PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi nghiên cứu các hệ vật lý, một trong những tính chất đặc biệt được
quan tâm trước hết là tính đối xứng. Từ tính chất đối xứng này ta có thể suy ra
các định luật bảo toàn. Lý thuyết nhóm cho phép ta nghiên cứu các cách đối
xứng trong không gian, từ không gian 3 chiều tới không gian 4 chiều hoặc
nhiều hơn. Vì vậy lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng trong vật lý và đây là
một môn học trong chương trình bậc đại học.
Trong quá trình học vật lý, việc giải bài tập có vai trò rất quan trọng, hoạt
động này giúp người học hiểu sâu kiến thức, biết phân tích và vận dụng chúng
một cách linh hoạt. Đồng thời việc giải bài tập là một hình thức củng cố, ôn
tập, hệ thống hóa kiến thức và biến kiến thức đó thành vốn riêng của người
học. Khi nhập môn lý thuyết nhóm, có rất nhiều bạn gặp khó khăn trong việc
giải bài tập của học phần này. Vì vậy tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số bài
tập về nhóm hữu hạn” với mục đích tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu
hạn để hiểu và nắm vững các đặc điểm cũng như tính chất của các nhóm hữu
hạn thường dùng trong vật lý.
Tôi hi vọng đề tài này có thể là tài liệu tham khảo cho những bạn bước
đầu làm quen với bộ môn lý thuyết nhóm.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về các nhóm hữu hạn.
Giải một số bài tập về nhóm hữu hạn.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số bài tập về nhóm hữu hạn.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đưa ra cơ sở lý thuyết của nhóm hữu hạn.
Giới thiệu một số bài tập về nhóm hữu hạn cùng cách giải các bài tập đó.

1

5. Các phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán.
6. Cấu trúc khóa luận
Gồm 2 chương:
Chương 1: Nhóm hữu hạn.
Chương 2: Một số bài tập.


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: NHÓM HỮU HẠN
1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ
Định nghĩa
Một tập hợp

{G : a, b, c,...} được gọi là một nhóm nếu có một toán tử ∙,

được gọi là phép nhân nhóm, mà toán tử này cùng với các phần tử của G thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i) Tính kín: Với ∀a,

b
∈ G
(ii) Tính kết hợp: Với

thì a ⋅ b ∈G .

∀a, b, thì a ⋅ ( b ⋅ c ) =
c ∈G

(a ⋅ b)⋅ c .


(iii) Tồn tại phần tử đơn vị: Trong số các phần tử của G, có một phần tử
đơn vị e sao cho: a ⋅e

=a

với ∀a ∈G .

(iv) Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mỗi a có một phần tử nghịch đảo
∈G
−1

a
∈
G

sao cho: a ⋅ a

−1

= e.

Từ các tiên đề trong định nghĩa nhóm, ta có thể rút ra được các hệ quả
như:
−

e 1
= e;

−


a 1⋅ a
= e;

e⋅a
=a

với ∀a ∈G .


Ví dụ 1: Tập hợp các số thực R với phép cộng tạo thành một
nhóm. Tập

R

+∗

với phép nhân thông thường tạo thành

một nhóm.
Nhưng không phải bất kì phép nhân nào với một tập hợp cho trước đều
tạo thành một nhóm vì không thỏa mãn đồng thời bốn tính chất trên. Ví dụ:
Tập R với phép nhân thông thường, tập hợp các vectơ trong không gian ba
chiều với phép nhân vô hướng,…
 Nhóm Abelian: là nhóm mà phép nhân nhóm đòi hỏi có tính chất giao
hoán:


a ⋅b
= b⋅a


với ∀a, b ∈ G

 Nhóm tuần hoàn: là một nhóm có
thể được sinh ra từ một tập hợp
sinh chỉ gồm một phần tử a. Nếu
nhóm được viết theo lối nhân thì
mỗi phần tử của nhóm là một lũy
thừa của a, còn khi nhóm được
viết theo lối cộng thì mỗi phần tử
của nhóm là một bội của a.

