trờng đại học s phạm hà nội 2
khoa toán



Ngô thị thủy

PHẫP NGHCH O
VI BI TON QU
TCH
khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyờn ngnh : Hỡnh hc

Ngi hng dn khoa hc
GV. Đinh văn thủy

Hà Nội - 2012


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu đề tài: " Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích" tôi đã
nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong Tổ bộ môn hình học trường ĐHSP Hà Nội 2.
Tác giả khóa luận xin gửi tới các thầy cô lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất, đặc biệt là
thầy giáo Đinh Văn Thủy người đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012

Tác giả khóa luận
Ngô Thị Thủy

SVTH: Ngô Thị Thủy

K34B – SP Toán


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các vấn đề tôi trình bày trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của
riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy Đinh Văn Thủy, không trùng với các tác giả
khác.
Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012
Tác giả khóa luận
Ngô Thị Thủy


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................................................... 1
1. Lý do chọ đề tài.............................................................................................................................1
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................................... 1
3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu..................................................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................................... 2
NỘI DUNG........................................................................................................................................ 3
CHƯƠNG 1: PHÉP NGHỊCH ĐẢO................................................................................................ 3
1.1. Các định nghĩa............................................................................................................................ 3
1.1.1. Không gian bảo giác............................................................................................................... 3

1.1.2. Phép nghịch đảo...................................................................................................................... 3
1.2. Các tính chất............................................................................................................................... 3
1.3. Các định lý.................................................................................................................................. 4
1.4. Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc................................................................10
CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH.............................................12
2.1. Bài toán quỹ tích...................................................................................................................... 12
2.2. Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích......................................................................... 12
2.3. Các ví dụ minh họa.................................................................................................................. 12
2.4. Bài tập tự luyện........................................................................................................................27
2.5. Hướng dẫn................................................................................................................................30
KẾT LUẬN..................................................................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................................... 43


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Hình học là môn học hấp dẫn thu
hút nhiều học sinh yêu toán. Việc giải các
bài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó có
những cách giải hay, độc đáo sẽ phát huy
tính sáng tạo và niềm say mê đối với môn
học. Mỗi bài tập hình học có thể giải bằng
nhiều phương pháp khác nhau: phương
pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ,
phương pháp vectơ và phương pháp biến
hình.
Trong nhiều trường hợp, phép biến
hình là công cụ hữu hiệu cho phép giải hợp
lý và ngắn gọn các bài toán của hình học

như bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích,
bài toán dựng hình và bài toán tính toán.
Trong chương trình toán phổ thông,
học sinh được học các phép biến hình:
phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm,
phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự. Phép
nghịch đảo là phép biến hình không đưa
vào chương trình phổ thông, chỉ được đề
xuất khi luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng
học sinh giỏi. Phép nghịch đảo với những
tính chất khác biệt của nó đưa đến hướng
giải quyết mới trong một số lớp bài toán
của hình học.
Để góp phần làm rõ tính ưu việt của
việc sử dụng phép nghịch đảo và giải các

SVTH: Ngô Thị Thủy

5

K34B – SP Toán


bài toán của hình

đảo và ứng dụng của nó trong việc giải bài

học,

toán quỹ tích.


tôi

nghiên

đi

vào

cứu

lý

thuyết phép nghịch
đảo và ứng dụng
của phép nghịch
đảo để giải quyết
các bài toán hình
học.
Trong khuôn
khổ một khóa luận
tốt nghiệp, do thời
gian nghiên cứu có
hạn nên tôi chỉ tập
trung khai thác ứng
dụng

của

phép


nghịch đảo trong
việc giải các bài
toán quỹ tích.
Đó chính là
lý do tôi lựa chọn
đề

tài:

nghịch

"phép
đảo

với

bài toán quỹ tích".
2.Mục đích, nhiệm
vụ nghiên cứu
- Nghiên

cứu

các

kiến thức cơ bản
của phép nghịch

SVTH: Ngô Thị Thủy


6

K34B – SP Toán


- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập tự luyện thể hiện việc sử dụng
phép nghịch đảo vào giải bài toán quỹ tích.
3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo.
- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải
bài toán quỹ tích trong mặt phẳng và không gian.
4.Phương pháp nghiên cứu
-Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham
khảo có liên quan.


