TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

PHAN TH± THÚY

TÔPÔ YEU VÀ M®T SO TÍNH
CHAT CUA KHÔNG GIAN бNH
CHUAN

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưèi hưéng dan khoa
hoc TS. TRAN VĂN
BANG

Hà N®i - 2012


LèI CÃM ƠN
Đe hoàn thành khoá lu¾n này, trưóc het em xin bày tó lòng biet ơn
sâu sac đen các thay cô trong to Giái tích, khoa Toán trưòng Đai hoc sư
pham Hà N®i 2 đã đ®ng viên giúp đõ em trong suot quá trình làm khoá
lu¾n. Đ¾c bi¾t em xin chân thành cám ơn thay Tran Văn Bang - Ngưòi
thay đã trnc tiep hưóng dan em, tao đieu ki¾n tot nhat và chí báo t¾n
tình đe em có the hoàn thành khoá lu¾n tot nghi¾p này.
Do thòi gian và kien thúc có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu
khoa hoc nên nhung van đe trình bày trong khoá lu¾n không tránh khói
nhung thieu sót. Vì v¾y, em rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp
cúa các thay cô và các ban sinh viên. M®t lan nua em xin đưoc gúi lòi cám
ơn chân thành, sâu sac và lòi chúc súc khoé đen các thay cô và toàn the

các ban.
Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, ngày 06 tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Phan Th% Thuý


LèI CAM ĐOAN
Qua quá trình nghiên cúu khoá lu¾n “Tôpô yeu và m®t so
tính chat cúa không gian đ%nh chuan” đã giúp em tìm hieu
sâu hơn ve b® môn Giái tích. Qua đó cũng giúp em bưóc đau làm quen vói
phương pháp nghiên cúu khoa hoc.
Em xin cam đoan khoá lu¾n đưoc hoàn thành do sn co gang no lnc
tìm hieu, nghiên cúu cúa bán thân cùng vói sn hưóng dan chí báo t¾n
tình cúa TS. Tran Văn Bang cũng như các thay cô trong to Giái tích, khoa
Toán trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2. Đây là đe tài không trùng vói đe
tài cúa các tác giá khác.
Rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cúa các thay cô cùng ban bè
đe khoá lu¾n đưoc hoàn thi¾n hơn.

Hà N®i, ngày 06 tháng 05 năm
2012
Sinh viên

Phan Th% Thuý


Mnc lnc
Mé đau..........................................................................................................1

Chương 1. Kien thNc chuan b%...................................................................2
1.1. Không gian Tôpô............................................................................2
1.2. Ánh xa liên tnc................................................................................5
1.3. Không gian Banach.........................................................................6
1.4. Toán tú tuyen tính..........................................................................7
Chương 2. Tôpô yeu và m®t so tính chat cúa không gian đ%nh chuan

8

2.1. Tôpô yeu..........................................................................................8
2.2. Tôpô yeu* σ (E∗ , E )....................................................................13
2.3. Không gian phán xa.....................................................................19
2.4. Không gian tách đưoc..................................................................25
2.5. Không gian loi đeu.......................................................................30
Ket lu¾n......................................................................................................34
Tài li¾u tham kháo.....................................................................................35


Me ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Giái tích hàm là m®t ngành Toán hoc đưoc xây dnng vào khoáng núa
đau the ký XX nhưng hi¾n nay hau như đưoc xem như là m®t ngành
Toán hoc co đien. N®i dung cúa nó là sn hop nhat cúa nhung lý thuyet
tong quát xuat phát tù vi¾c mó r®ng m®t so khái ni¾m và ket quá cúa giái
tích, đai so, phương trình vi phân.
Trong quá trình phát trien tù đó đen nay, giái tích hàm đã tích luy đưoc
m®t so n®i dung het súc phong phú. Nhung phương pháp và ket quá rat
mau mnc cúa giái tích hàm đã xâm nh¾p vào tat cá các ngành Toán hoc
có liên quan và có sú dnng đen nhung công cn cúa giái tích và không gian

vectơ. Ngoài ra nó còn có nhung úng dnng trong v¾t lý lý thuyet và trong
m®t so lĩnh vnc ky thu¾t. Khi hoc b® môn giái tích hàm, chúng ta se đưoc
nhac đen khái ni¾m: Không gian tôpô. Vói mong muon đưoc nghiên cúu và
tìm hieu sâu hơn ve Không gian tôpô cũng như b® môn giái tích hàm em
đã chon đe tài: “Tôpô yeu và m®t so tính chat cúa không gian đ%nh
chuan”. Nghiên cúu đe tài này chúng ta có cơ h®i tìm hieu sâu hơn ve tôpô,
m®t n®i dung khá quen thu®c và bao hàm nhieu
tính chat đ¾c trưng và tong quát cúa giái tích hàm.

2. Cau trúc khóa lu¾n
Ngoài mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, khoá
lu¾n gom 2 chương:
Chương 1. Kien thúc chuan b%.
Chương 2. Tôpô yeu và m®t so tính chat cúa không gian đ%nh chuan.

1


Chương 1

Kien thNc chuan b%
1.1. Không gian Tôpô
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho t¾p X bat kỳ. Ta nói m®t ho τ nhung t¾p con cúa X
là m®t tôpô trên X , neu nó thoá mãn các tính chat sau:
(i) 0/ , X ∈ τ,
(ii) Neu Gα ∈ τ, ∀α ∈ Λ thì

[

Gα ∈ τ,


α∈Λ

(iii) Neu G j ∈ τ, j = 1, n,
thì

n

\

G j ∈ τ.

j=1

C¾p (X, τ) khi đó đưoc goi là m®t không gian tôpô. Moi phan tú x ∈ X
đưoc
goi là m®t điem.
Đ%nh nghĩa 1.2. M®t t¾p X cùng vói tôpô τ trên X , goi là không gian tôpô
(X, τ) ( hay không gian tôpô X ).
Các t¾p thu®c ho τ goi là t¾p mó. Như v¾y, cho m®t tôpô trên m®t
t¾p X , có nghĩa là qui đ%nh rõ nhung t¾p con nào đó cúa X đưoc coi là t¾p


mó và vi¾c qui đ%nh nó phái chú ý sao cho: X và 0/ đeu là mó và giao cúa
m®t so huu han ho¾c


hop cúa m®t so bat kỳ t¾p mó cũng là t¾p mó. Vì ho tat cá các t¾p mó
trong không gian Metric (gom cá không gian đ%nh chuan và không gian
Hilbert) đeu là không gian tôpô.

Đ%nh nghĩa 1.3. [So sánh Tôpô]
Khi có hai không gian tôpô τ, τr trên X ta nói tôpô τ yeu hơn tôpô τr
(hay tôpô τr manh hơn tôpô τ) neu τ ⊂ τr ; nghĩa là moi t¾p mó trong
tôpô τ đeu là t¾p mó trong tôpô τr .
Trong tat cá các tôpô trên X , tôpô thô là tôpô yeu nhat, tôpô ròi rac là
tôpô manh nhat.
Đ%nh nghĩa 1.4. [Cơ só và tien cơ só tôpô] Cho τ là m®t tôpô trên X . M®t
ho con β cúa τ goi là cơ só cúa τ neu moi t¾p thu®c τ đeu bang hop cúa
m®t ho thu®c β . Nói cách khác, ho con β cúa τ là cơ só cúa τ neu ∀G ∈
τ, ∀x ∈ G, ∃V ∈ β sao cho x ∈ V ⊂ G.
M®t ho con σ cúa ho τ goi là m®t tien cơ só cúa τ neu ho tat cá các
giao huu han các t¾p thu®c σ là m®t cơ só cúa τ. Như v¾y ho con σ cúa
τ là tien cơ
só cúa τ neu ∀G ∈ τ, ∀x ∈ G, ∀W1 ,W2 , ...,Wn ∈ σ sao cho x ∈ W1 ∩...
∩Wn ⊂ G.
Hien nhiên m®t tôpô hoàn toàn đưoc xác đ%nh khi biet m®t cơ só hay
tien cơ só cúa nó.
Đ%nh nghĩa 1.5. [Lân c¾n] Cho X là m®t không gian tôpô và x ∈ X . T¾p
con
V cúa X đưoc goi là m®t lân c¾n cúa điem x neu ton tai t¾p mó G sao cho
x ∈ G ⊂ V . Neu lân c¾n V cúa x là t¾p mó thì V đưoc goi là lân c¾n cúa x.
Moi lân c¾n cúa x đeu chúa m®t lân c¾n mó.
Đ%nh nghĩa 1.6. Cho không gian tôpô X , t¾p con A và điem x ⊂ X .
• Điem x goi là điem trong cúa A neu có m®t lân c¾n V sao cho V ⊂ A.
• Điem x goi là điem ngoài cúa A neu có m®t lân c¾n V sao cho
V ∩ A = 0/ .
• Điem x goi là điem biên cúa A neu moi lân c¾n V cúa x đeu có V ∩ A
ƒ= 0/
và V ∩ (X \ A) ƒ= 0/ .
T¾p tat cá các điem biên cúa A goi là biên cúa A. Kí hi¾u: ∂ A.



Cho X là m®t không gian tôpô và t¾p con A cúa X .
•

Ta goi phan trong cúa A là hop tat cá các t¾p mó chúa
trong A. Kí hi¾u: A◦
Tù đ%nh nghĩa ta có: A◦ là t¾p mó lón nhat chúa trong
A. A ⊂ B thì A◦ ⊂ B◦ và A mó neu và chí neu A = A◦.

•

Ta goi bao đóng cúa A là giao cúa tat cá các t¾p đóng
chúa A. Kí hi¾u: A¯
Tù đ%nh nghĩa ta có: A¯ là t¾p đóng nhó nhat chúa
A. A ⊂ B thì A¯ ⊂ B¯ và A đóng neu và chí neu A
= A¯ .