 Hạng của nhóm: là số phần tử của
nhóm (nếu nhóm là hữu hạn).
Nhóm mà số phần tử của
nhóm là hữu hạn được gọi là
nhóm hữu hạn, ngược lại là nhóm
vô hạn.
 Bảng nhân nhóm: là một bảng thể
hiện luật nhân nhóm của các phần
tử trong nhóm.
e

a

b

e

e


a

b

a

a

a.a

a.b

b

b

b.a

b.b

…..

…..

…..

…..

Ví dụ 2 : Nhóm đơn giản nhất chỉ

gồm một phần tử đơn vị e. nghịch
đảo của e chính là e và luật nhân


nhóm là ee=e. Rõ ràng ta thấy
rằng tất cả các tiên đề của nhóm
đều được thỏa mãn. Số 1 với
phép nhân thông thường tạo
thành nhóm này, kí hiệu là C1.
Ví dụ 3 : Nhóm đơn giản tiếp
theo có 2 phần tử, trong đó có
một phần tử đơn
vị. Ta biểu thị nhóm này bởi

{e,

a} . Tùy theo tính chất của e, ta
phải có ee=e và ea=ae=a. Vậy
chỉ còn aa cần được xác định.
Hoặc aa=e, hoặc aa=a. Khả
năng thứ hai là không thể vì nếu
-1

nhân cả 2 vế với a thì dẫn tới
a=e.


Luật nhân nhóm được tóm tắt ngắn gọn qua bảng 1.1. Nhóm này được kí
hiệu là C2. Rõ ràng các số +1 (e) và -1 (a) hình thành nhóm này cùng với
phép nhân thông thường.

Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm của C2
e

a

e

e

a

a

a

e

Ví dụ 4: Chỉ có duy nhất một nhóm ba phần tử C3 với bảng nhân nhóm
-1

được đưa ra ở bảng 1.2. Vì a =b nên ta có thể biểu thị 3 phần tử này bởi
a, a

−1

}

{e,

3


với đòi hỏi rằng a =e.

Các ví dụ cụ thể về nhóm C3 là: (i) các số

i 2π /3 −i 2π /3

(1, e

,e

với luật nhân

thông thường, (ii) các toán tử đối xứng của tam giác đều trong mặt phẳng,
tức là các phép quay bởi góc 0, 2π / 3, và 4π / 3 .
Bảng 1.2: Bảng nhân nhóm của C3
e

a

b

e

e

a

b


a

a

b

e

b

b

e

a

Ví dụ 5: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là hạng 4. Nó thường được gọi
là nhóm bốn hoặc nhóm nhị diện và kí hiệu bởi D2 . Nếu ta biểu thị bốn phần
tử này là
này

{e, a, b, c} , bảng nhân được đưa ra ở bảng 1.3. Bốn phần tử


tương ứng với các phép biến đổi đối xứng trong hình 1.1: (i) giữ hình không
đổi, (ii) phép chiếu lên trục thẳng đứng (1,3), (iii) phép chiếu lên trục nằm
ngang (2,4) và (iv) phép quay quanh tâm một góc π trong mặt phẳng.


1

2

4
3

Hình 1.1: Dạng đối xứng D2.
Bảng 1.3: Bảng nhân nhóm của D2
e

a

b

c

e

e

a

b

c

a

a

e


c

b

b

b

c

e

a

c

c

b

a

e

Ví dụ 6 : Nhóm không Abelian nhỏ nhất là hạng 6. Nó được tạo ra từ các
phép biến đổi đối xứng dạng hình học hình 1.2.
1

3’


2

2’

1’

Hình 1.2: Dạng đối xứng D3.

3


Đây là nhóm nhị diện D3 bao gồm: (i) phép biến đổi đơn vị, (ii) phép
chiếu xuống các trục (1, 1’), (2, 2’), (3, 3’), (iii) phép quay quanh tâm với các
góc
2π / 3

và 4π / 3 .

