MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học nói một cách tổng quát nhất thì đó là khoa học nghiên
cứu về vật chất và tương tác. Nói một cách cụ thể hơn thì vật lý khoa học
nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên từ thang vi mô (các
hạt cấu tạo nên vật chất...) đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà, vũ
trụ...). Bên cạnh đó nó còn được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi
vì các định luật vật lý chi phối tất cả các ngành tự nhiên khác.
Nghiên cứu về vật lý học là đề tài rất rộng và thú vị được các nhà
khoa học và các học giả quan tâm tìm hiểu qua nhiều thế kỉ qua và đã
mở ra cho loài người những khái niệm, kiến thức mới về thế giới tự nhiên.
Trong đó, vũ trụ học là một đối tượng nghiên cứu của vật lý học đang
được phát triển như vũ bão cùng với sự phát triển của xã hội loài người
cũng như tiến bộ của khoa học kĩ thuật. Ngày nay, các nhà khoa học có
nhiều cách để mô tả vũ trụ giúp chúng ta có được cái nhìn tổng quan hơn
về vũ trụ rộng lớn và thuyết tương đối rộng là một trong số đó. Thuyết
tương đối rộng giúp chúng ta tìm hiểu về vũ trụ qua việc mô tả lực hấp
dẫn và cấu trúc cực vĩ của vũ trụ.
Mặc dù vũ trụ học có ý nghĩa quan trọng như vậy nhưng chúng ta
chỉ tìm hiểu chủ yếu thông qua bộ môn thiên văn của vật lý cổ điển. Việc
nghiên cứu vũ trụ học dựa vào vật lý học hiện đại chưa được quan tâm ở
giảng đường đại học và chưa được đưa vào giáo trình giảng dạy cho học
1


sinh, sinh viên. Chính vì thế mà các vấn đề mới liên quan đến vũ trụ học
khó được tiếp cận với sinh viên trong quá trình học tập và tìm hiểu nhất
là đối với sinh viên sư phạm hiện nay.
Tôi muốn nghiên cứu về vấn đề “Tìm hiểu về vũ trụ học” để
làm tiền đề cho việc tìm hiểu về vũ trụ học nhằm giải đáp các thắc mắc

mà trong quá trình học tập trên lớp chưa được tìm hiểu kĩ cũng như làm
tài liệu tham khảo cho những sinh viên quan tâm đến vấn đề này.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về vũ trụ học.
3. Giả thuyết khoa học
Dùng các phương pháp toán học và thuyết tương đối rộng của
Einstein để nghiên cứu về vũ trụ học.
4. Đối tượng và phạm vi nghi nghiên cứu
Cơ sở lý thuyết của vũ trụ học.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về vũ trụ học.
6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán.
7. Cấu trúc khóa luận
Mở đầu
Chương 1. Lý thuyết cơ sở


Chương 2. Vũ trụ
học Kết luận
Tài liệu tham khảo.


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT CƠ SỞ
1.1

Hệ tọa độ tổng quát. Tenxơ phản biến và
Tenxơ hiệp biến.


1.1.1

Hệ tọa độ tổng quát

Khi xét không gian phẳng thực sự, ta thường dùng hệ tọa độ vuông
góc chữ nhật. Tenxơ độ đo (gµν = ηην ) và các phép biến đổi Lorentz
đều có dạng đơn giản nhất khi biểu diễn trong hệ tọa độ này. Tuy nhiên,
trong
không thời gian cong thì việc dùng hệ tọa độ chữ nhật hay các dạng hiệu
chỉnh của hệ tọa độ chữ nhật thực sự không thể cho ra một kết quả đơn
giản của độ đo, trừ những vùng ở cách rất xa tất cả các trường hấp dẫn
– nơi mà không thời gian gần như phẳng. Vì vậy, ta dùng hệ tọa độ tổng
quát để mô tả các điểm trong không thời gian. Với mỗi điểm không thời
gian, ta sẽ gán tương ứng một bộ tham số để xác định điểm đó. Bộ số này
được gán theo quy luật bất kì nhưng được định nghĩa rõ ràng.
0
1
3
µ hệ tọa độ tổng
Ta
dùng kímột
hiệu
xµ =
(xđổi
, xtừ
,hệ
x2tọa
, xđộ
)x

cho
quát.
phép
biến
cũng sang hệ tọa
độ x′µXét
.


