LèI CÁM ƠN
Em xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang - ngưòi
thay đã t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành bài khóa lu¾n
cna mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay cô trong to
giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà
N®i 2, Ban chn nhi¾m khoa Toán đã tao ki¾n cho em hoàn thành tot
bài khóa lu¾n này .
Trong khuôn kho có han cna m®t bài khóa lu¾n, do đieu ki¾n thòi
gian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc
cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì v¾y,
em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cna các thay cô và các ban.
Em xin chân thành cám ơn!

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Phan Văn Phong


LèI CAM ĐOAN
Khóa lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p
và nghiên cúu. Bên canh đó em đưoc sn quan tâm cna các thay cô giáo
trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cna TS. Tran Văn
Bang.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khóa lu¾n này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài "Toán tN compact" không
có sn trùng l¾p vói ket quá cna các đe tài khác.

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Phan Văn Phong


Mnc lnc
Mé ĐAU............................................................................... 2
Chương 1. KIEN THÚC CHUAN B±.......................................4
1.1. Không gian Banach.......................................................................4
1.2. Toán tú tuyen tính......................................................................7
1.3. Cơ só trong không gian Banach....................................................9
Chương 2. TOÁN TÚ COMPACT.........................................12
2.1. Toán tú compact.......................................................................12
2.1.1. Đ%nh nghĩa. Các đ¾c điem cơ bán. Toán tú liên hop........................................12
2.1.2. Đ%nh lý Riesz-Fredholm...................................................................................16

2.2. Pho cna toán tú compact..........................................................21
2.3. Phân rã pho cna toán tú compact tn liên hop..........................25
KET LU¾N.................................................................................33
TÀI LIfiU THAM KHÁO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
34

1


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Lý thuyet hàm và giái tích hàm có v% trí đ¾c bi¾t quan trong đoi
vói toán hoc cơ bán và toán hoc úng dung. N®i dung cna nó rat phong
phú và đa dang, m®t trong nhung n®i dung đó là lý thuyet ve toán tú.

Trong đó toán tú compact vói nhung úng dung phương trình Laplace,
phương trình Poisson, phương trình nhi¾t, .... Đe có nhung úng dung đó
thì Toán Tú Compact là rat quan trong. Và đe hieu rõ hơn ve Toán tú
compact dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chuyên nghành Toán. Và
trong pham vi khóa lu¾n tot nghi¾p, em xin manh dan trình bày nhung
hieu biet cna mình ve van đe này. Đưoc sn hưóng dan t¾n tình cna Tien
sĩ Tran Văn Bang, cùng vói sn say mê nghiên cúu khoa hoc, em đã chon
đe tài "Toán tN compact".

2. Mnc đích nghiên cNu
Muc đích nghiên cúu cna bài khóa lu¾n này là tìm hieu ve toán tú
compact và pho cna toán tú compact.

3. Đoi tưang pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve toán tú compact bao gom các đ%nh nghĩa và tính chat
cna nó.


4. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo. Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các
khái ni¾m, tính chat.

5. Cau trúc khóa lu¾n
Ngoài muc luc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, khóa
lu¾n gom 2 chương:
Chương 1. Kien thúc chuan b%.
Chương 2. Toán tú compact.


Chương 1

KIEN THÚC CHUAN B±
1.1. Không gian Banach
Đ%nh nghĩa 1.1. Không gian vectơ X đưoc goi là không gian tuyen
tính đ%nh chuan (hay không gian đ%nh chuan) neu vói moi x ∈ X ton tai
so thnc "x", goi là chuan cna vectơ x, thóa mãn:
(a) "x" ≥ 0,
(b) "x" = 0 neu và chí neu x = 0,
(c) "cx" = |c| "x" , vói moi vô hưóng c, vói moi x ∈
X, (d) "x + y" ≤ "x" + "y" , ∀x, y ∈ X.
Ta cũng kí hi¾u không gian đ%nh chuan là X.
Neu chí có tính chat (a), (c) và (d) thì "." đưoc goi là m®t núa chuan.
Đ%nh nghĩa 1.2. Giá sú X là không gian đ%nh chuan.
(a) M®t dãy các vectơ {xn} trong X đưoc goi là h®i tu tói x ∈ X neu
lim
n→∞ "x − xn" = 0, nghĩa là, neu
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n ≥ N, "x − xn" < ε.
Khi đó ta viet xn

→

x hay lim xn = x.
n→∞

(b) M®t dãy các vectơ {xn} trong X goi là dãy Cauchy neu
lim
m,n→∞

"xm − xn" = 0,



nghĩa là, neu
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m, n ≥ N, "xm − xn" < ε.
(c) De dàng chí ra rang moi dãy h®i tu trong không gian đ%nh chuan
đeu là dãy Cauchy. Tuy nhiên, đieu ngưoc lai nói chung không đúng. Ta
nói rang X là không gian đay neu nó thóa mãn moi dãy Cauchy đeu
h®i tu. Không gian tuyen tính đ%nh chuan đay đưoc goi là không gian
Banach.
Đ%nh nghĩa 1.3. Dãy {xn} trong không gian Banach X goi là:
(a) b% ch¾n dưói neu inf "xn" > 0,
(b) b% ch¾n trên neu sup "xn" < ∞,
(c) chuan hóa neu "xn" = 1 vói moi n.
Đ%nh nghĩa 1.4. Cho không gian tuyen tính X và "."1, "."2 là hai
chuan trên X. Hai chuan "."1 và "."2 đưoc goi là tương đương neu
ton tai hai so dương α, β sao cho:
α"x"1 ≤ "x"2 ≤ β"x"1 ∀x ∈ X.
Đ%nh lý 1.1. Neu "."1, "."2 là tương đương thì cùng xác đ%nh m®t
sn h®i tn vói m®t dãy bat kì, nghĩa là:
lim
n→∞

"x − xn"1 = 0. ⇔ "x − xn" = 0.
2
lim
n →∞

Đ%nh nghĩa 1.5. (a) T¾p E ⊂ X đưoc goi là trù m¾t trong X neu
E = X.
(b) Không gian đ%nh chuan X goi là không gian tách đưoc neu ton
tai m®t t¾p đem đưoc, trù m¾t trong X.



Ví dn 1.1. M®t so không gian Banach thưòng dùng
(a). Giá sú E ⊂ R.
(a1). Vói 1 ≤ p < ∞, kí hi¾u

Lp (E) = f : E → C |


¸
E



p

|f (x)| dx < ∞ 


thì Lp (E) là không gian Banach vói chuan

"f"Lp

1


¸
=


p

|f (x)| dx .
p

E

(a2). Vói p = ∞, kí hi¾u
.
.
L (E) = f : E → C |f b% ch¾n hau khap nơi trên E
∞

thì L∞ (E) là không gian Banach vói chuan
.
.
"f"L∞ = esssup |f (x)| = inf M ≥ 0 : |f (x)| ≤ M hau khap nơi .
x∈E

(hàm f đưoc goi là b% ch¾n hau khap nơi trên E neu ton tai M > 0 sao
cho t¾p Z = {x ∈ X : |f (x)| > M} có đ® đo Lebegue bang không.)
n=
(b). Kí hi¾u c = (c1) =
là chuoi các vô hưóng.
(cn)

p

1

p


(b1). Vói 1 ≤ p < ∞, kí hi¾u l = {c = (cn) :

.

p

|cn| < ∞} thì lp

là không gian Banach vói chuan
"c"lp = "(cn)"lp
=

.

.

1

|cn|

p

.p .

.
.
(b2). Vói p = ∞, kí hi¾u l∞ = c = (cn) : chuoi (cn) b% ch¾n thì l∞
là không gian Banach vói chuan
"c"l∞ = "(cn)"l∞ = (sup |cn|) .



1.2. Toán tN tuyen tính
Đ%nh nghĩa 1.6. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y trên trưòng
F . M®t ánh xa T : X → F đưoc goi là m®t toán tú.
Neu Y = F thì toán tú T : X → F đưoc goi là m®t phiem hàm trên
X.
Ta viet Tx hay T (x) đe kí hi¾u ánh hưóng cna phan tú x qua toán
tú T .
Đ%nh nghĩa 1.7. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y trên trưòng
F , T : X → Y là m®t toán tú.
(a) T tuyen tính neu T (ax + by) = aT x + bT y, ∀a, b ∈ F, ∀x, y ∈ X.
(b) T là đơn ánh hay 1-1, neu Tx = Ty khi và chí khi x = y.
(c) Ánh hay mien giá tr% cna T kí hi¾u là
Range (T ) = T (X) = {T x : x ∈ X} .
(d) T là toàn ánh hay lên neu Range (T ) = Y .
(e) T là song ánh neu T là đơn ánh và toàn ánh.
(f) T liên tuc neu xn → x trong X kéo theo T (xn) → T (x) trong F .
(g) Chuan cna toán tú, hay đơn gián chuan cna toán tú tuyen tính T
là
"T " = sup "|T x" .
Y
"x"X =1

T b% ch¾n neu "T " < ∞.
(h) T báo toàn chuan hay đang cn neu "T (x)"Y = "x"X , ∀x ∈ X.


