Khóa luận tốt nghiệp

Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này em đã được sự giúp đỡ nhiệt tình của các
thầy cô, các bạn sinh viên trong khoa. Qua đây em xin chân thành cảm ơn sự
giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ hình học, các thầy cô trong khoa toán,
các thầy cô trong trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các bạn sinh viên, đặc
biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Đinh Văn Thủy – Người
đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận .
Mặc dù có cố gắng song do thời gian hạn chế và khả năng của bản thân
còn nhiều hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy em mong
nhận được sự quan tâm, góp ý, chỉ bảo của các thầy, cô giáo và các bạn để khóa
luận của em hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Phạm Thị Mận

Phạm Thị Mận – k34A - Toán

-1-


Khóa luận tốt nghiệp

Phạm Thị Mận – k34A - Toán

Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình

-2-

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập, ở bậc đại học.
Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô giáo
trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Đinh Văn Thủy.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài : “ Phép đồng dạng với các bài
toán dựng hình ”, không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác.

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Phạm Thị Mận



MỤC LỤC
Nội dung…………………………………………………………............ Trang
Lời cảm ơn………………………………………………………………

1

Lời cam đoan…………………………………………………………….

2

Mục lục…………………………………………………………………..

3


A – Lời nói đầu…………………………………………………………..

4

B – Nội dung…………………………………………………………….

6

Chương I: Cơ sở lý thuyết…………………………………………….

6

1.1. Các kiến thức liên quan………………………………………

6

1.2. Phép biến hình đồng dạng……………………………………

8

1.3. Phép đồng dạng và bài toán dựng hình……………………….

14

Chương II : Ứng dụng…………………………………………………. 16
2.1. Các ví dụ……………………………………………………….

16

2.1.1. Ví dụ 1……………………………………………………


16

2.1.2. Ví dụ 2 …………………………………………………

18

2.1.3. Ví dụ 3……………………………………………………

20

2.1.4. Ví dụ 4……………………………………………………

22

2.1.5. Ví dụ 5……………………………………………………

25

2.2. Bài tập luyện tập……………………………………………….

28

2.2.1. Đề bài…………………………………………………….

28

2.2.2. Hướng dẫn giải…………………………………………..

29


Kết luận…………………………………………………………………

46

Tài liệu tham khảo……………………………………………………….

47



A – LỜI NÓI ĐẦU
Có thể nói rằng, trong chương trình toán phổ thông cũng như trên bậc đại
học, phép biến hình chiếm một vị trí quan trọng. Phép biến hình là một công cụ
đơn giản, nhưng đầy hiệu lực trong việc giải các bài toán hình học sơ cấp như bài
toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán chứng minh,…
Trong các phép biến hình thì không thể không nói tới phép biến hình đồng
dạng, nó chiếm một mảng lớn của toàn bộ phép biến hình.
Đặc biệt khi giải quyết các bài toán dựng hình, nhiều bài toán nếu sử dụng
các phương pháp thông thường nhiều khi gặp khó khăn, phức tạp, nhưng khi ta
chọn phép biến hình đồng dạng vào giải quyết thì bài toán trở lên đơn giản, dễ
dàng. Áp dụng phép đồng dạng vào giải quyết các bài toán dựng hình được xem
là biện pháp khá tối ưu.
Xuất phát từ những lí do trên, và qua quá trình học tập, nghiên cứu, kết hợp
với lòng yêu thích môn hình học mà em đã chọn đề tài : “ Phép đồng dạng với
các bài toán dựng hình ” với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về nội dung này,
và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.
Nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương :




Chương 1 : Cơ sở lý thuyết
Chương này gồm 3 mục nhằm trang bị những kiến thức lý thuyết cơ bản
về phép đồng dạng; bài toán dựng hình và phương pháp áp dụng phép đồng dạng
vào giải bài toán dựng hình.
Các kiến thức liên quan : Bài này nói về mặt phẳng định hướng; góc định hướng
giữa hai tia, hai đường thẳng; đường tròn Aplonius.
1.1 Phép biến hình đồng dạng : Bài này nói về định nghĩa, tính chất, phân loại,
các định lí quan trọng của phép đồng dạng.
1.2 Phép đồng dạng và bài toán dựng hình : Đề xuất bài toán dựng hình và
phương pháp giải nhờ phép đồng dạng.
Chương 2 : Ứng dụng : Gồm hai mục :
2.1 Các ví dụ : Nêu các bài toán có hướng dẫn giải chi tiết.
2.2 Bài tập luyện tập : Nêu loạt bài tập và có gợi ý ở phần sau
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo khoa, các sách tham khảo, các tạp chí toán học và
các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài .

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Phạm Thị Mận



B – NỘI DUNG
CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Các kiến thức liên quan.
1.1.1. Mặt phẳng định hướng
Định nghĩa :
Trong mặt phẳng xét điểm O tùy ý. Xung quanh O có hai chiều quay,nếu ta

chọn chiều cùng chiều quay kim đồng hồ là chiều âm và chiều ngược lại là chiều
dương, thì ta nói rằng mặt phẳng đã được định hướng.
1.1.2. Góc định hướng giữa hai tia
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc Ox, Oy. Góc định hướng
giữa tia đầu Ox, tia cuối Oy, kí hiệu là Ox, Oylà góc thu được khi quay tia
đầu
Ox xung quanh O tới tia cuối Oy.

+

x

-

O
y



b) Nhận xét
Gọi là giá trị đầu của góc định hướng, nghĩa là giá trị của góc định
hướng khi ta quay góc hình học bé nhất.
Khi đó :

Ox;Oy k 2k Z 
c) Hệ thức Chales
Cho các tia OA1, OA2,..., OAn trong mặt phẳng định hướng, ta có hệ thức
Chales như sau :


OA ; OA ;OA  ...
OA
OA
1

2

2

3

 OA ; k 2(k Z )

;
OA

OA
n1

n

1

n

1.1.3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng
a) Trong mặt phẳng định hướng cho hai đường thẳng a và b
TH1 :

a b 0. Khi đó góc định hướng giữa hai đường


thẳng đầu là a
đường thẳng cuối là b, kí hiệu là a, blà góc thu được khi quay đường thẳng
đầu a tới trùng với đường thẳng cuối b.

a

O
b


TH2 : a / /
b

a
b

ta quy ước
k

 a;b

k Z 


b) Nhận xét
Gọi là giá trị đầu thu được khi ta quay a theo góc hình học bé nhất
quanh giao điểm hai đường thẳng a và b tới trùng b thì a;b  .
c) Hệ thức Chales
Trong mặt phẳng định hướng cho các đường thẳng a1,a2,…,an. Khi đó ta có

hệ thức Chales như sau :

a ; a a ; a ... a
 a ; a k
1

2

2

1

3

n1

; an

k Z 

n

d) Đường tròn Aplonius
Cho hai điểm A và B cố định, quỹ tích những điểm M mà
k

MA

 (không


MB

đổi) là đường tròn Aplonius.
1.2.

Phép biến hình đồng dạng

1.2.1. Phép biến hình
Định nghĩa : Phép biến hình của mặt phẳng là song ánh từ mặt phẳng vào
chính nó.
1.1.2. Phép biến hình đồng dạng
a) Định nghĩa
Phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho với mỗi
(trong đó k > 0
M'N'
cặp điểm bất kì M, N và cặp ảnh tương ứng M’, N’ thì
cho trước) được gọi là phép đồng dạng tỉ số k.
b) Tính chất
+) Phép đồng dạng là phép afin.

k
MN


+) Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn của góc phẳng.
+) Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng.


+) Phép đồng dạng biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với
nó.

+) Phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn.
c) Sự xác định của phép đồng dạng trong mặt phẳng
Định lí
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng với nhau theo tỉ
số k, nghĩa là A' B' kAB, B'C' kBC, C ' A' thì khi đó có duy nhất một phép
 kCA

đồng dạng f biến A thành A', B thành B', C thành C'.
Chứng minh
Xét phép vị tự V
k

A

tâm A tỉ số k biến A thành AB mà AB1 = k AB,
BC

C1

1

B1C1 = k.BC, C1A = k CA.
Bởi vậy,

AB1C1 A ' B 'C ' .Gọi g là phép dời hình biến A, B1,C1

lần lượt
thành A ' B ' C ' . Như vậy
, , tích


là phép đồng dạng biến A thành A', B

g0V

k
A

thành B', C thành C'.

B1
B

C1
C
B

A

A

B'

C

C'


Giả sử có hai phép đồng dạng f và h đều biến A thành A ' B thì
BC


phép

h

0

f là đồng dạng biến A
BC

1

nhất e hay

-1

h

0

f = e. Vậy h = f.

'C '
-1

thành chính nó tức là h

0

f là phép đồng



d) Phân loại
Phép đồng dạng Zk trong mặt phẳng được gọi là phép đồng dạng thuận hay
nghịch nếu nó là phép afin loại 1 hay phép afin loại 2 ( tức là hai tam giác xác
định nó là cùng chiều hay ngược chiều ) .
e) Chú ý
+) Phép vị tự V
k

O

là phép đồng dạng thuận tỉ số k .

+) Tất cả các phép dời hình đều là phép đồng dạng Z1 tỉ số k = 1.
+) Phép đảo ngược của phép đồng dạng Zk là phép đồng dạng

Z1 (k 0)
k

+) Tích của hai phép đồng dạng Z k và Zk là phép đồng dạng Zk với tỉ số
2

1

k = k1.k2 .
f) Sự đồng dạng của các hình
+) Định nghĩa :
Nếu hình

H ' là ảnh của hình H qua một phép đồng dạng Zk thì hình H ' là


hình đồng dạng với hình H với tỉ số đồng dạng k .
+) Nhận xét 1:
Nếu hai đa giác A1A2…An và B1B2…Bn có các góc ở đỉnh A1, A2,…,An
bằng

các

A1 A2

A2 A3


An A1


B1B
2

góc

B2
B3

tương

...

ứng


các

đỉnh

B1,B2,…,Bn

đồng

thời

(k được gọi là tỉ số đồng dạng của hai đa giác) thì

k
Bn B1

chúng đồng dạng với nhau.
+) Nhận xét 2:

ở


Trong các hình đồng dạng, các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, các góc tương
ứng bằng nhau.


g) Điểm bất động của phép đồng dạng
Định lý
Mọi phép đồng dạng khác đẳng cự đều có duy nhất một điểm bất động,
người ta gọi điểm bất động này là tâm của phép đồng dạng.
Các cách xác định điểm bất động của phép đồng dạng Zk :

1. Nếu Zk là phép vị tự thì do k

1 nên tâm vị tự chính là điểm bất

duy nhất.
động
2. Nếu Zk không là phép vị tự thì điểm bất động xác định như sau :
+) Giả sử Zk được xác định bởi hai tam giác đồng dạng cùng chiều ABC
và A'B'C' và gọi O là điểm bất động cần tìm thì :
Vì Zk không là phép vị tự nên AB và A'B' không song song. Gọi I =
AB A ' B ' .

B

C'

C

A
B'
A'
O
I



Ta có hai tam giác OAB và O'A'B' đồng dạng và cùng chiều nên
I□AO I□A'O .

Suy ra tứ giác


IOAA ' nội tiếp.

Tương tự tứ giác

IOBB nội tiếp.
'

Vậy O chính là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAA '

IBB ' .

và

+) Giả sử Zk được xác định bởi hai tam giác đồng dạng không cùng chiều
ABC và A'B'C' và O là điểm bất động cần tìm.
Ta có : OA, OB OA ', OB '.OA, OB OA', OB '
Vậy phân giác của góc B□O cắt BB ' và AA ' lần lượt tại P và Q.
B'

Do

PA '

OA '

k ( tính chất đường phân giác )
PA
OA


A

Q

B

O

P

I

A'


B'


QB '

OB '
(tính chất đường phân giác )

QB
k
OB

OA, OB OA ', OB '


A ' AP k

B ' BP k

Suy
ra

Vậy PQ là xác định được .
Nếu gọi I = SPQ(A) thì I thuộc OA ' .
Vậy

O PQ A ' I .

Từ đó ta có cách dựng O như sau
+) Lấy hai cặp điểm tương ứng A, A và B, B '
'

+) Dựng các điểm P, Q thỏa mãn : A ' AP  B ' BQk
+) Dựng I = SPQ(A)
+) Dựng O = PQ
A'
I

thì O là điểm cần dựng.

Vậy trong mọi trường hợp ta đều dựng được điểm bất động của phép đồng dạng.
h) Dạng chính tắc của phép đồng dạng
+) Định lý 1:
Trong mặt phẳng :
1) Tích của một phép vị tự và một phép dời hình là một phép đồng

dạng thuận
2) Tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là một phép
đồng dạng nghịch.