Các phép chiếu làm đổi chỗ hai điểm, chiếu thêm lần nữa ta sẽ trở lại hình
ban đầu. Ví dụ chiếu xuống trục (3, 3’) làm đổi chỗ của 1 và 2,… Do đó ta
biểu thị ba toán tử chiếu này là (12), (23), (31). Các phép quay (theo chiều
kim đồng hồ) với góc
2π / 3

và
4π / 3

dẫn tới hoán vị tuần hoàn của cả ba


điểm, sẽ được biểu thị lần lượt là (321) và (123).
Ta nhận thấy rằng có một và chỉ một sự tương ứng giữa các phép biến đổi
đối xứng và các hoán vị của ba điểm này hình thành nhóm hoán vị S3. Có thể
dễ dàng kiểm tra rằng nếu thực hiện các phép biến đổi (12) và (123) liên tiếp
thì tùy thuộc vào thứ tự áp dụng sẽ cho kết quả là (31) hoặc (23). Điều đó
chứng tỏ đây là nhóm không Abelian.
Bảng 1.4: Bảng nhân nhóm của D3 (hay S3)
e

(12)

(23)

(31)

(123)

(321)

e

e

(12)

(23)

(31)

(123)


(321)

(12)

(12)

e

(123)

(321)

(23)

(31)

(23)

(23)

(321)

e

(123)

(31)

(12)


(31)

(31)

(123)

(321)

e

(12)

(23)

(123)

(123)

(31)

(12)

(23)

(321)

e

(321)


(321)

(23)

(31)

(12)

e

(123)

1.2 NHÓM CON
Định nghĩa: Một tập con H của nhóm G cùng với luật nhân của G hình thành
một nhóm con của G.
Ví dụ 1 : Nhóm bốn D2 có ba nhóm con riêng biệt bao gồm các phần tử


{e,
a}

{e,
b}
,

và

{e, c} .



Ví dụ 2 : Nhóm S3 có bốn nhóm con riêng biệt như sau:

{e, (12)}, {e, (23)}, {e, (31)}, và {e, (123) , (321)}. Ba nhóm
con đầu là nhóm hạng 2, nhóm còn lại là nhóm hạng 3.
Tập hợp bất kì các ma trận

khả nghịch bao gồm ma trận đơn vị và

n× n

các ma trận có tính kín dưới phép nhân ma trận, hình thành một nhóm ma
trận. Một số nhóm quan trọng thường dùng sau:
(i) Nhóm tuyến tính tổng quát GL(n) bao gồm tất cả các ma trận n× n

khả

nghịch.
(ii) Nhóm Unita U(n) bao gồm tất cả các ma trận unita, tức là các ma trận

n× n U thỏa mãn U U + =

1.

(iii)Nhóm Unita đặc biệt SU(n) bao gồm các ma trận unita với định thức đơn vị.
(iv) Nhóm trực giao O(n) bao gồm các ma trận trực giao thực, hoặc các ma
trận n× n thực thỏa
mãn

OO = 1 .

T

Rõ ràng SU(n) và O(n) là các nhóm con của U(n); U(n) lại là nhóm con
của GL(n).
1.3 BỔ ĐỀ SẮP XẾP VÀ NHÓM ĐỐI XỨNG ( NHÓM HOÁN VỊ )
Sự tồn tại thành phần nghịch đảo của mỗi phần tử là tính chất đặc trưng
của nhóm. Hệ quả trực tiếp của tính chất này là bổ đề sắp xếp.
Bổ đề sắp xếp: Nếu có p, b, c

∈G

và pb =

pc

Chứng minh: Nhân trái cả hai vế với

p

thì ta có:

−1

Mà p

= e

−1

p


thì

−
p 1 pb eb = ec
do đó =

b= c.


−

p 1 pc

hay b

= c .(đpcm)

Kết quả này có nghĩa là: Nếu b và c là những phần tử khác nhau của G thì
pb và pc cũng khác nhau. Bởi vậy nếu tất cả các phần tử của G được sắp xếp
theo một trật tự và đều nhân trái với cùng một phần tử p thì thứ tự của kết quả


cũng đúng với thứ tự sắp xếp ban đầu. Tất nhiên kết quả cũng giống như vậy
nếu ta áp dụng phép nhân phải.
Hãy xét trường hợp với nhóm hữu hạn hạng n. Ta biểu thị các phần
tử của nhóm là {g1 , g2 ,..., gn } . Nhân mỗi phần tử này với một phần
tử không đổi h
thì kết quả là


