TÀI LIỆU LƯỢNG GIÁC 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (310.91 KB, 4 trang )
I. Tóm tắt:
Tóm tắt ĐN:
̂ = 𝛼 và điểm tương ứng M(𝑥0 ; 𝑦0 ). Lúc
Góc 𝑥𝑂𝑀
đó:
sin = 𝑦0 , cos = 𝑥0 ,
tan =
x0
y0
với 𝑥0 ≠ 0,cot =
với 𝑦0 ≠ 0
y0
x0
−1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≤ 1; −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ≤ 1
Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt:
𝜋
𝜋
1. Cung đối nhau: VD 6 𝑣à − 6
cos(−𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼
sin(−𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼
tan(−𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼
cot(−𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝛼
𝜋
𝜋
3. Cung phụ nhau: VD 6 𝑣à 3
𝜋
𝑐𝑜𝑠 ( − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛼
2
𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼
2
𝜋
𝑡𝑎𝑛 ( − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑡𝛼
2
𝜋
𝑐𝑜𝑡 ( − 𝛼) = 𝑡𝑎𝑛𝛼
2
𝜋
𝜋
5𝜋
2. Cung bù nhau: VD 6 𝑣à 6
cos(𝜋 − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼
sin(𝜋 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛼
tan(𝜋 − 𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼
cot(𝜋 − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝛼
𝜋
𝜋
2𝜋
4. Cung hơn kém 2 : VD 6 𝑣à 3
𝜋
𝑐𝑜𝑠 ( + 𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼
2
𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( + 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼
2
𝜋
𝑡𝑎𝑛 ( + 𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝛼
2
𝜋
𝑐𝑜𝑡 ( + 𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼
2
7𝜋
5. Cung hơn kém 𝝅: VD 6 𝑣à 3
cos(𝜋 + 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼
sin(𝜋 + 𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼
tan(𝜋 + 𝛼) = 𝑡𝑎𝑛𝛼
cot(𝜋 + 𝛼) = 𝑐𝑜𝑡𝛼
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Các hệ thức cơ bản:
𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑡𝛼 =
𝑠𝑖𝑛𝛼
1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝛼 =
1
𝑠𝑖𝑛2 𝛼
𝑡𝑎𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 1
1
3. Công thức biến đổi tổng thành tích:
2. Công thức cộng:
cos(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏
cos(𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏
𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 2𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝑏 = −2𝑠𝑖𝑛
tan(𝑎 + 𝑏) =
tan(𝑎 − 𝑏) =
𝑡𝑎𝑛𝑎 + 𝑡𝑎𝑛𝑏
1 − 𝑡𝑎𝑛𝑎. 𝑡𝑎𝑛𝑏
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
𝑐𝑜𝑠
2
2
𝑠𝑖𝑛𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑐𝑜𝑠
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
𝑠𝑖𝑛
2
2
𝑡𝑎𝑛𝑎 + 𝑡𝑎𝑛𝑏 =
sin(𝑎 + 𝑏)
𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏
𝑡𝑎𝑛𝑎 − 𝑡𝑎𝑛𝑏 =
sin(𝑎 − 𝑏)
𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏
𝑡𝑎𝑛𝑎 − 𝑡𝑎𝑛𝑏
1 + 𝑡𝑎𝑛𝑎. 𝑡𝑎𝑛𝑏
4.Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 = [𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏)]
2
𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏 =
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
𝑠𝑖𝑛
2
2
𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑠𝑖𝑛
sin(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏
sin(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
𝑐𝑜𝑠
2
2
1
[𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏) − 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏)]
2
5. Công thức góc nhân đôi:
𝑐𝑜𝑠2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑎
= 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 − 1
= 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑎
𝑠𝑖𝑛2𝑎 = 2𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 =
1
[𝑠𝑖𝑛(𝑎 + 𝑏) + 𝑠𝑖𝑛(𝑎 − 𝑏)]
2
𝑡𝑎𝑛2𝑎 =
6.Công thức hạ bậc:
𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 =
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎
2
𝑡𝑎𝑛2 𝑎 =
2𝑡𝑎𝑛𝑎
1 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑎
7. Công thức góc nhân ba:
; 𝑠𝑖𝑛2 𝑎 =
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎
2
𝑐𝑜𝑠3𝑎 = 4𝑐𝑜𝑠 3 𝑎 − 3𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑠𝑖𝑛3𝑎 = 3𝑠𝑖𝑛𝑎 − 4𝑠𝑖𝑛3 𝑎
2
8.Các trường hợp đặc biệt:
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 =
𝜋
+ 𝑘2𝜋
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 𝑘2𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋
𝜋
𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = − + 𝑘2𝜋
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 =
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋
II. Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥. 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
a) 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 =
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝜋
+ 𝑘𝜋
2
b) (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 =1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥
Bài giải
− 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
=
=
= 𝑡𝑎𝑛2 𝑥. 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
b) (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥
Bài 2: Tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc 𝑥 biết:
=
1
a) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 3 và 0 < 𝑥 <
𝜋
1
b) 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2 và 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0
2
a)
Bài giải
8
1
a) Ta có 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 9
Vì 0 < 𝑥 <
𝜋
2
b) Ta có : 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2
1
4
⟹ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥
5
2
Vì 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0 nên 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
nên 𝑐𝑜𝑠𝑥 > 0
1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 =
2√2
3
𝑠𝑖𝑛𝑥
1
𝑡𝑎𝑛𝑥 =
=
𝑐𝑜𝑠𝑥 2√2
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑥 =
= 2√2
𝑠𝑖𝑛𝑥
⇒ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
III.
√5
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
√5
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) (sin𝑥 - cos𝑥)2 = 1 - 2sin𝑥cos𝑥
b) tan x cot x
2
sin2x
c) sin4𝑥 – cos4𝑥 = 2sin2𝑥 – 1
d)
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
− 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
Bài 2: Tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc 𝑥 biết:
1
a) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = − 3 , 𝜋 < 𝑥 <
3
b) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 7 , 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0
3𝜋
2
2
c) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 5 và 𝑠𝑖𝑛𝑥 < 0
d) 𝑡𝑎𝑛𝑥 = −2 , 𝑐𝑜𝑠𝑥 > 0
3
Bài 3:
3sin cos
sin cos
cot tan
2
b) Biết sin𝛼 = 3 . Tính giá trị biểu thức: B =
cot tan
Bài 4: Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào 𝑥
a) Biết tan = √2. Tính giá trị biểu thức: A =
a) 𝐴 = sin4 𝑥 − cos4 𝑥 − 2 sin2 𝑥 + 1
1+𝑐𝑜𝑠2 𝑥
c) 𝐶 = 1−𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑡 2 𝑥
b) 𝐵 = (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + (𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2
2
𝑐𝑜𝑡𝑥+1
𝑑) 𝐷 = 𝑡𝑎𝑛𝑥−1 + 𝑐𝑜𝑡𝑥−1
4