Đ%nh lý 1.2. Giá sú T : X → Y là toán tú tuyen tính ánh xa không
gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y . Khi đó:
T liên tnc ⇔ T b% ch¾n.

Kí hi¾u 1.1
• x∗ là phiem hàm tuyen tính liên tuc trên X.
• Tác đ®ng cna x∗ lên x bói kí hi¾u
(x, x∗ ) = x∗ (x) .
• x∗ tuyen tính neu ∀a, b ∈ F , ∀x, y ∈ X
(ax + by, x∗) = a (x, x∗) + b (y, x∗) .
x∗ liên tuc neu lim
•
n→∞

xn = x thì (xn , x∗ ) = (x, x∗ ) .
lim
n→∞

∗

• "x " = sup |(x, x∗)| .
"x"x=1

Đ%nh nghĩa 1.8. Cho X là không gian đ%nh chuan trên trưòng F . Ta
goi không gian X ∗ các phiem hàm tuyen tính liên tuc trên không gian
X là không gian liên hop (không gian đoi ngau) cna không gian X.
Đ%nh lý 1.3. Neu X là không gian đ%nh chuan thì không gian đoi ngau
X ∗ là không gian Banach vói chuan
"x∗ "X ∗ = sup |(x, x∗)| .
"x"X =1

Đ%nh lý 1.4. Giá sú X là không gian Banach và x ∈ X. Khi đó
"x"X =


sup |(x, x∗)| .

"x∗"X∗ =1


1.3. Cơ sá trong không gian Banach
Đ%nh nghĩa 1.9. Giá sú {xn} là dãy điem trong không gian Banach X.
.
(a) Chuoi
xn h®i tu và có tong bang x ∈ X neu dãy tong
riêng
{Sn} vói Sn
=

.
N
n=1

xn h®i tu tói x theo chuan trong X. Nghĩa là:
N

.
∀ε > 0, ∃N0 > 0, ∀N ≥ N0, "x − Sn" = x
−

xn < ε.
n=
1

.

(b) Chuoi

xn là chuoi Cauchy neu dãy tong riêng {Sn} là

dãy
Cauchy trong X. Nghĩa là:

N

.
∀ε > 0, ∃N0 > 0, ∀N, M ≥ N0, "xm − Sn" = xm
−

n=
1

xn < ε.

Đ%nh nghĩa 1.10. Giá sú X là không gian Banach. Dãy {xn} trong
không gian Banach X đưoc goi là cơ só cna không gian Banach X neu
vói moi x ∈ X, ton tai duy nhat các vô hưóng an (x) sao cho
.
x=
an (x) xn.
(1.1)
n

Kí hi¾u 1.2. Các h¾ so an (x) đưoc đ%nh nghĩa ó (1.1) là các phiem
hàm tuyen tính cna x. Hơn nua chúng đưoc xác đ%nh duy nhat bói cơ
só, nghĩa là vói moi cơ só {xn} xác đ%nh duy nhat t¾p các phiem hàm

tuyen tính an : X → F .


Do đó ta goi {an} là dãy các phiem hàm h¾ so liên ket. Khi can chí rõ
cơ só và phiem hàm h¾ so liên ket ta se viet ({xn} , {an}) là cơ só.
Đ%nh nghĩa 1.11. Cơ só ({xn} , {an}) là cơ só Schauder neu moi
phiem hàm h¾ so {an} liên tuc. Trong trưòng hop này, moi an là m®t
phan tú


cna không gian đoi ngau, nghĩa là
an ∈ X ∗ vói ∀n.
Đ%nh nghĩa 1.12. Giá sú X là không gian Banach, có cơ só là ({xn} ,
{an}).
Ta goi Sn : X → X xác đ%nh bói Snx =

N
.
n=1

an (x) xn là phép chieu tn

nhiên (hay toán tú tong riêng), tương úng vói cơ só ({xn} , {an}).
Đ%nh lý 1.5. Giá sú ({xn} , {an}) là cơ só cúa không gian Banach
X. Khi đó ta có:
(a) sup "SN x" < ∞, ∀x ∈ X.
(b) C = sup "SN " < ∞.
(c) |"x"| = sup "SN x" tao thành chuan trên X tương đương vói
chuan ban đau "." trên X thóa mãn:
"." ≤ |"."| ≤ C "."

.
So C = sup "SN ", ∀N ≥ 1, trong Đ%nh lý trên đưoc goi là hang so cơ
só. Hang so C phu thu®c vào chuan xác đ%nh trên X.
Đ%nh lý 1.6. Moi cơ só ({xn} , {an}) cúa không gian Banach X đeu
là cơ só Schauder cúa X. Túc là, các phiem hàm h¾ so an là các phiem
hàm tuyen tính liên tnc trên X thóa mãn:
1 ≤ "an" "xn" ≤ 2C.
Vói C là hang so cúa cơ só ({xn} , {an}) .
Đ%nh nghĩa 1.13. Ta goi m®t phép đong phôi tuyen tính giua không
gian Banach X và không gian Banach Y là m®t song ánh tuyen tính
T : X → Y liên tuc.


Đ%nh nghĩa 1.14. Giá sú {xn} là dãy điem trong không gian tuyen tính
đ%nh chuan X.
(a) Bao tuyen tính huu han cna dãy {xn} là t¾p hop tat cá các to
hop tuyen tính các phan tú cna dãy {xn}. Kí hi¾u
span {xn}
=

.

N
.

.
cnxn : ∀N > 0, ∀cn > 0.

n=1


(b) Bao đóng tuyen tính huu han cna dãy {xn} là t¾p đóng nhó nhat
trong X cna bao tuyen tính huu han và đưoc kí hi¾u là span {xn}.
(c) Dãy {xn} là đay trong X neu span {xn} = X hay span {xn}
trù m¾t trong X.
Đ%nh lý 1.7. Giá sú {xn} là dãy trong không gian Banach X. Khi đó
các m¾nh đe sau tương đương:
(a) Dãy {xn} là cơ só cúa X.
(b) Dãy {xn} là đay, xn ƒ= 0 ∀n và ∃C ≥ 1 sao cho
M

N

n=1

n=1

∀N ≥ M, ∀c1, ..., cN , . cnxn ≤ C . cnxn .


Chương 2
TOÁN TÚ
COMPACT
2.1. Toán tN compact
2.1.1. Đ%nh nghĩa. Các đ¾c điem cơ bán. Toán tN liên hap
Trong chương này, neu không nói gì thêm thì E và F luôn đưoc chí
hai không gian Banach.
Đ%nh nghĩa 2.1. Toán tú b% ch¾n T ∈ L (E, F ) đưoc goi là compact
neu T (BE ) có bao đóng compact trong F (theo tôpô manh).
T¾p hop tat cá các toán tú compact tù E vào F đưoc kí hi¾u bói
K (E, F ). Đe đơn gián, ta viet K (E) = K (E, E).

Đ%nh lý 2.1. T¾p hop K (E, F ) là m®t không gian tuyen tính con cúa
L (E, F ) theo tô-pô sinh bói chuan ""L(E,F ).
ChNng minh. Rõ ràng tong cna hai toán tú compact là m®t toán tú
compact. Giá sú (Tn) là m®t dãy các toán tú compact và T là m®t toán
tú b% ch¾n sao cho: "Tn − T "L(E,F ) → 0. Chúng ta khang đ%nh rang T
là m®t toán tú compact. Th¾t v¾y, vì F là đn neu ta chí can chúng
minh rang vói ε > 0 có m®t phn huu han cna T (BE) bói hình cau
có bán kính ε (xem [5]). Co đ%nh so nguyên n sao cho "Tn −


T "L(E,F ) < ε/2. Do Tn (BE ) có bao đóng compact, nên có m®t phn huu
han cna Tn (BE )


gom các hình cau có bán kính ε/2, cu the Tn (BE ) ⊂ B (fi, ε/2). Do đó
T (BE ) ⊂

[i∈
I

B (f, ε) .

Đ%nh nghĩa 2.2. M®t toán tú T ∈ L (E, F ) đưoc goi là có hang huu
han neu t¾p giá tr% cna T, R (T ) là m®t không gian huu han chieu.
Rõ ràng moi toán tú có hang huu han đeu là m®t toán tú compact
nên ta có h¾ quá sau:
H¾ quá 2.1. Giá sú (T n) là m®t dãy toán tú có hang huu han và
T ∈ L (E, F ) sao cho "Tn − T "L(E,F ) → 0. Khi đó T ∈ K (E, F ).
Nh¾n xét 2.1. “Van đe ve xap xí” (cúa Banach, Grothendieck)
giái quyet đieu ngưoc lai cúa H¾ quá 2.1: Cho m®t toán tú compact T

, li¾u có luôn ton tai m®t dãy (Tn) các toán tú có hang huu han
sao cho "Tn − T "L(E,F

)

→ 0? Câu hói đã đưoc đ¾t ra trong m®t

thòi gian dài cho đen khi P. Enflo khám phá ra ví dn đe phán bác lai
vào năm 1972. Công thúc xây dnng ban đau khá phúc tap và sau đó
thì các ví dn đơn gián hơn đã đưoc đưa ra, ví dn, khi F là m®t không
gian con đóng cúa lp bat kì 1 < p < ∞, p ƒ= 2) (xem [5]). Phái chú ý
rang đáp án cho van đe xap xí se là khang đ%nh trong m®t so trưòng
hop, ví dn khi F là không gian Hilbert. Thnc v¾y đ¾t K = T (BE ),
vói ε > 0 có m®t phú huu han cúa K gom các hình cau có bán
S
kính ε, K ⊂ i∈I B (fi, ε). Goi G là không gian véc tơ sinh bói các
véc tơ, và đ¾t Tε = PG T , thì Tε là toán tú có hang huu han. Chúng
ta khang đ%nh rang "Tε − T "L(E,F ) < 2ε,
13


th¾t v¾y vói moi x ∈ BE, có m®t i0 ∈ I thóa mãn:
"T x − fi0 " < ε.
Do
đó:

có nghĩa
là

(2.1)


"PG T x − PGfi0 " < ε,

"PG T x − fi0 " < ε.

(2.2)

Ket hop (2.1) và (2.2), ta có:
"PG T x − T x" < 2ε ∀ε ∈ BE.
Do
v¾y

"Tε − T "L(E,F ) < 2ε.

(Tong quát hơn, neu F có m®t cơ só Shauder, thì đáp án cho van đe xap
xí là khang đ%nh vói moi không gian E và moi toán tú compact tù E
đen F .)
Liên quan đen van đe xap xí, chúng ta đe c¾p đen m®t kĩ thu¾t rat
huu ích trong giái tích phi tuyen đe xap xí m®t ánh xa liên tuc bói các
ánh xa phi tuyen có hang huu han.
Giá sú X là không gian tô-pô, F là không gian Banach, và T : X → F
là m®t ánh xa liên tuc sao cho T (X) có bao đóng trong F . Chúng
ta khang đ%nh rang: vói moi ε > 0, ton tai m®t ánh xa liên tuc Tε : X
→ F có hang huu han sao cho:
"Tε (x) − T (x)" < ε

∀x ∈ X.

(2.3)



Thnc v¾y, do K = T (X) là compact, nên có m®t phn huu han cna K,
S
K ⊂ i∈I B (fiε/2) .
Đ¾t:

.
Tε (x) =

i∈I
.

qi (x) fi
qi (x)

i∈I

vói qi (x) = max {ε − "T x − fi" , 0} thì rõ ràng Tε thóa mãn (2.3).
Cách lay xap xí này rat huu ích, chang han đe chúng minh Đ%nh lý điem
bat đ®ng Schauder tù Đ%nh lý điem bat đ®ng Brouwer (xem [5]). M®t
cách xây dnng tương tn ket hop vói Đ%nh lý điem bat đ®ng Schauder
cũng đưoc Lomonosov sú dung thành công đe chúng minh sn ton tai cna
các không gian con bat bien không tam thưòng cho m®t lóp r®ng các
toán tú tuyen tính (xem [5]).
M®t ket quá ve toán tú tuyen tính quan trong khác có m®t cách chúng
minh đơn gián dna vào Đ%nh lý điem bat đ®ng Schauder là Đ%nh lý
Krein-Rutman (xem [5]).
Đ%nh đe: Cho E, F và G là 3 không gian Banach. Giá sú T ∈ L (E, F )
.
.

và S ∈ K (F, G) T ∈ K (E, F ) và S ∈ L (E, G) . Khi đó S◦T ∈ K (E,
G).
Đ%nh lý 2.2. (Schauder) Neu T ∈ K (E, F ), thì T ∗ ∈ K (F ∗ , E∗ )
và ngưoc lai.
ChNng minh. Chúng ta phái chí ra rang T ∗ (BF ∗ ) có bao đóng
compact trong E∗ . Goi (vn) là m®t dãy trong BF ∗ . Ta khang đ%nh
rang (T

∗

(vn)) có m®t dãy con h®i tu. Đ¾t K = T (BE ), đây là m®t


không gian metric compact. Xét t¾p hop H ⊂ C (K) đưoc xác đ%nh
bói:
H = {ϕn : x ∈ K ›→ (vn, x) ; n = 1, 2, ...} .


Các giá thiet cna Đ%nh lý Ascoli-Arze đeu thóa mãn. Do đó, có m®t dãy
con ϕnk , h®i tu đeu trên K tói m®t hàm liên tuc ϕ ∈ C (K). Đ¾c bi¾t
ta có:
su |(vnk , T u) − ϕ (T u)| −−−→ 0.
p
k→∞
u∈B

Do đó:

E


sup |(vnk , T u) − (vnl , T u)| −−−−→ 0,
∗

túc là: "T vnk −

u∈BE
T ∗ vnl "E ∗

Ngưoc lai, giá sú T

∗

k,l→∞
∗

−−−−→ 0, vì v¾y T vnk h®i tu trong E ∗ .

k,l→∞
∗

∈ K (F , E∗). Theo chúng minh trên T

∗∗

∈ K (E∗∗,

F ∗∗ ).
Nói riêng T ∗∗ (BE ) có bao đóng compact trong F ∗∗ . Nhưng T (BE ) =
T ∗∗ (BE ) và F là đóng trong F ∗∗ nên T (BE ) có bao đóng compact trong
F.

Nh¾n xét 2.2. Giá sú E và F là 2 không gian Banach và T ∈ K (E, F
). Neu (un) h®i tn yeu đen u trong E, thì (T u) h®i tn manh đen T u.
Đieu ngưoc lai cũng đúng neu E phán xa (xem [5]).
2.1.2. Đ%nh lý Riesz-Fredholm
Chúng ta se bat đau vói các ket quá sơ b® huu ích.
Bo đe 2.1. (Bo đe cna Riesz) Giá sú E là m®t không gian đ%nh chuan
và M ⊂ E là m®t không gian tuyen tính đóng, M ƒ= E. Khi đó
∀ε > 0 ∃u ∈ E vói "u" = 1 và dist(u, M ) ≥ 1 − ε.
ChNng minh. Giá sú v ∈ E và v ∈/ M . Vì M là không gian đóng nên
d = dist(v, M ) > 0.


Chon bat kì m0 ∈ M sao cho:
1 ≤ "v − m0" ≤ d/ (1 − ε) .
Khi đó
u=

v − m0
"v − m0"

có các tính chat yêu cau. Th¾t v¾y, vói moi m ∈ M ta có:
"u − m" =

v−
m0
"v −

m0 "

d


−m
≥

≥ 1 − ε,

"v − m0 "

vì m0 + "v − m0" m ∈ M .
Nh¾n xét 2.3. Neu M m®t không gian huu han chieu (ho¾c tong quát
hơn, M là không gian phán xa) thì ta có the chon ε = 0 trong Bo
đe
2.1. Nhưng nhìn chung đieu này không đúng vói không gian bat kì (xem
[5]).
Đ%nh lý 2.3. (Riesz) Giá sú E là m®t không gian đ%nh chuan vói BE compact. Khi đó E là không gian huu han chieu.
ChNng minh. Giá sú ngưoc lai, E là m®t không gian vô han chieu.
Khi đó có m®t dãy (En) các không gian con huu han chieu cna E sao
cho En−1 ⊂ En và En−1 ƒ= En. Theo Bo đe 2.1, có m®t dãy (un)
vói un ∈ En sao cho "un" = 1 và khoáng cách (un, En−1) ≥ 1/2.
Nói riêng "un − um" ≥ 1/2 vói m < n. Do đó (un) không có dãy con
h®i tu, trái vói giá thiet BE là t¾p compact.
Đ%nh lý 2.4. (Luân phiên Fredholm) Giá sú T ∈ K (E). Khi đó:


(a) N (I − T ) là m®t không gian huu han chieu;
⊥

(b) R (I − T ) đóng, cn the hơn R (I − T ) = N (I − T ∗ ) ;



(c) N (I − T ) = {0} ⇔ R (I − T ) = E;
(d) dim N (I − T ) = dim N (I − T ∗ ).
Nh¾n xét 2.4. Đ%nh lý luân phiên Fredholm nghiên cúu tính giái đưoc
cúa phương trình
u − Tu = f.
Theo Đ%nh lý đó:
• ho¾c vói moi f ∈ E, phương trình u − Tu = f có m®t nghi¾m
duy nhat,
• ho¾c vói phương trình thuan nhat u − Tu = 0 có n nghi¾m đ®c l¾p
tuyen tính và trong trưòng hop này phương trình không thuan nhat
u − Tu = f có the giái đưoc khi và chí khi f thóa mãn n đieu ki¾n
trnc giao, cn the:
⊥

f ∈ N (1 − T ∗ ) .
Nh¾n xét 2.5. Tính chat (c) đã đưoc biet trong không gian huu han
chieu. Neu dim E < ∞, m®t toán tú tuyen tính tù E vào chính nó là
đơn ánh (m®t đoi m®t) khi và chí khi nó là toàn ánh (ánh xa lên). Tuy
nhiên, trong các không gian vô han chieu, m®t toán tú b% ch¾n đơn
ánh có the không toàn ánh và ngưoc lai. Ví dn như phép d%ch chuyen
phái (cũng như d%ch chuyen trái) trong l2 (xem Nh¾n xét 2.6). Do đó,
khang đ%nh
(c) là m®t đ¾c điem can lưu ý cúa các toán tú dang I −T vói T ∈ K
(E). ChNng minh. (a) Goi E1 = N (I − T ). Ta có BE1 ⊂ T (BE )
nên BE1 là compact. Tù Đ%nh lý 2.3, E1 phái huu han chieu.
(b) Giá sú fn = dist (un, N (I − T )). Vì N (I − T ) là huu han chieu
nên


ton tai vn ∈ N (I − T ) sao cho dn = "un − vn". Ta có:

fn = (un − vn) − T (un − vn) .

(2.4)

Ta khang đ%nh rang "un − vn" van b% ch¾n. Th¾t v¾y giá sú trái lai, thì
(un − vn)
. Tù
se có m®t dãy con sao cho "unk − vnk " → ∞. Đ¾t ωn
"un −
=
vn"
(2.4) ta có wnk − T wnk → 0. Chon m®t dãy con nua van kí hi¾u là wnk ,
ta giá đ%nh rang T wnk → z. V¾y thì wnk → z và z ∈ N (I − T ) nên
dist (wnk , N (I − T )) → 0, m¾t khác:
dist (wn, N (l − T ))
=

dist (un, N (I − T ))
=1
"un − vn"

(vì vn ∈ N (I − T )) vô lý.
Do đó "un − vn" van b% ch¾n do T là m®t toán tú compact nên ta
có the tách m®t dãy con sao cho T (unk − vnk ) h®i tu vói m®t giói
han A. Tù (2.4) suy ra unk − vnk → f + A. Goi g = f + A, ta có g −
Tg = f thì f ∈ R (I − T ). Ket quá này chúng tó toán tú (I − T ) có
t¾p giá tr%
đóng. Do đó (áp dung Đ%nh lý 2.19, [5], p. 46) ta có:
⊥


⊥

R (I − T ) = N (I − T ∗ ) R (I − T ) = N (I − T ) .
(c) Giá sú đieu ngưoc lai:
E1 = R (I − T ) ƒ= E
Khi đó E1 là m®t không gian Banach và T (E1) ⊂ E1. Do đó TIE1
∈ K (E1) và E2 = (I − T )(E1) là m®t không con đóng cna E1.
Hơn nua E1 ƒ= E2 vì (I − T ) là đơn ánh.
Đ¾t En = (I − T n ) (E), ta có dãy giám ng¾t các không gian con đóng.