LờI CảM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bớc đầu em làm quen
với việc nghiên cứu khoa học. Trớc sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó
khăn do cha có nhiều kinh nghiệm trong việc tiến hành
nghiên cứu khoa học, em đã nhận đợc sự giúp
đỡ nhiệt tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, các thầy cô
trong tổ Hình học và các bạn sinh viên khoa Toán trờng
ĐHSP Hà Nội 2, em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của
mình.
Do điều kiện thời gian và tính chất của đề tài chắc
chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Em rất mong đợc sự
chỉ bảo đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên để
khóa luận này đợc hoàn thiện hơn. Qua đây em xin gửi lời
cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa đặc biệt là
thầy Nguyễn Năng Tâm đã trực tiếp hớng dẫn em trong việc
hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Bùi Thị Cẩm
Lệ


LờI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học
tập, nghiên cứu của em dới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy
cô giáo đặc biệt là sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn
Năng Tâm.
Em xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: Phép

đối xứng trong En và ứng dụng không có sự trùng lặp với các
khóa luận khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Bùi Thị Cẩm
Lệ


MụC
LụC

Trang

Mở Đầu
Nội dung.....................................................................................................1
Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị....................................................1
1.1............................................................................Cá
c khái niệm về phép biến hình..............................1
1.2............................................................................Ph
ép biến hình đẳng cự..............................................2
Chơng 2: Phép đối xứng trong En............................................3
2.1............................................................................Ph
ép đối xứng qua tâm.................................................3
2.2............................................................................Ph
ép đối xứng qua siêu phẳng....................................4
Chơng 3: Sử dụng phép đối xứng giải các bài toán hình
học..........................................................................................................6
3.1............................................................................Ph
ép đối xứng và bài toán chứng minh.....................6

3.2............................................................................Ph
ép đối xứng và bài toán tính toán.........................13
3.3............................................................................Ph
ép đối xứng và bài toán dựng hình......................17
3.4............................................................................Ph
ép đối xứng và bài toán quỹ tích..........................25
Chơng 4: Một số bài tập ứng dụng.........................................31
Kết luận.....................................................................................................37
Tài liệu tham khảo..............................................................................38


Mở ĐầU
Trong chơng trình toán THPT ở
nớc ta hiện nay, một số phép
biến hình

1.
Lý do
chọn đề tài

đợc đa

vào dạy trong chơng

Phép dời
trong

mặt

hình và


đồng dạng

phẳng (Hình học

11). Từ đó, cung cấp cho học sinh
một phơng tiện để giải quyết
các bài toán hình học một cách
nhanh gọn và hợp lý. Hơn nữa giúp
học sinh thấy đợc ứng dụng của
phép biến hình vào giải lớp các
bài toán: Bài toán chứng minh, Bài
toán tính toán, Bài toán dựng
hình, Bài toán quỹ tích,
Để làm rõ các vấn đề nêu trên,
em xin trình bày trong khóa luận
này một số kiến thức cơ bản về
phép đối xứng và ứng dụng giải
toán trong hình học với đề tài:
Phép đối xứng trong En và ứng
dụng.
2.

Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu hơn về
phép biến hình, đặc
biệt là phép đối xứng.
Làm rõ tính u việt của
4



phép

u

đối
xứng

P

trong

h

giải

é

toán

p

hìn
h

đ

học.

ố

i

3.
Đối
tợng,
phạm
vi
nghiên cứu

x

3.1.

ứ

Đối

n

t

g

ợ

t

n

r


g

o
n

n

g

g
h

E

i

n

ê
n
c
ứ

3.2.

Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán giải bằng phép
đối xứng

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày cơ sở lý thuyết về
phép đối xứng.
5


Đề xuất ph-

c lí luận, các công

ơng pháp vận

cụ toán học. Nghiên

dụng phép đối

cứu sách tham khảo,

xứng để giải

các tài liệu liên quan.

quyết một số

6.

