LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của cô giáo
hướng dẫn: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi
hoàn thành được bài khóa luận tốt nghiệp này.
Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên nên trong quá
trình thực hiện đề tài này chắc chắn tôi không thể tránh khỏi sự thiếu sót. Tôi
rất mong các thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến để đề tài của tôi được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đoàn Thị Thùy Linh

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành với sự nỗ lực hết mình của
bản thân và sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo PGS – TS Lưu Thị
Kim Thanh. Tôi xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của riêng tôi và
không trùng kết quả của bất kỳ một tác giả nào khác. Nếu sai, tôi xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đoàn Thị Thùy Linh


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là một trong những môn khoa học nghiên cứu về các quy
luật vận động của tự nhiên từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho

đến thang vĩ mô ( các hành tinh, thiên hà, vũ trụ). Các đối tượng nghiên cứu
của vật lý học như vật chất, năng lượng, không gian và thời gian…
Nhiệt động lực học và Vật lý thống kê là hai ngành của vật lý học đều
áp dụng các phương pháp thống kê để nghiên cứu những hệ chứa một số rất
lớn các phần tử gọi là hệ vi mô hay hệ nhiều hạt.
Trong đó, Nhiệt động lực học nghiên cứu các quy luật tính của chuyển
động nhiệt trong các hệ cân bằng và khi hệ chuyển về trạng thái cân bằng,
đồng thời nó cũng khái quát các quy luật tính đó cho các hệ không cân bằng.
Còn Vật lý thống kê có nhiệm vụ cơ bản là nghiên cứu mối liên hệ giữa các
đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển
động của các hạt vi mô cấu thành hệ. Và Vật lý thống kê có quan hệ chặt chẽ
với Nhiệt động lực học. Người ta thấy rằng, trong trường hợp hệ vĩ mô nằm
trong trạng thái cân bằng thì các định luật mà ta thu được trong Vật lý thống
kê đối với các đại lượng trung bình là trùng với các định luật của Nhiệt động
lực học.
Như vậy là trong trường hợp các hệ cân bằng, Vật lý thống kê đã đặt cơ
sở lý thuyết cho các quy luật nhiệt động lực học. Vì vậy, người ta thường gọi
Vật lý thống kê về các hệ cân bằng là Nhiệt động lực học thống kê – nó thiết
lập mối liên hệ giữa các trạng thái phân tử với đặc tính vĩ mô của hệ và cho
phép ta tính được các hàm nhiệt động của các hệ khác nhau.
Tuy nhiên, trong thời gian gần đây việc nghiên cứu các quá trình và
trạng thái không cân bằng đã phát triển mạnh hơn và hình thành một ngành


mới là Nhiệt động lực học về các quá trình không cân bằng, nhưng còn ít tài
liệu về vấn đề này và nó chỉ mới có thể giải thích các quy luật tính đơn giản
nhất.
Vì vậy, tôi chọn “Tìm hiểu về Vật lý thống kê các quá trình không
cân bằng” làm đề tài luận văn của mình, để đi sâu vào nghiên cứu các quá
trình không cân bằng, khảo sát các biến đổi cấu trúc vi mô của vật chất bằng

cách vận dụng lý thuyết thống kê. Thông qua đề tài này, tôi muốn tìm hiểu kĩ
hơn về lý thuyết cổ điển và lý thuyết lượng tử các quá trình không cân bằng
và mang lại kiến thức tổng hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Tôi cũng hi vọng
đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các bạn sinh viên sau này.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các quá trình không cân bằng thông qua lý thuyết cổ điển
và lý thuyết lượng tử.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu khái niệm về quá trình không cân bằng và hàm phân bố
của nó.
Nghiên cứu lý thuyết cổ điển về các quá trình không cân bằng.
Nghiên cứu lý thuyết lượng tử về các quá trình không cân bằng.