{hg1, hg2 ,..., hgn } = {gh1, gh2

,..., ghn }
một hoán vị của các số (1, 2,...,

ở đây

)

( h1 , h2 ,..., hn

là

được xác định bởi h. Từ đó ta tìm được bản

n)
chất mối quan hệ giữa phần tử h

∈G

và một hoán vị được đặc trưng bởi

( h1 , h2 ,..., hn ) .
Một hoán vị tùy ý của n đối tượng sẽ được biểu thị bởi

1 2
p= 
 p1 p2

3




p3 

n

pn 
,

ở đây mỗi phần tử trong hàng đầu tiên được thay thế bởi một phần tử tương
ứng ở hàng thứ hai. Tập hợp n! hoán vị của n đối tượng hình thành một nhóm
Sn, gọi là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng.
Không khó để nhận thấy rằng kết quả thứ hai của sự đổi chỗ sẽ dẫn tới
một hoán vị. Điều này định nghĩa phép nhân nhóm. Phần tử đơn vị tương ứng
việc không có sự đổi chỗ, tức là

1 2  n 
e= 

1 2  n 
Lấy nghịch đảo từ p ta được

p−1 =

p1
1


p2 

2 

pn 
n



Một kí hiệu thích hợp và ngắn gọn hơn cho phép hoán vị là cơ sở trong
cấu trúc tuần hoàn có thể được giải thích rõ ràng nhất trong ví dụ sau: Xét
hoán vị của sáu đối tượng


p=

1 2 6 3 4 5

5 4 1 2 6

3
Vì 1 được thay thế bởi 3, 3 được thay thế bởi 4, 4 được thay thế bởi 1nên

ba đối tượng này hình thành một chu kì-3 và được kí hiệu là (134). Tương tự,
2 và 5 hình thành một chu kì-2, được kí hiệu là (25). Số 6 không bị xáo trộn,
nó có dạng chu kì-1, được kí hiệu là (6). Các kí hiệu tuần hoàn (134)(25)(6)
đã xác định rõ phép hoán vị.
Với kí hiệu này, phần tử đơn vị bao gồm n chu kì-1 và nghịch đảo của

( p1, p2 ,..., pm ) là

những số giống như vậy trong cấp nghịch đảo, tức là


( pm , pm−1,..., p1 ) . Rõ ràng rằng vị trí tuyệt đối của một số trong chu kì
là không quan trọng, chỉ cần kể đến bậc tuần hoàn.
Phép đẳng cấu: Hai nhóm G và

G′

được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một và

chỉ một sự tương ứng giữa các phần tử của chúng. Các phần tử này đều tuân
theo luật nhân nhóm. Nói cách khác, nếu g ∈G
i

↔
∈G′

g i′

và g1g2 =

g3

trong G thì g ′
1

= trong G′ và ngược lại.
g 2′ g3′

Ví dụ : (i) Nhóm A bao gồm các số


cùng với phép nhân thông thường

{±1, ±i}

{

đẳng cấu với nhóm tuần hoàn hạng 4,

2π i / 4 4π i / 4 6π i / 4

C4 = 1, hiệu, e
e

A  C4 ; (ii) Nhóm nhị diện D3 đẳng cấu với nhóm đối xứng
S3,

,e

},

kí

D3  S3 .

Định lí 1.1 (Cayley): Mọi nhóm G hạng n đẳng cấu với một nhóm con của Sn.
Chứng minh: Bổ đề sắp xếp đã đưa ra một sự tương ứng từ G tới Sn:


= 1 2 
a∈ G

a
→
a
pa
a
 1 2 
ở đây chỉ số

{ai }

n
,

∈
Sn
n 

(1.3-1)

được xác định từ việc định nghĩa đơn vị.

gai =
agi ,

i = 1,
2,..., n

.