Khi đó

µ
′µ µ
x

=′)xx′µ =
x(x)
(x
(1.1)
Vi phân của
các tọa độ
tuân theo
luật biến đổi
µ

µ

dx′ dx
=


′

d(1.2)

∂xν
µ

dxµ x
∂x
=
∂x′ν

ν

d

x

′

ν

Hay ma
trận
chuyển
đổi từ
các tọa
độ cũ
xµ sang



các tọa
độ mới x


′µ


∂x ∂ ∂
1
′

 xx
′ ′
1 11
∂x
∂
∂x
′2 ∂ x
xn (
2

∂ ∂x
1 ·
∂x
x′ µ )

·′ 







′
n

với
∂

(
=
∂x

∂xn


′1

=



∂

µ,
x

2


2

′
n



ν

·
∂xν
∂
∂
x
′


∂ ∂ ∂x
x x



′n

·· ·


 




1
∂x
∂x′1

∂x2
 ∂x

2n

x


1


∂∂
mới
xx
1 1 ′µ
x
∂
∂x
)
sang
x′n µ
′
2 hệ
· ∂tọa
x

·2
độ cũ
·∂ µ
x là
∂x
x′
∂
x

2

′
2

x

=

·

·

n

·

∂

1,


x


2

2,.

·

·



···
···
···
···

∂
x
′
ν

n n∂




n
∂

x


∂x x

..
·



·


·
n

·


·· ·
·· ·
·· ·



Ma trận
chuyển từ
hệ tọa độ

∂x′1


∂
x

′2


··
·

∂

x
→
x
.

′n

.

x
Định
thức
của
ma
trận
chuyể
n
tọa

độ
trên
được
gọi
là
Jacobi
.

J′

∂x
.
′µ

=
.
.
là
Ja
c
o
bi
p
h
é
p
bi
ế
n
đ

ổi
x
µ
→
x
′µ

.
.
.
∂x
ν.
.

′
J ∂x
=
.
µ
.
ν.
′là
∂x
Jac
obi
ph
ép
biế
n
đổi


.

.
′
µ

µ


Hai ma trận

(

′
∂x
)

trận đơn vị
∂xν

nhân với nhau cho kết quả là ma
(
µ
∂x
)

µ

và


µ

∂x′ν
µ
ν

∂x ∂x

⇒
1.1.2

µ

= δσ .
∂xν ∂xσ
Tenxơ phản biến
và tenxơ hiệp biến

Một đối tượng bốn
thành phần Aµ là một vectơ
phản biến dưới phép biến đổi
hệ tọa độ tổng quát nếu nó
biến đổi theo quy luật:
∂x′ ν
′µ
A =
(1.3)
A
∂xν

Một đối tượng bốn thành phần
Aµ là một vectơ hiệp
biến nếu:
∂xν
A′
µ

=

∂
x
′

µ


∂∂xc
A′ σ ó
Aα x
q
ν
µ
u
=
∂x
(1.4)
y
′
Với các tenxơ
l

phản biến, hiệp
u
biến dạng cao hơn
ậβ
thì quy luật biến
t
đổi là:
b
µν...κ
α
∂ ∂
i∂
A
∂x x
ế
′
′
(1.6)
n
β
*Tại đ
sao ổ
tenxơi
∂ ∂ (1.5)
lại
∂
được
A′αβ...λ
µ
các

x x
ν
x
nhà
=
..
vật lý
µ κ.
chú
ν κ
ý?
∂
·
x
A
µ·
∂ ∂
x·
x
∂κ
x
ν
′

Chú ý : xµ không
phải là một vectơ
tương ứng với
phép biến đổi tọa
độ
tổng quát.

Tenxơ hỗn
hợp hạng 3

∂

α


Xét hai tenxơ X và Y trong hệ tọa độ nào đó (đối với các nhà vật
lý thì đó là hệ quy chiếu) thỏa mãn tính chất:
Xαβ = Y

αβ

(1.7)

′µ

Nhân hai vế của phương trình trên với

′µ

∂x ∂x
∂xα

′ν

∂xβ
X


µν

∂x ∂x

∂x ∂x
α

′µ

β

∂x ∂x′

αβ

′ν

=

∂xα

ta được:

ν
αβ

∂xβ

(1.8)


Y

µν

⇒ X′ = Y ′
Biểu thức (1.8) chính là phương trình (1.7) được xét trong hệ tọa độ mới
(hệ quy chiếu mới).
Từ đây ta phát biểu: Nếu phương trình tenxơ hay đẳng thức tenxơ
đúng trong hệ tọa độ nào thì cũng đúng trong hệ tọa độ bất kì khác.
Nói cách khác, phương trình tenxơ không phụ thuộc vào hệ qui
chiếu quán tính hay không quán tính. Như vậy, tenxơ là công cụ toán học
rất phù hợp để xây dựng thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng
quát).

1.2

Tenxơ Metric.

Xét không gian n chiều. Chọn hệ tọa độ chuẩn x′µ sao cho độ
dài vô cùng bé nối hai điểm lân cận nhau có dạng:


ds2 = dx′µ.dx′µ

(1.9)


Chuyển (1.9) sang hệ tọa độ mới xµ
µ


ds2 = dx′µ.dx′µ = x
dxα.
∂x
′

Nếu
đặt:

ν

′

∂x

dxβ =
∂x
′

∂xβ
′µ

∂x ∂x

µ

ν

∂x
.dx′α.dxβ
′


∂x′α ∂xβ

′ν

α

Thì

∂

gαβ

∂x

∂xβ

(1.10)

=
α

ds2 = gαβ dxαdxβ

(1.11)

gαβ gọi là tenxơ metric hiệp biến.
Tenxơ metric phản biến gαν được xác định từ biểu thức
β


gαβ .gαν = δν
Một cách định nghĩa khác: ⃗e1 , ⃗e2 là các vectơ cơ sở thì
2
=
d⃗.⃗e
xd⃗x = dxα⃗e1 .dxβ ⃗e2 = ⃗e1⃗e2 dxα dxβ = gαβ .dxα(1.12)
dxβ
Với gds
=
e
⃗
αβ
1 2
Ta có thể viết tích vô hướng của hai vectơ nhờ tenxơ metric:

A⃗ .B = gαβ AαBβ = gαβ AαBβ = AαBα = AαBα

1.3
1.3.1

Đạo hàm hiệp biến.
Phép dịch chuyển song song


Trong không gian phẳng, dịch chuyển song song một vectơ nghĩa
là dịch chuyển nó sao cho lúc nào vectơ cũng song song với chính nó. Nói
cách khác, dịch chuyển sao cho độ lớn và hướng của nó không thay đổi.


Trong không gian cong Riemann, hai vectơ đặt tại hai điểm phân

biệt thì độ lệch không là một vectơ. Vì vậy, ta phải dịch chuyển song
song một vectơ về cùng điểm đặt. Dịch chuyển song song một vectơ
dọc theo đường C là dịch chuyển nó sao cho góc tạo giữa nó và đường
cong C là không đổi. Lúc này các thành phần của vectơ sẽ thay đồi dù
độ lớn của nó không thay đổi.

1.3.2

Đạo hàm hiệp biến của vectơ phản biến
Xét một trường vectơ phản biến bất kì Aµ.
Tại P tương ứng với tọa độ x, vectơ có giá trị Aµ
Tại Q tương ứng với tọa độ x + dx, vectơ có giá trị Aµ + dAµ

Để Aµ (x + dx) − Aµ (x) là một vectơ, ta dịch chuyển song

song
Aµ(x) từ x (điểm P) đến x + dx (điểm Q) rồi xác định độ lệch.
µ
Gọi
δA
độ
của này
vectơ
Aµđịnh
khi phải
dịch
ν biến
chuyển
song
song

một
nhỏcác
dxνthành
. Độ phần
biến đổi
nhất
tuyến tính
đối
vớilàdx
. đoạn đổi

Khi đó ta có: DAµ = dAµ − δAµ


Đại lượng δAµ có dạng tổng quát: δAµ =
−Γµ

σ
ν

Aσdxν


Trong đó: Γµσ một hàm nào đó phụ thuộc vào hệ tọa độ ta chọn,
ν

có thể bằng 0 hoặc
σ
µ
ν Γ

khác 0.