Cấu trúc khóa luận


bài toán hình
học.
Xây dựng
hệ thống
bài tập và
ví dụ minh
họa.
5.
Các
phơng
pháp
nghiên cứu
N
g
h
iê
n
c
ứ
u
s
ử
d
ụ
n
g
c
á
6



Khóa luận gồm 3
phần: Mở đầu
Nội dung gồm 3 chơng:
Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Chơng 2: Phép đối xứng
trong En
Chơng 3: Sử dụng phép đối xứng giải các bài
toán hình học
Chơng 4: Một số bài tập ứng
dụng Kết luận


NộI DUNG
CHƯƠNG 1: KIếN THứC CHUẩN Bị

1.1. Các khái niệm về phép biến hình
1.1.1. Định nghĩa
Mỗi song ánh f: En En đợc gọi là phép biến
hình của không gian En.
1.1.2.

Định lý

Tập hợp tất cả các phép biến hình của En với phép nhân
ánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm các phép biến hình
của En.
1.1.3.

Định nghĩa


Cho phép biến hình f: En En. Ta có các khái
niệm sau:
a.Điểm M En đợc gọi là điểm bất động đối với phép
biến hình f nếu f(M) = M.
b.Hình H En đợc gọi là hình bất biến đối với phép
biến hình f nếu f(H) = H.
c. Hình H En đợc gọi là hình bất động đối với phép
biến hình f nếu mọi điểm của H đều là điểm bất động
đối với f.
1.1.4.

Định nghĩa

Phép biến hình f: En En mà ff = idEn đợc gọi
là phép biến hình đối
hợp.
Ví dụ: Phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâm O trong En là
phép biến hình





biÕn ®iÓm M thµnh ®iÓm M’ sao cho OM ' = −OM ; PhÐp
®èi xøng trôc (PhÐp
®èi xøng qua trôc d lµ phÐp biÕn h×nh biÕn ®iÓm M thµnh
®iÓm M’ sao cho: MM’ vu«ng gãc víi d vµ MM’ c¾t d t¹i trung
®iÓm cña nã),□



1.2. Phép biến hình đẳng cự
1.2.1. Định nghĩa
Phép biến hình f: En En đợc gọi là phép biến
hình đẳng cự của En nếu nó bảo toàn khoảng cách của
hai điểm bất kỳ, tức là:
f là phép biến hình đẳng cự nếu d(M,N) =
d(f(M),f(N))

M,N

En trong đó d(M,N) là khoảng cách của hai điểm
M,N.
1.2.2.

Tính chất

a.Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin.
c.Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc.
d.Phép biến hình đẳng cự biến một siêu cầu của En thành
một siêu cầu có cùng bán kính.
1.2.3.

Định lý

Tập hợp các phép biến hình của En lập thành một nhóm
với phép toán lấy tích ánh xạ và đợc kí hiệu là Isom(En).


CHƯƠNG 2: PHéP ĐốI XứNG TRONG En

2.1. Phép đối xứng qua tâm
2.1.1. Định nghĩa
Trong không gian En cho một điểm O. Phép biến hình
của không gian




cho ứng điểm M với điểm M OM ' =
OM
sao cho

gọi là phép đối
xứng qua

tâm O và đợc kí hiệu là ĐO. Điểm O gọi là tâm đối xứng.
Phép đối xứng qua tâm hoàn toàn đợc xác định khi biết
tâm đối xứng.
2.1.2.
a.

Tính chất

Phép đối xứng tâm là phép biến hình đẳng cự

nên nó có đầy đủ các tính chất của phép đẳng cự, đối
hợp, có điểm bất động duy nhất là O.
Chứng minh
+ Gọi M = ĐO(M), N = ĐO(N)
Ta

có:




M ' N ' = ON ' OM ' = ON + OM = NM
d(M ', N ') = NM

= d(N, M) = d(M, N) d(M ', N ') = d(M, N)

Mà NM

Phép đối xứng qua tâm là phép biến

hình đẳng cự.
+ Gọi M = ĐO(M) ĐO(ĐO(M)) = ĐO(M) = M =
id(M)
Phép đối xứng qua tâm là phép biến

hình đối hợp.
+ ĐO(O) = O O là điểm bất động của ĐO


Giả sử M là điểm bất động của ĐO ĐO(M)
= M OM = OM

M




O

suy ra

Vậy O là điểm bất động duy nhất của ĐO.
b.

