệ thống

Thời gian đợi trung bình trong hệ thống

1.2.4 Hệ thống hàng đợi giới hạn kích thước M/M/c/K
Là hệ thống đa kênh và chỉ có tối đa K khách hàng được phép lưu trú trong hệ thống.
Hệ thống hàng đợi M/M/m/K được mô hình hóa trong Hình 1.8


Server 1

Input

Hàng đợi
(queue)

FCFS

Server 2

…
W thời gian
đợi

Server c

Hình 1. 7- Mô hình hàng đơi M/M/c/K

Output


a)
b)

Đặc điểm
Hàng gồm c kênh phục vụ
Nguyên tắc phục vụ FCFS
Không giới hạn kích thước dòng vào

Giới hạn kích thước khách hàng trong hàng đợi
Đo hiệu suất
Tốc độ đến và tốc độ phục vụ của của trạng thái i được xác định là λ i và

iµ

Hiệu suất hệ thống [4 tr.43]

ρ =

λ
µ

Sơ đồ chuyển trạng thái của hệ thống được mô tả hình 1.9

Hình 1. 8 - Sơ đồ chuyển trạng thái mô hình hàng đợi M/M/c/K
Trong mô hình trên, hệ thống ở trạng thái i khi có i khách hàng được phục vụ
đồng thời.
Chiều dài hàng đợi trung bình, xác suất có k khách hàng và 0 khách hàng trong
hệ thống [3 tr.55]:

Trung bình khách hàng trong hệ thống

Và do

Chúng ta có:

Ngoài các hệ thống hàng đợi đã giới thiệu (M/M/1, M/M/1/K, M/M/c, M/M/c/K)
trên đây, còn có rất nhiều mô hình hệ thống hàng đợi khác như M/M/c/K/M, M/G/1, M
/Er /1, Er /M/1, M/G/1,G/M/m, G/G/1 được trình bày khá chi tiết trong tài liệu [3].

1.3 Các điều kiện để bài toán có thể giải được bằng lý thuyết
Điều kiện 1: Dòng vào của hệ thống phải là dòng tối giản hoặc xấp xỉ tối giản.


Điều kiện 2: Khoảng thời gian (T) giữa 2 lần xuất hiện liên tiếp các yêu cầu là đại
lượng ngẫu nhiên tuân theo qui luật hàm số mũ. Như vậy, hàm mật độ xác suất có
dạng:
(1.1)
Và hàm phân phối xác suất có dạng
(1.2)
Với λ là cường độ dòng vào, đó là số yêu cầu trung bình xuất hiện trong một đơn
vị thời gian.
Điều kiện 3: Thời gian phục vụ của các kênh cũng là đại lượng ngẫu nhiên tuân
theo qui luật hàm số mũ.
Như vậy, hàm mật độ xác suất có dạng
có dạng

Và hàm phân phối xác suất

Với μ là năng suất phục vụ của các kênh, đó là số yêu cầu

được phục vụ tính bình quân trên một đơn vị thời gian.
1.4 Phương pháp giải quyết bài toán bằng lý thuyết hàng đợi
Giải bài toán phục vụ đám đông bằng lý thuyết hàng đợi hay phương pháp giải
tích là phương pháp cơ bản và được sử dụng khá phổ biến. Đường lối chung của
phương pháp này bao gồm các bước:
Bước 1: Phân tích hệ thống mà chủ yếu là phân tích tính chất của dòng vào và
các trạng thái của hệ thống;
Bước 2: Thiết lập hệ phương trình trạng thái để giải ra các xác suất trạng thái;
Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm ra các xác suất trạng thái và từ đó thiết lập

mối quan hệ giữa các chỉ tiêu cần phân tích;
Bước 4: Tính toán, phân tích các chỉ tiêu, trên cơ sở đó đưa ra nhận xét và kết
luận.
Kết luận chương
Trong chương này, luận văn đã làm rõ các thành phần cơ bản của một hệ thống
hàng đợi và một số kết luận quan trọng của lý thuyết hàng đợi như luật Little, kí hiệu
Kedall và của một số hàng đợi cơ bản như M/M/1, M/M/c, M/M/c/K.
Tuy nhiên, còn cần xem xét nhiều yếu tố khác của hàng đợi như độ ưu tiên, phân
phối thời gian bận. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học máy tính, việc tích hợp
các phân phối xác suất toán học vào trong các phần mềm mô phỏng giúp xây dựng, thiết
lập các mô hình trở nên đơn giản hơn rất nhiều, khắc phục được những hạn chế của
phương pháp toán học thuần túy trong giải quyết bài toán hàng đợi. Chúng ta sẽ thấy được
sự hiệu quả của các công cụ mô phỏng chương 2 của luận văn.