TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I
2 KHOA TOÁN

MAI TH± HÃO

TOÁN TU TUYEN TÍNH KHÔNG B± CH¾N

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưèi hưéng dan khoa
hoc TS. TRAN VĂN
BANG

Hà N®i - 2012


LèI CÃM ƠN
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang - Ngưòi thay
đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành bài khoá lu¾n
cúa mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay cô trong to Giái
tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2,
Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho em hoàn thành tot bài khoá
lu¾n này.
Trong khuôn kho có han cúa m®t bài khoá lu¾n, do đieu ki¾n thòi gian,
do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc cho nên
không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì v¾y, em kính
mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa các thay cô và các ban.
Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, tháng 05 năm
2012

Sinh viên

Mai Th% Háo


LèI CAM ĐOAN
Khoá lu¾n này là ket quá cúa bán thân em trong quá trình hoc t¾p và
nghiên cúu. Bên canh đó em đưoc sn quan tâm cúa các thay cô giáo trong
khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cúa TS. Tran Văn Bang.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khoá lu¾n này em đã tham kháo
m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cúa đe tài “Toán tÝ tuyen tính
không b% ch¾n” không có sn trùng l¾p vói ket quá cúa các đe tài khác.

Hà N®i, tháng 05 năm
2012
Sinh viên

Mai Th% Háo


Mnc lnc
Mé đau..........................................................................................................1
Chương 1. Kien thNc chuan b%...................................................................3
1.1. Không gian Banach...........................................................................3
1.2. Toán tú tuyen tính b% ch¾n.............................................................4
1.3. Nguyên lý thác trien Hahn - Banach................................................5
1.4. Nguyên lý b% ch¾n đeu...................................................................6
1.5. Nguyên lý ánh xa mó và đ%nh lý đo th% đóng..............................11
1.6. Không gian con bù. Toán tú ngh%ch đáo m®t phía........................14

1.7. Tính trnc giao.................................................................................18
Chương 2. Toán tN tuyen tính không b% ch¾n........................................21
2.1. Toán tú không b% ch¾n.................................................................21
2.2. Toán tú vói mien giá tr% đóng và toán tú toàn ánh........................28
Ket lu¾n......................................................................................................33
Tài li¾u tham kháo.....................................................................................34


Me ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Giái tích là m®t chuyên ngành giu vai trò quan trong trong Toán hoc. Lý
thuyet giái tích hàm đep đe và là chìa khóa đe hieu đưoc các môn hoc khác
ve giái tích toán hoc. Đoi tưong chính cúa giái tích hàm là các không gian và
các toán tú tuyen tính liên tnc hay còn goi là toán tú tuyen tính b% ch¾n.
Trong chương trình cúa môn giái tích hàm, ta đưoc biet đen m®t so khái
ni¾m và ket quá ve toán tú tuyen tính b% ch¾n trong không gian Banach
như đ%nh lí Hahn
- Banach, nguyên lý b% ch¾n đeu Banach - Steinhaus, nguyên lý ánh xa mó và
đ%nh lý đo th% đóng...
M®t toán tú tuyen tính xác đ%nh trên toàn b® không gian và thóa mãn
đieu ki¾n b% ch¾n thì nó là toán tú tuyen tính b% ch¾n tuy nhiên neu ta cho
phép đ%nh nghĩa m®t ánh xa tuyen tính trên m®t không gian thnc sn nhó hơn
không gian đang xét thì chúng ta có the có nhung toán tú tuyen tính không b
% ch¾n. Đây là m®t khái ni¾m mói mà vói lưong thòi gian eo hep trên lóp
sinh viên khó có the đi vào nghiên cúu.
Dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chuyên ngành Toán và trong khuôn
kho cúa bài khoá lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng dan nhi¾t tình
cúa thay Tran Văn Bang tôi đã chon đe tài “Toán tÝ tuyen tính
không b% ch¾n”.Tôi hi vong đe tài này có ích cho vi¾c nghiên cúu các

van đe cúa giái tích hàm cũng như trong các ngành khác cúa toán hoc lý
thuyet và úng dnng.

2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Tìm hieu ve toán tú tuyen tính không b% ch¾n.

5


3. Đoi tưeng và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve toán tú tuyen tính không b% ch¾n bao gom khái ni¾m và
đ¾c trưng cúa nó.

4. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo.
Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat.

5. Cau trúc khóa lu¾n
Ngoài mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, khoá lu¾n
gom 2 chương:
Chương 1. Kien thúc chuan b%.
Chương 2. Toán tú tuyen tính không b% ch¾n.