4. Đối tƣợng nghiên cứu
Xác định phương trình chuyển động của hàm phân bố.
Mối liên hệ giữa hàm phân bố với không thời gian và các đại
lượng vĩ mô.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp vật lý lý thuyết


NỘI DUNG

CHƢƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1

CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG

Nhiệt động lực học thống kê không cân bằng là sự phát triển tiếp theo

của giả thuyết cân bằng. Giả thuyết này là một giả thuyết rất nổi tiếng, được
phát triển từ khoảng đầu thế kỷ XX do Gibbs đề xuất, trong khi đó Nhiệt động
lực học thống kê không cân bằng vẫn đang trong quá trình phát triển và cần
nhiều thời gian nữa mới có thể hoàn thiện được. Nó nghiên cứu các quá trình
vận chuyển năng lượng, động lượng, và phần từ trong các hệ thống vật lý
khác nhau (chất khí, chất lỏng, chất rắn) dựa trên những khái niệm cơ bản của
các nhân tố thống kê, như phương trình nguyên tử, để tìm ra các hệ số động
học trên quan điểm về các thuộc tính vi vật chất.
Nội dung cơ bản của vật lý thống kê các quá trình không cân bằng là
xác định phương trình chuyển động của hàm phân bố để tìm mối liên hệ giữa
hàm phân bố với không thời gian và xác định được mối liên hệ giữa hàm phân
bố với các đại lượng vĩ mô.
Trước khi tìm hiểu về các quá trình không cân bằng chúng ta hãy nhắc
lại về các quá trình cân bằng (quá trình cân bằng nhiệt động). Một hệ được
gọi là cân bằng nếu bên trong hệ không những tất cả các thông số như thể tích
V, năng lượng E, số hạt N,… không đổi với thời gian, mà còn không có bất
kỳ dòng dừng nào do tác dụng của các nguồn ngoài. Hay nói cách khác, khi
hàm phân bố xác suất không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì trạng
thái của hệ được gọi là trạng thái cân bằng, nên các giá trị trung bình của các
đại lượng đặc trưng cho hệ vĩ mô cũng không phụ thuộc thời gian. Trong
trạng thái cân bằng hàm phân bố không phụ thuộc toạ độ khi trường ngoài


bằng không hoặc đồng nhất. Còn các quá trình không cân bằng, hàm phân bố
không cân bằng phụ thuộc thời gian và có thể phụ thuộc toạ độ ngay cả khi
không có trường ngoài, tức là trong hệ có thể tồn tại các gradient, chẳng hạn
như gradient nhiệt độ, gradient mật độ hạt, …
Đặc trưng chủ yếu của các quá trình không cân bằng là sự tồn tại các

dòng chảy trong hệ (dòng nhiệt lượng, dòng vật chất, dòng điện, …). Nguồn
gốc của các dòng này là sự tồn tại gradient, chẳng hạn sự truyền nhiệt bắt
nguồn từ sự tồn tại gradient nhiệt độ VT (tức là sự chênh lệch nhiệt độ giữa
các điểm trong không gian), dòng điện bắt nguồn từ sự tồn tại gradient điện
thế V Ψ , … Các quá trình không cân bằng loại này gọi là các quá trình
truyền. Trước hết ta đi thiết lập mối liên hệ giữa hàm phân bố với các quá
trình này.
1.2

HÀM PHÂN BỐ KHÔNG CÂN BẰNG

Trong lý thuyết các quá trình truyền người ta không dùng hàm phân bố

xác suất một hạt ω
( mà chúng ta đã khảo sát ở phần phân bố Maxwell
1
p,r ,t)
Boltzmann. Người ta thường dùng hàm phân bố


hàm ω
(
1
p,r ,t)

 
f ( p , r ,t) , hàm này chỉ
khác

bởi một thừa số hạt của hệ:



Vì hàm ω
(
1
p,r ,t)



f ( p,r ,t) 1
= Nω ( p,r ,t)
thỏa mãn điều kiện:


 
∫ω1 ( p, r ,t)dpdr = 1

N nên hàm f ( p ,

r ,t)

thỏa mãn điều kiện:

(1.1)


 
 
, r ,t)dp dr = N


(1.2)

∫f(p


f(p ,
Qua hệ thức (1.2) ta thấy rõ ý nghĩa của hàm phân bố 
r ,t)
độ hạt trong không gian

 
( p , r ) . Nói cụ thể
hơn

 
f(p ,r ,
 
t)dp dr

xung lượng trong khoảng


dp và tọa độ trong
khoảng


dr .