Phép đối xứng tâm biến mọi đờng thẳng, mặt

phẳng qua O thành chính nó, biến một vecto thành vecto
đối của nó.
Chứng minh
+ Gọi d là đờng thẳng qua O. Lấy điểm M d, khi đó
ta có:


ĐO(M) = M , ĐO(O) = O ĐO(d) = d và d là đờng
thẳng qua M và O. Do M d nên d d.
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua O. Xét hai đờng thẳng d và d
nằm trong (P) và
cắt nhau tại O. Khi đó ĐO biến d thành d, biến d thành d
nên (P) cũng biến thành (P) qua ĐO.




+ Xét MN . Ta có : ĐO(M) = M, ĐO(N) OM ' = OM , ON '
= ON
= N






M ' N ' = ON ' OM ' = ON + OM = NM
= MN

c.Phép đối xứng tâm bảo toàn phơng của mọi đờng thẳng,
mặt phẳng.
Chứng minh
+Giả sử ĐO(d) = d và M, N d, ĐO(M) =
M, ĐO(N) = N



M'N'
= MN

d cùng phơng d

+ Do ĐO bảo toàn phơng của đờng thẳng nên nó bảo
toàn phơng của mặt phẳng.
2.2. Phép đối xứng qua siêu phẳng
2.2.1. Định nghĩa
Trong En cho siêu phẳng . Phép biến hình của không
gian cho ứng mỗi
điểm M với điểm M xác định nh sau:
a.

MM vuông góc với siêu phẳng


b.

MM cắt tại O là trung điểm của nó

gọi là phép đối xứng qua siêu phẳng , phép
đối xứng này kí hiệu là Đ Siêu phẳng đợc gọi
là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng.


2.2.2.
a.

TÝnh chÊt

PhÐp ®èi xøng qua siªu ph¼ng lµ mét phÐp biÕn

h×nh ®¼ng cù nªn nã cã ®Çy ®ñ tÝnh chÊt cña phÐp
®¼ng cù.
Chøng minh
Gäi M, N lµ hai ®iÓm bÊt k× trong En. XÐt phÐp ®èi xøng
qua siªu ph¼ng α


Đ : M M
N N



Gọi I, J lần lợt là trung điểm của MM,

NN thì



MM ' IJ,
NN ' IJ

ta
có:

2 2

MN = MI + IJ + JN =
+ 2MI.JN
2
2
MN
MI + IJ + JN

2

2 2
M ' N ' = M ' I + IJ
+
2M
' I.JN '
= M 2 + JN '
+ JN ' M ' N '
+
IJ

'I
2


2
2


d(M,
N)
MN
Vậ
=
=
y

=
+ IJ + JN + 2(MI).(JN)
MI
M ' N ' = d(M ', N ')

Phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến

hình đẳng cự.
b.

Đ là phép đối hợp.
Chứng minh

Gọi M = Đ(M) ta có: Đ(Đ(M)) = Đ(M) = M = id(M)

Đ là phép đối hợp

c. là quỹ tích điểm bất động của Đ.


CHƯƠNG 3: Sử DụNG PHéP ĐốI XứNG
GIảI CáC BàI TOáN HìNH HọC

3.1. Phép đối xứng và bài toán chứng minh
3.1.1. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các loại bài
toán hình học khác: các bài toán tính toán, bài toán dựng
hình, bài toán quỹ tích.
Đó là bài toán cần chứng minh mệnh đề A B
với A là giả thiết, B là
kết luận. Ta đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những
suy luận hợp lôgic trên cơ sở các định nghĩa, định lý.
3.1.2.

Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minh
Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đ-

ờng đã cho trong giả thiết A với các điểm hay các đờng
trong kết luận B thông qua phép đối xứng thì nhờ tính
chất đẳng cự của phép đối xứng, ta nhận đợc các kết quả
về tính đồng quy, thẳng hàng, quan hệ song song, quan
hệ vuông góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng
nhau, các tam giác, các đờng tròn bằng nhau Từ đó ta sẽ
dễ dàng giải quyết đợc bài toán chứng minh.
3.1.3.


Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng
Nếu mệnh đề A B đã đợc khẳng định nhờ

sử dụng phép đối xứng thì ta có thể sử dụng phép đối
xứng xét mệnh đề đảo B A, xét các trờng hợp
đặc biệt hóa, khái quát hóa, tơng tự hóa của mệnh đề này
ta sẽ đợc bài toán mới.


3.1.4.

Một số

ví dụ Ví dụ
3.1.4.1:
Cho hình bình hành ABCD và đờng tròn (C) bàng tiếp
ABD, tiếp xúc với phần kéo dài của AB và AD tơng ứng tại
các điểm M và N. Đoạn thẳng


MN cắt BC và DC tơng ứng tại các điểm P và Q. Chứng
minh rằng đờng tròn nội tiếp BCD tiếp xúc với các cạnh BC
và DC tại P và Q.
Giải:

A

Gọi (O) là đờng tròn nội tiếp ABD
lần lợt tiếp xúc với AB tại M,


M'

với AD tại N, và BD tại H.

B

H

N'

I

K là tiếp điểm của (C) với BD

D

K

I là trung điểm của BD.
Ta có:

M

MM ' = NN '

Q

P





MM ' = BH + BK = 2BH
+ HK

NN ' = DK + DH = 2DK
+ HK

N

C

BH = DK

Ta có: ĐI : B D
D B
H K



ABD

CDB A C

Do AMN cân tại A và DQ// AM nên DQN cân tại D
DQ = DN = DK = BH = BM
Q = ĐI(M)

Tơng tự ta có: P = ĐI(N)

Ta có ĐI : (O) (O) nội tiếp CDB và đi qua 3 điểm K, Q, P.
Do M, N, H lần lợt là tiếp điểm của (O) với AB, AD, BC nên
Q, P, K lần lợt là tiếp điểm của (O) với CD, BC, BD.


Ví dụ 3.1.4.2:
Trong không gian E3 chứng minh rằng mỗi mặt phẳng đi
qua trung điểm của một cạnh của tứ diện và vuông góc với
cạnh đối diện thì giao nhau tại một
điểm ( điểm đó đợc gọi là điểm Monge).
Giải:
Gọi tứ diện đã cho là ABCD và I, J, G

A

lần lợt là trung điểm của AB, CD, IJ
G là trọng tâm của tứ diện ABCD

I
Gọi (O) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ĐG : O O
I J

O

G

Xét phép đối xứng qua tâm G ta có:


D

B
O'
J

IOJO là hình bình hành IO// OJ (1)

Do O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
nên có OA=OB=OC=OD

C

DOC cân tại O
OJ CD

(2) Từ (1) và (2) IO
CD
Xét mặt phẳng () qua I và vuông góc với CD mà IO
CD
IO () () qua O

Tơng tự ta có 5 mặt phẳng còn lại thỏa mãn yêu cầu đề
bài cũng đi qua điểm O. Vậy 6 mặt phẳng thỏa mãn
yêu cầu đề bài đều đi qua O = ĐG(O) đpcm.
Ví dụ 3.1.4.3:

19



Cho ∆ABC víi trùc t©m H. Chøng minh r»ng c¸c
®iÓm ®èi xøng cña H qua c¸c c¹nh cña tam gi¸c n»m
trªn ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC, c¸c ®êng trßn ngo¹i
tiÕp c¸c ∆BCH, ∆CAH, ∆ABH, ∆ABC ®Òu b»ng nhau.