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: PHÉP NGHỊCH ĐẢO
1.1. Các định nghĩa
1.1.1. Không gian bảo giác
Không gian En

( n = 1, 2, 3) bổ sung phần tử ∞ (điểm vô cực )
gọi là

không gian bảo giác Bn .
Trong không gian bảo giác Bn mỗi đường thẳng hay mặt phẳng đều đi
qua điểm ∞.
1.1.2. Phép nghịch đảo

Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O cố định và số thực k. Phép
biến hình N : B
→ Bn

sao cho:

M → M'
=N (M)
Nếu M ≡ O thì M'
≡ ∞

thẳng hàng

Nếu M ≡ ∞ thì M'
≡ O
O, M, M'
Nếu M ∉
{O,∞}

thì 
OM.OM ' = k

thì N được gọi là phép nghịch đảo cực O , phương tích k.
Kí hiệu N

k
O

hoặc N (O,k).


Nhận xét:
N (O,k) = Xo° N (O,-k) trong
đó Xo

1.2. Các tính chất
1.2.1. Tính chất 1


là phép đối xứng tâm O.
2

Phép nghịch đảo là biến hình đối hợp : N là phép đồng nhất.
1.2.2. Tính chất 2
Nếu M' là ảnh của M qua N (O,k) thì O, M, M' thẳng hàng.


Nếu M, O, N không thẳng hàng M', N' lần lượt là ảnh của M, N qua
N (O,k) thì tứ giác MM'N'N là tứ giác nội tiếp.
1.2.3. Tính chất 3
Nếu phương tích nghịch đảo k > 0 thì phép nghịch đảo N (O,k) có tập
các điểm bất động là siêu cầu tâm O , bán kính

k ( gọi là siêu cầu nghịch

đảo).
Nếu phương tích nghịch đảo k < 0 thì phép nghịch đảo N (O,k)
không có điểm bất động.
1.3. Các định lý
1.3.1. Định lý 1
Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành

siêu cầu đi qua cực nghịch đảo và biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành
siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong E2 . Việc chứng minh trong E3 hoàn toàn
tương tự.
+) Phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo
thành đường tròn đi qua cực nghịch đảo.
Giả sử trong E2 cho phép nghịch đảo N (O,k) và d là đường thẳng nào
đó không đi qua O.
Hạ OH ⊥ d, H∈d, H' = N (H)
Xét M bất kỳ thuộc d và M' = N (M).
Khi đó OM.OM ' =OH.OH ' = k
⇒ Tứ giác MM'N'H là tứ giác nội tiếp.
ο

⇒ ( H'M', MM') = (H'H, MH) = 90 .
Do OH' cố định ⇒ M' nằm trên đường tròn đường khính OH.


Ngược lại, lấy điểm N' bất kỳ trên đường tròn đường kính OH',
N = N (N') , tương tự như trên ta có :
ο

(N'H', NN') = ( NH, HH') = 90 ⇒ OH ⊥ HN
⇒
N ∈ d Vậy
N (d) = (OH')
+) Do tính chất: Phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp nên phép
nghịch đảo biến đường tròn đi qua cực nghịch đảo thành đường thẳng không
đi qua cực nghịch đảo.

1.3.2. Định lý 2
Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu
cầu không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong

E2 .

Giả sử cho phép nghịch đảo N (O,k) và (C) là đường tròn không đi
qua O. (C) có tâm I, OI cắt (C) tại A,B.
Gọi A', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O,k) và (C')
là đường tròn đường kính A'B'. Ta chứng minh (C') = N [(C)].
+) M ∈ (C), M' = N (M).


Nếu M ≡ A hoặc B thì M' trùng A' hoặc B' tức M' ∈
(A'B'). Nếu M ∉ {A, B} thì ta có tứ giác AMM'A' là
tứ giác nội tiếp.


⇒ A□MO = A□A 'M '
Tứ giác BMM'B' nội tiếp ⇒ A□'B'M ' = B□MM '
Do M ∈ (C) ⇒ A□MB = 90
(1)

ο

tức M' ∈ (C').

+) ∀N' ∈ (C') đều có A, B là ảnh của A', B' qua phép nghịch

đảo N.
⇒ N = N (N') nằm trên đường tròn
đường kính AB. Vậy ∀N' ∈ (C') đều có
N∈(C) sao cho N (N)= N'. (2)
Từ (1) và (2) suy ra (C') = N [(C)].
Hệ quả:
Các siêu cầu có tính chất : Phương tích của cực nghịch đảo đối với nó
bằng phương tích nghịch đảo là hình kép.
1.3.3. Định lý 3
Phép nghịch đảo biến siêu phẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó.
Định lý này được suy ra ngay từ định nghĩa và tính chất.
1.3.4. Định lý 4
Nếu A', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O,k) thì ta có:
AB
A'B' = |k|
OA.OB
Chứng minh:
+) Nếu A, B, O thẳng hàng ta có:
k
OA ' k , OB' =
OA
OB
=
⇒ A'B' = OB' − OA ' =