Từ định nghĩa (1.1) ta suy ra:


là mật

là số hạt có


1.2.1 Đại lƣợng


p(r ,t) =



∫ f(p



r ,t)dp

,

(1.3)
l
à
mật
độ
hạt
địa
phư
ơng,
tức

là số
hạt
tron
g
một
đơn
vị
thể
tích
tại
điểm

r .





1.2.2 Đại
lƣợn
g

(1
j p .4

= f )
(
∫ p,
r
,

t
d
p
m
l
à
m


ật độ dòng
hạt tại

điểm r .

 
f(p ,r ,

t)dp

1.2.3 Đại lƣợng

p (1.5)
q
=

∫p

dp dr
dp ≡ dv
= dx

dydz

,
r

,t)
d
p

2m m
là mật độ
dòng
nhiệt
lượng

cân

Trong tất cả
các công thức
trên ta cần lưu
ý tới ký hiệu:



Qua các công
thức (1.4) –
(1.6) ta thấy
rằng để tính
các dòng


truyền
trong hệ f ( p ,
cần biết

r ,t) . Để
hàm
phân bố
xác định
một hạt
hàm phân
bố

(dòng
cần

lượng) tại

điểm r .

trình chuyển động

1.2.4 Đại lƣợng

việc xác lập và

∫e

giải phương trình
=
chuyển động của




p

je

m

biết

phương

của nó. Vì lẽ đó,

hàm

phân

bằng
là
vấn
đề
trun
g
tâm
của
lý
thuy
ết

các
quá
trình
khôn
g
cân
bằng

năng



khôn
g

là mật độ dòng điện

tại điểm2 r .

f(
p


(1.6)

bố

.
T
rong

trườ
ng
hợp
thốn


g kê cân bằng
bài toán xác
định hàm phân
bố đã có lời
giải rõ ràng: đó
là biểu thức
phân bố Gibbs:

ω(
=
Ψ
a)
(X






θ


Trong trường hợp thống kê không cân bằng các đặc điểm riêng của
từng hệ tức là sự tương tác giữa các hạt và sự tác động của bên ngoài rất đa

dạng, vì vậy không có lời giải tổng quát cho bài toán xác định hàm phân bố
không cân bằng. Hơn nữa, ngay cả việc xác lập phương trình chuyển động
cũng rất phức tạp. Ngay cả khi phương trình chuyển động đã được xác lập thì
trong nhiều trường hợp chúng ta chỉ có thể đưa ra lời giải gần đúng trên cơ sở
một số giả thiết có tính chất đơn giản hóa bài toán. Vì lẽ đó phương pháp gần
đúng đóng vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết các quá trình
không cân bằng.


CHƢƠNG II: LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ CÁC QUÁ
TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG
2.1. CÁC PHƢƠNG TRÌNH CHÍNH XÁC ĐỐI VỚI HÀM PHÂN BỐ
Hàm phân bố mật độ hạt

liên quan với hàm phân bố xác suất
f(p ,


r ,t)
ω
( p theo hệ thức (1.1), vì vậy để xác định phương trình chuyển động
1
, r ,t)
của hàm

 
 
f ( p , r ,t) ta xét hàm
ω
(

p
,r ,t) .
1

Vì ω
( là hàm phân bố xác suất đối với một hạt nên nó liên quan
1
p, r ,t)

với hàm phân bố xác suất của hệ N hạt như sau:


   



ω
(
p,
r
,t)
=
ω
(
p
,...
p
,
r
,...r

)dp
1
N
1
∫ 1 N 1 N 1
,...dp , dr ,...dr
Lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t, ta được:
∂ω
 

∂ω 
=
1
∫
∂t
dp2 ,...dpN dr2
t
∂
,...drN

(2.1)

(2.2)

Hàm phân bố ω của cả hệ tuân theo phương trình chuyển động:
∂ω
= −[ω, H ] = [H , ω ]
∂t
vậy ta có thể viết lại (2.2) như sau:


∂ω
H,
,...dp dr ,...

= [ω
dr
 ]d
p
1

∂t

∫

2

N

2

(2.3)

N


Hamiltonian của hệ có dạng:
N
2
 


N
p
H = ∑ i + ∑∑U ( ri − rk ) +
0 (ri )
i=1 2m
(i−
i=1

∑U

k)

Số hạng thứ hai trong biểu thức Hamiltonian là năng lượng tương tác
giữa các hạt trong hệ, còn số hạng cuối cùng là thế năng của các hạt trong
trường ngoài ví dụ như điện trường, trường hấp dẫn.
Để cho tiện sử dụng các ký hiệu sau đây:



r = (x ,
y ,z

) = (r1 , r 2 , r 3 ) : tọa độ suy rộng
k

k

k

k


k
k


p = ( p1 , p 2 , p 3 ) : xung lượng suy rộng
k

k

k

k

k

− r ]) ⇔
k
=1,2,
...N

i≠ k

U ([r

i

U ik = 
0 ⇔


i= k

Với các ký hiệu như vậy móc Poisson có dạng:

∂ω ∂H 

3
N


∂

ω

]

∂
H

[ω ,

− α
H
∂
∂
k
k
= ∑∑
 p
pα 


α α

α =1 k =1  ∂rk
∂
k

(2.4)


3

N


∂

ω
P
α
=
k

∑
∑
 
10

∂


ω

N

∂ω ∂U



∂
U

k

−


∑

0



1
−
ik
∂ i ∂rα
α∂
k
pr =
∑ ∫

 αα 1 
∂ ∂

m p
m
∂t
α
∂

α

Thay (2.4)
vào vế phải
của (2.3) và
lưu ý rằng:

∂ω
α

∫

=

k

∞

=
0




r1

=1

1

α

k

k

2

∂ ∂p1 
r

i
=
2

1

α

∞

P


ω

0

∂=

∂U0

ω
ω

∞

d
p
α

∂r ∂
α
r
∂
p
α

α

−∞

k


t

1

2



k

dưới dấu tích phân có thể thay bằng:

= 0

−∞

1

N

Vì các hạt đồng nhất nên tổng (N-1) số hạng

k

∫

α

∑


−∞

∂U

α
α

∂∂
r p

k
k
k

∂ ∂
ω ω
+
∂ N+
U ∂U
∂
∂
p −
=
ω ω
3


10




(2.
5)

dp

1

α

m ∂

m

k
−
∞

∞

1i

0

dr
Pk
α



,... dr ,..
dp .dr

N


(N −1) ∂U ∂

ω

12


dp

1



,...dp
dr ,...dr


∫

∂r

α

N


∂

2
N

p
α

∂
= U ,. dr ,...dr
− ..
1
d
2 p


1

ω
d
p

=−1)
(N

1

∫


∂
p∂  
α
dr dp
∂r
2

N
2
N

α
1

U
1
2

1

∂p

1

α

ω

∫


∂r

α

12

2

2

Ở đây chúng ta ký
hiệu ω

12

là hàm phân bố hai
hạt:

  








16



ω

ư 3 ω N , do
3 đó bài
h
ơ qtoán sẽ 1
ợ
p
n u quy về việc giải một
a phương trình đối với ω1
ph
gr h là hàm phân bố một hạt.
itr à
ươ
ê m
ng
ìn
n
trìn
g
h
,
h
n
k
(2.
h
iư
6)
h