Không gian tôpô X goi là không gian Hausdorff neu vói moi c¾p điem
khác nhau x1, x2 ∈ X , ton tai m®t lân c¾n V cúa x1 và m®t lân c¾n U
cúa x2 sao cho U ∩ V = 0/ .
Cho X là m®t không gian tôpô. T¾p con A ⊆ X goi là compact (trong X
)
neu voi moi phú mó cúa A đeu có m®t phú con huu han. Nghĩa là neu Di
là các t¾p con mó cúa X vói moi i thu®c I và
A⊆

[

Di


i∈I

thì có m®t t¾p huu han I0 ⊆ I sao cho:
[

Di ⊇ A.

i∈I0

Không gian X đưoc goi là không gian compact neu X là m®t t¾p
compact trong X . Túc là neu Di là mó trong X , ∀i ∈ I và
[

Di = X

i∈X

thì có m®t t¾p huu han I0 ⊆ I sao cho
[
i∈I0

Di = X .


1.2. Ánh xa liên tnc
Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh xa f : X → Y , ánh xa f goi
là liên tnc tai x ∈ X neu vói moi lân c¾n V cúa f (x) trong Y đeu ton tai
lân c¾n U cúa x trong X sao cho f (U ) ⊂ V , hay f −1 (V ) là m®t lân c¾n
cúa x.

Vì moi lân c¾n đeu chúa m®t lân c¾n mó nên trong đ%nh nghĩa trên ta
có the thay lân c¾n là lân c¾n mó.
Ánh xa là liên tnc trên X neu nó liên tnc tai ∀x ∈ X .
Đ%nh lý 1.1. Moi ánh xa f : X → Y , các đieu ki¾n sau tương đương:
a) f liên tnc,
b) f −1 (G) mó trong X vói moi t¾p mó trong Y ,
c) f −1 (F) đóng trong X vói moi t¾p F đóng trong Y ,
. .
d) f A¯ ⊂ f (A) vói moi A ⊂ X .
H¾ quá 1.1. Hop thành cúa các ánh xa liên tnc là ánh xa liên tnc.
Cho ánh xa f : X →Y , ánh xa f goi là mó neu moi t¾p mó G trong X , f
(G)
mó trong Y ; goi là đóng neu moi t¾p đóng F trong X , f (F) là đóng trong Y
.
M®t song ánh f : X → Y goi là m®t phép đong phôi neu f và f −1 đeu là
ánh xa liên tnc.
Neu có m®t phép đong phôi f : X → Y thì các không gian X và Y goi
là đong phôi vói nhau.
Rõ ràng f là phép đong phôi thì f −1 cũng là m®t phép đong phôi.
Hop thành cúa các phép đong phôi là m®t phep đong phôi.
Đ%nh lý 1.2. Cho f : X → Y là m®t song ánh, liên tnc. Khi đó, các đieu
ki¾n sau là tươnng đương:
a) f là phép đong phôi,
b) f là ánh xa mó,
c) f là ánh xa
đóng. Chúng minh:
Vì f liên tnc, f là phép đong phôi
⇔ f −1 : X → Y liên tnc
.
.−1

⇔ f −1
(G) là mó vói moi G trong X


⇔ f (G) là mó vói moi G trong X
⇔ f là ánh xa mó
V¾y a) ⇒b)
Tương tn ta có a) ⇒c)
Giá sú X là m®t t¾p hop, {Ys, ξs}s∈S là m®t ho không gian tôpô, { fs : X →
Ys}s∈S
là m®t ho ánh xa fs tù X vào Ys. Trong ho các tôpô trên X sao cho tat cá
các ánh xa fs đeu liên tnc, ton tai m®t tôpô yeu nhat. Ho ℑ tat cá các t¾p
hop có dang
k

\
i=1
−1

sf

(Vi)

trong đó s1, s2, ..., sk ∈ S, Vi là t¾p mó trong không gian Vsi vói i = 1, 2, ..., k
là
m®t cơ só cúa không gian tôpô (X, ξ ).
ξ đưoc goi là tôpô đau xác đ%nh bói ho ánh xa { fs}s∈S.
Giá sú {(Xs, ξ )}s∈S là m®t ho không gian tôpô, Y là m®t t¾p hop, {
fs}s∈S là m®t ho ánh xa fs : Xs → Y . Trong tat cá các ánh xa fs đeu liên tnc,
ton tai m®t tôpô ξ manh nhat. Vói ∀V ⊂ Y,V ∈ ξ khi và chí khi vói moi s

∈ S, fs−1 (V ) ∈ ξs . ξ goi là tôpô cuoi xác đ%nh bói ho ánh xa { fs}s∈S.

1.3. Không gian Banach
Đ%nh nghĩa 1.7. Không gian vectơ X đưoc goi là không gian tuyen tính đ%nh
chuan ( không gian đ%nh chuan) neu vói moi x ∈ X , ton tai so thnc "x", goi là
chuan cúa x, thoá
mãn: a) "x" “ 0
b) "x" = 0 ⇔ x = 0
c) "cx" = |c| . "x" , moi vô hưóng c ,∀x ∈ X
d) "x + y" ™ "x" + "y" , ∀x, y ∈ X
Neu chí có tính chat a)c) và d) thì "·" đưoc goi là m®t núa chuan.
Đ%nh nghĩa 1.8. Cho X là không gian tuyen tính đ%nh chuan
a) M®t dãy các vectơ {xn} trong X h®i tn tói x ∈ X neu
lim "xn − x" = 0,
n →∞


nghĩa là, neu ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n “ N, "xn − x" < ε.
Trong trưòng hop này, ta viet xn → x ho¾c
lim xn = x
n→∞

b) M®t dãy các vectơ {xn} trong X là dãy Cauchy neu
lim
m,n→∞

"xn − x" = 0,

nghĩa là, neu ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m, n “ 0, "xn − x" < ε
c) De thay moi dãy h®i tn trong không gian đ%nh chuan đeu là dãy Cauchy.

Tuy nhiên, đieu ngưoc lai không đúng.
Ta nói X là không gian đay neu nó thoá mãn: moi dãy Cauchy đeu h®i
tn.
Không gian tuyen tính đ%nh chuan đay đưoc goi là không gian Banach.
Đ%nh nghĩa 1.9. Dãy {xn} trong không gian Banach X là:
a) B% ch¾n dưói neu in f "xn" > 0,
b) B% ch¾n trên nêú sup "xn " < ∞,
c) Chuan hoá neu "x" = 1, ∀n.

1.4. Toán tN tuyen tính
Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng P (P = K * C). Ánh
xa A tù không gian X vào không gian Y goi là tuyen tính neu ánh xa A thoá
mãn các đieu ki¾n:
1) (∀x, xr ∈ X ) ,A(x + xr) = Ax +
Axr, 2) (∀x ∈ X )(∀α ∈ P) , A(αx)
= αAx.
Ta thưòng goi ánh xa tuyen tính là toán tú tuyen tính.
Khi A chí thoá mãn đieu ki¾n 1) thì ta nói A là toán tú c®ng
tính. Khi A chí thoá mãn tính chat 2) thì ta nói A là toán tú than
nhat. Khi Y = P thì toán tú A goi là phiem hàm tuyen tính.


Chương 2

Tôpô yeu và m®t so tính chat
cúa không gian đ%nh chuan
2.1. Tôpô yeu
Cho E là m®t không gian Banach và f ∈ E ∗ . Kí hi¾u ϕ f : E → R là
hàm
.

tuyen tính ϕ f (x) = ( f , x). Khi f chay khap E ∗ ta có ho ánh xa ϕ f ∈E∗ ,
.
f

ϕ f : E → R . Bây giò ta bó qua tôpô trong E ( sinh bói ".") và đ%nh nghĩa
m®t
tôpô mói trong E như sau:
Đ%nh nghĩa 2.1. Tôpô yeu σ (E, E ∗ ) trong E là tôpô thô nhat sinh bói ho
ánh
. .
xa ϕ f ∈E∗ .
f

Chú ý rang moi ánh xa ϕ f là liên tnc đoi vói moi tôpô thưòng nên tôpô yeu
là
yeu hơn tôpô thưòng.
M¾nh đe 2.1. Tôpô yeu σ (E, E ∗ ) là Hausdorff.


Chúng minh. Cho x1, x2 ∈ E, x1 ƒ= x2. Ta chúng tó rang có hai t¾p mó
O1 và
O2 đoi vói tôpô yeu σ (E, E ∗ ) : x1 ∈ O1 , x2 ∈ O2 và O1 ∩ O2 = 0/
Theo Đ%nh lý Hahn - Banach, ton tai m®t siêu phang đóng tách ng¾t {x1},
{x2}.


Do v¾y, ∃ f ∈ E ∗ và sao cho:
( f , x1) < α < ( f , x 2 ).
O1 = {x ∈ E; ( f , x) < α} = ϕ−1 ((−∞, α))


Đ¾t

f

O2 = {x ∈ E; ( f , x) > α} = ϕ−1 ((α, +∞))
f

Rõ ràng, O1 và O2 là mó đoi vói σ (E, E ∗ ) và thóa mãn các tính chat theo
yêu
cau.
M¾nh đe 2.2. Cho x0 ∈ E, ε>0 và t¾p huu han { f1, f2, ..., fk} trong E ∗ .
Xét t¾p:
V = V ( f1, f2, ..., fk; ε) ={x ∈ E : |( fi, x − xo )| < ε, ∀i = 1, 2, ..., k}.
Ta có V là m®t lân c¾n cúa x0 đoi vói tôpô σ (E, E ∗ ).
Hơn nua, ta có m®t cơ só lân c¾n cúa x0 đoi vói σ (E, E ∗ ) bang cách cho ε,
k
và các fi ∈ E ∗ khác nhau.
k

−1

Chúng minh. Rõ ràng V = ∩ ϕ f i [(ai −ε, ai + ε)] , ai = ( fi, x0) là mó đoi
i=
vói
tôpô σ (E, E ∗ ) và x0 ∈ V.
Ngưoc lai, cho U là m®t lân c¾n cúa x0 đoi vói tôpô σ (E, E ∗ ). Tù đ
%nh nghĩa cúa σ (E, E∗ ), ton tai t¾p mó W, x0 ∈ W,W ⊂ U và có dang :
W=

\

h.hn

ϕ −1
(ωi) .
f
i

Trong đó ωi là m®t lân c¾n cúa ai = ( fi, x0).
Do đó , ∃ε>0 : (ai −ε, ai + ε) ⊂ Wi, ∀i⇒ x0 ∈ V ⊂ W ⊂ U .
Kí hi¾u :
Ta nói dãy (xn) trong E h®i tn ve x theo tôpô yeu σ (E, E ∗ ), và viet là : xn
~ x. Đe tránh nham lan, đôi khi ta nói: “xn ~ x yeu theo σ (E, E∗ ).
Đe th¾t rõ ràng, ta se nhan manh sn h®i tn manh bang cách nói xn → x
manh , nghĩa là: "xn − x" → 0


M¾nh đe 2.3. Cho dãy (xn) ⊂ E. Khi đó:
(i) [xn ~ x yeu theo σ (E, E∗ )] ⇔ [( f , xn) → ( f , x) ∀ f ∈ E ∗ ]
(ii) Neu xn → x manh, thì xn ~ x yeu theo σ (E, E ∗ )
(iii) Neu xn ~ x yeu theo σ (E, E ∗ ), thì ("xn") là b% ch¾n và "x" ≤ lim inf"xn"
Neu xn ~ x yeu theo σ (E, E ∗ ) và neu fn → f manh trong E ∗ (" fn − f
(iv)
"E∗ → 0), thì ( fn, xn) → ( f , x)
Chúng minh. (i) Suy ra tù M¾nh đe (*): " Cho dãy (xn) trong X . Khi đó xn
→ x ( theo tôpô τ) neu và chí neu ϕi (xn) → ϕi (x) ,∀i ∈ I." và đ%nh nghĩa
tôpô yeu σ (E, E ∗ )
(ii) Suy ra tù (i), vì |( f , xn) −( f , x)| ≤ " f "."x n − x", nó cũng đưoc suy ra tù
tính chat tôpô yeu là tôpô yeu hơn tôpô manh
(iii) Suy ra tù nguyên lý b% ch¾n đeu. Vì vói moi f ∈ E ∗ , t¾p (( f , xn))n
là b% ch¾n nên cho n → ∞ trong bat đang thúc

|( f , xn)| ≤ " f "."x n ",
chúng ta
có

|( f , x)| ≤ " f "lim inf"xn"

Nên
|( f , x)| ≤ lim inf"xn " .

"x" =
sup
(iv) Suy ra tù
bđt

"f
"≤1

|( fn, xn) −( f , x)| ≤ |( fn − f , xn)| + |( f , xn − x)| ≤ " fn − f "."x n " + |( f ,
xn − x)|
và tù (i),(iii)
M¾nh đe 2.4. Khi E là huu han chieu, tôpô yeu σ (E, E ∗ ) và tôpô thưòng
trùng nhau. Đ¾c bi¾t, m®t dãy (xn) h®i tn yeu neu và chí neu nó h®i tn manh.
Chúng minh. Vì tôpô yeu luôn có so t¾p mó ít hơn tôpô manh, nên ta chí
can chúng tó moi t¾p mó trong tôpô manh đeu là mó trong tôpô yeu. Giá
sú
x0 ∈ E, U là m®t lân c¾n cúa x0 theo tôpô manh.
Ta phái tìm m®t lân c¾n V cúa x0 theo tôpô yeu σ (E, E ∗ ) sao cho V ⊂
U . Nói cách khác ta phái tìm f1, f2, ..., fk ∈ E ∗ , ε>0 sao cho :
10



V = {x ∈ E : |( fi, x − xo )| < ε, ∀i = 1, 2, ..., k} ⊂ U
+) Lay r > 0 co đ%nh sao cho B (x0, r) ⊂ U . Chon m®t cơ só e1, e2, ..., ek
trong
E sao cho: "ei" = 1, ∀i
Khi đó ∀x ∈ E, ta có phân tích :
k

x = ∑ xi.ei
i=1

và các ánh xa: x ›→ xi là các phiem hàm tuyen tính liên tnc trên E.
Kí hi¾u: fi
k
Ta có: "x − x0 "
∑ |( fi, x − x0 )|≤
i=1
r
Chon ε
, ta đưoc V ⊂ U
k
=
Nh¾n xét 2.1. T¾p mó (t¾p đóng) đoi vói tôpô yeu σ (E, E ∗ ) luôn luôn
mó (đóng) đoi vói tôpô manh. Trong không gian vô han chieu bat kỳ tôpô
yeu thnc sn thô hơn tôpô manh, túc là ton tai t¾p mó theo tôpô manh mà
không mó theo tôpô yeu. Ta có hai ví dn:
• VÍ DU 1:
Cho E là không gian vô han chieu, m¾t cau đơn v%:
S = {x ∈ E; "x" = 1}

không là t¾p đóng đoi vói tôpô yeu σ (E, E ∗ ),
∗
Cn the hơn ta
S¯σ (E,E ) = BE
(1)
có:
Trong đó S¯σ (E,E ∗ ) là bao đóng cúa S theo tôpô σ (E, E ∗ ) và BE là
hình
cau đơn v% trong E :
BE ={x ∈ E; "x" ≤ 1}
Trưóc het, chúng ta chúng tó rang ∀x0 ∈ E, "x0 " ≤ 1 đeu thu®c
S¯σ (E,E ∗ ) Thnc v¾y,
Giá sú V là m®t lân c¾n cúa x0 theo tôpô σ (E, E∗ ). Ta chúng minh
V ∩ S = 0/ .


Theo M¾nh đe 2.2, ta luôn có the giá thiet V có dang:
V = {x ∈ E; |( fi, x − xo )| < ε, ∀i = 1, 2, ..., k}
Vói ε>0; f1, f2, ..., fk ∈ E ∗ , co đ%nh y0 ∈ E, y0 ƒ= 0 : ( fi, y0) =
0,
∀i = 1, 2, ..., k.
Phan tú y0 như v¾y là ton tai vì neu không thì ánh xa :
ϕ : E → Rk
xác đ%nh bói :
ϕ (x) = (( fi, x))1≤i≤k
là đơn ánh và ϕ là m®t đang cau tù E lên ϕ (E) ⇒ dimE ≤ k
(mâu thuan vói giá thiet :E là vô han chieu)
Hàm g (t) ="x0 + t.y0" liên tnc trên [0, ∞),
lim g (t) = +∞

g(0)<1 và

t→+∞

⇒ ∃t0>0 : "x0 + t0.y0" = 1
⇒ x0 + t0.y0 ∈ V ∩S và ta có :
∗
S ⊂ BE ⊂ S¯σ (E,E )

Đe hoàn thành chúng minh (1), ta chí can chúng tó BE -đóng theo
σ (E, E∗ ). Đieu này de thay vì:
BE =
f

∩
∈E∗,"

f "≤1

{x ∈ E; |( f , x)| ≤ 1}

là giao cúa các t¾p đóng yeu
• VÍ DU 2:
Cho hình
cau
U = {x ∈ E; "x" < 1}
vói E là không gian vô han chieu, không là t¾p mó theo tôpô yeu
σ (E, E∗ ). Giá sú, ngưoc lai, U là mó yeu thì phan bù
12

U C = {x ∈ E; "x" ≥ 1}
là đóng yeu
⇒ S = BE ∩U C cũng đóng yeu ( mâu thuan VD1)
Nh¾n xét 2.2. Trong không gian vô han chieu, tôpô yeu là không the metric
hoá đưoc, túc là không có m®t metric nào trong E sinh ra tôpô yeu σ (E,
E ∗ ). Tuy nhiên, neu E ∗ là tách đưoc thì ta có the đ%nh nghĩa m®t chuan
trong E mà cám sinh trên các t¾p hop b% ch¾n cúa E, tôpô yeu σ (E, E∗ ).
Nh¾n xét 2.3. Nói chung, trong không gian vô han chieu, luôn ton tai dãy
h®i tn yeu và không h®i tn manh. Chang han, neu E ∗ tách đưoc ho¾c neu
E là không gian phán xa thì ta có the xây dnng m®t dãy (xn) ⊂ E sao cho:
"xn" = 1 và xn ~ 0 yeu
Tuy nhiên,cũng có các không gian vô han chieu vói tính chat moi dãy h®i tn
yeu là h®i tn manh. Chang han:
l1 có tính chat đ¾c bi¾t , các không gian như v¾y là rat hiem.
Đieu này không mâu thuan vói nh¾n xét 2.2, ó đó khang đ%nh rang trong
không gian vô han chieu, tôpô yeu và tôpô manh luôn phân bi¾t: Tôpô yeu
thnc sn thô hơn tôpô manh.
Can nhó rang hai không gian metric (ho¾c khá metric) vói cùng sn h®i tn
cúa các dãy thì có tôpô trùng nhau. Tuy nhiên, neu hai không gian tôpô có
cùng sn h®i tn cúa các dãy thì chưa chac các tôpô đã trùng nhau.

2.2.

Tôpô yeu* σ (E ∗ , E)

Cho tói giò, ta có hai tôpô trong E ∗ :
(a)

Tôpô thưòng (manh) sinh bói chuan cúa E∗

(b)Tôpô yeu σ (E ∗ , E∗∗ )
Bây giò ta đ%nh nghĩa m®t tôpô thú ba trên E ∗ , đưoc goi là tôpô yeu* và
kí hi¾u: σ (E ∗ , E)
(* đe chí tôpô trên không gian đoi ngau)
Vói moi x ∈ E, xét phiem hàm tuyen tính: ϕx : E ∗ → R;
f ›→ ϕx ( f ) = ( f , x)


Khi x chay khap trong E ta có ho (ϕx)x∈E các ánh xa tù E ∗ vào R .
Đ%nh nghĩa 2.2. Tôpô yeu*,σ (E ∗ , E), là tôpô thô nhat trên E ∗ sinh bói ho
ánh xa ϕ(x)x∈E .
Vì E ⊂ E∗∗ nên tôpô σ (E∗ , E) là thô hơn tôpô σ (E ∗ , E∗∗), túc là
tôpô
σ (E ∗ , E) có ít t¾p mó hơn tôpô σ (E∗ , E ∗∗ ) ⇒

