Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng

LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn
Văn Hùng, người đã tận tình chỉ bảo và truyền đạt kinh nghiệm cho em trong
suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán, các thầy
cô giáo trong tổ giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện
giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
Hà Nội, ngày

tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Đỗ Ngọc Phượng

SV:Đỗ Ngọc Phượng

-1-

LớpK34D_SP Toán


Lời cam đoan
Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô
giáo hướng dẫn, em đã hoàn thành nội dung khóa luận tốt nghiệp của mình.
Em xin cam đoan bài khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em
dưới sự giúp đỡ, chỉ bảo của thầy cô hướng dẫn, không trùng khớp với bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào.

Hà Nội, ngày

tháng 5 năm 2012

Sinh viên
Đỗ Ngọc Phượng


Mục lục

Trang

Lời cảm ơn.....................................................................................................1
Lời cam đoan.................................................................................................2
Mục lục..........................................................................................................3
Lời mở đầu.................................................................................................... 4
Chƣơng 1. Một số kiến thức mở đầu.........................................................5
1.1 Sai phân................................................................................................. 5
1.1.1 Khái niệm sai phân............................................................................... 5
1.1.2 ột số tính chất của sai phân..................................................................5
1.2 Phương trình sai phân............................................................................8
1.2.1 ương trình sai phân tuyến tính............................................................8
1.2.2 ương trình sai phân tuyến tính cấp 1....................................................9
1.2.3 ương trình sai phân tuyến tính cấp 2..................................................13
1.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3..............................................18
1.3 Tuyến tính hóa....................................................................................... 20
Chƣơng 2. Một số bài toán ứng dụng tính chất của sai phân................23
2.1 Bài toán tính tổng................................................................................. 23
2.2 Bài toán tìm giới hạn của dãy số.......................................................... 31
Chƣơng 3. ứng dụng của phƣơng trình sai phân...................................37

3.1 Một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số.................................37
3.2 Một số ứng dụng khác của sai phân.......................................................48
Kết luận...................................................................................................... 61
Tài liệu tham khảo.....................................................................................62


Lời mở đầu
Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật. Sai phân có thể ứng dụng vào giải gần đúng
phương trình các toán tử, đặc biệt được sử dụng để giải phương trình vi phân
và phương trình đạo hàm riêng. Bên cạnh đó lí thuyết sai phân còn có nhiều
ứng dụng khác trong giải tích chẳng hạn như: tìm số hạng tổng quát của dãy
số, tìm giới hạn của dãy số, bài toán tính tổng, ...
Một trong các dạng toán hay và khó trong chương trình phổ thông
trung học là toán về dãy số, trong đó Sai phân và ứng dụng của sai phân là
phần rất quan trọng nó không những góp phần giải quyết các bài toán về dãy
số mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất
đẳng thức... Về bản chất sai phân là tìm cách tách một số hạng của dãy số đã
cho thành hiệu (hay tổng quát hơn là tổng đại số) của hai hay ba số hạng liên
tiếp của dãy số khác. Trong sách giáo khoa gần như không đề cập vấn đề này,
nhưng trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì vấn đề này thường hay được
đề cập đến. Các sách tham khảo hiện có một số bài toán có sử dụng phương
pháp sai phân nhưng không phân tách chặt chẽ, không có hệ thống lý thuyết
làm người đọc khó vận dụng.
Dưới góc độ một sinh viên chuyên ngành toán, em xin trình bày một số
phương pháp giải bài toán liên quan đến sai phân nhằm đáp ứng cho nhu cầu
bồi dưỡng giáo viên, bồi dưỡng sinh viên, học sinh giỏi và cũng là bồi dưỡng
kiến thức cho chính mình với đề tài: ''ứng dụng của sai phân".



Chƣơng 1. một số kiến thức mở đầu
1.1. Sai phân.
1.1.1. Khái niệm sai phân.
Giả sử

f:


 là một hàm số cho trước và h const .