và 123 và
m
kết
ậ

( 1 2 ả 2 đầ
ω
ω
p , r , p , r ,t) =
là u
N
ωdp ,...dp dr
c
,
từ
v
,...dr
h
12

1

12

s.
ú
Ta có thể viết lại (2.5) ẽ vn
như sau:
…
c g

∂
ta
3
  hK
∂
ω

−U
∂
ứ ếc
p +
U
∂
∂ ∂
a tó
=
c

ωω
−
+

∑


α
α

12


2

2


12

1

vì
nó
chứ
a
hàm
trình
chuyể

m

α

ột

α

c

α

h


12
∂
(∂
p r d
∂ N1 1ω
∂ m ∂
r

p
t
r
∂ 11 1
d
α
r
)
p
1


1=
1

h qả
àu
m

0 1


(2. u
6)
ỗi
N
p

Phương trình (2.6)
không phải là
phương trình đóng
kín đối với ω ,
bởi

h

ωTương
chưa biết.
tự ta có thể chứng
minh rằng phương

g

12

n

động của

ư
ơ∂
n

trì
n
h,
b
ắt

∫

thú
c=

là−[
ph

yω
g
,
ọi
c
là
ó

ươ

c
t
ng
hh
trìn
ểu

đ
h:
ỗi
ư
12...N
p
ợ
,
∂ 1
c
h
2H
t .
b
.
]
ư
i
.
N
ểơ
C u
n
hu
d
g
ỗi
i
tr
ễ

ph
ìn
n
17

1


2.2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VLASOV
Ta xét trường hợp tương tác giữa các hạt là tương tác xa, ví dụ như
tương tác hấp dẫn, tương tác Coulomb, khi mà thế năng tương tác giảm theo
khoảng cách theo quy luật 1/r.
Vì thế năng tương tác tỉ lệ với 1/r nên lực tương tác giảm khá chậm
theo khoảng cách nên sự chuyển động của một cặp hai hạt không chỉ phụ
thuộc vào tương tác giữa hai hạt, mà còn phụ thuộc vào sự tương tác giữa
từng hạt với các hạt còn lại của hệ. Do đó, chúng ta có thể thay hệ N hạt
tương tác bằng hệ N hạt độc lập trong trường thế năng (gồm trường ngoài U 0
và trường do N-1 hạt tạo ra đối với mỗi hạt).
Vì các hạt được coi là độc lập nên ta có thể viết:



ω

(p

 
, r ,p
12


1
1

 
Ở đây ω
2
2 ( 2p
,r ,t)

1

2



, r ,t) = ω ( ( p , r ,t)
 

p , r ,t).ω
2

1

2

2

2

là hàm phân bố xác suất đối với hạt thứ hai. Phương


trình chuyển động (2.6) bây giờ có dạng như sau:
∂ω

+

 p
∂ω
3

α

∂U (r )
∂ω 
+
0

1

t

∂

trong đó ta ký hiệu:



∑∂
α
1


=1

(2.7)



α

1


m r1



α1

∂
r1


=

1
α

∂p1





 

 



U (r1 ) = U 0 (r1 ) + (N −1)∫U12 ( r1 − r2 )
ω1 ( p2 , r2 ,t)dr2 dp2
Để cho gọn ta sử dụng ký hiệu:

∂ω
=


∂ω

∂ω ∂ω 
,
, 3

2
1 ∂
∂1 
∂t ∂r1
1

(2.8)


Khi đó, ta có thể viết (2.7) dưới dạng ngắn gọn:

ω

∂

ω

p ∂ 1
∂U ∂ 1
+1
 − 
 = 0
∂t m ∂
∂ ∂p1
r1
r1
1

(2.9)


Để xác định
1



ωta



1
cần biết thế năng U (r nhưng (2.8) lại cho thấy
m U c ω . Do đó
)
u
ầ phương trình
ố ( n động học (2.9)
n
b gọi là
r
b
iế
i 1 t
ế )
t
1
1

1

P

phương
f
trình trường = N
tự hợp.
ω , và
Chuy dùng
ký hiệu
ển

sang 
r
hàm
phân
bố
một
hạt
cr
h
o
,
t
a

∂f



∂U
∂f

+
−
= 0

đ
ư
ợ
c
:


∂t m ∂r

∂f


∂r

t
h
a
y




∂p

−Đại
=chính là lực
lượ
∂
ng tác dụng lên
U −mỗi hạt:
∂
∇

rU
∂U
 = F

r
Vì vậy, ta có
phương trình
sau đây:

(2.10)
∂f +
P
+∂f

∂t m

∂r

lượng 
  p :
p mà m 
dùng
biến
vận
tốc
 
v
∂ =


−


định

∂
+
fm
+
v

∂
f
∂
t
∂r









F
= −∇U
(r )
= −∇U 0 (r
) − (N
−1)∇∫ U (
r − r ' )ω (
p', r ',t)dp'dr'
Vì N rất lớn ta có
thể thay (N-1)

bằng N:
 




∂
f





theo công thức
sau:

F

0

+ U(r

f ( p',r ',t
=
=
−
0
∂
p


∇

F 

[

U
Phương trình
động học có
dạng như sau
nếu ta không
dùng biến xung

(
đư
Ttrong
đóợc
Fxá
c

r
)


