MỞ

ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vào thế kỉ 19 đầu thế kỉ 20, sự xuất hiện của vật lí lượng tử và thuyết
tương đối là một cuộc cách mạng của vật lí học. Nó là cơ sở khoa học của
nhiều lĩnh vực công nghệ cao như công nghệ vi điện tử, công nghệ viễn
thông, công nghệ quang lượng tử và công nghệ vi điện hóa, công nghệ thông
tin…Vật lí lượng tử ra đời 1900, khi MaxPlank đề xuất giả thuyết về tính gián
đoạn của bức xạ điện từ phát ra từ các vật-giả thuyết lượng tử - để giải thích
kết quả thực nghiệm về bức xạ nhiệt của các vật đen. Trong vật lí lượng tử, cơ
học lượng tử có vai trò chủ đạo. Cơ học lượng tử nghiên cứu về các quy luật
chuyển động của các hạt vật chất trong thế giới vi mô.
Trong thế giới vi mô trạng thái của hạt không còn được mô tả bởi các
thông số động lực như tọa độ, xung lượng…mà thay vào đó là trạng thái của
hạt được mô tả bởi hàm sóng, sóng vật chất ứng với năng lượng xác định nào
đó.
Hiện nay tài liệu về thế giới vi mô rất ít, điều này đã gây khó khăn hơn
cho các bạn sinh viên.Vì vậy tôi chọn thế giới vi mô làm đề tài nghiên cứu
của mình.Với nội dung “ Trạng thái của các hạt vi mô” tôi muốn đi sâu vào
nghiên cứu các đại lượng động lực, các công cụ trong thế giới vi mô. Thông
qua đề tài này tôi mong muốn luận văn này sẽ tổng hợp được nhiều kiến thức
từ các tài liệu khác nhau và có thể là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu trạng thái của các hạt vi mô
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ
sau:
1

- Tìm hiểu cơ sở ra đời của vật lí lượng tử
- Tìm hiểu về những đại lượng động lực mô tả trạng thái của hạt
- Tìm hiểu chuyển động của các hạt vi mô trong một số trường hợp
4. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu các quy luật của vật lí lượng tử.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp vật lí lí thuyết và vật lý toán.
6. Cấu trúc khóa luận
- Khóa luận gồm có 3 chương:
Chương 1: Những cơ sở ra đời của vật lí lượng tử.
Chương 2: Những đại lượng động lực mô tả trạng thái của hạt vi mô.
Chương 3: Trạng thái của hạt vi mô trong một số trường lực.


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: NHỮNG CƠ SỞ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ

1.1 Bế tắc của lý thuyết cổ điển
Theo quan niệm cổ điển thì các loại tia bức xạ (tia hồng ngoại, ánh
sáng, tia tử ngoại, tia Ronghen, tia Gamma) đều là những sóng điện từ lan
truyền trong không gian. Năng lượng của sóng tỷ lệ với bình phương biên độ
và có thể biến đổi liên tục.
Sau đây ta xét một số hiện tượng không thể giải thích được bằng các lý
thuyết cổ điển như: tính bền vững của nguyên tử, quy luật bức xạ của vật
đen,… Từ đó cần phải xây dựng một khái niệm mới để giải thích được chúng.
1.1.1 Bức xạ của vật đen
Xét bức xạ cân bằng có tần số góc từ  đến   d . Năng lượng của
bức xạ ấy chứa trong một đơn vị thể tích không gian thì tỷ lệ với d và có
biểu thức là:   ,T  d .

Công thức Rêlây:
   ,T  

2

(1.1)

k
 2c 3 T

Với c là vận tốc ánh sáng trong chân không, k là hằng số Bonzoman, T
là nhiệt độ của bức xạ cân bằng . Công thức Rêlây phù hợp với thực nghiệm
trong phạm vi các tần số góc  nhỏ và các nhiệt độ T tương đối lớn. Nhưng
đối với các tần số lớn thì công thức cho kết quả phi lý. Ta có thể thấy ngay
điều này nếu tính năng lượng toàn phần  của bức xạ (tức là năng lượng của
bức xạ đối với toàn bộ phổ liên tục, từ tần số thấp đến tần số cao) chứa trong
một đơn vị thể tích không gian:


     ,T d  kT  3
2 3

0

c

.