được gọi là kí hiệu
Christoffel hay hệ số

liên thông.
Dấu (−) do ta quy ước.
µ
Mặt khác: dAµ∂A
=
dxν
µ
∂xν ∂A
σ
ν

⇒ DAµ = ∂ dxν

Aσ

(1.13)

µ
ν
x + Γ dx

(
=
+
Thành

Γphần
+
σ
trong ngoặc
Γ ν

ν

∂A µ

∂xν
µ
A ∂A

vectơ phản biến

∂

µ

)
σ
σν
µ

dxν

Aσ được gọi là đạo hàm

hiệp biến của

x

µ

A .

ν

Kí
hi
ệu
:


∂A

(1.14)

µ

∇

µ

∂x
ν
ν

A


µ

A

≡

A

=
1.3.3

Đạo hàm
hiệp biến
của vectơ
hiệp biến
Ta đã biết,

dịch chuyển song
song một vô hướng
thì đại lượng ấy
không đổi. Hay nói
cách khác tích vô

hướng của hai vectơ sẽ không đổi khi dịch chuyển
song song.
+ σ
;
ν
Γ ν
Xét tích vô hướng của hai vectơ A⃗ , B⃗ .

Do khi dịch chuyển song song
thì tích vô hướng của chúng không thay đổi nên:

δ (AµBµ) = 0

(1.15)


⇒ BµδAµ + AµδBµ
(1.16)

=0
⇔ BµδAµ = −AµδBµ
σ
ν

⇔ BµδAµ =

Bσdxν )

−Aµ(−Γµ
⇔ BµδAµ =
Γµ
Về mặt cấu trúc thì: Γµσ

σ
ν

AµBσdxν
µ

ν

AµBσdxν =

ν

AσBµdxν

Γσ
Nên (1.16) có thể được viết lại như sau:

µ

B δAµ = Γ

µ
σν

AσBµdxν

Sau khi giản ước Bµ ở cả hai vế ta được
µ
σν

δAµ = Γ Aσdxν
Tương tự như ở (1.3.2), ta xác định được đạo hàm hiệp biến của vectơ
hiệp biến

∂Aµ


σ

∇ ν Aµ =
− Γµν Aσ ≡ Aµ;ν
ν
∂x
Đạo hàm hiệp biến của các tenxơ hạng cao hơn:
µν

∂A

A

µ

µ

σ

ΓσρA
Aµν;σ =

∂xσ
∂Aµν

µρ

ρν

ν


=

ν

(1.17)

+

(1.18)

+
ΓσρA
ρ

ρ


− ΓµσAρν − ΓνσAµρ

∂xσ
(1.19)

1.4

µ
=
Aν;σ

µ


∂Aν

∂xσ

ρ

µ

µ

ρ

− Γνσ Aρ + ΓρσAν

(1.20)

Đạo hàm tuyệt đối
Ta đã có

DAµ = dAµ − δAµ

(

∂A

µ

∂x
=

ν

)
+
Γ

µ Aσ
σν

dxν


) họ νđường cong C
Chia hai vế cho du với u là thông số của
(
dx
∂A
µ
σ
µ
DA
A
du µ
+
Γ
=
σν
du

∂xν

Biểu thức (này được gọi là) đạo hàm
tuyệt đối của Aµ và kí hiệu
ν
dx
∂A
µ
σ
µ
DA
ν
µ
A
= dx
Du
d
u
+
· ∇ν Aµ = X ν ∇ν Aµ
=
Γ
∂xν
σν
dxν
du
DA
µ

dA

d

Du
ν
µ
µ
ν
∂Aµ dxν = X ∇ ν A ≡ ∇X A ; X =

(1.21)

µ

Do
=
du

∂xν

nên ta có cách viết thứ hai:

du
DA
Duµ

dA
µ

=

+
Γ


µ
σν

dxν

Aσ

(1.22)
du

du
Tương tự, ta cũng tìm được đạo hàm tuyệt đối của tenxơ hiệp biến hạng
một và các tenxơ hạng cao hơn:
DAµ
dx =
Du

ν

du

dAµ
∇ν Aµ = ∇X Aµ

=
DAµν

σ


= dx

du

ν

µ

dx

− ΓνσAσ

du


∇σ A µ = X σ ∇ σ A µ
= ∇X Aµ
Du

ν

ν

DAµ

du
ν

Ý nghĩa hình học: Trong trường hợp đặc biệt khi


= 0 , ta nói vectơ

Du
Aµ được dịch chuyển song song sao cho nó trùng với vectơ Aµ tại điểm
mới. Trường hợp đặc biệt này chỉ xảy ra đường cong C là đường rất đặc
biệt gọi là đường trắc địa còn vectơ Aµ sẽ là vectơ
dxν tiếp tuyến với đường
µ
µ
µ
trắc địa.
DA
dA
Aσ
=0
Du
du +
Γ σν
= ∇X Aµ
du

Do lúc này Aµ =

=
dx
µ

µ
du (A là vectơ tiếp tuyến của đường trắc địa)



nên ta có:

dµ
dx
du

dxσ dxν
+ Γµ
σν

=0
du du 2
d

µ

dxσ dxν
⇔
+ Γσν
du2
=0
du du

Phương trình (1.23) là phương trình cho
đường trắc địa C. Thông số u gọi
là thông số Affine, kí hiệu bằng chữ s
hoặc u
d 2x µ


µ

dxσ dxν

⇔

+ Γσν
ds

d
s
2


=
0
(
1 ds
Ở phần
sau bằng
nguyên lí
tác dụng
tối thiểu,
ta chứng
minh
được
rằng

.
2

4
)

đường
ngắn nhất
giữa hai
điểm
trong
không
gian
Riemann

1.5 Kí
hiệu
Chr
istof
fel
và
tenx
ơ
Met
ric

ó ∇αΦ = ∂αΦ. Nếu đặt Vα =

∇αΦ, ta có:
α
β

∇β Vµ = ∂β ∂µΦ


−
Γ

µ

∇α
∇β
=
∂α
Vβ
−
µ
Γ

βα
βα

α được:
Lấy (1.26) trừ (1.25)
β

h

i

(∇α∇β − ∇αβ∇α) Φ =
β —
Γ
(∂α∂β − ∂β ∂α) Φ +


với
(1.23).

∂µΦ
(1.26)

K

trình của
nó trùng

µ

∂β Vµ =
∂ α∂ β Φ
V α − Γµ

X
é
t
t
r
ư
ờ
n
g
v
ô
h

ư
ớ
n
g
Φ

và
phương

(1.25)

= Γ

là đường
trắc địa

Vα ∂ α Φ −

đ

(Γ

µ

µ

)
βα

∇µ

Φ

(1
.2
7)


⇔

)
µ
β
α

(
∇
α

∇
µ

Φ

∇
β

−
∇
β


∇
α

)
Φ
=

(

Γ
µ

Nếu
không
gian của
ta không
xoắn thì

(
∇ αβ —
Γ
0
µ

α
β

=
Γ


β
α


tức là kí hiệu Christoffel đối xứng với hai chỉ số dưới.
Taxoắn
có định
αβ là tenxơ đối xứng. Nếu không gian của ta
là không
thì ∇lý
µgsau:
αβ =g0.
µ — νµ
Có: ∇µgαβ = gαβ;µ = ∂µgαβ − α Γ β gνα
Γν
Khi ∇µgαβ = 0 thì:
µ
να

µ

gνβ − Γβν gνα = 0

(1.28)

∂αgβµ − Γναβ gνµ − Γαµν gνβ = 0

(1.29)

∂µgαβ − Γ

Tương tự ta cũng chỉ ra được:

β

β

∂β gµα − Γνµ gνα − Γαν gνµ = 0

(1.30)

Lấy (1.28) trừ đi (1.29) và (1.30), chú ý tới tính đối xứng của Γνα ta được:
β

2
Γ

να
β

gνµ + ∂µ gαβ − ∂α gβµ − ∂β gµα

(1.31)

=0
1
⇔ Γνα

β gνµ

=


2

(∂αgβµ + ∂β gµα − ∂µgαβ )

Nhân cả hai vế của (1.31) với gνµ
αβ

Γ
ν

=1
µ

2
1

Hay
αβ

Γ=
µ

gν

ν

(∂αgβµ + ∂β gµα − ∂µgαβ )

(1.32)


(∂αgβν + ∂β gνα − ∂ν gαβ )

(1.33)

2µ
g

µ

Như vậy, nếu ∇µgαβ = 0 thì Γαβ
µ
lại: nếu dạng Γα
β

có dạng như (1.33). Ta có thể nói ngược