(2.12)
Như vậy, theo
phương pháp
trường tự hợp
chúng ta phải
giải phương

trình động
học (2.10)
hoặc (2.11),
trong đó lực
F

điểm r được
xác định theo
công thức
(2.12).

tác
dụng
lên
mỗi
hạt tại




Công thức (2.12) cho thấy rõ lực tác dụng vào mỗi hạt bao gồm ngoại

lực −
và lực tác dụng từ phía các hạt khác trong hệ.
∇U0
(r )
Đó chính là phương trình động học cho hệ nhiều hạt, còn đối với hệ
gồm nhiều loại hạt ta có thể viết các phương trình động học (2.10) cho từng
loại hạt.
Riêng đối với plasma ion hóa hoàn toàn, bao gồm hai loại hạt là điện tử

và ion dương, ta có các phương trình sau:

∂fe + v ∂
e
+
f e ∂ϕ
∂t

e

∂

r

m
e


∂r

∂f i + v ∂
e
−
f i ∂ϕ
∂t

i

∂


r

m

∂r
e



∂fe

= 0
(2.13)

∂

v e
∂fi

= 0
(2.14)

∂

v
i

trong đó ϕ là điện thế tại điểm r .

ϕ(r,t)

= e∫

1

 [ fi ( p ',
r −
 
r ' r ',t) −


f ( p ',

 
re ',t)]dr 'dp '

(2.15)

Các phương trình (2.13) - (2.15) lập thành hệ phương trình Vlasov. Và
người ta thường dùng hệ phương trình này để khảo sát các quá trình không
cân bằng trong Plasma loãng và ion hóa hoàn toàn.

2.3. PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC BOLTZMANN
Trong mục này, ta sẽ xác lập phương trình động học tổng quát, tức là
phương trình miêu tả sự biến đổi theo thời gian của hàm phân bố một hạt


 
f ( p , r ,t) trong mọi trường hợp tương tác giữa các hạt trong hệ.
Ta sẽ xuất phát từ các định luật cơ học cổ điển nhưng ta sẽ không sử
dụng hàm phân bố xác suất như ở phần trên nữa.

Xét hàm phân bố f ( p , r ,t) . Theo thời gian hàm phân bố này sẽ
biến
đổi vì hai nguyên nhân sau: sự chuyển động của hạt và sự va chạm với
các hạt khác.


 ∂
f 
Ta ký hiệu 
là đạo hàm biểu diễn sự biến đổi của hàm phân bố

 ∂t der
do nguyên nhân thứ nhất, tức là do chuyển động trôi (không va chạm);
∂
f 


là đạo hàm biểu diễn sự biến đổi do sự va chạm, ta có thể viết:


 ∂t
col

∂f


+
∂f 



=
∂f 
 
∂t  ∂t  der

(*)

 
 ∂t col

Thành phần thứ hai phụ thuộc vào cơ chế tương tác giữa các hạt, vì vậy
chúng ta không thể dễ dàng xác định biểu thức của nó. Việc lập biểu thức
thành phần thứ nhất không có gì khó khăn nếu như ta chỉ xét trường hợp cổ
điển, tức là khi chuyển động của hạt tuân theo các định luật Newton.
Xét khoảng thời gian dt. Tại thời điểm t+dt hàm phân bố là


 


f ( p + dp , r + dr ,t
dp
dr là biến thiên xung lượng và tọa

+ dt) , trong đó

và

độ của hạt do chuyển động trôi (không va chạm), trong khoảng thời gian dt.
Vì số hạt là bảo toàn nên hàm f phải thỏa mãn phương trình liên tục.



 
f ( p + dp , r

+ dr ,t + dt) =


f(p ,

r ,t)

Giả thiết rằng khoảng dt rất nhỏ, ta có thể khai triển gần đúng:







f ( p + dp, r + dr ,
t + dt) =

(2.16)

  ∂
∂ 
∂
f
f

f
dp
dr + 

f ( p, r ,

t) +
+
dt

∂t

der
∂p
∂r


Thay biểu thức này vào vế trái phương trình (2.16) ta được:
∂f 
∂f 