20


Giải:
a.Gọi H1 = ĐBC(H), H2 = ĐAC(H), H3 =
ĐAB(H) Gọi (O) là đờng tròn ngoại
tiếp ABC,
M = AH BC, N = BH AC, P = CH AB
Ta có tứ giác APHN nội tiếp (AH)
A

H2
N

P

H3

H

C

M
H1
A + PHN = 180




Lại
có

PHN =
BHC

(đối đỉnh)

B

(1)

(2)

Mặt khác theo tính chất bảo toàn góc
của ĐBC ta có:

BHC =
BH C
1

Từ (1), (2), (3) A + BH1C = 180 Tứ
giác ABH1C nội tiếp Mà A, B, C (O) nên H1
(O)
Chứng minh tơng tự ta cũng có H2, H3 (O).
b. Ta có


ĐBC : H H1

BHC BH1C qua ĐBC
(BHC) = (BH1C) (O) (BHC) = (O)

(3)


T¬ng tù ta cã §AB : ∆AHB  ∆AH3B
§AC : ∆AHC 
∆AH2C Do ®ã (AHB) = (O),
(AHC) = (O)
Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.


Khai thác sâu bài toán
Từ bài toán trên ta có kết quả sau:
Nếu gọi O1, O2, O3 lần lợt là tâm đờng tròn ngoại
tiếp BHC, AHC,
AHB thì H là tâm đờng tròn ngoại tiếp O1O2O3, từ
đó ta có đờng tròn ngoại tiếp O1O2O3 bằng đờng
tròn (O). Do đó ta có thể mở rộng bài toán trên thành
bài toán sau:
Bài toán: Cho H là trực tâm ABC nội tiếp đờng
tròn tâm O. Gọi O1, O2, O3 lần lợt là tâm đờng tròn
ngoại tiếp BHC, AHC, AHB. Chứng minh rằng đờng
tròn ngoại tiếp O1O2O3 bằng đờng tròn (O).
Giải
Do H(O1), H(O2), H(O3) và bán kính các đờng
tròn (O1),(O2), (O3) đều bằng (O) nên HO1 = HO2 = HO3 = R

H là tâm đờng tròn ngoại tiếp O1O2O3
đpcm.

Ví dụ 3.1.4.4:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm
O và SO vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lợt là trung điểm
của các cạnh SA, SC. Trên BM
DK

và DN ta lần lợt lấy hai điểm H và K sao =
. Gọi I là trung
cho
điểm
BH
BM

DN

S
của HK. Chứng minh ba điểm S, I, O thẳng
hàng.

Giải:
N
M
H
B

I


K

O
D


C

A


Xét phép đối xứng ĐSO qua đờng
thẳng SO
ĐSO : A C

=
DK

B D
BM =
BH
DN mà
BM

BH = DK

DN

M N
Giả sử H = ĐSO(H) cần chứng minh H K

Do H nằm giữa B và M nên H nằm giữa D và N và ta
có BH = DH Suy ra H K hay K = ĐSO(H)
Vậy H, K là hai điểm tơng ứng của nhau qua phép đối xứng
ĐSO nên trung
điểm I của HK phải thuộc SO S, I, O thẳng hàng.
Ví dụ 3.1.4.5:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau và không vuông
góc với nhau.
Gọi (R) là ảnh của (Q) qua phép đối xứng
Đ(P). Chứng minh rằng: Đ(P) Đ(Q) Đ(P) = Đ(R).
Giải:
Đặt Đ = Đ(P) Đ(Q) Đ(P.
Theo giả thiết : Đ(P): (Q)
(R) Ta có:
Với M bất kì thuộc (R) ta có: Đ(P): M M
Đ(Q): M M
Đ(P): M M
Đ(M) = M

Vậy (R) là mặt phẳng bất động của phép biến đổi Đ.
Với M không thuộc (R) ta có: