Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán

Chủ đề 1: DẤU CỦA NHỊ THỨC, TAM THỨC VÀ ỨNG DỤNG
§1. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa

Nhị thức bậc nhất theo biến x là biểu thức có dạng f  x   ax  b , a, b  , a  0 .

2. Nghiệm của nhị thức bậc nhất
* Nghiệm của phương trình f(x) = 0 được gọi là nghiệm của nhị thức f(x).
b
a

* Nhị thức f(x) = ax + b có một nghiệm duy nhất là  .
3. Dấu nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a  0).
Quy tắc xét dấu nhị thức: “TRÁI TRÁI PHẢI CÙNG”, nghĩa là:
x

–∞



b
a

+∞

f(x)

Trái dấu với a
0 Cùng dấu với a
B. CÁC DẠNG TOÁN
Vấn đề 1. XÉT DẤU NHỊ THỨC
1. Phƣơng pháp giải
a) Để xét dấu nhị thức f(x) = ax + b, ta thực hiện các bước sau:
* Tìm nghiệm của nhị thức;
* Xét dấu của hệ số a;
* Dựa vào định lí về dấu nhị thức để lập bảng xét dấu của nhị thức, từ đó suy ra dấu của
nhị thức trên các khoảng chia.
b) Để xét dấu biểu thức f(x) là tích hoặc thương của các nhị thức, ta thực hiện các bước sau:
* Tìm nghiệm của nhị thức có mặt trong f(x);
* Xét dấu từng nhị thức theo định lí về dấu nhị thức;
* Sử dụng quy tắc nhân, chia dấu để xác định dấu của f(x), từ đó suy ra dấu của f(x) trên
các khoảng chia.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét dấu các nhị thức sau:
a) f ( x)  2 x  8
b) g ( x)  6  3x
c) h( x)  (m2  9)x  3m
Giải
a) Ta có: 2x  8  0  x  4
Bảng xét dấu: (a = 2 > 0)
4
x
–∞
+∞
f(x)
–
0

+
Vậy f(x) < 0 khi x   ; 4  ; f(x) > 0 khi x   4;  
b) Ta có: 6  3x  0  x  2
Bảng xét dấu: (a =  3 < 0)
x
–∞
2
+∞
f(x)
+
0
–
Vậy f(x) > 0 khi x   ; 2  ; f(x) < 0 khi x   2;   .
Ôn tập HKII Toán 10

trang 1


Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán

3m
m2  9
Bảng xét dấu: ( a  m2  9  0, m )

c) Ta có: (m2  9) x  3m  0  x 

x


3m
m2  9

–∞
–

f(x)
Vậy f(x) < 0 khi x 

+∞

0

+

3m
3m
; f(x) > 0 khi x  2
.
2
m 9
m 9

Ví dụ 2: Xét dấu các biểu thức sau:
a) f ( x)   x  410  2 x 

b) g ( x) 

1 x
x  3  2 x 


c) g ( x) 

1
2

2x  2 3  2x

Giải
10  2 x  0  x  5
a) Ta có: x  4  0  x  4 ;
Bảng xét dấu:
x
–4
5

x+4
–
0
+
10 – 2x
+
+
0
f(x)
–
0
+
0
Vậy f(x) < 0 khi x   ; 4  hoặc x   5;   ;


f(x) > 0 khi x   4;5 ;
f(x) = 0 khi x  4; x  5 ;
b) Ta có 1 + x = 0  x = –1;
Bảng xét dấu:
x

1+x
x
–3 – 2x
g(x)

–
–
+
+

0

–
–
–
–

+
–
–

–3 – 2x = 0  x = –3/2.


x = 0;
–3/2



–1
0

0



0
+
–
–
+

0

+
+
–
–

Vậy g(x) > 0 khi x   ; 3 / 2  hoặc x   1;0  ;
 3




g(x) < 0 khi x    ; 1 hoặc x   0;   ;
 2

g(x) = 0 khi x  1 ;
3
2

g(x) không xác định khi x   ; x  0 .
3. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Xét dấu các nhị thức sau:
a) f ( x)  4 x  3
b) g ( x)  5  x
c) h( x)  4 x
Bài 2. Xét dấu các biểu thức sau:
a) f ( x)  (2 x  3)( x  2)( x  4)
b) f ( x)  (2 x  3)2 (5  4 x)
c) f ( x ) 

Ôn tập HKII Toán 10

3
1

2x 1 x  2

d) f ( x )  1 

x 2
3x  2
trang 2



Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán

Vấn đề 2. ỨNG DỤNG DẤU NHỊ THỨC GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH HOẶC
BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC.
1. Phƣơng pháp giải
- Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0
trong đó f(x) là tích hay thương của các nhị thức bậc nhất.
- Lập bảng xét dấu f(x) (lưu ý sắp xếp các nghiệm của f(x) theo thứ tự tăng dần từ trái
qua phải, các giá trị trùng nhau chỉ ghi một lần).
- Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:
a)  x  3 ( x  1)  0

b)

3
1
2 x

Giải
a) Đặt f ( x)   x  3 ( x  1)
Bảng xét dấu:
–1




x
x–3



3
0

–
–
+
0
–
 x 1
f(x)
–
0
+
0
Vậy bất phương trình có nghiệm là x  1 hoặc x  3 .
b)

+
–
–

3
3  1(2  x)
x 1

1
0
 0.
2 x
2 x
2 x
x 1
Đặt f ( x) 
2 x

Bảng xét dấu:
x
x+1
2–x

−∞
–
+
–

f ( x)

–1
0
0

+∞

2
+

+
+

0
||

+
–
–

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 1   2;  
3. Bài tập rèn luyện
Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
a) (2  x )(5 x  6)  0
x3  4x
e)
0
x 3

x
3
2  3x
x
3
f)

2  3x 1  9 x
b)

(3  x )(2  x )

0
x 1
x6
g) 2
1
x  3x  2
c)

d)

3
5

1 x 2x  1

Bài 4. Tìm tập xác điịnh hàm số
a) y  (3  x )(4 x  6)

b) y 

x
2  3x

c) y 

(3  x )(2  x )
x 1

 3  4x


Vấn đề 3.GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phƣơng pháp giải:
Ôn tập HKII Toán 10

trang 3


Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán

 A khi A  0
 A khi A  0

a) Khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa: A  
b) Đồng nhất thức |A|2 = A2, A.
c) Sử dụng bất đẳng thức:
 f ( x)  g ( x)  f 2 ( x)  g 2 ( x)

 f ( x)  B ( B  0)   B  f ( x)  B;
 f ( x)  B ( B  0)  f ( x)  B hay f ( x)   B.

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 4. Giải các bất phương trình sau:
a) |4 – 3x| ≤ 8;
b) |5 – 8x| ≥ 11;

c) 2 x  1  x  2 .

Giải

4
a) 4 – 3x  8  8  4 – 3x  8  12  3x  4    x  4.
3
4
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là:   x  4 .
3
3

x
5 – 8x  11
 8 x  6

b) 5 – 8x  11  


4

5 – 8x  11
 –8x  16
x  2
3
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x   hoặc x  2 .
4
 2 x  1 khi 2 x  1  0
c) * Ta có: 2 x  1  

  2 x  1 khi 2 x  1  0
1

2 x  1  0

1
x 

2   x  3.
2
2 x  1  x  2

x  3

* Với 2 x 1  0 ta có hệ bất phương trình 
1 
2 

Tập nghiệm S1   ;3 .
1

x

2 x  1  0
1
1

2
* Với 2 x 1  0 ta có hệ bất phương trình 

 x .
3
2
2 x  1  x  2
x   1


3


 1 1

Tập nghiệm S2    ;  .
 3 2
 1 

* Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S  S1  S2    ;3 .
 3 
3. Bài tập rèn luyện
Bài 4. Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x  5  3

b) 4  5x  8

c) 2 x  5  7  4 x ;

d) x  3  2 x  5 ;

e) 3x  2 x  4  x  2

f) x  1  2  x  4

Ôn tập HKII Toán 10

trang 4



Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán

g) 3x  7  2 x  28

Ôn tập HKII Toán 10

h) x  2   x  3

i) x  4   x  3

trang 5


Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán

§2. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f ( x )  ax 2  bx  c a, b, c  , a  0 .
2. Nghiệm của tam thức bậc hai
* Nghiệm của phương trình ax 2  bx  c = 0 gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f(x).
* Biệt thức   b2  4ac , biệt thức thu gọn  '  b '2  ac với b '  b / 2 của tam thức bậc hai.
3. Dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0).
* ∆ < 0, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc .
* ∆ = 0, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x  -


b
.
2a

* ∆ > 0, dấu của f(x) được xét theo quy tắc: “TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG” nghĩa là
–∞
x1
x2
+∞
x
Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
f(x)
B. CÁC DẠNG TOÁN
Vấn đề 4. XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI
1. Phƣơng pháp giải
Để xét dấu tam thức f(x) = ax 2  bx  c , ta thực hiện các bước sau:
* Tìm nghiệm (nếu có) của tam thức;
* Dựa vào số nghiệm và dấu của a, áp dụng định lí về dấu của tam thức để kết luận dấu
của tam thức.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 5: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) f ( x)  x2  2 x  3
b) f ( x)   x2  3x  4
c) f ( x)  2 x 2  12 x  18
d) f ( x)  3x 2  6 x  3
e) f ( x)  2 x 2  3x  7
f) f ( x)  3x2  x  5
Giải
2

a) f ( x)  x  2 x  3 có hai nghiệm x = 1; x = –3, hệ số a = 1 > 0.
Bảng xét dấu
x
−∞
–3
1
+∞
f(x)
+
0
–
0
+
Vậy f (x)  0 khi x  ; 3   1;  ; f ( x)  0 khi x  3;1 ;
f( x) 0 khi x  3; x 1
b) f ( x)   x2  3x  4 có hai nghiệm x = 4; x = –1, hệ số a = –1 < 0.
Bảng xét dấu
x
−∞
–1
4
+∞
f(x)
–
0
+
0
–
Vậy f (x)  0 khi x  ; 1   4;  ; f ( x)  0 khi x  1;4 ;
f( x) 0 khi x  1; x 4

c) f ( x)  x 2  6 x  9 có nghiệm kép x = –3, hệ số a = 2 > 0.
Bảng xét dấu
x
−∞
–3
f(x)
+
0
+
Ôn tập HKII Toán 10

+∞
trang 6


Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán

Vậy f (x)  0 khi x  ; 3   3;  ;

f ( x)  0 khi x  3

d) f ( x)  3x 2  6 x  3 có nghiệm kép x = 1, hệ số a = –3 < 0.
Bảng xét dấu
x
−∞
1
+∞
f(x)

–
0
–
Vậy f (x)  0 khi x  ;1   1;  ;
f ( x)  0 khi x 1
e) f ( x)  2 x 2  3x  7 có   47  0 , hệ số a = 2 > 0 nên f(x) > 0, x  .
Bảng xét dấu
x
−∞
+∞
f(x)
+
Vậy f ( x)  0 với mọi x thuộc .
f) f ( x)  3x2  x  5 có   59  0 , hệ số a = –3 < 0 nên f(x) < 0, x  .
Bảng xét dấu
x
−∞
+∞
f(x)
–
Vậy f ( x)  0 với mọi x thuộc .
Ví dụ 6: Xét dấu biểu thức sau:

f ( x) 

( x  7)(2 x 2  x  3)
x2  x  2

Giải
Bảng xét dấu

x
x–7

−∞

–2
1
7
+∞
–
|
–
|
–
0
+
2
+
|
+
|
+
|
+
2x  x  3
2
+
0
–
0

+
|
+
x  x2
f(x)
–
||
+
||
–
0
+
Kết luận: f(x) < 0 khi x  (−∞; −2)  (1; 7);
f(x) > 0 khi x  (−2; 1)  (7; +∞);
f(x) = 0 khi x = 7;
f(x) không xác định khi x = –2; x = 1.
3. Bài tập rèn luyện
Bài 5. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) f ( x)  2 x 2  5x  2
b) f ( x)  4 x 2  3x  1
c) f ( x)  3x 2  5x  1
d) f ( x)  3x 2  x  5
Bài 6. Xét dấu các biểu thức sau:
a) f ( x)  (3x 2  10 x  7)(4 x 2  5)

e) f ( x)  4 x 2  8x  4

f) f ( x)  3x 2  5x  7

b) f ( x)  (3x 2  4 x)(2 x 2  x  1) c) f ( x ) 


(3x 2  x )(3  x 2 )
x2  2x  1

Vấn đề 5. GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở
MẪU
1. Phƣơng pháp giải
- Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0
trong đó f(x) là tích hay thương của các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai.
- Lập bảng xét dấu f(x). Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình.
2. Ví dụ minh họa
Ôn tập HKII Toán 10

trang 7


Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán

Ví dụ 7. Giải các bất phương trình sau:
a)

x 2  3x  4
0
x2  4  x2 

a) Đặt f ( x) 

b)


x2  x  3
1
x2  4

c)  3  x   4 x  12  0
3

x 2  3x  4
x2  4  x2 

Bảng xét dấu:
−∞

−2
−1
0
2
+ | + 0 − | − |
−
x 2  3x  4
2
+ | + | + 0 + |
+
x
− 0 + | + | + 0
−
4  x2
f(x)
−

|| + 0 − || − ||
+
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   2; 1   2;4  .
x

b)

4
0
|
|
0

+∞
+
+
−
−

x2  x  3
x 2  x  3  1( x 2  4)
x 1

1

0 2
0
2
2
x 4

x 4
x 4
x 1
Đặt f ( x)  2
x 4

Bảng xét dấu:
x
x+1

−∞

−2
−
+
+

x 4
f ( x)
2

−1
0

−
−
−

0
||


2
+
−
+

0

0
||

+∞
+
+
−

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 2   1;2 
c)

3  x 

3

 4 x  12  0   3  x   4  3  x   0  3  x   x 2  6 x  5  0
3

Đặt f ( x) =  3  x   x 2  6 x  5
Bảng xét dấu:
x


−∞
+∞

1

3

3–x

+
+
0
−
+
0
−
−
x  6x  5
f ( x)
+
0
−
0
+
Vậy bất phương trình có nghiệm là x  1 hoặc 3  x  5
3. Bài tập rèn luyện
Bài 7. Giải các bất phương trình sau:
a) 3x2  15x 18  0
b) x2  5x  8  0
2


d) ( x2  5x  6)(3  2 x)  0



x x2  6 x  9

g)

x2  4 x  3

Ôn tập HKII Toán 10

0

e) ( x2  2 x  7)(4 x  3)  0
h)

1
x2  4



2
x2  4 x  3

5
−
0
+

0
−

c)  x2  3x  7  0
f)
i)

1
2

x  4 3x  3

x 2  3x  1
x2  1

1

trang 8


Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán
2

j)

x  11x  3
x2  6x  5


 1

k)

1
2 x 2  5x  2



3
2 x

l)

3 x 2  4 x  11
x2  x  6

1

Bài 8. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y 

x2  5x  4
 x2  5

b) y 

1
1


x  5 2x  5

c) y 

3
2

.
3x  5 2 x  5

Vấn đề 6. PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN
1. Phƣơng pháp giải:
Nguyên tắc chung là khử dấu căn. Ta thường gặp các dạng cơ bản sau:
 f ( x)  0(hay g ( x)  0)
 f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  g ( x)

 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)  
2
 f ( x)  g ( x)

 f ( x)  0

 f ( x)  g ( x)   g ( x)  0
 f ( x)  g 2 ( x)


 f ( x)  0


 f ( x)  g ( x)   g ( x)  0
 f ( x)  g 2 ( x)


 g ( x)  0
 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)  
hoaë c 
2
 f ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

 g ( x)  0
 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)  
hoaë c 
2
 f ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 8. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a.

2 x2  10 x  x 2  9 (1)

b.