k

−

k

=k

OA − OB
OA.OB


⇒A'B' = |k|
AB
OA.OB

OB

OA

BA
= |kOA.OB
|


+) Nếu A, B, O không thẳng hàng. Khi đó ta có: ABB'A' là tứ giác
nội tiếp.
⇒∆OAB □ ∆OB'A'
A 'B'
OA '
⇒
=
AB OB
⇒A'B'
OB=


OA '.AB
OA.OA '.AB
AB
k
=
=|
|
OA.OB
OA.OB

Nhận xét:
Nếu qua phép nghịch đảo N (O,k), siêu cầu ( C1 )=( O1 ,R) biến
thành siêu cầu ( C2 )=( O2 ,R) thì:
R2 =|k|
k

R1
2

2

=

OO1 − R1

P

R1
O


( (C )
)
1

Chứng minh:
Gọi AB là đường kính của ( C1 ) mà O ∈ AB và A', B' thứ tự là
ảnh của A, B qua N (O,k).

AB
⇒( C ) = (A'B') và A'B'= k
2
OA.OB
R1
R
1
=
⇒
P
k
R 2= k
(C1)
(OO1 + R) OO1
− R
O

(

)

1.3.5. Định lý 5

Điều kiện cần và đủ để 2 điểm M, N tương ứng với nhau trong phép
nghịch đảo N (O,k), (k > 0) là có n siêu cầu đi qua M, N trực giao với siêu
cầu nghịch đảo.


Chứng minh:
Ta chứng minh trong

E2 :


+) Điều kiện cần :
Giả sử cho phép nghịch đảo N (O,k) (k > 0), (C) là đường tròn
nghịch đảo và M, M' là 2 điểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo
trên. Ta phải chứng minh có hai đường tròn ( C1 ), ( C2 ) trực giao với (C).
Gọi (C') là đường tròn bất kỳ qua M và M'.
OM.OM ' = k ⇒

P

(O (C')) = k ⇒

(C) ⊥ (C')

Do qua M, M' có vô số đường tròn nên có hai đường tròn qua M, M'
trực giao với (C).
+) Điều kiện đủ:
Giả sử có hai đường tròn ( C1 ), ( C2 ) qua M, M' và trực giao với (C).
Khi đó :


P

(O (C ))

(O (C )) = k = P
1

⇒ OM.OM ' = k
2

⇒ O thuộc trục đẳng phương MM' của (C1) và ( C2 ) và
OM.OM ' = k.
⇒M, M' là hai điểm tương ứng với nhau qua phép nghịch
đảo N (O,k). Dễ thấy k > 0 vì O là điểm nằm ngoài hai đường
tròn ( C1 ) và ( C2 ).
1.3.6. Định lý 6
Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong nhưng làm ngược
hướng của hình.
Chứng minh:
Để chứng minh định lý này, trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề:
Cho phép nghịch đảo N (O,k) biến đường cong (C) thành đường cong
(C'). Nếu hai điểm A, A' là hai điểm tương ứng trên (C), (C') và tại đó chúng


có tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực của đoạn
thẳng AA'.


+) Chứng minh bổ đề:

Ta lấy trên (C) và (C')
hai điểm tương ứng M , M' khá
gần A và A' sao cho khoảng cách
OM không bị triệt tiêu khi M tiến
dần tới A. Khi đó bốn điểm A, A',
M, M' luôn thuộc một đường tròn.
Theo hệ thức

k MA
M'A' = OA.OM

thì khi M tiến tới A thì M' tiến dần tới A'. Do đó, các cát tuyến MA, M'A' của
các đường cong (C), (C') đến trùng với các tiếp tuyến At, A't' của chúng ở
A, A'.
Gọi (K) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AA'M'M, ở vị trí A, A' , (K)
lần lượt tiếp xúc với (C) và (C'). Khi đó các tiếp tuyến At, A't' đồng thời là
tiếp tuyến của (K) tại A, A' nên các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua
trung trực của đoạn thẳng AA'.
+) Chứng minh định lý:
Giả sử có hai đường cong
(C) và (S) cắt nhau ở A qua
phép nghịch đảo N (O,k) biến
thành (C') và (S') cắt nhau ở A'
= N (A).
Theo bổ đề trên, các tiếp
tuyến At của (C) và A't' của (C')
đối xứng nhau qua trung trực của AA', các tiếp tuyến Au của (S) và A'u' của
(S') đối xứng nhau qua trung trực của AA'.
Vậy (At,Au) = −(A't',A'u').



