MỤC LỤC

Phần mở đầu................................................................................ 1
Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị.......................................3
1.1 Nguồn gốc của lý thuyết phổ.............................................. 3
1.2 Phổ của một toán tử............................................................. 5
1.3 Đại số Banach...................................................................... 8
1.4 Nhóm tuyến tính tổng quát A............................................. 10
1.5 Định lí Hahn-Banach......................................................... 12
1.6 Định lí Liouvelle................................................................15
1.7 Định lí Banach-Steinhauss................................................ 16
Chương 2: Phổ của một phần tử trong đại số Banach...........18
Chương 3: Bán kính phổ........................................................... 22
Phần kết luận............................................................................... 26
Tài liệu tham khảo.................................................................... 27

1


LỜI CẢM ƠN

Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học Tiến
sĩ TẠ NGỌC TRÍ thầy đã tận tình giúp đỡ và nghiêm khắc hướng dẫn em
để em có thể hoàn thành được khóa luận này
Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực
hiện khóa luận,em nhận được sự dậy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ
bảo của các thầy cô. Qua đây cho phép em được bầy tỏ sự biết ơn chân
thành đến các thầy, cô giáo trong tổ giải tích, khoa toán trường ĐHSP Hà
Nội 2
Xin cảm ơn các bạn trong nhóm chuyên đề “Giải tích lồi” những
người đã cùng tôi san sẻ những kiến thức, hun đúc quyết tâm và công tác

hiệu quả trong quá trình thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội. Ngày 01 tháng 05 năm 2012
SV thực hiện
LƯƠNG THẾ TOÀN


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận
tình nghiêm khắc của thầy TẠ NGỌC TRÍ bên cạnh đó em được sự quan
tâm, tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2
Vì vậy em xin cam đoan nội dung của đề tài “ Phổ của một phần tử
trong đại số Banach”không có sự trùng lặp với các đề tài khác nếu sai em
xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội. Ngày 01 tháng 05 năm 2012
SV thực hiện
LƯƠNG THẾ TOÀN


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sau 4 năm học đại học, bộ môn giải tích đã thực sự cuốn hút đối với
em mặc dù nó là bộ môn không phải là dễ dàng tiếp cận, các đối tượng
trong giải tích là các đối tượng có tính chặt chẽ và mang tính trừu tượng
hóa cao.
Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với
toán học cơ bản và toán học ứng dụng, nội dung của nó rất phong phù và đa

dạng. Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian ít nên khó có thể đi sâu
nghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm, với mong muốn được tìm
hiểu sâu hơn về bộ môn này dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và
trong pham vi của một khóa luận tốt nghiệp, cùng với sự giúp đỡ của thầy
giáo tiến sĩ Tạ Ngọc Trí em xin mạnh dạn nêu lên những hiểu biết của
mình về đề tài “Phổ của một phần tử trong đại số Banach”
2. Mục đích nghiên cứu
Quá trình thực hiện đề tài, đã giúp em bước đầu làm quen với việc
nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn giải tích hàm, đặc
biệt là tìm hiểu sâu hơn về “Phổ của một phần tử trong đại số Banach”
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về phổ của một phần tử trong đại số Banach bán kính
phổ của phần tử đó.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác và làm nổi bật phổ
của một phần tử trong đại số Banach
5. Các phương pháp nghiên cứu
Phương pháp suy luận logic


Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá.
6. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận bao gồm 3 chương
Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Phổ của một phần tử trong đại số Banach
Chương 3: Bán kính phổ


Chương 1
NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Nguồn gốc của lý thuyết phổ
Mục đích phổ của toán tử phát triển nhằn để hiểu cụ thể vấn đề của đại
số tuyến tính có liên quan tới các cách giải của phương trình tuyến tính và
khái niệm vô hạn chiều.
Vấn đề cơ bản của đại số tuyến tính trên trường số phức là cách giải
của hệ phương trình tuyến tính. Một là cho
(a)

n x n ma trận (aij) của số phức

(b)

n_chiều

g= (g1,g2,...,gn) của số phức

Và một trong những cách giải hệ phương trình tuyến tính

a11 f1 + a12 f2 + ...+ a1n fn = g1
(1.1) …..

an1 f1 + an2 f2 + ...+ ann fn = gn
Với

f

n

= ( f1, f2 ,..., fn ) ∈□
Chính xác hơn người ta muốn xác định nếu (1.1) có các cách giải và


tìm thấy các cách giải đó khi chúng tồn tại.
Khoa học cơ bản trên đại số tuyến tính nhấn mạnh rằng vế trái của (1.1)
định nghĩa một toán tử tuyến tính

f

 Af trên một không gian vectơ

n

n_chiều £ sự tồn tại các cách giải của (1.1) với g là bất kỳ.
Sự tồn tại của (1.1) là duy nhất, lời giải của (1.1) cho tất cả sự lựa chọn của
g nếu và chỉ nếu toán tử tuyến tính A là khả nghịch điều này liên quan tới


việc tìm cách giải hệ (1.1) và trong trường hợp này là hữu hạn chiều toán tử
A là khả nghịch hay chính xác hơn khi phần tử quyết định ma trận (aij) là
khác không. Còn trong trường hợp vô hạn chiều thì găp nhiều khó khăn
hơn bởi vì các toán tử trên không gian Banach vô hạn chiều không có khái
niệm phần tử quyết định.
Việc giải (1.1) liên quan đến khái niệm giá trị riêng và trong trường hợp
hữu hạn chiều. Lý thuyết phổ làm giảm các lý thuyết về giá trị riêng, chính
xác hơn giá trị riêng và giá trị vectơ của toán tử

(l , f
)

với Af = l


A xuất hiện trong cặp

n
ở đây f là một vectơ khác không trong £ và l là

f

một số phức
Nếu chúng ta thay một số phức l và xét cách thiết
lậpV λ
vectơ f vì Af = l

f

⊆ n□

của

tất cả

chúng ta thấy Vl là một không gian tuyến tính con

của £ và với cách chọn l bất kỳ nó là không gian con tầm thường {0},
n

Vl là không tầm thường nếu và chỉ nếu toán tử A- l 1 có phần tử không
tầm thường hay nếu và chỉ nếu toán tử A- l 1 là không khả nghịch. Phổ

s
A

λ∈□ như vậy và
(A) của được định nghĩa là tập hợp tất cả số
nó là

một tập số thực của số phức không chứa hơn n phần tử
Chý ý 1.1.1 Chúng ta đã chỉ ra rằng phổ của bất kỳ toán tử nào trên £

n

là

số thực chứng minh quen thuộc nhất là việc liên quan đến
hàm f (l )=

det(Akhông là điểm của

l trong đó f là một đa thức với hệ số phức có số
1)

s (A) và sau đó thu hút các định lý cơ bản của đại số


Ví dụ1.1.2 Ví dụ này cho bởi Niels Henrik Abel (1823)
Chọn một số a trong khoảng mở đơn vị và g là một hàm nhẵn trên khoảng
(0,1) thỏa mãn g(a)=

0 Abel tìm kiếm hàm f mà


x


1

f ( y)dy = g(x)

α

Trên khoảng a

<

∫

(x − y)

α

x < 1và ông viết cách giải sau.
fπα
( y) =
π

sin

∫

y

g '(x)


(α
y − x)

dx

2 −α

1.2. Phổ của một toán tử
Ký hiệu

E là không gian Banach phức, với một toán tử trên E

chúng ta làm một biến đổi giới hạn tuyến tính

T : E®
E,B(E)

là ký hiệu

của tất cả các không gian toán tử trên E , chúng ta lấy 2 toán tử

A,B B(E
Î
)

để có được kết quả toán tử AB

Î

nhân thỏa mãn 2 luật kết hợp và phân phối


(A+
B)C=
Và

B(E) ta định nghĩa phép

A(B+
C) =

AB+ AC

AC+
BC

Chúng ta viết 1 để nhận dạng toán tử.

Định lý1.2.1 Với mỗi AÎ B(E)
các điều kiện sau là tương đương
(1)

Với mỗi

yÎ E có duy nhất xÎ

thỏa mãn

Ax = y

E

(2)

Có một toán tử B

Î

C
h
ứ
n

g

minh. (1) → (2)


B(E)

thỏa mãn AB = BA= 1
Giả sử
vectơ

A là khả nghịch như một biến đổi tuyến tính trên không gian

E và ta xét nghịch đảo của nó là B : E

®
EÅ
E


đồ thị của nó có liên quan đến đồ thị của

G(B)= {(x,Bx): E}= {(Ay, y): yÎ E)
xÎ

E là một tập hợp của

A như sau


Không gian bên phải là đóng trong E Å

vì

E

A là liên tục. Do đó đồ thị
của B là đóng B(E)
và theo nguyên
lý đồ thị đóng
thì B Î
Định B(E)
nghĩa
1.2.2
Cho

AÎ
(1)

A là khả

nghịch
nếu

có

một
toán

tử

B
Î
B
(
E
)

t
h
ỏ
a

mãn AB = BA=

1
(2)

P

ổ khả


h

nghịch

s
(A)
của

A là
tập
hợp
tất
cả
các
số
phứ
cl
mà

A-


đ

l 1 là
không
(3)

Lập tập

hợp

r
(
A
)

của A là
phần bù

r(A)= £ \s (A)

Ví dụ 1.1.2 ở phần trước, chúng ta đã
trình bầy với một toán tử và khẳng định
về sự khác nhau của các phổ. Đối với ví
dụ để xác định xem một toán
tử nào là khả nghịch, người ta đi xác
định vấn đề có hay không

0Î

s
(A)
.

Các phổ là quan trọng nhất khi chúng bất
biến gắn liền với một toán tử.
Chú ý 1.2.3 Nhận xét về phổ toán tử
Chúng ta đã xác định
nhưng

B
được phổ của một toán tử
đó

(
E
)

TÎ

chỉ là bắt đầu, để có thông tin chính xác
hơn về các điểm khác nhau của

s (T )
Xét ví dụ 1.2.4 Giả sử rằng có
một vectơ khác không x Î

E mà Tx
=lx

với mỗi số phức l trong trường hợp này
l được gọi là một giá trị riêng
(liên hệ với vetơ
riêng x ) rõ ràng

T - là không khả
l 1 nghịch. Do

l Î s (T) tập hợp tất cả s
các giá trị riêng của T (

là

tập hợp con của

được gọi là
điểm phổ
của T (và
được viết là

T
)

s r (T ) )

Khi E là hữu hạn chiều
thì s

(T) = (s r (T)

nhưng nói chung là
không phải vậy.Thật
vậy có nhiều toán tử
khác khi phân tích
không có điểm phổ


Một loại điểm phổ xẩy ra khi T -

là 1-1 nhưng không trên nó điều này


l

có thể xẩy ra theo 2
cách. Hoặc là phạm vi
của T - l

là
không
đóng

trên E hoặc là đóng
nhưng không tất cả
trong E
Ví dụ 1.2.5 Xét sự thay đổi của
toán tử V xác định trên C [0,1]
như sau:
x

f (
Vf (x) x)
= ∫ dx

0£
x£
1

0

Toán tủ này là không khả
nghịch thực tế ta thấy phổ của

nó chính xác là

{0} mặt khác ta có thể dễ dàng
kiểm tra V là 1-1 nghĩa là phạm
vi của nó không phải là đóng và
phạm vi đóng của nó là một
không gian con của hàm giá trị
thực trong C [0,1]
1.3. Đại số Banach
Định nghĩa1.3.1 (Bao đại số)
Bởi một đại số trên □
chúng ta nói đến một bao
đóng không gian
vectơ

A liên tục với

một toán tử nhị phân
13

khẳ
ng

đ


ịnh thỏa mãn

b


x A®
, xy Î
y A
Î

.
y

(1)

x, A ta có
y,
Với a , z Î
bÎ £

z

và

x

(

(

a

a

x

y

+

+
b
y

b

)

z

z

)
z

=
=
a
.

a

x

.


z

x

+

y
14


+
b
.
x
z
x( ( xy ) z
yz
)
=

(2)

Với A là bao đóng không gian
vectơ, phép nhân trong A được
xác định
bởi

x
y
=

0

với mọi x, y . Khi một đại số
được nhận diện thì nó là yếu tố

quyết định duy nhất
Định nghĩa1.3.2 (đại số
Banach,chuẩn đại số )

15


Chuẩn đại số là một cặp
chuẩn ||.||: A®

[0,¥

A ,||.|| gồm một đại số A cùng với một

) có liên quan đến phép nhân như sau:
|| xy ||£ || x || . y ||, " x, y Î A
||

Đại số Banach là chuẩn đại số đầy đủ, một không gian Banach thiên về
chuẩn có liên quan đến nó.
Nhận xét 1.3.3 Chúng ta biết rằng một chuẩn có lợi đầy đủ.
Một không gian tuyến tính định chuẩn

E là một không gian Banach


nếu và chỉ nếu tất cả các dãy cơ bản trong chúng hội tụ. Một cách chính xác
hơn

E là đầy đủ nếu và chỉ nếu tất cả các dãy con xn Î
E

å

xn <

¥

n

có một phần tử y

thỏa mãn

E mà.

Î

lim|| y−(x1 +x2 +...+xn)||=0
n→∞

Ví dụ 1.3.4 Cholà E không gian Banach bất kỳ và

B(E tất cả

A là đại số )


các hàm có giới hạn trên E , x.y là phép hợp thành của hàm đó đây là một
đại số Banach với đơn vị là ||1||= 1, nó là đầy đủ vì E là đầy đủ
Ví dụ 1.3.5 C(X) , X là một không gian Hausdorff thu gọn và xem đơn vị
của đại số C(X) của tất cả các hàm phức tạp có giá trị liên tục xác định trên
X phép nhân và phép cộng được xác định bởi:

f .g(x) = f (x).g(x)
( f + g)(x)
=

f (x) g(x)
+


So với định chuẩn sup, C(X) trở thành một đại số Banach giao hoán có đơn
vị.


Ví dụ 1.3.6 C[−1 là không gian các hàm liên tục trên đoạn
[ −1,1]
,1]

vì mọi
h
à
m
li
ê
n

t
ụ
c
tr
ê
n
m
ộ
t
đ
o
ạ
n
l
à
b
ị
c
h
ặ
n
n
ê
n
∀
x
,
y
∈
C

[−
1,
1]


, ∀t

≤≤

∈[ −1,1

.sup
1
:

]

}

Ta =
y
≤ 1
có
. s
x up

y
.x

)t

:t
= s
y
up
≤ 1

(

{x

}

(
t

)

)
:
t
x ≤ 1
≤
y

(
t

)
:
t


=

}

| dx
m(x.E)
= m(E) =|

đo m trên G đó là bất biến
theo phiên dịch trái. Nghĩa là
cho mỗi

E ta thiết lập G. . Nếu n là

Borel và với mỗi

Hay
yy .
.x
x
≤

(

∫

G

}


{

ất kỳ nhóm G Compact có một Radon
| f(
độ
x) |

xÎ

một độ đo
đủ,

n(E)= cho mỗi E
c.m(E thiết lập
không đổi như vậy
)
sau đó có một số c

Vậy
là
Cmộ
t
đại
số
Ba
nac
h
có
đơ

n
vị.

Borel.
Hewitt và Ross cho rằng việc tìm cách
giải của Haar ví dụ cụ thể như

a nhóm và SL(n,¡ )
. Một chứng
các nhóm
x
minh về sự tồn tại của
+
b
Đ
ị
n
h
l
ý
1
.
3
.
6
Đ
ố
i
v
ớ

i
b

cách giải Haar được tìm thấy trong Loomis
hoặc Hewitt và Ross
Chúng ta
dm(x) , ở đây m là một độ
viết dx thay
đo Haar trái trên một
bởi
địa phương thu nhỏ nhóm G .
Đại số nhóm G là không gian

các
hàm
khả
tích

|| f

f :G® £

với chuẩn

1

L tất
( cả
G
)



Và được xác định bởi

f*g=
−1

∫

xÎ G

f

Các
thông
tin cơ
bản về
các
nhóm
đại số

(t)g(t x)dt
G

h
o
á
n
tr
o

n
g
tr
ư
ờ
n
g
h
ợ
p
(1)

V
f
ớ
i

L tương
1

tự như
đối với
giao

(
G
)

L v ) chúng ta
1


à đã gặp
L phải

(
1
Z
)(
¡

L1
(
, G)
g,f
*
Î gÎ

L và chúng
1

ta có

(
G
)

|| f * || . || g
g ||
LG)(
||£

||
f
1


(2)

L là một đại số
1

Banach

G là một nhóm giao

(3)

( là giao hoán hoán
G nếu và chỉ nếu
)

(4)