Chương 1

Kien thNc chuan b%
1.1. Không gian Banach
Đ%nh nghĩa 1.1. Chuan và không gian đ%nh chuan
Ta goi không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen tính đ%nh chuan) là

không gian tuyen tính X trên trưòng P (P = R ho¾c P = C) cùng vói m®t
ánh xa tù X
vào t¾p so thnc R, kí hi¾u là ||.|| và đoc là chuan, thóa mãn các tiên đe sau
đây:
1) (∀x ∈ X ), ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ (kí hi¾u phan tú không là
θ ); 2) (∀x ∈ X ), (∀α ∈ P)||αx|| = |α|||x||;
3) (∀x, y ∈ X )||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
So ||x|| goi là chuan cúa vector x. Ta cũng kí hi¾u không gian đ%nh chuan là X .
Các tiên đe 1),2),3) goi là h¾ tiên đe chuan.
Đ%nh lý 1.1.1. Cho không gian đ%nh chuan X . Đoi vói hai vector bat kì x, y ∈
X
ta đ¾t
d(x, y) = ||x − y||
Khi đó d là m®t metric trên X .
Đ%nh nghĩa 1.2. Dãy điem (xn) cúa không gian đ%nh chuan X goi là h®i tn
tói điem x ∈ X , neu
→ lim ||xn − x|| = 0.
Kí hi¾u: lim xn =n x∞hay xn → x(n → ∞).
n→∞


Đ%nh nghĩa 1.3. Dãy điem (xn) trong không gian đ%nh chuan X goi là dãy
cơ bán, neu
lim
n,m→∞ "xn − xm " = 0.
Đ%nh nghĩa 1.4. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian Banach, neu
moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.

1.2. Toán tN tuyen tính b% ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho X và Y là hai không gian tuyen tính trên cùng trưòng P

(P = R ho¾c P = C). Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y goi là
ánh xa tuyen tính ho¾c toán tú tuyen tính neu A thóa mãn:
A(αx + β y) = αAx + β Ay, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, ∀α, β ∈ P.
Khi Y = P thì toán tú tuyen tính A đưoc goi là phiem hàm tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.2. Toán tú tuyen tính A tù không gian X vào không gian Y
đưoc goi là b% ch¾n neu ton tai m®t hang so c > 0 sao cho:
"Ax" ≤ c"x", ∀x ∈ X.
Nh¾n xét 1.2.1. :
a) Đoi vói các toán tú tuyen tính, các khái ni¾m liên tnc và b% ch¾n là tương
đương.
b) Tù công thúc trên suy ra:
sup
xƒ=0

"Ax"

< +∞.

"x"

Đ%nh nghĩa 1.3. Chuan cúa toán tú tuyen tính A đưoc đ%nh nghĩa như sau:
"Ax"
"A" = sup
.
xƒ=0 "x"
Đ%nh nghĩa 1.4. Kí hi¾u: Cho X và Y là hai không gian đ%nh chuan. Ta goi
£(X,Y ) là không gian các toán tú tuyen tính liên tnc (b% ch¾n) tù X vào Y
đưoc trang b% vói chuan
"T "£(X,Y ) = sup ||T x||.
x∈X


||x||≤1


Thông thưòng, ta viet £(X ) thay cho £(X, X ).

1.3. Nguyên lý thác trien Hahn - Banach
M®t hàm thnc ϕ(x) trên m®t không gian vector X đưoc goi là dưói
tuyen tính, neu
1) ϕ(x1 + x2) ≤ ϕ(x1) + ϕ(x2) vói moi x1, x2 ∈ X ;
2) ϕ(αx) = αϕ(x) vói moi x ∈ X và moi so α ≥ 0.
Đ%nh lý 1.3.1. Đ%nh lý Hahn - Banach
Cho m®t phiem hàm tuyen tính f xác đ%nh trong m®t không gian con M cúa
m®t không gian vector thnc X . Neu có m®t hàm dưói tuyen tính ϕ xác đ
%nh trong X , sao cho
∀x ∈ M

f (x) ≤ ϕ(x)

thì phái có m®t phiem hàm tuyen tính F(x) xác đ%nh trong toàn the X , sao
cho:
1) F là khuech cúa f , nghĩa là
∀x ∈ M F(x) = f (x)
2) ∀x ∈ X F(x) ≤
ϕ(x).
Đ%nh nghĩa 1.1. Ta kí hi¾u X ∗ là không gian đoi ngau cúa X nghĩa là không
gian tat cá các phiem hàm tuyen tính liên tnc trên X . Chuan đoi ngau trên X ∗
đưoc đ%nh nghĩa bói:
|| f || X∗ = sup| f (x)| = sup f (x).
x∈X


||x||≤1

x∈X

||x||≤1

Đ%nh nghĩa 1.2. Neu M ∈ E là m®t không gian tuyen tính thì đ¾t
M ⊥ = { f ∈ X ∗ : ( f , x) = 0,

∀x ∈ M}

Ta goi M⊥ là không gian trnc giao vói M.
H¾ quá 1.3.1. Vói moi phan tú xo ƒ= 0 cúa m®t không gian đ%nh chuan X
đeu có m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc f trên X sao cho f (x) = ||xo|| và
|| f || = 1.


Chúng minh. Đ¾t Xo = {txo : t ∈ P} ta đưoc Xo là không gian tuyen tính
con
cúa không gian X . Vói moi x ∈ Xo thì x = tx o ,t ∈ P, ta đ¾t fo(x) = t||xo||.
Hien nhiên, fo là phiem hàm tuyen tính trên Xo, fo(xo) = ||xo||, | fo(x)| = |t|||
xo|| =
||x||, do đó || fo|| = 1. Theo đ%nh lý Hahn - Banach, ta có the thác trien
phiem hàm fo thành phiem hàm f tù Xo lên toàn X thóa mãn: f (xo) = ||
xo||, || f || =
|| fo|| = 1.
H¾ quá 1.3.2. Cho M là không gian tuyen tính con cúa không gian đ%nh chuan
X và xo ∈ X là m®t phan tú thóa mãn đieu ki¾n:
dist(xo, M) = in f ||xo − y|| = d > 0

y∈M

Khi đó ton tai phiem hàm tuyen tính liên tnc f xác đ%nh trên toàn không gian
X sao cho:
1) f (y) = 0, ∀y ∈ M ;
2) || f || =d1 ;
3) f (xo) = 1.

1.4. Nguyên lý b% ch¾n đeu
Đ%nh lý 1.4.1. Đ%nh lý pham trù Baire
Cho X là m®t không gian metric đay và cho (Xn)n≥1 là m®t dãy các t¾p con
đóng trong X . Giá sú rang:
IntXn =
0/
Khi
đó
Int(

[∞

∀n ≥ 1.

Xn ) = 0/ .

n=1

Nh¾n xét 1.4.1. Đ%nh lý pham trù Baire thì thưòng đưoc sú dnng dưói
nhung dang sau. Cho X là không gian metric đay không trong và (Xn)n≥1 là
m®t dãy các t¾p con đóng trong X thóa mãn:
∞


[

Xn = X.

n=1

Khi đó ton tai so no sao cho IntXno ƒ= 0/ .
1
0


Chúng minh. Đ¾t On =n X c , ta có On là mó và trù m¾t trong X, ∀n ≥ 1.
Mnc
∞
đích cúa ta là chúng minh G = ∩n=1
On trù m¾t trong X. Cho ω là t¾p mó
không trong trong X . Ta se chúng minh rang ω ∩ G ƒ= 0/ . Đ¾t
B(x, r) = {y ∈ X : d(y, x) < r}.

Lay xo bat kì thu®c ω và ro > 0 thóa mãn:
B(xo, ro) ⊂ ω.
Sau đó, chon x1 ∈ B(xo, ro) ∩ O1 và r1 > 0 thóa mãn:
.
B(x1, r1) ⊂ B(xo, ro) ∩ O1
0 < r1 <

ro
2.


Đieu này thì luôn có bói vì O1 là mó và trù m¾t. Bang quy nap ta xây dnng
đưoc hai dãy (xn) và (rn) thóa mãn:
.
B(xn+1, rn+1) ⊂ B(xn, rn) ∩ On+1 ∀n ≥ 0
0 < rn+1 <

rn
2.

Rõ ràng (xn) là m®t dãy Cauchy. Giá sú xn → A.
Do xn+p ∈ B(xn, rn), ∀n ≥ 0 và ∀p ≥ 0, chúng ta thu đưoc giói han khi p →
∞
ta đưoc
A ∈ B(xn, rn)

∀n ≥ 0

Đ¾c bi¾t, A ∈ ω ∩ G.
Đ%nh lý 1.4.2. Nguyên lý b% ch¾n đeu Banach - Steinhaus
Cho X và Y là hai không gian Banach và (Ti)i∈I là ho (không can thiet
đem đưoc) các toán tú tuyen tính liên tnc tù X vào Y . Giá sú rang :
(1)
sup||Ti x|| < ∞,
∀x ∈ X .
i∈I

Khi đó
(2)
sup||Ti ||£(X,Y ) < ∞.
i∈I


Nói cách khác, ton tai m®t hang so c thóa mãn:
"Tix" ≤ c "x"

∀x ∈ X,

∀i ∈ I.


Nh¾n xét 1.4.2. Ket lu¾n cúa Đ%nh lý 1.4.2 là khá quan trong. Tù các đánh
giá tùng điem ta nh¾n đưoc m®t đánh giá toàn cnc.
Chúng minh. Vói moi n ≥ 1, ta xét t¾p
.
.
Xn = x ∈ X ; ∀i ∈ I, sup||Ti (x)|| ≤ n ,
i∈I

Moi t¾p này là đóng trong X , vì nó là giao cúa ho t¾p {x ∈ X : ||Ti(x)|| ≤ n}
(i ∈
I), mà các t¾p ay đóng do Ti liên tnc. Hien nhiên, do Xn ⊂ X (n = 1, 2...) suy
ra

S∞

n=
1

Xn ⊂ X . M¾t khác, vói moi x ∈ X , t¾p {x : ||Ti(x)|| ≤ n} (i ∈ I) b%

ch¾n,

nên ton tai so tn nhiên n sao cho sup||Ti (x)|| ≤ n, do đó x ∈ Xn, suy ra:
i∈I
∞

[

Xn = X.

n=1

Theo Đ%nh lý pham trù Baire thì ton tai no ≥ 1 sao cho Int(Xno ) ƒ= 0/ . Lay xo
∈X
và r > 0 sao cho B(xo, r) ⊂ Xno . Ta có:
||x − xo || ≤ r ⇒ sup||Ti (x)|| < no.
i∈I

Tù đó, chú ý rang neu ||x|| ≤ 1 thì ||(xo + rx) − xo|| ≤ r, ta suy ra vói moi x
nghi¾m đúng ||x|| ≤ 1 và vói moi i ∈ I ta có:
"Ti(xo + rx)" ≤ no.
V¾y ||Ti (xo ) + rTi(x)|| ≤ no, do đó
r "Ti (x)"£(X,Y ) ≤ no + "Ti (xo )" .
và vì đieu này đúng vói moi x mà ||x|| ≤ 1 nên
||Ti || ≤ 2no /r,
Chúng tó ho {Ti, i ∈ I} b% ch¾n đeu.
Nh¾n xét 1.4.3. Nói chung giói han theo tùng điem T (x) cúa m®t dãy các
ánh xa liên tnc Ti(x) thì có the không liên tnc. Giá thiet ve tính tuyen tính
cúa các Ti là yeu to can thiet trong Đ%nh lý 1.4.2 đe ta có T liên tnc. Tuy
nhiên, nói
1
2



chung ta van không khang đ%nh đưoc "Tn − T "£(X,Y ) → 0.

1
3


Cn the ta có h¾ quá:
H¾ quá 1.4.1. Cho X và Y là hai không gian Banach. Cho Tn là m®t dãy các
toán tú tuyen tính tù X vào Y sao cho ∀x ∈ X, Tn(x) h®i tn (khi n → ∞) tói
m®t
giói han kí hi¾u bói T (x). Khi đó chúng ta có:
(a)

sup "Tn "£(X,Y ) < ∞,

(b)
(c)

T ∈ £(X,Y ),
"T "£(X,Y ) ≤ limin f "Tn "£(X,Y ) .

n

n→∞

Chúng minh. Vì lim ||Tn(x)|| = ||T (x)|| nên ta có sup "Tn "£(X,Y ) < ∞. Do
đó
n→∞


theo Đ%nh lí 1.4.2 ton tai hang so c thóa mãn:
"Tn(x)" ≤ c"x",

n

∀x ∈ X, ∀n.

Cho n → ∞ ta tìm đưoc:
"T (x)" = lim ||Tn(x)|| ≤ c"x",

∀x ∈ X.

n →∞

Đieu này chúng tó T b% ch¾n mà T tuyen tính nên ta có T tuyen tính liên tnc
Cuoi cùng, ta có:
"Tn(x)" ≤ "Tn "£(X,Y ) "x" ,

∀x ∈ X.

Tù đây ta có (c).
H¾ quá 1.4.2. Cho G là m®t không gian Banach và B là m®t t¾p con cúa G.
Giá sú
(3)

∀ f ∈ G∗ thì f (B) = {( f , x); x ∈ B} là b% ch¾n (trong R).

Khi đó
(4)


B b% ch¾n.

Chúng minh. Ta sú dnng Đ%nh lý 1.4.2 vói X = G ∗,Y = R và I = B. Vói
moi
b ∈ B đ¾t
Tb( f ) = ( f , b),
Tù (3) ta
có:

sup | Tb( f ) |< ∞,
b∈B

f ∈ X = G∗,
∀ f ∈ X.


Theo Đ%nh lý 1.4.2 thì ton tai m®t hang so c thóa mãn:
| ( f , b) |≤ c" f ",

∀ f ∈ G∗, ∀b ∈ B.

Vì v¾y sú dnng h¾ quá cúa nguyên lý thác trien Hahn - Banach ta có:
"b" ≤ c,

∀b ∈ B.

Nh¾n xét 1.4.4. H¾ quá 1.4.2 nói rang đe chúng minh t¾p B là b% ch¾n ta
chí can nhìn B qua các hàm tuyen tính b% ch¾n. Đây là cách quen thu®c
trong không gian huu han chieu, ó đó các phiem hàm tuyen tính là các toa đ®

đoi vói m®t so cơ só. Theo m®t nghĩa nào đó, H¾ quá 1.4.2 là sn thay the
cách nhìn đó. Trong không gian vô han chieu, đôi khi ket lu¾n cúa H¾ quá
1.4.2 đưoc phát
bieu như sau "b% ch¾n yeu" ⇔ "b% ch¾n manh".
Tiep theo chúng ta có m®t phát bieu đoi ngau vói H¾ quá 1.4.2.
H¾ quá 1.4.3. Cho G là m®t không gian Banach và B∗ là t¾p con cúa G∗.
Giá sú rang:
(5)
∀x ∈ G t¾p (B∗, x) = {( f , x); f ∈ B∗} là b% ch¾n (trong R).
Khi đó
(6)

B∗ b% ch¾n.