Ta gọi sai phân cấp 1 của f(x) là đại lượng
f (x) 

f  x hf  x 

Một cách tổng quát sai phân cấp n của f(x) là đại lượng
n

0

và  f
(x) 


x
f

 f (x) 



n 1

f  x 

1.1.2. Một số tính chất của sai phân.
 Tính chất 1: là toán tử tuyến tính,
nghĩa là
 g

 
f

 n 1

,  thì
 f , g
;





Chứng minh:

 g
f

 ,

 ;f , g


 g

f x h.g x
 hf x  g x 
f

f f

x

h 

x g x h g
x 

f g


Vậy:

 g

g

 
f


f


 Tính chất 2: Nếu c 
const

thì c 0

Chứng minh:
c const
c c c 0
 Tính chất 3:

n



 x n!h
n

n

m  x n 0 m n


Chứng minh:
 x n
2

x hn x

n


 (x ) (nx
n.h(x

n1

n1

2

n



nh.xn 1 ...

h) ...

) ...

n(n 1)h x

n 2

...

..............................................................


n


 x n!h
n

n

n

n!h

Từ tính chất (2) suy ra m  x n  m n
0
 Tính chất 4: Nếu P(x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor ta
có:
n

i

h
P P(x h) P x 
 i 
.p  x 
i1 i!
 Tính chất 5:

f x 
nh 

n


C 

i
n

i

f (x)

i
0

Chứng minh: f  x f

f  x n.h1f  x 
áp dụng nhiều lần ta được
f x n.h1 f  x  n
1  h 
1

  2

f  x  n 2  h 

x


..........................
1


  n
n

f x 

i
 Cnf (x)
i0


 Tính chất 6: Mọi sai phân đều biểu diễn qua các giá trị của hàm số:
n

 f

x

n


1 C f  x  n i  h 
in i

i
0

Chứng minh:
f
 f (x)  (1 (x)
n


) 1n
n

 1iCi 1 f
i
0
n

ni

n

x

 1iC
n f  x  n i  h 
i

i0

 Tính chất 7: Giả sử f C n
n
 f x   a,b 
Khi đó:



f
h


n

n

và

x, x nha,b

x nh; 0,1
Chứng minh:

Với n =1 ta có công thức số gia hữu hạn

x h
 fx
f

f ' x h 


hn
Giả sử công thức đúng với mọi k
n
Ta chứng minh cho


n 1

f


k n 1 . Thật vậy

x n f x hn f n x

 nh



'

Trong đó '(0,1) .

áp dụng công thức số gia
hữu hạn cho




n1

n

f (x) h f

(n)

(x  nh)
'


f
 n
n
h f  x
'
 nh h


h

n 1

.f

n1

x

''

 n  
'

 n

x 'nh

 x  nh
'




 , 0,1
'

 nh  h;
'

f

n

"

Đặt 
0,1. Ta
được :
n 1

"


n
Hệ quả: Nếu

1

x 

f


f C

f

f

n1

 x n 1h

a,bthì khi h đủ nhỏ ta có:

n

 n 

x n f x 
hn

Nhận xét: Với hàm
kí hiệu:

f x, xác định trên tập số nguyên  và coi h= 1;

yk f  k  ;k 0,1,2...

n

Ta


có:

 y

i

y2 y1 y3 y2

với

...  yn1 yn yn1 y1

yi yi1 i1
yi 
f i 1 f  i 
n

Vậy:

y
i1

i

yn1 y1

1.2. PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN.
1.2.1. PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH.
* Định nghĩa:

Phương trình sai phân tuyến tính cấp k là một hệ thức tuyến tính giữa
sai phân các cấp
2

F(xn , x
,n  x ,...,
n
k
 x ) 0

(1.1)

Trong đó x là sai phân cấp 0 của hàm x . Vì sai phân các cấp đều có
n
n
thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số nên (1) có dạng:

an xnk an1 xnk 1 ...a1
xn1 a0 xn fn


(1.2)
Trong đó ai ,i 0,1, với an  a0  là các hằng số hoặc các hàm số
2...n

của n; fn là hàm số của
n;

0,


0

xn là giá trị cần tìm.

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp n.
Nếu f n  thì phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính
0

thuần nhất cấp n, có dạng:


an xnk an1 xnk 1 ... a1

(1.3)

xn1 a0 xn 0

Để giải phương trình (1.2) người ta thường cho trước n giá trị ban đầu
x0 , x1 ,...,
xn1

và tìm được xk f

với k = 0,1,2,... được gọi là nghiệm của

(k)

phương trình sai phân (1.2).
Phương trình a  n n1 ...a
a

n

 a 0

n1

1

(1.4)

0

được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.3).
Nhận xét: Nếu xn là nghiệm của phương trình (1.3) và x là một
n
nghiệm của phương trình (1.3) thì x

với ,  là các hằng số
tùy ý



x
n

cũng là nghiệm của phương trình (1.3).
1.2.2. PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH CấP 1.
* Định nghĩa:
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng
a xn1 b xn fn


(2.1)

(a, b - hằng số khác 0, fn - biểu thức của n)
* Nghiệm:
Nghiệm tổng quát của (2.1) có dạng x x x* ; trong đó:
n

n

n

x
n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần

nhất

axn1 bxn và có dạng: x  , với C 0 và q =
b
n n
0
C.q


x là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình (2.1).
n

* Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

a


;


Là phương trình có dạng: ax bx
n1
n
Phương trình đặc trưng:

0;  a 0
ab 0

b
  .
a

(2.2)


số).

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) có dạng xn 
n
q.

(q là hằng

 Ví dụ 1: Tìm xn thỏa mãn điều kiện:
xn1 3.xn 0


n 
x1 

*

Gi ải :
Xét phương trình: xn1 3.xn là phương trình tuyến tính thuần nhất
0
cấp 1, có phương trình đặc trưng dạng: 3 0 3
Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng xn q.3n
2
Với n 1 ta
x1 3.q 2 q  .
có:
3
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:


 
1

xn

n

*

.

n 


* Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
cấp một.
 Dạng 1
Nghiệm tổng quát:
x
n

axn1 bxn
fn
x
x*
n

n

Với: □
xn là nghiệm tổng quát của phương trình (2.2)

xn* là nghiệm riêng của phương trình (2.3)
Tìm x* như sau:
n

Nếu

 x*  là đa thức cùng bậc với fn .
1 thì

g


(2.3)


n

Nếu

 1 x*
thì

n.g
;
n

gn là đa thức cùng bậc với fn .

 Ví dụ 2: Tìm xn thỏa mãn điều kiện:


x 2x
 3n
 n1 n

 x1 2
Giải :

n  
*

Xét phương trình không thuần nhất xn1 2xn 3n

Phương trình đặc trưng



2

2
0

số)

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: xn q.2n (q là
hằng
Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng x* an b
n

Thay x * vào phương trình đã cho ta được:
n
a  n 1b 2an b3n
an a b 3n
a 3

b 3

a
Đồng nhất các hệ số ta được 3

a
b
0

Do đó: x* 3n 3
n

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
*
n
x x x q.2 3n 3
n

n

n

Với n 1 ta có 2q 6 2 q 4
Vậy: xn 2n2 
3n 3

n  

Dạng 2: Phương trình dạng:

*

a.xn1 bxn



.Pm  n  . 0

(2.4)


Nghiệm tổng quát
x
Trong đó:
x

n

x x
n

n

n

*

n

là nghiệm tổng quát của phương trình (2.2)

xn* là nghiệm riêng của phương trình (2.4)
*

và xn được xác định như sau:
*

x 
n
Q


 n  nếu 
n


*

x 
n
n.Q

 n  . nếu 
n

Trong đó là nghiệm của phương trình đặc trưng Pm  n  ;Qm

n

và đa thức bậc m của n.
 Ví dụ 3: Tìm xn thỏa mãn điều kiện:
 x


3x
n
1


 x1 1


các

n  

n
2
n
Giải :

Xét phương trình: xn1 3xn 2
Phương trình đặc trưng 3 0
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng x q.3n (q
n
là
hằng số).
*
Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: x  (a là hằng số)
n
a.2
n

Thay x vào phương trình đã cho ta được: a.2n1 3.a.2n
n
n
2 
*
a 1.

*


xn 2

n

Do đó:
 x*
xn x
n
q.3n



2n

Với n 1 ta x 1 3q 2 1 q 1
có:
Vậy x 3n 2n
n
.
 Dạng 3: Phương trình
ax
n1

 bx f
f
n

n1

n2


...
f

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.5) có dạng

(2.5)
nk


x x x*
n

n

n1



x* ... x*
n2

nk

Trong đó x* tương ứng là nghiệm riêng của phương trình
nk
axn1 bxn fn (k= 1, 2, ...).
k

 Ví dụ 4: Tìm xn thỏa mãn điều kiện:



xn12x n 3n


x1

(n  )

Gi ải :
Xét phương trình:
2x
n 3
n1

x

Phương trình đặc trưng:

n

2 0 2

Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:
*
 *
xn xn x
n 2 xn
1


xn 
Trong đó:
(q là hằng số)
n
q.2
*

x an (a, b là hằng số)
n
b
1

*

.3n (c là hằng số)
x c
n2

Thay

x 2x
n1
n
n 3

*

*

x x

n



1

*

xn an
b
n
c.3

vào

2

phương

trình

,ta được:
a  n 1b c.3

n 1

n 3




2 an b c.3

n

an  a bc3 n 3
n

Đồng nhất các hệ số:

a
1

a b
0


c 
1

a 1
b1



c 1

n

n





Do đó:
*


n

xn n 13

xn q.2 n 13
n

n

Với n 1 ta x 2q 2 3 3 q 1
1
có:
Vậy:

xn 2n 3n
 n 1

n  .


1.2.3. PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH CấP HAI.
* Định nghĩa:
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình có dạng:


axn2 bxn1 
cxn fn

(3.1)

a, b, c là hằng số; fn là hàm số của n.
Nếu f  ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai
n

0
axn2 bxn1 
cxn 0

*
Nghiệm:

(3.2)

x x

Nghiệm tổng quát của phương trình (3.1) có dạng
x

n

n

*


n

Trong đó: xn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất
(3.2); x * là một nghiệm riêng tùy ý của (3.1).
n
* Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai.
Có dạng:

a xn2 b xn1 c xn
0;
(a
0)

Phương trình đặc trưng: a 2 b c 0
Nếu

1, là 2 nghiệm thực phân biệt thì
2

xn 
A.1

n


B.
2

n


(A, B là các hằng số)

3.2


Nếu

1 
2 


x (A 
n
n
B.n)

(nghiệm thực kép) thì:

(A, B là các hằng số)

Nếu x iy r(cosi sin )
Với:

i2 
1; r 

x2 y 2 ; thì: x iy
y
arctg

r(cos i sin)
x

cũng là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Khi đó: x r n ( Acos n
Bsin
n)
n
 Ví dụ 5: Giải phương trình sai phân:

(A, B là hằng số).


xn2 5xn1 
6xn 0

( n  )

x0 2; x1 3
Gi ải :
Phương trình đặc trưng:  2 56 0
 2

 3
Nghiệm tổng quát của phương trình: x A.2n B.3n . Theo giả
thiết:
n
x0  x1 3 . Ta có
2;
hệ:


Vậy x 3.2n
n
3
n

A 3
A B


2
B
1


2A

3B
3
( n  ).

* Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
cấp hai.
 Dạng 1. axn2 bxn1 cxn
Pk (n)

(3.3)

Với: a, b, c là các hằng số; a 0


Pk (n) là đa thức bậc k của n

x x

Nghiệm tổng quát của phương trình (3.3) có dạng: x
n

n

*

n

Với: x□n là nghiệm tổng quát của phương trình (3.2)
*

xn

Cách tìm