L có đơn vị nếu G là một nhóm riêng
1

và chỉ nếu

biệt

(

G
)
1.4. Nhóm tuyến tính tổng quát

A

Định nghĩa 1.4.1 Phần tử khả nghịch
Cho A là đại số Bannach với đơn vị
1, như kết quả trước ta giả sử

||
một phần A được gọi là nghịch
x
tử
nếu có một phần tử
||=
xÎ
1

y sao x yx = 1
cho y
Î
=
A
Chú ý 1.4.2 Nếu x là một phần tử của
A mà cả bên trái và phải đều
nghịch nghĩa là

y1 , A xy y2 x = 1
có những phần tử y2 Î vớ 1 thì x là

i =
nghịch
Thật vậy
rõ ràng ta
có

y2 = y2.1= y2xy1 = 1.y1 = y1

Định nghĩa 1.4.3
Nhóm tuyến tính
tổng quát của A


Chúng ta viết A
của

- 1

(hay viết GL(A)) cho tập hợp tất cả phần tử nghịch

A . Rõ ràng là A- 1 là một nhóm, nhóm này được gọi là nhóm tuyến

tính tổng quát của đại số bannach
Định lí 1.4.4 Nếu

A có đơn vị

x là một phần tử của A thỏa mãn || x ||< 1 Ta

x là


có1- nghịch và nghịch đảo của nó được cho bởi chuỗi hội tụ tuyệt đối

(1- x)- 1 = 1+ x + x2 + ...
Hơn nữa ta có kết quả sau.
(1.4)

|| ( x − λ )

−1

1
||
≤ 1− ||
x ||

|| x ||
(1.5) || 1 − (1 − x
1− || x
−1
)
||≤
||
Chứng minh:

||£ || x || với mọi n=1,2,…. Chúng ta có thể xác định một
Từ || x
n
n


phần tử

z Î A là tổng của chuỗi hội tụ tuyệt đối
¥

z=

x n n= 0

Chúng ta có:
x)
z(1 =
Do đó 1-

å

(1 x)z
- =

lim
(1-

¥

x)å

N®¥

k=
1


lim
x = (1k

N®¥

xN + 1 ) = 1

z là khả nghịch và nghịch đảo của nó là z

Từ bất đẳng (1.4) ta có
¥

¥


|| x ||£

å

n= 0

Từ

|| x n ||£

å

n= 0


|| x ||n =

1
1- || x ||


∞

1− z =

= − xz
−

∑
x

n

n
= 0

Ta
có

||
1-

z ||£ || x do đó (1.4) tương đương
|| . || z || (1.5)


-1

Hệ quả 1.4.5 A là tập
mở trong

A và x a

hứn
g

x- 1

c

min

ủ

h.

a

A

A
1

l
à
c

h
í
n
h
n
ó
.
C


là hàm
tị
liên tục đồ h

là h i || h
chúng ta có
ng
hịc k || đủ
| +-1 x
h nhỏ

Thật vậy
chọn một
phần tử khả
nghịch x0 và
một phần tử x
tùy ý
hA
Î
chúng

ta có
thì
the
vậyo
x + =h x(1 x|| nếu
0

+
h)x00

đị
nhx là
lí 0 nghị
tr ch.
+
ướ Đặc
c biệt
h nếu

0

h
||
<
1

|| | t
h h
|| | ì
- đ

< i
|| 1 ề
x0 u

đ
ó nhiên
x0 + h
l Bây
à giờ
ta
h chứn
i g
ể minh
n

- 1

(h

Giả
sử ta
=chọn
được
h như
vậy ta
có thể
viết

| h)
(x


x

0
0
0

- 1
- 1
|| x 1||- .1 || || h || . ||
1 - 1 x
£ ||
||£ x x0
h)
(1+
0
||
o
- 1
|| x - 1 h
x =
x
||
1
-0
- 1

Vậy cuối cùng giá trị đó tiến tới không khi
|| h ||® 0
- 1


- - 1
1

-1
1
Hệ quả 1.4.6 A là một nhóm tôpô
) ( é ù
trong nhóm tôpô chuẩn của nó.nghĩa là
h h
ê ú
x )) )
(1)
2 0 - 11 .
(x A A- x A là liên tục
1 + x
, -1 1 y (
-0
1
a
y) ´
- 1Î
Îë
+
0
0
0
û
0


D
o
v
ậ
y
c
h
o

||
h
||
<
||
x
1

||

0
1

(2)

xÎ
- 1
A
a

x- A là liên tục

1

Î

1