Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Lời cảm ơn
Khóa luận này của em đã được hoàn thành với sự chỉ bảo, hướng dẫn tận
tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Qua đây em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên
Cường, người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em trong suốt thời gian
làm khóa luận. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô
giáo trong tổ giải tích, cũng như các thầy cô giáo trong khoa Toán trường
ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Sim

Hoàng Thị Sim

Lớp K34C SP Toán


Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả
nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và
lòng biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả nghiến cứu trong khóa luận này là kết
quả của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả nghiên cứu của các
tác giả khác.

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Sim


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU..............................................................................................1
Chương I. Một số kiến thức chuẩn bị.............................................................3
§1. Không gian tôpô..........................................................................................3
1.1. Định nghĩa không gian tôpô....................................................................3
1.2. Tập đóng .............................................Error! Bookmark not defined.
1.3. Cơ sở, lân cận, cơ sở lân cận..................................................................3
1.4. Điều kiện tương đương của ánh xạ liên tục............................................4
1.5. Tôpô xác định bởi họ ánh xạ, tôpô tách (Hausdorff)...............................4
1.6. Tập hợp compact....................................................................................4
§2. Không gian Fréchet......................................................................................5
2.1. Sơ chuẩn, nửa chuẩn trên một không gian véctơ....................................5
2.2. Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương................................6
2.3. Không gian Fréchet................................................................................9
§3. Không gian Banach, không gian Hilbert......................................................9
3.1. Không gian Banach................................................................................9
3.2. Không gian Hilbert...............................................................................10
Chương II. Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát...........................11
§1. Tôpô yếu trong không gian Hilbert............................................................11
1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục..............................................................11
1.2. Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert.................................................13
§2. Tôpô yếu trong không gian Banach...........................................................14
2.1. Không gian liên hợp.............................................................................14

2.2. Tôpô yếu...............................................................................................15
2.3. Không gian phản xạ..............................................................................20
§3. Tôpô yếu trong không gian véctơ tôpô......................................................24


3.1. Tôpô yếu* σ (
*
X ,X

) ....................................................................... 24

3.2. Không gian tách......................................................

3.3. Áp dụng..................................................................

KẾT LUẬN......................................................................

TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................

Hoàng Thị Sim

Lớp K34C SP Toán


PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào nửa đầu thế kỉ
XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học cổ điển.
Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát xuất phát từ

việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại số, Phương trình
vi phân…
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích luỹ được
một nội dung hết sức phong phú. Những phương pháp và kết quả rất mẫu
mực của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên
quan và có sử dụng đến những công cụ của Giải tích. Ngoài ra, nó còn có
những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học khác.
Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành
toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết
những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó
đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải tích
hàm, em đã chọn đề tài “Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát” làm đề
tài khoá luận tốt nghiệp. Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy được sự
phong phú, đa dạng của các tôpô khác nhau mà cụ thể ở đây là tôpô yếu và
tôpô yếu* trên một số không gian. Thông qua đó thấy được vai trò quan trọng
của chúng trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng của chúng vào các lĩnh
vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung.

Hoàng Thị Sim

1

Lớp K34C SP Toán


Hoàng Thị Sim

1


Lớp K34C SP Toán


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết về tôpô yếu trong các không gian tổng quát để thấy
thấy được sự phong phú, đa dạng của các tôpô khác nhau mà cụ thể ở đây là
tôpô yếu và tôpô yếu* trên một số không gian. Thông qua đó thấy được vai
trò quan trọng của chúng trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng của chúng
vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác
nói chung.
3. Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu
- Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian Fréchet,
không gian Banach, không gian Hilbert và không gian véctơ tôpô.
- Các kiến thức liên quan đến tôpô yếu và tôpô yếu*.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân
tích, tổng hợp, so sánh…
5. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến tôpô yếu trong một số không gian
tổng quát.
6. Bố cục khóa luận
Phần mở đầu.
Nội dung khoá luận gồm hai chương:
Chương I. Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương II. Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát.
Kết luận.

Hoàng Thị Sim

7


Lớp K34C SP Toán


Chương I. Một số kiến thức chuẩn bị

§1. Không gian tôpô
1.1. Định nghĩa không gian tôpô
Định nghĩa 1.1.1. Không gian tôpô là một cặp ( X ,τ ) , trong đó X là
một tập hợp và τ là một họ những tập con của X thoã mãn các điều kiện
sau:
i)
và X ∈τ .
∅
∈τ
ii) Nếu Gα ∈τ

 Gα ∈τ

,∀α ∈Λ
thì

α∈Λ

thì
iii) Nếu G j
∈τ ,∀j
= 1, n

n


G
j=1

j

.

∈τ .

1.2. Tập đóng

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử ( X
,τ )

là một không gian tôpô. Tập S
⊂ X

được

gọi là tập đóng trong X nếu phần bù của nó CS = X là tập mở trong
\S
X.
1.3. Cơ sở, lân cận, cơ sở lân cận
Giả sử ( X ,τ ) là một không gian tôpô.
Định nghĩa 1.3.1. Một họ B ⊆ τ


được gọi là cơ sở đối với tôpô τ nếu
∀G ∈τ ,

∃ B { i
⊂ B

sao cho G = Bi .
i∈I

i∈I

Định nghĩa 1.3.2. Một tập N được gọi là lân cận của x
∈ X

nếu tồn tại tập

U
sao cho x ∈U ⊂ N .
∈

τ

Định nghĩa 1.3.3. Một họ ℵ những lân cận của
điểm x ∈ X

được gọi là cơ

sở lân cận của x nếu với mọi lân cận M của x đều tồn tại N ∈ℵ
sao cho
N⊂ M.


1.4. Điều kiện tương đương của ánh xạ liên tục

Định lý 1.4.1. Một ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian
tôpô Y là liên tục khi và chỉ khi nó có một trong hai điều kiện dưới đây:
i) Nghịch ảnh (bởi f) của mọi tập mở (trongY ) đều là tập mở (trong X ).
ii)Nghịch ảnh (bởi f) của mọi tập đóng (trongY ) đều là tập đóng (trong
X ).
1.5. Tôpô xác định bởi họ ánh xạ, tôpô tách (Hausdorff)
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử X là một tập hợp,

{(Y τ )}
s,

s

gian tôpô, { fs : X

s
là
∈
S

một họ các không

là một họ ánh xạ từ tập hợp X vào các không

→ Ys}s∈S
gian tôpô Ys .

Khi đó tồn tại một tôpô yếu nhất τ yếu nhất trên X sao cho mọi ánh xạ
fs , s
∈

S

đều liên tục. Họ gồm các tập hợp dạng

n

 fs

i=1

i

,(i = 1, n)
∈
( ), si ∈
τ si
V si S,Vs

−1

i

là một cơ sở tôpô của tôpô τ . Tôpô τ được gọi là tôpô đầu xác định bởi họ
ánh xạ

{ fs}s∈S

.

Định nghĩa 1.5.2. Một không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff

nếu ∀x
∃Ox ,Oy
≠ y∈ X,
∈τ

sao cho x ∈ Ox , và Ox ∩ Oy
y ∈O y
= ∅.

Ví dụ. Không gian metric là không gian Hausdorff.


1.6. Tập hợp compact
Định nghĩa 1.6.1. Giả sử ( X
,τ )

là một không gian tôpô. Tập K ⊂ X
được

gọi là compact nếu với mọi phủ mở của K đều có một phủ con hữu hạn.
Chú ý
i) Ảnh của một tập compact qua ánh xạ liên tục là một tập compact.


ii)Hai trường hợp đầu mút:

τ =
 {x}, tôpô rời rạc, ở đây chỉ có các dãy không đổi mới hội
tụ.


x∈X

τ=

tôpô thô (hay tôpô không rời rạc), ở đây mọi dãy đều hội

{∅,
X },

tụ.

iii) Tổng quát, những tập càng mở thì càng khó hội tụ.
Bây giờ, giả sử ϕi : X
→ Yi ,i ∈ I

là các ánh xạ từ không gian tôpô X vào

các không gian Yi . Liệu rằng tôpô nào yếu nhất trên X mà làm cho tất cả các

ϕi đều liên tục?
Hiển nhiên, nó phải chứa ϕ
Y , từ đó
i

−1

(O ) , ở đây O là tập mở bất kì trong

i


i

i

mở rộng cho hợp tuỳ ý và giao hữu hạn của các tập mở. Bởi vậy, chúng ta
nhận được câu trả lời là:
τ=
ϕ

{



i

−1
i

(O )

} , ở đó O là các tập mở trong Y .
i

i

tuỳ ý hữu hạn

§2. Không gian Fréchet
2.1. Sơ chuẩn, nửa chuẩn trên một không gian véctơ Giả
sử X là một không gian véctơ thực hoặc phức. Định

nghĩa 2.1.1. Một sơ chuẩn trên X là một ánh xạ các

p:X → □
thỏa mãn

điều kiện:
i)

ρ (x + y) ≤ ρ (x) + ρ ( y),∀x, y ∈ X .

ii)

ρ (λ x) = λρ(x),∀x ∈ X ,∀λ ≥ 0, λ ∈□ .


Định nghĩa 2.1.2. Một nửa chuẩn trên X là một ánh xạ p : X → □
thỏa mãn
các điều kiện:
i) ρ (x + y) ≤ ρ (x) + ρ ( y),∀x, y ∈ X .


ii) ρ (λ x) = λ ρ (x),∀x ∈ X ,∀λ ∈□ .
iii)

ρ (x) ≥ 0,∀x ∈ X .

2.2. Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương
Định nghĩa 2.2.1. Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X

gọi là


tương hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục
trong tôpô đó, tức là nếu:
i) x + là một hàm liên tục của hai biến x, y ; cụ thể, với mọi lân cận V
y
của điểm x
+ y

đều có một lân cận
Ux

của x và một lân cận
Uy

của y sao

'
cho nếu x'
thì x' + y' ∈V .
,y
∈ ∈U
U
x

ii) α là một hàm liên tục của hai biến α , x ; cụ thể, với mọi lân cận V
x của

α x đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho nếu
α
−


α

'

< ε , thì
'
x ∈U

α ' x' ∈V .

Định nghĩa 2.2.2. Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp
với cấu trúc đại số gọi là một không gian véctơ tôpô.
Định nghĩa 2.2.3. Một không gian véctơ tôpô X gọi là không gian lồi địa
phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi.
Trong một không gian lồi địa phương, một cơ sở của các lân cận của 0
được cho bởi các tập có dạng
ℵα

,...,α
;ε
1

{

}

= x∈ X
α : ρ (x) < ε , ∀i = 1,..., N .
i


Một cơ sở của các lân cận của điểm

tập có dạng


x0 bất kì thuộc X được cho bởi các

ℵα

,...,α ;ε
1

=
=

{x ∈ X : ρα (x −
1,..., N } .

x0 ) < ε , ∀i

i

Tính chất. Một ánh xạ tuyến tính T là liên tục nếu và chỉ nếu
∃C > 0
T (x)

≤ C( ρ (x) + ...
+
ρ (x)) .

α
1

1

sao cho


Định lý 2.2.1. Một không gian lồi địa phương là Hausdorff.
Chứng minh. Lấy x ≠ y . Khi
đó, ∃α

sao cho ρα (x −
y) ≠ 0

(trường hợp

x − y = 0 thì họ các nửa chuẩn có tính chất tách).
Bây giờ, giả sử η = ρ và giả sử
α (x − y)
Ox =

{z ∈ X :

η
4

}

{z ∈ X :


4
η

}.

ρα (z − x) <
Oy =

ρα (z − y) <

Theo định nghĩa của tôpô lồi địa phương, các tập này là mở. Do đó, nếu
z ∈O x ∩ Oy , khi đó

η = ρα (x − y) ≤ ρα (x − z) + ρα (z
− y)
=

ρα (z − x) +

ρα (z − y) <

η η η
4

+

4

=


2

.

Điều này rõ ràng là vô lí, do đó Ox ∩ Oy = ∅ . Từ đó ta có


điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.2.4. Trong tôpô lồi địa phương, xn → x khi và chỉ
khi
∀α ∈ Α, ρ (x − x)
→ 0.

α

n

Định nghĩa 2.2.5. Cho không gian tuyến tính X . Một tập lồi C trong X
được gọi là cân đối hoặc tròn nếu

x∈ C
⇒ λx

∈ C , ∀λ ,

λ


= 1.

Định nghĩa 2.2.6. Cho không gian tuyến tính X . Một tập lồi C trong X
được gọi là hấp thu nếu tC = X .
t>0

Chú ý. Nếu

ρα

ℵα

là một họ các nửa chuẩn trên X khi đó các tập có dạng:
,...,α
;ε
1

{

= x∈ X
:
α
i

}

ρ (x) < ε ,∀i = 1,..., N

là các tập lồi, cân đối và hấp thu.
Định lí 2.2.2. Giả sử X là không gian tuyến tính cùng với một tôpô
Hausdorff trong đó phép cộng và phép nhân vô hướng là liên tục. Khi đó X



là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi 0 có một cơ sở lân cận là các tập
lồi, cân đối, hấp thu.
Chứng minh
(⇒) Điều này có từ chú ý ở trên.
(⇐) Điều mà chúng ta cần làm ở đây là xây dựng họ các nửa

chuẩn. Lấy C là
một lân cận lồi của 0 và giả sử

ρC

được xác định:

ρC = inf t 
> 0: ∈
C .


Dễ dàng kiểm tra được
ρC

x
t



là một nửa chuẩn, hơn nữa

{ρC (x) < 1}


≤ C≤

{ρC (x) ≤ 1}

.

Nhưng ý nghĩa của cơ sở lân cận cho bởi nửa chuẩn giống cơ sở lân cận
nguyên thủy của C . Do đó, hai tôpô là trùng nhau, tức là tôpô nguyên thủy là
cảm sinh bởi tôpô xác định bởi các nửa chuẩn. Bởi vậy, không gian X là lồi
địa phương.



Định lý 2.2.3. Giả sử X là không gian véctơ lồi địa phương, khi đó các điều
sau là tương đương:
1) X metric hóa được (tôpô là cảm sinh bởi khoảng cách).
2) 0 có một cơ sở lân cận đếm được bao gồm các tập lồi, cân đối, hấp thu.
3) Tôpô được xác định bởi một họ đếm được các nửa chuẩn.
Chứng minh
(1) ⇒ (2) Lấy các hình cầu có bán kính đếm được (tức là số hữu
tỉ).
(2) ⇒ (3) Làm giống như sự xây dựng họ các nửa chuẩn ở phần
chứng minh định lí 2.2.2 bằng cách sử dùng độ đo.
(3) ⇒ (1) Khoảng cách có thể cho bởi:


d (x, y) =

∑


1

∞

n=0

n

ρn (x − y)


2 1 + ρn (x − y)

.


2.3. Không gian Fréchet
Định nghĩa 2.3.1. Một không gian Fréchet là một không gian lồi địa phương
metric hóa được và đủ.
Ví dụ 2.3.1. Lớp Schwartz S các hàm giảm nhanh:

{

n

S= f :□ →
α
β
□ : sup x

∂ f (x) < C,∀α , β ∈□
x∈□

Với mỗi f ∈ S , ta xác f
định:

α
,
β

n

}
= su
px

.
α β

∂ f (x) .

x

Tập S* (đối ngẫu của S = không gian các phiếm hàm tuyến tính liên
tục
trên S ) được gọi là không gian các hàm phân bố nhiệt suy rộng.
S là không gian Fréchet.
Ví dụ 2.3.2
Giả sử D(Ω) = với nửa chuẩn xác định bởi: f
∞

.
C (Ω)

= sup ∂
β

β

f (x)

x∈Ω

*
Giả sử D'
D(Ω) = không gian các
là D(Ω) = Đối
(
hàm suy
ngẫu của
rộng.
Ω
)
'
T ∈ D (Ω) ⇔ T là tuyến tính liên tục.

⇔

∃C, n sao cho T ( .f ) ≤ C
β ≤n


n được gọi là bậc của hàm suy rộng.

∑

f

β


§3. Không gian Banach, không gian Hilbert
3.1. Không gian Banach
Định nghĩa 3.1.1. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới phần tử của X .


3.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 3.2.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường, K ta gọi là tích
vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X ×
vào K , kí
X
hiệu .,. thoả mãn các tiên đề sau:
i) (∀x, y
∈ X):

y, x =
.
x, y

ii) (∀x, y, z
∈ X):


x + y,
z =

x, z
+

iii) (∀x, y ∈ X ) λ
(∀λ ∈ K ) :
x, y
iiii) (∀x
∈ X):

y, z .

= λ x, y .

> 0 nếu x ≠
θ và

x,
x

x, x = 0 nếu x =

θ .

Các phần tử x, y, z … gọi là các nhân tử của tích vô hướng,
số


< x, y
>

được gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y. Các tiên đề i),ii),iii),iiii)
được gọi là hệ tiền đề vô hướng.
Nếu (∀x, y
∈ X):

x,
y

= 0 thì x, y được gọi là trực giao. Khi đó, ta
viết

x⊥ y.
Mỗi x
∈ X

, ta đặt:
x = x, x

(3.2.1)

thì công thức trên xác định một chuẩn trên X , và gọi là chuẩn sinh bởi tích
vô hướng.
Định nghĩa 3.2.2. Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô
hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Hoàng Thị Sim

22


Lớp K34C SP Toán


Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với
chuẩn xác định bởi công thức (3.2.1).
Định nghĩa 3.2.3. Ta gọi một tập H ≠ ∅ gồm

x, y, z … nào đó là

các phần tử không gian Hilbert nếu H thoả mãn các
điều kiện:
i) H là không gian tuyến tính trên trường K .
ii) H được trang bị một tích vô hướng .,. .

Hoàng Thị Sim

23

Lớp K34C SP Toán


iii) H là không gian Banach với chuẩn x
=

,∀x ∈ H .

x,
x


Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian Hilbert H .

Chương II. Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát
§1. Tôpô yếu trong không gian Hilbert
1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục
Giả sử H là không gian Hilbert.
Với mỗi phần tử cố định y
∈ H

phiếm hàm

f (x) = x,
y

,x∈ H

là tuyến tính liên tục trên H . Đảo lại, thì mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên một không gian Hilbert cũng đều có dạng đó. Điều này được chỉ rõ trong
định lí sau:
Định lý 1.1.1 (Định lí Riesz). Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian Hilbert H thì tồn tại một phần tử duy nhất a của H sao
cho

và

f (x) = x,
a
f = a .


,∀x
∈
H

(1.1.1)

(1.1.2)

Chứng minh. Giả sử a là phần tử cố định thuộc không gian H . Nhờ các
tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức


f (x) = x,
a

,∀x ∈ H

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H .