7  10 x  x2  5  x (2)


c.

x2  2 x  15  x  4 (3)

d.

x2  14 x  x  6 (4)

Giải
2

 x2  9  0
 x2  9  0
x  9  0


a. 1  


 x  9.
2
2
2
x

1hay
x

9


2
x

10
x

x

9
x

10
x

9

0






Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 9.

x  5
x  5
5  x  0

b.  2   



 x  1.

2
2
2
x

1
hay
x

9
7

10
x

x

5

x
2
x

20
x


18

0








Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.
x  6  0

 x  6
 x  6
x  6  0

c.  3   2
hoaë c  2
hoaë c 
2 
 x  14 x  0
 x  14 hoaë c x  0
2 x  36


 x  14 x   x  6 
 x  14 hoaë c x  18.


Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 14  18;   .
 x 2  2 x  15  0
 x  5 hoaë c x  3

31


d.  4    x  4  0
 x  4
5 x .
6
 2
6 x  31
2


 x  2 x  15   x  4 

 31 
.
 6 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  5;
3. Bài tập rèn luyện
Ôn tập HKII Toán 10

trang 9


Trường THPT Lấp Vò 2


Tổ Toán

Bài 9. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) 3x 2  9x  1  x  2 ;

b)

x 2  5x  6  4  x ;

c)

x2  5x  14  2 x  1  0

d) x2  x  1  2 x  1;

e)

x2  14 x  x  6 ;

f)

x 2  9 x  10  x  2 ;

Vấn đề 7. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUA ĐẾN THAM SỐ m.
1. Phƣơng pháp giải.
Ta thường sử dụng các kiến thức sau để thiết lập một hệ bất phương trình theo ẩn là tham số
cần tìm. Giải hệ bất phương trình đó ta xác định được giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán.
Nếu f(x) = ax2 + bx + c là một tam thức bậc hai (a  0) thì
3) f(x) = 0 có hai nghiệm  Δ  0 .

1) f(x) = 0 vô nghiệm  ∆  b2  4ac < 0.
4) f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0.
2) f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt  Δ  0
5)
f(x) = 0 có hai 6) f(x) = 0 có hai nghiệm
a  0
7) f(x) > 0, x    
nghiệm dương phân biệt âm phân biệt khi và chỉ
Δ  0
khi và chỉ khi
khi
a  0
8) f(x) ≥ 0, x    


Δ  0

c
 0
a
 b
  a  0

Δ  0
a  0
9) f(x) < 0, x    
Δ  0

Δ  0


c
 0
a
 b
  a  0

a  0
Δ  0

10) f(x) ≤ 0, x    

Lưu ý : Nếu trong yêu cầu đề bài không có số “2” hoặc chữ “hai” và hệ số a có chứa tham
số thì thường ta phải xét hai trường hợp a = 0 và a  0.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 9. Cho phương trình mx2  2  m  2  x  4m  8 =0(1) . Xác định m để phương trình
a) Vô nghiệm;
d) Có hai nghiệm phân biệt;

b) Có nghiệm;
c) Có hai nghiệm trái dấu;
e) Có hai nghiệm phân biệt đều âm; f) Có các nghiệm dương.
Giải

a) Pt(1) vô nghiệm
Nếu m = 0 thì (1) trở thành –4x + 8 = 0  x = 2.
Vậy m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.
m  0
Nếu m  0, thì pt(1) vô nghiệm khi và chỉ khi 



  '   m  2   m  4m  8   0
2

m  0
m  0
2



2  m  2 hay m  .
2
3
m  2 hay m 
3m  4m  4  0

3

2
Tổng hợp hai trường hợp, m  2 hay m  thỏa yêu cầu bài toán.
3

b) Pt(1) có nghiệm
Nếu m = 0 thì (1) trở thành –4x + 8 = 0  x = 2. Vậy m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.
m  0
Nếu m  0, thì pt(1) vô nghiệm khi và chỉ khi 


  '   m  2   m  4m  8   0

Ôn tập HKII Toán 10


2

trang 10


Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán

m  0
m  0



2.
2
2  m 
3m  4m  4  0

3


Tổng hợp hai trường hợp, 2  m 

2
thỏa yêu cầu bài toán.
3

c) Pt(1) có hai nghiệm trái dấu

Pt(1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a.c < 0  m.(4m + 8) < 0  –2 < m < 0.
Vậy –2 < m < 0 thỏa yêu cầu bài toán.
d) Pt(1) có hai nghiệm phân biệt
Pt(1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
m  0

m  0

m  0


2.