Chúng minh. Sú dnng Đ%nh lý 1.4.2 vói X = G,Y = R và I = B∗. Vói
moi
b ∈ B∗ đ¾t
Tb(x) = (b, x),

(x ∈ G = X ).

Tù đó khang đ%nh ton tai m®t hang so c sao cho:
∀b ∈ B∗, ∀x ∈ G.

| (b, x) |≤ c"x",

Do đó (theo đ%nh nghĩa cúa chuan đoi ngau)
∀b ∈ B∗.

"b" ≤ c,


10


1.5. Nguyên lý ánh xa mé và đ%nh lý đo th% đóng
Đ%nh nghĩa 1.1. M®t ánh xa f : X → Y (X,Y : không gian metric) goi là mó
tai m®t điem a ∈ X neu nó bien moi lân c¾n cúa a thành m®t lân c¾n cúa f
(a).
Ánh xa đó goi là mó neu nó mó tai moi điem: đieu này xáy ra khi và chí khi f
bien moi t¾p mó trong X thành t¾p mó trong Y .
Đe ý rang m®t ánh xa liên tnc không nhat thiet là mó. Tuy nhiên ta có ket
quá quan trong sau:
Đ%nh lý 1.5.1. Nguyên lý ánh xa mé
Cho X và Y là hai không gian Banach và T là m®t toán tú tuyen tính liên tnc
tù X lên Y . Khi đó ton tai m®t hang so c > 0 thóa mãn:
(7)

T (BX (0, 1)) ⊃ BY (0, c).

Nh¾n xét 1.5.1. Tính chat (7) có nghĩa là ánh cúa m®t t¾p mó bat kì trong
X là m®t t¾p mó trong Y (đieu này nói lên ý nghĩa cúa tên đ%nh lý này).
Thnc v¾y, giá sú U ⊂ X là t¾p mó thì ánh cúa nó T (U ) ⊂ Y cũng mó. Co đ
%nh m®t điem bat kì yo ∈ T (U ). Đ¾t yo = T xo vói xo ∈ U . Khi đó ton tai
r > 0 sao cho B(xo, r) ⊂ U, xo + B(0, r) ⊂ U . Khi đó
yo + T (B(0, r)) ⊂ T (U ).
Sú dnng (7) ta có
và do đó

T (B(0, r)) ⊃ B(0, rc)
B(yo, rc) ⊂ T (B(xo, r)) ⊂ T

(U ).

Sau đây là m®t vài h¾ quá quan trong cúa Đ%nh lý1.5.1:
H¾ quá 1.5.1. Neu toán tú tuyen tính liên tnc T ánh xa m®t đoi m®t tù
không gian Banach X lên không gian Banach Y toán tú ngưoc T −1 cũng liên
tnc (tù Y vào X ).
Chúng minh. Tù tính chat (7) và giá thiet T là ánh xa m®t đoi m®t neu ta
chon
x ∈ X thóa mãn "T x" < c thì "x" < 1. Do tính đong nhat chúng ta có:
1
"x" ≤

c

"T x" ,

16

∀x ∈ X.


Và do đó T −1 là liên tnc.
H¾ quá 1.5.2. Cho X là không gian vector cùng vói hai chuan "."1 và "."2. Giá
sú X là m®t không gian Banach vói cá hai chuan và ton tai m®t hang so c1
thóa mãn:
"x"2 ≤ c1 "x"1 ,

∀x ∈ X.

Khi đó hai chuan là tương đương, do đó là ton tai m®t hang so c2 thóa mãn:

"x"1 ≤ c2 "x"2 ,

∀x ∈ X.

Chúng minh. Áp dnng h¾ quá vói X = (X, "."1 );Y = (X, "."2 ) và T = I
ta có: Xét ánh xa Id : (X, "."1 ) → (X, "."2 ). Khi đó Id tuyen tính liên tnc
và do đó Id b% ch¾n túc là ∃c1 : "x"2 ≤ c1 "x"1 , ∀x ∈ X . M¾t khác,
theo H¾ quá 1.5.2 thì ton tai toán tú ngưoc Id−1 : (X, "."2 ) → (X, "."1 )
cũng tuyen tính liên tnc do đó Id −1 cũng b% ch¾n túc là ∃c2 : "x"1 ≤ c2
"x"2 , ∀x ∈ X . Tù đó ta có đieu phái
chúng minh.
Chúng minh. Đ%nh lý (1.5.1) Chúng ta chia làm hai bưóc:
Bưóc 1: Giá sú T là m®t toán tú tuyen tính tù X lên Y . Khi đó, ton tai m®t
hang so c > 0 thóa mãn:
(8)

T (B(0, 1)) ⊃ B(0, 2c).

Th¾t v¾y: Đ¾t Xn = nT (B(0, 1)). Do T là toàn ánh nên ta có∪∞ Xn = Y
n=1

và theo đ%nh lý pham trù Baire, ton tai m®t so no sao cho Int(Xno ) ƒ= 0/ . Khi
đó
ta có
Int{T (B(0, 1))} ƒ= 0/ .
Lay c > 0 và yo ∈ Y thóa mãn:
(9)

B(yo, 4c) ⊂ T (B(0, 1)).


Đ¾c bi¾t, yo ∈ T (B(0, 1)) và


(10)

−yo ∈ T (B(0, 1)).

C®ng (9) và (10) ta có:
B(0, 4c) ⊂ T (B(0, 1)) + T (B(0, 1))
M¾t khác, vì T (B(0, 1)) là loi nên
T (B(0, 1)) + T (B(0, 1)) = 2T (B(0, 1))
và ta cũng có (8).
Bưóc 2: Giá sú T là m®t toán tú tuyen tính liên tnc tù X vào Y mà thóa mãn
(8). Khi đó chúng ta có:
(11)
T (B(0, 1)) ⊃ B(0, c).
Hay (11) tương đương vói T (BX ) ⊃ BY .
Th¾t v¾y, chon y bat kì thu®c Y vói "y" < c. Mnc đích là tìm m®t phan tú x ∈
X
thóa mãn :
"x" < 1 và Tx = y.
Tù (8) ta
có:
(12)

∀ε > 0, ∃z ∈ X vói

"z" <

2


và

"y−Tz" < ε.

1

Chon ε = c2 , ta tìm đưoc z1 ∈ X thóa mãn:
"z1" <

1
2

và

"y−Tz 1 " < 2c .

Bang cách xây dnng tương tn áp dnng vói y−Tz 1 (thay cho y) vói ε = 4c ta tìm
"z2" <
và "(y − T z1 ) −Tz 2 " < c .
đưoc z2 ∈ X thóa
1

mãn:

4

Bang quy nap ta thu đưoc m®t dãy (zn) thóa mãn:
1
Vì∞chuoi

∑

4

c

"zn" < n và "y−T (z1 + z2 + · · · + zn)" < n , ∀n.
2
2
zn trong không gian Banach h®i tn tuy¾t đoi nên h®i tn. Giá sú z
n=1


∞
là tong cúa chuoi. Khi đó ta có:||z|| ≤ ∑n=
||zn|| < 1 ⇒ z ∈ BX .
M¾t
khác
y
=
lim
=T
T znk = lim T ( lim
zk))
) = T z.
n
(∑
( ∑∞
∑
n→∞


Suy ra y ∈ T (BX )

k=
1

n→∞

n→∞

k=
1

k=1


Đ%nh nghĩa 1.2. Cho hai không gian đ%nh chuan X,Y và ánh xa T tù không
gian X vào không gian Y . Ta goi đo th% cúa toán tú T . kí hi¾u G(T ), là t¾p:
G(T ) = {(x, T x) : x ∈ X} ⊂ X × Y.
Neu đo th% G(T ) là t¾p đóng trong không gian đ%nh chuan tích X × Y thì
toán tú T là toán tú đóng.
M®t ánh xa liên tnc thì bao giò cũng là đóng. Ngưoc lai nói chung không
đúng, nhưng riêng đoi vói toán tính tuyen tính Đ%nh lý ánh xa mó cho ta h¾
quá sau đây.
Đ%nh lý 1.5.2. Đ%nh lý đo th% đóng
Cho X và Y là hai không gian Banach. Cho T là toán tú tuyen tính tù X vào Y
. Giá sú rang đo th% cúa T là G(T ) mà đóng trong X × Y . Khi đó T là liên
tnc.
Nh¾n xét 1.5.2. Đieu ngưoc lai cúa đ%nh lý van đúng, bói vì đo th% cúa ánh
xa liên tnc bat kì (tuyen tính ho¾c không) là đóng.

Chúng minh. Neu A là toán tú tuyen tính thì đo th% cúa nó là không gian
con cúa không gian tích X × Y . Neu A lai là đóng thì G là không gian con
đóng cúa X × Y , cho nên bán thân G cũng là không gian Banach. Ta xét
toán tú B : G → X xác đ%nh bói
(x, A(x)) ›→ x.
Đây là m®t ánh xa tuyen tính liên tnc, 1 - 1 tù không gian Banach G lên không
gian Banach X . V¾y theo h¾ quá cúa nguyên lý ánh xa mó thì B có ánh
ngưoc
B−1 liên tnc túc là xn → x thì (xn, Axn) → (x, Ax). Do đó A liên tnc.

1.6. Không gian con bù. Toán tN ngh%ch đáo m®t
phía.
Chúng ta bat đau vói m®t so thu®c tính hình hoc cúa các không gian đóng
trong m®t không gian Banach, đưoc suy ra tù nguyên lý ánh xa mó.


Đ%nh lý 1.6.1. Cho X là m®t không gian Banach. Giá sú rang G và L là hai
không gian tuyen tính đóng thóa mãn G + L là đóng. Khi đó ton tai m®t hang
so c ≥ 0 sao cho vói moi z ∈ G + L đeu có the phân tích thành
(13)

z = x + y vói

x ∈ G, y ∈ L, "x" ≤ c||z||

và ||y|| ≤ c||z||.

Chúng minh. Vì G và L là nhung không gian Banach nên G× L cũng là
không gian Banach vói chuan
"[x, y]" = "x" + "y" .

và không gian G + L vói chuan trong X .
Ánh xa T : G × L → G + L xác đ%nh bói T [x, y] = x + y là song ánh tuyen
tính. Ngoài ra: ||T [x, y]|| = ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| = "[x, y]".
Suy ra T b%
ch¾n.Theo h¾ quá cúa nguyên lý ánh xa mó ánh xa ngưoc T −1 cúa T là toán tú
tuyen tính
b% ch¾n túc là ton tai m®t hang so c > 0 sao cho:
||T −1 z|| = ||T −1 (x + y)|| = "[x, y]" ≤ c||z||

∀z ∈ G + L

Hay ||x|| + ||y|| ≤ c||z||, ∀z ∈ G + L. Tù đó suy ra đieu phái chúng minh.
H¾ quá 1.6.1. Giá thiet giong như trong Đ%nh lý 1.6.1, ton tai hang so c thóa
mãn:
(14)

dist(x, G∩L) ≤ c {dist(x, G) +

dist(x, L)} , ∀x ∈ X.

Chúng minh. Cho x ∈ X và ε > 0, ton tai a ∈ G và b ∈ L sao cho:
"x − a" ≤ dist(x, G) + ε; "x − b" ≤ dist(x, L) + ε.
Áp dnng tính chat (13) vói z = a − b ta có: ton tai ar ∈ G và br ∈ L thóa mãn:
a − b = ar + br; ar ≤ c"a−b" ;

br ≤ c"a−b".

Suy ra a−a r ∈ G ∩ L và
dist(x, G∩L) ≤ "x − (a − ar )" ≤ "x − a" + "ar"
≤


"x − a" + c"a−b" ≤ "x − a" + c("x − a" +

"x − b")
≤ (1 + c)dist(x, G) + dist(x.L) + (1 + 2c)ε
Cho ε → 0 ta có (14).


Nh¾n xét 1.6.1. Đieu ngưoc lai cúa H¾ quá 1.6.1 cũng đúng: Neu G và L là
hai không gian tuyen tính đóng thóa mãn (14). Khi đó G + L là đóng.
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho G ⊂ X là m®t không gian đóng cúa không gian Banach
X .M®t không gian G ⊂ X đưoc goi là phan bù topo hay đơn gián là m®t phan
bù cúa G neu:
(i) L là đóng.
(ii) G ∩ L = {0} và G + L = X.
Ta cũng se nói rang G và L là các không bù cúa nhau trong X . Túc là khi đó
∀z ∈ X có the đưoc viet m®t cách duy nhat z = x + y vói x ∈ G và y ∈
L. Theo Đ%nh lý 1.6.1 thì toán tú chieu z → x và z → y là các toán tú tuyen
tính
liên tnc. (Tính chat này có the đưoc dùng làm đ%nh nghĩa cúa các không gian
bù cúa nhau).
Ví dn 1.1. 1. Moi không gian huu han chieu G đeu có m®t phan bù. Thnc v¾y,
n
goi e1, ..., en là m®t cơ só cúa G. Vói moi x ∈ G có the viet x = i=
∑ xiei. Đ¾t
ϕi(x) = xi, sú dnng đ%nh lý Hahn - Banach ho¾c m®t cách chính xác - moi ϕi

có the thác trien thành m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc ϕi ∼ trên X . Th¾t de
n


∼ −1

(0) là phan bù cúa G.
kiem tra L = ∩i=1(ϕi
)
2. Moi không gian đóng G vói đoi chieu huu han đeu có m®t phan bù. Th¾t
v¾y ta chí can chon m®t không gian huu han chieu bat kì L thóa mãn G∩L
= {0} và G + L = X (L là đóng bói vì nó huu han chieu).
Đây là m®t ví dn đien hình cho tình huong trên. Cho N ⊂ X ∗ là không gian
vói so chieu p. Khi đó
G = {x ∈ X, ( f , x) = 0,

∀ f ∈ N} = N ⊥ .

là đóng và có đoi chieu p. Th¾t v¾y, giá sú f1, ..., f p là m®t cơ só cúa N.
Khi đó ton tai e1, ..., ep ∈ X thóa mãn
( f i , e j ) = δi j

∀i, j = 1, p.

(Xét ánh xa φ : E → R p xác đ%nh bói:
(15)
φ (x) = (( f1, x), ( f2, x), ..., ( f p , x))
và chú ý rang φ là toàn ánh vì neu không thì se ton tai (bói Hahn - Banach,


dang hình hoc thú hai) m®t so α = (α1, α2 , ..., α p) ƒ= 0 thóa mãn:
p

αφ (x) = ( ∑ αi fi, x) = 0, ∀x ∈ X.

i=1

Tù đây ta dan tói mâu thuan).
De thay các vector (ei)i=1,p là đ®c l¾p tuyen tính và không gian sinh
bói các vector đó là phan bù cúa G.