(1.3-2)



Đặt ab=c trong G. Ta có sự tương ứng:

1 2
pa pb = 
a
a




 1 2
 b1 b 
2
= 
 ab1 ab 2 


n  ⋅ 1 2
a
bb
n

 

1





2

1 2 
 ⋅
an 
b2 
b1
b
bn


n

b
n



n  1 2 
= 
ab 2 
bn 
a b1


n 

an 
b


Nhưng theo công thức (1.3-2) thì

g =
ag
abi

= a
(bg

i

)=
(ab) g

= cg = g
i

i

ci

bi

Ta kết luận rằng vế phải của phương trình trên là đúng

pc = 1 2  n  
c
c  c
 1 2

n 
Vậy ab=c trong G dẫn tới papb=pc trong Sn; nói cách khác ánh xạ

a ∈G
→ pa
∈ Sn

tuân theo phép nhân nhóm. Nó chỉ ra rằng các hoán vị

1 2 
pa = 

 1aa 2
với mọi a
∈G

n
a 
n 

hình thành một nhóm con của Sn, mà nhóm con này đẳng cấu

với G.
Ví dụ 1 : Nhóm tuần hoàn hạng 3 {C3 : e, a, 2 } là đẳng cấu với nhóm
b= a
con


của S3 gồm các phần tử


{e, (123) , (321)} . Ta thực hiện ví dụ này dựa
vào

chứng minh tổng quát ở trên.
Nếu có ba phần tử của C3 là (g1, g2, g3) thì nhân trái với e (=g1) cho ta một
tập hợp không đổi. Vì vậy

e ∈ C3 → e =
. Tiếp theo nhân các

(1)( 2 )( 3) ∈ S3

phần tử nhóm với a (=g2) làm cho tập hợp được sắp xếp lại (a, b, e)=(g2, g3,
g1). Do đó tập hợp của các số (a1, a2, a3) là (2, 3, 1) và ta thu được


a ∈ C 3 → pa

 1 2 3
= 
 ∈ S3
2 31
Theo kí hiệu tuần hoàn thì
pa=(123). Tương tự như vậy, nhân
với b (=g3)

=
b
∈ ( 32
đó (b1, b2, b3)=(3, 1, 2)

C3
1) ∈
và Rõ ràng hai nhóm
→
S3 .
pb
trên là hoàn toàn đẳng
cho ta (g3, g1, g2), do

cấu.
Ví dụ 2 : Nhóm
nhị diện {D2 : e,

a, b, c}

đẳng cấu với
nhóm con của S4
bao

{e, (12)(34),
(13)(24), (14 )( 23)} .
gồm các phần tử

Hơn nữa, các kí hiệu tuần hoàn
xuất hiện trong một hoán vị bất kì kết
hợp với một phần tử cho trước của
nhóm phải có cùng kích thước. Điều
này rõ ràng đúng trong tất cả các ví
dụ trên. Kết quả này đưa ra một hệ
quả đó là: Nếu hạng n của nhóm là

một số nguyên tố thì nhóm con tương
ứng của Sn chỉ gồm các chu kì-n.
Định lí 1.2: Nếu hạng n của nhóm là
một số nguyên tố thì nhóm đó phải
đẳng cấu với Cn.
1.4 LỚP LIÊN HỢP VÀ NHÓM CON
BẤT BIẾN


Các phần tử của một nhóm G
có thể được chia thành các lớp
liên hợp và các lớp kề. Các cách
cấu thành khác nhau để sắp xếp
các phần tử của nhóm sẽ sử dụng
trong việc nghiên cứu cấu trúc của
nhóm và lý thuyết biểu diễn.
Các phần tử liên được gọi là
hợp: Một phần tử liên hợp với

b∈ G

a∈G

nếu tồn tại một
phần tử khác p
∈ G sao cho

b = pap .

−1


Ta sẽ biểu thị
mối

quan hệ này bằng kí hiệu

.

Ví dụ:
S3 = {e,
Trong
nhóm hoán (12), (23),
vị
(31), (123) ,

với
luật
nhân

(321)}
nhóm được thể hiện ở bảng 1.4.
Phần tử (12) liên hợp với phần
tử (31) vì (23)( 12)( 23) 1
= ( 31) . Cũng giống như vậy

(123) liên hợp với (321) vì

(12 )(123)(12 )1 = (321) .