(1.2)
0


3


Năng lượng  bằng vô cực. Đó là điều không thể thừa nhận được. Sự
thất bại của việc vận dụng công thức Rêlây (1.1) vào miền các tần số lớn như
trên gọi là “ tai biến ở miền tử ngoại”.
1.1.2 Tính bền vững của nguyên tử
Nếu áp dụng các định luật của vật lý cổ điển cho các electron chuyển
động xung quanh nguyên tử thì dẫn đến các kết quả sau đây:
1.
Nguyên tử luôn luôn bức xạ, tần số của bức xạ có những giá trị liên tục,
nói cách khác thì phổ của bức xạ của nguyên tử là liên tục.
2.
Vì nguyên tử phát ra bức xạ nên năng lượng của nguyên tử giảm liên
tục, bán kính quỹ đạo của electron giảm. Sau một thời gian ngắn vào khoảng
-10
10 giây, thì electron rơi vào hạt nhân và nguyên tử bị biến đổi.
Các kết quả này mâu thuẫn với thực nghiệm, bình thường thì nguyên tử
không phát ra bức xạ, nếu bị kích thích thì nguyên tử phát ra bức xạ mà tần số
có giá trị xác định (phổ gián đoạn), nguyên tử bền vững và không có hiện
tượng electron rơi vào hạt nhân.
1.1.3 Hiệu ứng quang điện
Nếu ta chiếu ánh sáng vào một mặt kim loại thì có thể làm bật electron
ở mặt kim loại ngoài, hiện tượng này được phát hiện lần đầu tiên vào năm
1887.
Các kết quả thực nghiệm thu được là:
1.
Có hiệu ứng ngưỡng: dòng quang điện chỉ xuất hiện khi tần số  của
ánh sáng không nhỏ hơn một giá trị ngưỡng  0 nào đó và giá trị của  0 phụ

thuộc vào chất liệu bị chiếu sáng.
2.
Vận tốc của các điện tử và độ lớn của thế hãm không phụ thuộc vào
cường độ mà chỉ phụ thuộc vào tần số ánh sáng và thiết bị chiếu sáng.
3.

Với    0 cường độ dòng quang điện bão hòa tỷ lệ thuận với cường độ
ánh sáng gây ra hiệu ứng quang điện.


Không thể giải thích những phát hiện trên bằng quan niệm cho ánh
sáng thuần túy là sóng, vì năng lượng của sóng có thể thay đổi liên tục, nếu
chiếu ánh sáng đủ mạnh, không quan trọng tần số của ánh sáng là bao nhiêu,
các điện tử sẽ nhận một năng lượng lớn hơn công tối thiểu (còn gọi là công
thoát) của kim loại để thoát ra ngoài và chuyển động càng nhanh khi cường
độ chiếu sáng càng lớn, những điều hoàn toàn trái ngược với kết quả thực
nghiệm.
1.2 Các giả thuyết
1.2.1 Giả thuyết Plăng
Để giải thích điều phi lý trong hiện tượng bức xạ của vật đen nói trên,
năm 1900 Plăng đã đưa ra giả thuyết như sau: một dao động tử điều hòa có
tần số(góc) riêng là  chỉ có thể có những năng lượng gián đoạn, giá trị đó
bằng một số nguyên lần của một đại lượng  , gọi là lượng tử năng lượng( hay
lượng tử). Ứng với tần số góc  , giá trị của  là:

  
Nếu viết công thức đối với tần số    / 2
lượng sẽ là:

thì biểu thức của lượng tử năng


  

(1.4)

Xuất phát từ giả thuyết Plăng và dùng các phương pháp của vật lý
thống kê ta có thể chứng minh được công thức cho mật độ năng lượng bức xạ:
  ,T  



3

c

2 3

1


(1.5)

e kT  1

Công thức này phù hợp tốt với thực nghiệm. Nó bao gồm cả công thức
Rêlây như một trường hợp riêng.
1.2.2 Thuyết lượng tử của Anhstanh( Thuyết Photon)
Để giải thích các kết quả thực nghiệm về hiệu ứng quang điện
Anhstanh năm 1905 đã mở rộng thuyết lượng tử của Plăng và đề xuất thuyết
lượng tử ánh sáng ( còn gọi là thuyết photon) thừa nhận tính chất hạt của ánh

sáng. Theo Anhstanh, ánh sáng là chùm các hạt gọi là các lượng tử ánh sáng


hay các photon chuyển động trong chân không với cùng một vận tốc c trong
mọi hệ quy chiếu quán tính. Tính chất hạt của photon được thể hiện qua năng
lượng E và xung lượng p liên hệ với tần số  và vecto sóng k bởi các công
thức:
E  h , p 

h

k

2

(1.7)

Giữa năng lượng và xung lượng của photon có hệ thức:
E  cp

(1.8)

Suy ra từ hệ thức tần số và vecto sóng của ánh sáng tương ứng:
k  2


c




2


(1.9)

 là bước sóng ánh sáng.

Theo thuyết photon hiệu ứng quang điện là hệ quả của sự va chạm của
photon với điện tử trong kim loại mà toàn bộ năng lượng của photon được
truyền cho điện tử sau khi bứt ra khỏi kim loại. Kí hiệu công thoát là A0 , vận
tốc của điện tử sau khi bứt ra khỏi kim loại là  và khối lượng nghỉ của điện
tử là m. Trong kim loại thế năng của điện tử là - A0 . Theo định luật bảo toàn
năng lượng:
h  A0  m 2
2

(1.10)

Hiệu ứng quang điện chỉ có thể xảy ra nếu   0 , nghĩa là nếu tần số
của ánh sáng không nhỏ hơn một giá trị ngưỡng  0 nào đó,
  0 

A
0

h

(1.11)

Những điều này giải thích kết quả thực nghiệm thứ nhất trong hiệu ứng

quang điện.
Từ đẳng thức (1.10) cũng suy ra rằng vận tốc của các điện tử không
phụ thuộc vào cường độ mà chỉ phụ thuộc vào tần số của ánh sáng và thiết bị
chiếu sáng.



2

m  h  A0 

(1.12)

Hoàn toàn phù hợp với kết quả thực nghiệm thứ hai. Đối với thế hãm cũng
vậy. Vì eV0 

m

2

2

(e là giá trị tuyệt đối của điện tích của điện tử) nên theo các

hệ thức (1.10) và (1.11),
eV0  h   0 

(1.13)

Hệ thức (1.13) cho phép xác định hằng số Plăng bằng cách nghiên cứu

thực nghiệm sự phụ thuộc của thế hãm vào tần số của ánh sáng trong một loại
kim loại nhất định.
Thuyết photon còn giải thích được cả kết quả thực nghiệm thứ ba của
hiện tượng quang điện.
1.2.3 Thuyết lượng tử Bo (Bohr)
Để giải thích hiện tượng bền vững của nguyên tử và phổ phát xạ gián
đoạn của nguyên tử khi bị kích thích, Bo đã đưa ra một giả thuyết lượng tử,
rồi áp dụng ( cùng với cơ học cổ điển) cho nguyên tử và đã thu được kết quả
phù hợp với thực nghiệm.
Nội dung chính của thuyết Bo là: Năng lượng E của nguyên tử chỉ có
thể có những giá trị gián đoạn:
E  E1, E2 ,..., En ,...

(1.14)

Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lượng En sang trạng thái có năng
lượng Em thì nguyên tử phát ra bức xạ bằng hiệu năng lượng của trạng thái
đầu En và năng lượng của trạng thái cuối Em. Nếu gọi nm là tần số góc của
bức xạ phát ra thì ta sẽ có:
nm  En  Em

(1.15)

Giả thuyết Bohr là bước đầu tiên dùng thuyết lượng tử để nghiên cứu
nguyên tử. Với các tính toán dựa trên cơ sở cơ học cổ điển và mẫu nguyên tử
Bo người ta thu nhận được các kết quả phù hợp với thực nghiệm.


CHƯƠNG 2
NHỮNG ĐẠI LƯỢNG ĐỘNG LỰC MÔ TẢ TRẠNG THÁI

CỦA HẠT VI MÔ
2.1 Các đại lượng động lực và các toán tử
2.1.1 Các toán tử tọa độ
Xét hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng
  x  ( đã chuẩn hóa). Toán tử tọa độ


x

phải là Hermite và có dạng thế nào để

trung bình của tọa độ cho bởi công thức:
(2.1)


x   x dx

Nếu gọi   x
bình của x là:

là mật độ xác suất để tọa độ có giá trị là x thì trị trung

  x    x

2

    x   x 

Vậy : x   x   x   x  dx
Từ (2.1) và (2.3) ta có:

Như vậy toán tử
x

(2.2)
(2.3)

x   x

là một phép nhân với x : x  x

Tương tự,khi hạt chuyển động trong không gian thì có 3 toán tử tọa độ :
 x  x


 yy

 z  z

 








Ba toán tử x , y, z lập thành toán tử vecto bán r  x i  y j  zk .
kính
Kết

quả việc tác dụng toán tử tọa độ nào đó lên một hàm của tọa độ và thời gian là
việc nhân đơn thuần tọa độ đó với hàm đó.










     


(2.4)

r r,t  r r,t   r,t

Như vậy một hàm của các toán tử là toán tử :
r





U□ r  r,t  U r  r,t   r,t
,

(2.5)


     

Có thể mở rộng cho hệ nhiều hạt :








□
U r1 ,..., rn  r1 ,..., rn ,t  U r1 ,..., rn  r1 ,...,
rn ,t



 





 



(2.6)


2.1.2 Các toán tử xung lượng

Đối với hạt vi mô có xung lượng p và năng lượng E chuyển động tự

 Et  pr 
do thì hàm sóng có dạng :
   exp
i

0




px :
Ta xét toán tử
□p
(2.7)
x

p


x
Muốn thế ta phải chọn :
□p

 i 

x


Thực vậy :

(2.8)

x


 Et  pr  

i  0 exp  i



  
x 
 Et  pr 
 i 
 i  px  0 exp i
  px







Tương tự :
□p Tóm lại :




y

 i

y

,
□
p



z

 i

z

(2.9)





□ □
□
□
p  px i  py j  pz k






k 
 i i   j
x
y
z



(2.10)

2.1.3 Các toán tử moment xung lượng
Trong cơ học cổ điển, một hạt chuyển động trên quỹ đạo cong tại điểm



có vecto bán kính r , xung lượng p , sẽ có moment xung lượng L :
  
Lrp
Hình chiếu của vecto
L lên các trục tọa độ có biểu thức như sau :

 L  yp  zp
 Lx  zp zy  xp
y
x

z

Lz  xpy  ypx

(2.11)



Như vậy toán tử moment xung lượng của hạt là 
L  r  □p  i r  

 

và các toán tử hình chiếu moment xung lượng của hạt sẽ có dạng :

 


y □p  z  i y

L
x

z



□p
z
y

z




 
 
 □
  i z
x 
L y  z p  x

□p
x
z
x



 

L z  x □p  y  i x
y 
□p
y
x
y





(2.12)

Ba đại lượng trên là ba thành phần của toán tử L .
Còn toán tử bình phương moment xung lượng :
L2  L L  L2  x  2L y 2
L z
10

(2.13)


2.1.4 Toán tử năng lượng
Trong cơ học cổ điển, năng lượng toàn phần được biểu diễn qua tọa độ
x và xung lượng p theo biểu thức sau đây:
H

p2

 V  x, y, z

2m

(2.14)



Trong đó m là khối lượng của hạt, V  x, y, z  là biểu thức của thế năng,
2


2

2

p p p p
x

2

y
z

(2.15)

Theo nguyên lý tương ứng thì ta có :
2

□
H□  p  V  x, y, z

(2.16)



2m
Trong đó :
□ 2 □ 2 □ 2 □2
p  px  p y  pz
  2    2    2
 i

 i    i 



y
z
x

 

 
2
2
2


2
2 2
   2   2   2    
x y
z



(2.17)

Và : x  x, y  y, z  z
Vậy
H□





2
m

2  V  x, y, z 

(2.18)

2.2 Các định luật bảo toàn
2.2.1 Tích phân chuyển động
Điều kiện để một đại lượng F là tích phân chuyển động thì toán tử F
tương ứng với nó phải thỏa mãn:

- F không phụ thuộc rõ vào thời gian,  L  0 .
□
t
11


 □ 
- F□ và không giao hoán với nhau, H , L  0 .


H□
Một đại lượng là tích phân chuyển động thì tuân theo định luật bảo
toàn.

12



2.2.2 Định luật bảo toàn năng lượng

Trong trường dừng
 U□ r

   , nghĩa là không biến đổi theo thời gian

U□


hoặc hệ cô lập thì □  0 .
H
□ t
i □ □
Do đó d H
H ,H 0


dt

□ 

Vì vậy d E  i  , d H   0


dt
 
dt 


và E =hằng số.