Đ%nh nghĩa 1.2. Cho T ∈ £(X,Y ). Ngh%ch đáo phái cúa T là toán tú S ∈
£(Y, X ) thóa mãn: T ◦ S = IY . Ngh%ch đáo trái cúa T là m®t toán tú S ∈ £(Y,
X)
thóa mãn S ◦ T = IX .
Ket quá tiep theo cung cap cho chúng ta đieu ki¾n can và đú đe có ngh
%ch đáo.
Đ%nh lý 1.6.2. Giá sú rang T ∈ £(X,Y ) là toàn ánh. Các tính chat sau là
tương đương
(i) T có m®t ngh%ch đáo phái.
(ii)N(T ) = T −1 (0) có m®t phan bù trong X .
Chúng minh. (i) ⇒ (ii). Giá sú S là m®t ngh%ch đáo phái cúa T . Ta thay
R(S) =
S(Y ) là m®t phan bù cúa N(T ) trong X .
Th¾t v¾y: ∀x ∈ R(S) ∩ N(T ) thì ton tai xr ∈ X sao cho Sxr = x và Tx = 0.
Do S
là m®t ngh%ch đáo phái cúa T nên T Sxr = Tx = 0 ⇔ xr = 0. Do đó x = 0.
M¾t khác đ¾t y = x −STx ⊂ X . Ta có T x2 = Tx − T ST x = 0 suy ra y ∈
N(T ). Do đó x = ST x + y ∈ R(S) + N(T ).
(ii) ⇒ (i). Giá sú L là m®t phan bù cúa N(T ). Goi P là toán tú chieu liên tnc tù X
lên L. Vói f ∈ Y , ta kí hi¾u x là nghi¾m bat kì cúa phương trình Tx = f .
Đ¾t S f = Px và chú ý rang S đ®c l¾p vói x. De thay S ∈ £(Y, X ) và T ◦ S =
IY .
Đ%nh lý 1.6.3. Giá sú rang T ∈ £(X,Y ) là đơn ánh, các tính chat sau là
tương đương:

(i) T có m®t ngh%ch đáo trái.
(ii) R(T ) = T (X ) là đóng và có m®t phan bù trong Y .


Chúng minh. (i) ⇒ (ii) Th¾t de kiem tra rang R(T ) là đóng và N(S) là
m®t
phan bù cúa R(T ) [bang cách viet f = TS f + ( f − T S f )].
(ii) ⇒ (i) Cho P là toán tú chieu liên tnc tù Y lên R(T ). Cho f ∈Y , vì P f ∈ R(T
)
nên ton tai duy nhat x ∈ X sao cho Tx = P f . Đ¾t S f = x. Khi đó ta có S◦ T =
IX ,
hơn nua S là liên tnc theo H¾ quá 1.4.2.

1.7. Tính trNc giao
Đây là m®t so công thúc đơn gián bieu dien trnc giao cúa m®t tong ho¾c
cúa m®t giao.
M¾nh đe 1.1. Cho G và L là hai
không gian đóng trong X . Khi
đó: (16)
G ∩ L = (G⊥ + L⊥)⊥.
(17)
G⊥ ∩ L⊥ = (G + L)⊥.
.
.⊥
Chúng minh. (16) Rõ ràng G ∩ L ⊂ G⊥ + L⊥ . Th¾t v¾y, neu x ∈ G ∩
L và

.
f ∈ G⊥ + L⊥ thì ( f , x) = 0. Ngưoc lai, ta có G⊥ ⊂ G⊥ + L⊥ và G⊥ +
.

⊥ ⊥
L
. .⊥⊂
.
.⊥
G⊥ = G (Chú ý rang N1 ⊂ N2 thì N ⊥ ⊂ N⊥ ). Tương tn, G⊥ + L⊥ ⊂ L.
2
1
.
.⊥
Do đó, G⊥ + L⊥ ⊂ G ∩ L.
Chúng minh (17) l¾p lu¾n tương tn như chúng minh (16).
H¾ quá 1.7.1. Cho G và L⊥là hai không gian đóng trong X . Khi
⊥
⊥
đó (18)
(G
. ∩ L) .⊥⊃ G + L ,
(19)
G⊥ ∩ L ⊥
= G + L.
Chúng minh. Sú dnng M¾nh đe 1.1
Đây là m®t ket quá tong quát hơn.
Đ%nh lý 1.7.1. Cho G, L là hai không gian đóng trong không gian Banach X
. Các tính chat sau là tương đương:
(a)

G + L là đóng trong X ,



(c)

G⊥ + L⊥ là đóng trong X ∗ ,
.
.⊥
G + L = G⊥ ∩ L⊥ ,

(d)

G⊥ + L⊥ = (G ∩ L) .

(b)

⊥