Sự liên hợp là một mối quan hệ tương đương: Trong đó
i) Mỗi phần tử liên hợp với chính nó

a

(phản xạ).

a
ii) Nếu a



b
iii) Nếu a  b

thì b  a (đối xứng).

và b  c thì a 

(bắc cầu).

c
Ba tính chất này có thể thiết lập một cách dễ dàng. Ta sẽ kiểm tra lại tính
chất cuối cùng: Nếu

a

b
và b =
−

qcq 1

sao cho a =

và b  c thì tồn tại p, q
∈
G
−

−

1
1
dẫn tới a = pqcq p
= ( pq ) c ( pq

)

−1

pbp

−1

hay a  c . Điều này

được hiểu là một mối quan hệ tương đương bất kì sẽ cho ta một cách phân
loại các phần tử của một tập hợp.
Lớp liên hợp: Các phần tử của một nhóm liên hợp với nhau thì hình thành
một lớp.

Mỗi phần tử của một nhóm chỉ thuộc một lớp. Phần tử đơn vị hình thành
một lớp với chính nó.
Ví
dụ:

Nhóm S3 ở trên có thể chia thành 3 lớp như sau: Lớp đơn vị

lớp chu kì-2 ζ

ζ1 =
e,

2

=

{(12) , ( 23) , ( 31)}

và lớp chu kì-3 ζ
=

3

{(123) , ( 321)} .

Ví dụ

này minh họa cho kết quả tổng quát của các nhóm đối xứng: Các hoán vị có
cùng cấu trúc tuần hoàn thuộc cùng một lớp.



H1
(123)

M2
(321)

(31)e(23)

ζ1

M1
(123)(321)
(31)

e

(12)

(12)

M

H2

(123)(321)

e

(23)

(31)

(12)

ζ2

(23)


Hình 1.3: (a) Các lớp kề trái của H1

(b) Các lớp kề trái của H2

Nếu H là một nhóm con của G và a
∈ G , thì

H′=

(c) Các lớp của S3.

{aha ;
−1

cũng

h ∈ H}

hình thành một nhóm con của G. H ′ được gọi là một nhóm con liên hợp với
H. Rõ ràng rằng, nếu H và H ′ liên hợp với nhau thì chúng có cùng số phần
tử. Nhóm con bất biến: Nhóm con H của G được gọi là nhóm con bất biến

nếu H đồng nhất với tất cả các nhóm con liên hợp của nó.
Ví dụ : (i) Nhóm
con
của
H
2
là nhóm con
2
=
{ nhóm
a }{e,
3
,a
C4 = e, a, a }
bất biến; (ii) Nhóm con H =
bất biến.

{e, (123) , (321)} của nhóm S

3 là

một

nhóm con

Mọi nhóm G có ít nhất hai nhóm con bất biến tầm thường:
và chính
{e}
G. Nhóm đơn điệu và bán đơn điệu: Một nhóm là đơn điệu nếu nó chỉ chứa
các nhóm con bất biến tầm thường. Một nhóm là bán đơn điệu nếu nó không

chứa bất kì một nhóm con bất biến Abelian nào.
Ví dụ : (i) Nhóm tuần hoàn Cn với n là số nguyên tố là nhóm đơn điệu; (ii)
Cn với n không phải là số nguyên tố không là nhóm đơn điệu, cũng không
là nhóm bán đơn điệu; (iii) Nhóm S3 không đơn điệu, cũng không bán đơn
điệu,
nó có một nhóm con bất biến Abelian là

{e, (123) , (321)} .

1.5 LỚP KỀ VÀ NHÓM THƢƠNG
là một nhóm con của G và p là một phần tử
H
=
h
,
{ 1
Lớp kề: Nếu gọi

h2 ,...}


của G ( p ∉ H ) thì tập hợp các
phần tử

{
ph2 ,...}
pH =

{h1 p,
h2 p,...}


kề trái của H. Tương tự như vậy, Hp =
của H.

ph1 ,

được gọi là lớp

được gọi là lớp kề phải

Các lớp kề của H không phải là các nhóm con vì chúng không chứa phần
tử đơn vị. Số các phần tử của mỗi lớp kề chính là hạng của nhóm con H. Điều
này như một hệ quả của bổ đề sắp xếp.