Như vậy năng lượng E là tích phân chuyển động và ta nói năng lượng
của hệ tuân theo định luật bảo toàn.
Trong thế giới vi mô thì năng lượng được bảo toàn khi hạt chuyển động
trong trường dừng( nghĩa là trường không biến đổi theo thời gian hoặc hệ cô
lập).
2.2.3 Định luật bảo toàn xung lượng
Gọi P là xung lượng của một hệ lượng tử:

P   Pi
i

Trong đó Pi là xung lượng của hạt thứ i của hệ.
  
 

Pi  ii  i i
j

 k

y
zi 
i
 xi
Vì các toán tử
□


P
□

không

phụ thuộc rõ vào thời gian

i

Pi  0, i  1, 2,3,.... . Chúng ta có thể chứng minh dễ dàng rằng trong một
t
hệ cô lập (kín) (U=0).
H□ P □  P □ H□  0


Trong cơ học lượng tử, trong một hệ kín( hoặc cô lập) thì xung lượng
của hệ được bảo toàn.


2.2.4 Định luật bảo toàn moment xung lượng.
Toán tử hình chiếu moment xung lượng của hệ lượng tử lên phương 0x là:
L z   L z  k 
k

 


 i xk   y k   
xk 
z

 y k
Là toán tử hình chiếu moment xung lượng của hạt thứ k.
Trong đó:

L z  k   i r k  k

Giả sử toán tử Hamilton của hệ hạt được viết dưới dạng:

2 2 □ 
□
 U
H  
r1 ,...., r n
j
j
2m





Ta đi tính giao hoán tử H□ L  L H□  ?
z
z
Từ đó suy ra moment xung lượng là tích phân chuyển động nên tuân
theo định luật bảo toàn.
Trong thế giới các hạt vi mô thì xung lượng của hệ được bảo toàn khi
hệ đó thỏa mãn một trong ba điều kiện sau:
+ Hệ đó là hệ chuyển động tự do.
+ Hệ đó chuyển động trong trường lực đối xứng.

+ Hệ đó chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm.
2.2.5 Định luật bảo toàn chẵn lẻ.
Chúng ta xét phép đảo chiều không gian, nghĩa là phép đổi dấu đồng
thời tọa độ không gian của hệ:
x  x, y   y, z  z
Kí hiệu toán tử nghịch đảo không gian bằng chữ I .
Chúng ta xác định trị riêng của toán tử I :


Như vậy:


I r  I r

 



I=±1


→ Nhận xét: Các trạng thái có trị riêng xác định của I được tách làm
hai lớp:
Lớp các hàm không đổi dấu khi chịu tác dụng của toán tử nghịch đảo.
I 




Tương ứng với các trạng thái gọi là chẵn.

Lớp các hàm đổi dấu khi chịu tác dụng của toán tử nghịch đảo.
I  




Tương ứng với các trạng thái gọi là lẻ.
Ta đi chứng minh H□ I 
I H□

 0 , từ đó suy ra tính chẵn lẻ của các trạng

thái là tích phân chuyển động, nên tuân theo định luật bảo toàn.
Vậy những trạng thái chẵn(lẻ) luôn luôn là những trạng thái chẵn (lẻ).
Tính chẵn hoặc lẻ của của các trạng thái không thay đổi theo thời gian.
2.3 Phương trình sóng của hạt vi mô
2.3.1 Phương trình Schodinger
Để đơn giản ta xét hệ một hạt khối lượng m chuyển động tự do có năng
lượng E và xung lượng P. Hàm sóng của hạt là sóng phẳng đơn sắc De
Broglie:


 



  

  r,t  0 exp i kr  t
 i

  exp 
0
 





Et  pr 






Với  0 gọi là hệ số chuẩn hóa của hàm sóng  0 

Ta suy ra:
i

2




t









2m

2












 r,t 

 2

 
 E 
 r,t

2m 




p



1 .
2 3 2 


(3.1a)


Mặt khác, trong cơ học cổ điển, năng lượng và xung lượng của một hạt
tự do có khối lượng m được liên hệ với nhau bởi hệ thức:
 2
p
E
2
m
 2  0  E  H  0
p
 2
E
2
m

(3.1b)

Trong đó, biểu thức H  p
được gọi là hàm Hamilton của hạt tự do,

2
m
hay Hamilton của hệ.
Kết hợp (3.1a) và (3.1b) thu được phương trình cho hàm sóng De
Broglie của hạt tự do:



i  r,t  
t
 22

Nếu coi H   
2m



 

2

2m

2



 

  r,t


(3.3)

Là toán tử Hamilton tương ứng với Hamilton cổ điển, thì phương trình
(3.3) có dạng:

i

t





   



 r,t  H r,t

(3.4)

Phương trình (3.4) được gọi là phương trình Shrodinger phụ thuộc vào
thời gian.
Với trường hợp hệ đang xét ta thấy rằng:



i  r,t  E r,t
t


 
i r,t  p r,t

   
   

Khi hạt chuyển động trong trường lực Hamilton là:
 2
p
H U
2m


 
Với U là một hàm lực tổng quát nào đó, phụ thuộc vào r, r ...t .
Toán tử Hamilton có dạng:


H

2

2

 U



2m

Phương trình Shrodinger trong trường hợp này là:


 2



2
i  r,t  
  U  r,t
t
 2m


 

 

Tổng quát hơn đối với hệ n hạt chuyển động trong trường lực, toán tử
Hamilton là:


n

H  
k 1



2

2

2m



 W



Ở đây W là thành phần viết cho trường lực tổng quát mô tả tương tác
của các hạt trong hệ và là hàm của vận tốc các hạt và thời gian…
Phương trình Shrodinger cho hệ:
n


 2
 


2
i  r,t   
  W  r,t
t

 k 1 2mk k

 




Bây giờ ta xét trường hợp hạt có năng lượng E không đổi theo thời
gian, chuyển động trong trường lực có thế năng không phụ thuộc tường minh


vào thời gian - trường dừng. Khi ấy toán tử H sẽ là:

 
2
2
H
 U r
2m



(3.5)

Phương trình Shrodinger:

i
t



 

 r,t  




2

 

2
  U r  r,t
 2m


  


(3.6)



Phương trình (3.6) được viết cho hàm  r là:






 
2m  E  U  r    r   0
H  r  E r

Hay:




2
  r 

(3.7)

2

 
Phương trình (3.7) gọi là phương trình Shrodinger không phụ thuộc thời gian.

với năng lượng E xác định được gọi là các trạng thái
Các trạng thái  r



dừng.
2.3.2 Ví dụ
Sử dụng phương trình Shrodinger khảo sát hệ một hạt khối lượng m, chuyển
động trên một đường thẳng dọc theo trục 0x trong trường thế dừng có thế
năng:
U0 khi 0  x  a
U  x  
(3.7)
0
x

a,
x


0
khi


U(x)
U0
I

II

III

0

a

Hình : Hàng rào thế
Giải
Thế cho bởi (3.7) được gọi là hàng rào thế. Phương trình Shrodinger cho hạt
với các miền khác nhau có dạng:
(3.8)

2
d   x


 E  x 
2


Miền x<0:
Miền 0≤x≤0:

2m



2

2

dx
d   x
2

2m



 2

dx


(3.9)

x  E x

 U 0
d   x


2

Miền x>a :




 E x

2


2m

dx

(3.10)

2

Trường hợp E>U0
Do chuyển động không bị hạn chế ở cả hai phía nên phổ năng lượng là liên
tục và không suy biến bội hai.
Đặt:

2

k 


2mE


2

,k 
1

2

(3.11)

2m  E U 0 


2

Nghiệm của (3.8), (3.9), (3.10) lần lượt có dạng:
  x   eikx  Aeikx
x0
 I
ikx
ikx
  x   II  x  Ce  De 0  x  a

xa
II
x  Beikx
 I  


(3.12)

Áp dụng điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm bậc nhất của nó:
 I  0   II  0 ,  II  a    III  a 
,
,
  0     0 ,  ,  a    ,
I

II

II

III

a 

Ta được:
1 A  C  D
k 1 A  k1  C  D
 Ce

ik1a

ika

Beika

(3.13)


ik1a

 De



ik a

kBe  k 1Ce 1  De

Giải hệ (3.13) ta được:

ik1a




A

B

C
D

k

1

2


k2

 k 1 k 2 e

e

ik1a

ik1a



 eik1a

  k 1  k 2 e

ik1a

ika

4kk1e
ik a
 k 1 k 2 eik1a   k 1  k 2 e 2
2k  k  k1  e ik1a

 k 1 k 2 eik a   k 1  k  2 e
2k k1 
k  eik a
 k 1 k 2 eik a   k 1  k  2 eik a
ik2 a


1

1

1

2

Hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T được xác định theo hệ thức sau:

k

R A2 

2 sin k a
  k  k  2 sin k a
2

1

2

4k k1

2

k

2


2

1

2

2
1

2

4k k

T  B2 
2



2

2

2

1

2
1


4k k1  k  k1

2

2 sin

2
1

k

a

Trong trường hợp này ta đặt:
k1  2m U
0 E 
2


(3.14)

Nghiệm của phương trình Shrodinger cho ba miền vẫn có dạng(3.12) cũng từ
điều kiện biên ta thu được:
A



2

1 k k


2

 e

k1a



 k  ik1 2 ek a   k  ik 1 2 e k a
1

B

ka

e1

1

4ikk e

 k1a

1

 k  ik1 2 ek a   k  ik 1 2 e k a
1

1



k


 R A2 







2

(3.15)

1

16k 2k12

2

T  B 



2

e k1a


2
1

Và 

2

 k 2 e k1a  ek1a
ka
 k  ik  e 1   k  ik 
2
1

2

 k  ik12 ek a   k  ik1 2 e k a
1

1

Mặt khác
2

sh k a 
1

 e k1




a

2

 e  k 1a   
2

1

e

2k1a



 e2k1a  2

4



Hay 2  4sh2 k a  e2 k a  e2

(3.16)

1

k1a


1

Thay (3.16) vào (3.15) ta được:
R

k
k

2

2

2

 k1



2

2

 k 1 2 sh k1 a

2 sh k a  4k
2
1

2


k1

2

k1

2
2

T

4k k

2

1

k

2

2

 k1

2 sh k a  4k
2
1

2


 k1a

e
1 thì

Khi k1a

e

□

k1a

 0, shk1a 

T

2k1a

Vì e

2

ta có:

4
1
2
2


1  k k1  2k1a
1  k k1 
2k a
   e 4
 
 e 1 1
4  k1 k 
16  k1 k 

□
1 khi k1a
□

1 nên gần đúng ta có:
20


2

T

16k k
2

exp

2
1 2
2


e2k1a  T

0

k  k 

2
2m


 E

 U0





1

T0  16k 2k 2
1

k  k 
2

2

2




(3.17)



0

1


x2
T  T0 exp  2 2m

  x 1

U  E  dx






1.4 Spin của hạt vi mô
1.4.1 Spin của hạt vi mô
Xét hệ lượng tử gồm một hạt vi mô chuyển động trong một trường thế.
Trong phép
quay:
với


r r,rr

(4.1)

 r    r

(4.2)


Kí hiệu toán tử biến đổi dạng của hàm sóng là R :




r



,

 r   R    r 



(4.3)



Nên suy ra: R   r   r     r  hay R   r     r   r 

Khai triển vế phải hệ thức (4.5) theo  r

(4.4)

và chỉ giữ lại các số hạng đến

bậc một theo  rồi dùng công thức (4.2)
ta được :
i
R   r   1    r    r   1  
  r 

r
P







R
L  1 








với

i










 
(4.5)






21


hạt vi
mô.

 i  r    là toán tử momen xung lượng quỹ đạo của

Ví dụ về hàm sóng nhiều thành phần là hàm sóng vecto hoặc giả vecto

L



r P

V(r)
.

22


Trong phép quay không gian xác định bởi các công thức (4.1) và (4.2)
các thành phần của hàm sóng vecto cũng biến đổi theo những công thức (4.1)
và (4.2).
V  r   V ,  r,   V  r    V  r 

Với:

(4.6)

 V  r     V  r  

(4.7)
V  r   R V  r 

như sau:
V , r  




tường minh

(4.8)

V  r

R 

i

 



,

Công thức biến đổi dạng của hàm sóng

k
ik

→ R 

(4.9)

Vk  r   Vi  r   r   ijk jVk  r   r 
ik

và chỉ giữ lại các số hạng đến bậc một theo  thì từ


Khai triển theo 
r
(4.8) ta được:

 

k



i

 



i

R V r  V r 

i



L V r



ijk


i



   V r



R 

ik



i

  i

ik

Trong đó:

J 


ik




 j  



j

 L j i i

ik

(4.11)


ij
k







(4.10)





j


J 

 J  

i