σ (E∗ , E) có ít t¾p

mó hơn
tôpô manh.
Nh¾n xét 2.4. Nguyên nhân phái nghiên cúu tôpô yeu* là vì: “ m®t tôpô
thô hơn se có nhieu t¾p compact hơn”. Chang han;
Hình cau đơn v% đóng: BE∗ trong E ∗ không là t¾p compact theo tôpô
manh
(trù khi dimE< ∞), nhưng là t¾p compact theo tôpô yeu* σ (E ∗ , E).
M¾nh đe 2.5. Tôpô yeu* σ (E∗ , E) là Hausdorff.
Chúng minh. Giá sú f1, f2 ∈ E ∗ , f1 ƒ= f2. Khi đó, ∃x ∈ E : ( f1, x) ƒ= (
f2, x)
(không can tói Đ%nh lý Hahn-Banach, mà do f1 ƒ= f2)
Giá sú rang: ( f1, x) < ( f2, x) và chon α : ( f1, x)<α<( f2, x)

Đ¾t
O1 = { f ∈ E ∗ ; ( f , x) < α} = ϕx−1 ((−∞, α))
O2 = { f ∈ E ∗ ; ( f , x) > α} = ϕx−1 ((α, +∞))
Khi đó O1 và O2 là các t¾p mó trong σ (E∗ , E): f1 ∈ O1, f2 ∈ O2 và
O1 ∩ O2 = 0/ .
M¾nh đe 2.6. Cho f0 ∈ E ∗ , m®t t¾p huu han {x1, x2, ..., xk} trong E và
ε>0, xét
V = V (x1, x2, ..., xk; ε) = { f ∈ E ∗ ; |( f − fo)| < ε, ∀i = 1, 2, ..., k}
Khi đó : V là m®t lân c¾n cúa f0 đoi vói tôpô σ (E∗ , E)
Hơn nua, ta se nh¾n đưoc m®t cơ só lân c¾n cúa f0 đoi vói σ (E ∗ , E)
bang cách cho ε, k và các xi trong E thay đoi.
Kí hi¾u: Neu ( fn) ⊂ E ∗ , fn → f theo σ (E ∗ , E) thì ta viet : fn ~ f .


Đe tránh nham lan, đôi khi ta nhan manh :” fn ~ f theo σ (E∗ ,
E)”, “ fn ~ f theo σ (E ∗ , E∗∗)” và “ fn → f manh”


M¾nh đe 2.7. Cho ( fn) là m®t dãy trong E ∗ . Khi đó:
(i) [ fn ~ f theo σ (E∗ , E) ⇔ [( fn, x) → ( f , x), ∀x ∈ E]
(ii) Neu fn → f manh thì fn ~ f theo σ (E∗ , E∗∗ )
Neu fn ~ f theo σ (E∗ , E∗∗), thì theo σ (E ∗ , E)
(iii) Neu fn ~ f theo σ (E ∗ , E) thì (" fn") là b% ch¾n và " f " ≤ lim inf" fn"
(iv) Neu fn ~ f theo σ (E∗ , E) và neu xn → x manh trong E, thì
( fn, xn) → ( f , x)
Nh¾n xét 2.5. Gía sú fn ~ f theo σ (E ∗ , E) (ho¾c fn ~ f theo σ (E∗ ,
E∗∗)) và xn ~ x theo σ (E, E ∗ ). Khi đó, nói chung ta không the ket lu¾n
rang:
( fn, xn) → ( f , x).
Nh¾n xét 2.6. Khi E là m®t không gian huu han chieu thì ba tôpô

(manh,yeu,yeu*) trên E ∗ là trùng nhau
Th¾t v¾y:
Phép nhúng chính tac J : E → E∗∗ là toàn ánh ( Vì dimE = dimE∗∗)
⇒ σ (E∗ , E)=σ (E∗ , E ∗∗ )
M¾nh đe 2.8. Cho ϕ : E ∗ → R là m®t hàm tuyen tính liên tnc theo σ (E ∗ , E)
trên E ∗ . Khi đó, ∃xo ∈ E : ϕ ( f ) = ( f , x o ), ∀ f ∈ E ∗ .
Vi¾c chúng minh dna vào bo đe sau:
Bo đe 2.1. Cho X là m®t không gian vectơ và ϕ, ϕ1, ϕ2 , ..., ϕk là (k + 1)
phiem hàm tuyen tính trên X sao cho: [ϕi (v) = 0, ∀i = 1, 2, ..., k] ⇒ [ϕ
(v) = 0] (2)
Khi đó
∃λ1, λ2 , ..., λk ∈ R : ϕ k
∑ λi.ϕi
=
i=1

Chúng minh. Xét ánh xa

F : X → Rk+1, F (u) = [ϕ (u) , ϕ1 (u) , ..., ϕk

(u)]
Theo (2), a = [1, 0, ..., 0] ∈/ R (F)
Do đó ta có the tách ng¾t {a} và R (F) bói m®t siêu phang trong, túc là
∃λ, λ1, λ2 , ..., λk và α sao cho:
k

λ<α<λ.ϕ (u) + ∑ λi.ϕi (u), ∀u ∈ X
i=1

k

⇒ λ.ϕ (u) + ∑ λi.ϕi (u) = 0 ,∀u ∈ X và λ<0 (do v¾y λ ƒ= 0)
i=1


Chúng minh. (chúng minh m¾nh đe 2.8)
Vì ϕ là liên tnc theo σ (E∗ , E) nên ton tai lân c¾n V cúa 0 theo σ (E ∗ ,
E)
sao cho :
|ϕ ( f )|<1, ∀ f ∈ V.
Ta luôn có the giá sú rang:
V = { f ∈ E ∗ ,|( f , xi)| < ε, ∀i = 1, 2, ..., k} , vói xi ∈ E, ε>0.
Đ¾c bi¾t,

[( f , xi) = 0, ∀i = 1, 2, ..., k] ⇒ [ϕ ( f ) = 0] .
k
.
.
Theo Bo đe 2.1,
ϕ( f)
k
, ∀ f ∈ E∗
λi ( f , xi)
∑
f
,
λ
x
∑

i
i
=
i=1
=
i=1

H¾ quá 2.1. Gía sú H là m®t siêu phang trong E ∗ , đóng theo σ (E∗ , E).
Khi đó H có dang : H = { f ∈ E ∗ ; ( f , x0) = α} vói m®t x0 ∈ E, x0 ƒ=
0; α ∈ R
Chúng minh. Ta có:
H = { f ∈ E ∗ ; ϕ ( f ) = α},
ó đó ϕ là phiem hàm tuyen tính trên E ∗ , ϕ ƒ≡ 0. Giá sú f0 ∈/ H, V là
m®t lân c¾n cúa f0 theo tôpô σ (E∗ , E): V ⊂ HC .
Ta giá thiet : V = { f ∈ E ∗ ,| f − f0| < ε, ∀i = 1, 2, ..., k}
Vì V là t¾p loi nên :
ϕ ( f )<α, ∀ f ∈ V

(3)

ϕ ( f )> α, ∀ f ∈ V

(3’)

Ho¾c

Giá thiet chang han (3) xáy ra. Khi đó ta có :
ϕ (g)< α −ϕ ( f0) , ∀g ∈ W = V − f0
Và vì −W = W nên |ϕ (g)| ≤ |α −ϕ ( f0)| , ∀g ∈ W (4)
Tù (4) ⇒ ϕ liên tnc tai 0 theo σ (E∗ , E)

(Vì W là m®t lân c¾n cúa 0)
Áp dung M¾nh đe 2.8 ⇒ ∃x0 ∈ E : ϕ ( f ) = ( f , x 0 ), ∀ f ∈ E ∗


Nh¾n xét 2.7. Giá sú đơn ánh chính tac J : E → E∗∗ không là toàn ánh. Khi
đó tôpô σ (E ∗ , E) là thô hơn han tôpô σ (E ∗ , E∗∗ )
Th¾t v¾y:
Giá sú ξ ∈ E ∗∗ vói ξ ∈/ J (E). Khi đó t¾p :
H = { f ∈ E ∗ ; (ξ , f ) = 0}
là đóng theo σ (E ∗ , E∗∗). Cũng theo ví dn này, các t¾p loi là đóng theo
tôpô manh, không nhat thiet đóng theo tôpô σ (E ∗ , E). Sau đây là hai loai
t¾p loi đóng trong E ∗ :
(a)Các t¾p loi là đóng manh ( thì đóng theo σ (E ∗ , E∗∗ ) theo Đ%nh lý: "
Cho
C là t¾p con loi cúa E. Khi đó, C là đóng theo tôpô yeu σ (E, E ∗ ) ⇔ nó
đóng
theo tôpô manh."
(b)Các t¾p loi là đóng theo σ (E ∗ , E)
Đ%nh lý 2.1. (BANACH- ALAOGLU- BOURBAKI)
Hình cau đơn v% đóng BE∗ = { f ∈ E ∗ ; " f " ≤ 1} là compact theo tôpô σ
(E ∗ , E)
Nh¾n xét 2.8. Tính compact cúa BE∗ là tính chat cot yeu nhat cúa tôpô yeu*
σ (E∗ , E)
Chúng minh. Xét tích đêcac Y = RE bao gom tat cá các ánh xa : E → R .
Ta kí hi¾u các phan tú cúa Y bói: ω = (ωx)x∈E vói E → R.
Không gian Y là đưoc trang b% vói tôpô tích - là tôpô thô nhat trên Y
sinh bói ho các ánh xa: ω ›→ ωx (khi x chay khap E). Tat nhiên, tôpô này
trùng vói
tôpô cúa sn h®i tn theo tùng điem.
Sau đây E ∗ luôn đưoc trang b% vói tôpô yeu*σ (E∗ , E). Vì E ∗ bao gom

các ánh xa đ¾c bi¾t tù E → R (ánh xa tuyen tính liên tnc) nên ta có the
coi E ∗ như m®t
t¾p con cúa Y .
Cn the hơn, goi Φ: E ∗ → Y là đơn ánh chính tac .
Φ( f ) = (ωx)x∈E vói ωx = ( f , x).
Rõ ràng, Φ liên tnc tù E ∗ vào Y .
Ánh xa ngưoc Φ−1 cũng liên tnc tù Φ(E ∗ ) (vói tôpô trong Y ) vào E ∗ .