1.3.7. Định lý 7
Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực N (O,k) và N '(O,k') là phép vị
k'
tự tâm O, tỉ số
.
k
Chứng minh:
Xét điểm M'
∈ En

( n = 2, 3 ) bất kỳ.

Gọi M' = N (M), M"= N '(M'). Khi đó ta có:
OM.OM ' = k ,

OM '.OM" = k'


k'
k'
⇒  hay M" =
 (M).

k

OM" =
OM V O,

k

 k'

Do M bất kỳ trong không gian En ⇒ N ' ° N = V  O,  .
 k
1.4. Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc
1.4.1. Trong E1
Xét phép nghịch đảo N (O,k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy có
gốc tọa độ trùng với cực của phép nghịch đảo.
M(x,y) là điểm bất kỳ và M'(x',y') là ảnh của M qua phép nghịch đảo
đó. Khi đó, theo định nghĩa ta có:
O, M,
thẳng hàng
M'

OM.OM '
= k


 O, M, thẳng hàng
M'
⇔
OM.OM
' 

=


⇔x.x' + y.y' = k (*)
Công thức (*) xác định tọa độ của điểm M' đối với hệ tọa độ đã chọn.
1.4.2. Trong E3

Xét phép nghịch đảo N (O,k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz có
gốc tọa độ trùng với cực của phép nghịch đảo.
SVTH: Ngô Thị Thủy

20

K34B – SP Toán


Điểm M = (x,y,z) bất kỳ. Ta ký hiệu M' = (x',y',z') là ảnh của M qua
phép nghịch đảo N (O,k). Theo định nghĩa, ta có:

SVTH: Ngô Thị Thủy

21

K34B – SP Toán


O, M, M' thẳng
hàng

OM.OM '= k


O, M, M' thẳng hàng
⇔
OM.OM'  
=



y'
z'
 x'

=
=
⇔
(**)
 x y z

xx '+ yy '+ zz ' = k
Hệ phương trình (**) xác định một phép nghịch đảo trong hệ tọa
Đềcác vuông góc, có cực trùng với gốc tọa độ và phương tích là k (k ≠ 0).


CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
2.1. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) những điểm
có tính chất α cho trước. Quỹ tích này rất đa dạng: có thể là tập rỗng,
tập hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm.
Thông thường, để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo hai bước:
Bước 1 (phần thuận): Chứng minh những điểm có tính chất α
thuộc hình (H).
Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có
tính chất α .
2.2. Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích
Để tìm tập hợp những điểm M có tính chất α ta chọn phép
nghịch đảo
thích hợp biến mỗi điểm M có tính chất α thành điểm M’ có tính chất

α ' và
quỹ tích những điểm M’ phải tìm được dễ dàng. Từ đó suy ra quỹ tích của
những điểm M có tính chất α là ảnh của quỹ tích những điểm M’ có tính
chất

α ' qua phép nghịch đảo đã chọn ở trên. (Do tính chất đối hợp của phép
nghịch đảo).
2.3. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho đường tròn (O). Hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại P
cố định trong vòng tròn. (C) là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A. (C') là
đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A’. Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của
(C) và (C’).
Giải
Cách 1: Dùng phép biến hình.


Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C’), Ax, A’y lần lượt là tiếp
tuyến tại A, A’ của (O).


Xét phép nghịch đảo của N cực P, phương tích

P

( P (O)). Khi đó

ta có: N (P,k) biến (C) thành A’y, (C’)
thành Ax.


N biến giao điểm

⇒

I của (C) và (C’) thành M là giao
điểm của Ax và A’y mà M là cực
của đường thẳng AA’ đối với
đường tròn (O), P ∈AA ' .
⇒ M nằm trên đường

thẳng đối cực p của điểm P đối với
(O).
Suy ra tập hợp điểm I là ảnh của đường thẳng p qua phép nghịch đảo

( P (O)).

cực P, phương tích k = P

+) Xác định quỹ tích I.
Gọi r là bán kính của (O), OP ⊥ p
tại K. Ta có: OP.OK = r

2

(1)

(

OP.OK = OP. OP
+ PK


=

)
P

2

= OP + OP.OK

( P (O) ) + r

(2)
2

OP.PK
Từ (1) và (2) suy ra

+