2
2

2

m


3
m

4
m

4


0

'

m

2

m
4
m

8

0








3




2






Vậy với m   2;  \ 0 thì thoả yêu cầu bài toán.
3
e) Pt(1) có hai nghiệm phân biệt đều âm
Pt(1) có hai nghiệm phân biệt đều âm khi và chỉ khi
m  0
m  0

2

  '   m  2   m  4m  8   0
2  m  2


2
m

2
0
(hệ vô nghiệm).

3
 b  
 a
2  m  0
m

 c 4m  8

 
m  2 hay m  0
0
m
a

Vậy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán.
f) Pt(1) có các nghiệm dƣơng
Pt(1) có các nghiệm dương khi và chỉ khi
m  0
m  0

2

  '   m  2   m  4m  8   0
2  m  2

2
m

2


b

3  2  m  0 .
 
0

 a
2  m  0
m
 c 4m  8

2  m  0
 
0
m
a

Vậy 2  m  0 thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 10. Tìm các giá trị của m để bất pt  3m  3 x2   3m  6 x  m  3  0 (1) vô nghiệm.
Giải
Đặt f ( x)   3m  3 x2   3m  6  x  m  3 .
2
3

* m = 1: (1) trở thành −3x – 2 < 0  x   . Vậy m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán.

Ôn tập HKII Toán 10

trang 11


Trường THPT Lấp Vò 2

Tổ Toán

 m  1: bpt(1) vô nghiệm  f ( x)  0, x 



a  0
3m  3  0


2
Δ  0

 3m  6   4  3m  3 m  3  0


m  1
m  1


 m  20

2
m

0
hay
m

20

3
m


60
m

0




Vậy m > 20 thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình  m  4 x2   5m  20 x  2m  1  0
nghiệm đúng với mọi x  .
Giải
Đặt f(x) =  m  4 x   5m  20  x  2m  1
2

* m = 4: f(x) = −9 < 0. Vậy m = 4 thỏa yêu cầu bài toán.
* m  4 : f ( x)  0, x 


a  0
m  4  0


2
Δ  0

 5m  20   4  m  4  2m  1  0
m  4

98

m  4


  98

 m  4.
2
33

m

4
33
m

228
m

384

0



 33

Vậy với

98
 m  4 thỏa yêu cầu bài toán.

33

Ví dụ 12. Chứng minh rằng phương trình 4 x2  4  m  5 x  16m  2  0 (1) luôn có nghiệm với
mọi m.
Giải
Cách 1. Ta có: Δ '  4  m  5  4 16m  2   4m2  8m  92  g (m)
2

Vì g(m) có a = 4 > 0 và 'g  0 , m nên ’ = g(m) > 0, m.
Cách 2. Ta có: Δ '  4m2  8m  92   2m   2.2m.2  22  84   2m  2   84  0, m
2

2

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Bài tập rèn luyện
Bài 10. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x :
b)  m  4 x2   5m  20 x  2m  1  0
Bài 11. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) x2 – mx – 3m – 1 0;
b) (3m + 1) x2 – (3m +1)x + m + 4 > 0
a) x2  4(m  2) x  1  0

Bài 12. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu: x 2  (2m  1)x  m2  m  0 .
Bài 13. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu: (2m  1) x 2  3(m  1) x  m  1  0 .
Bài 14. CMR phương trình 4 x2  4  m  5 x  16m  2  0 (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 15. Tìm m để phương trình: (m  1) x 2  2(m  1)x  1  0
a. có nghiệm;
b. vô nghiệm;
c. có hai nghiệm;

Ôn tập HKII Toán 10

d. có hai nghiệm trái dấu.
trang 12