TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
****************

TRẦN THỊ THOA

PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG En
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
****************

TRẦN THỊ THOA

PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG En
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS NGHUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI - 2012


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân đặc biệt là sự

hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm đã giúp đỡ em trong
suốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành khóa luận.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, lòng biết ơn chân thành nhất đến
thầy Nguyễn Năng Tâm, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý kiến của các
thầy, cô giáo trong tổ hình học và các thầy, cô giáo trong khoa Toán đã giúp
đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do điều kiện thời gian và kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế nên
khóa luận không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong các thầy, cô cùng các bạn
đọc nhận xét và góp ý kiến để em rút được kinh nghiệm và có hướng hoàn
thiện, phát triển khóa luận sau này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Trần Thị Thoa


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan bản khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm
hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Năng
Tâm cũng như các thầy, cô giáo trong tổ hình học của khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2.
Bản khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu trùng
em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên

Trần Thị Thoa


Mục lục
Trang

Phần mở đầu…………………………………………………………………1
Phần nội dung………………………………………………………………..1
Chương 1: Phép dời hình trong E n ………………………………………

1

1. Sơ lược về phép biến hình và phép biến hình afin…...………………..1
2. Đại cương về phép dời hình …………………………………………..2
Chương 2: Ứng dụng phép dời hình vào giải một số lớp bài toán trong E

n

1. Ứng dụng phép dời hình để giải bài toán chứng minh trong hình
học……………………………………………………………………10
2. Ứng dụng phép dời hình để giải bài toán quỹ tích trong hình học…...20
3. Ứng dụng phép dời hình để giải bài toán dựng hình trong hình
học……………………………………………………………………27
4. Ứng dụng phép dời hình để giải bài toán tính toán trong hình học….38
Kết luận …………………………………………………………………...45
Tài liệu tham khảo……………………………………………………….. .46


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình hình học ở bậc trung học học sinh đã được biết đến các
phép biến hình và việc vận dụng nó như là một công cụ để giải một số lớp các
bài toán hình học một cách nhanh gọn và hợp lý. Trong nhiều trường hợp
phép biến hình là một công cụ hữu hiệu để giải lớp các bài toán như: bài toán
quỹ tích, bài toán tính toán… Tuy nhiên việc giải các bài tập bằng phương
pháp biến hình không phải là dễ dàng. Để khắc phục và làm sáng tỏ thêm

phần nào đó về việc giải toán bằng phương pháp biến hình nói chung và của
phép dời hình nói riêng nên em đã chọn đề tài “Phép dời hình và ứng dụng
của nó trong E n ”.

2. Nhiệm vụ nghiên cứu
2.1 Trình bày cơ sở lý thuyết về phép dời hình.
2.2 Đề xuất phương pháp vận dụng phép dời hình để giải quyết một số
dạng bài toán hình học.
2.3 Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập.
3. Các phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu sử dụng lý luận, công cụ toán học.
- Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu có liên quan.

1


Chương 1
n

Phép dời hình trong E

1. Sơ lược về phép biến hình và phép biến hình afin
1.1. Phép biến hình
- Giả sử K là một tập khác rỗng. K sẽ được gọi là một không gian, các
phần tử của K gọi là một điểm, một phần tử khác rỗng của K được gọi là
một hình.
- Giả sử K là một không gian, song ánh f : K
được gọi là một phép

K

biến hình của không gian K.
- Phép biến hình f của không gian K được gọi là phép biến hình đối hợp
nếu f 2 là đồng nhất.
- Giả sử f là phép biến hình của không gian K , điểm M
K

được gọi là

điểm bất động đối với f nếu f M M .
 
Hình H của không gian K được gọi là hình kép đối với f nếu

f H

H ,
hình H được gọi là hình bất động nếu với mọi điểm của H đều bất động.


1.2. Phép biến hình afin
-

Định nghĩa: Phép biến hình của không gian E

n

biến đường thẳng thành

đường thẳng được gọi là phép biến hình afin.
-


n

Định lý: Phép biến hình f của không gian E là phép biến hình afin khi

và chỉ khi nó biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và ba điểm
không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.

2. Đại cương về phép dời hình
2.1. Định nghĩa
-

n

Phép biến hình của không gian E bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tùy

ý được gọi là phép dời hình.
-

Trong không gian E

n

hai hình được gọi là bằng nhau nếu tồn tại một phép

dời hình biến một trong hai hình thành hình còn lại.

2.2. Tính chất
a, Phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo
tồn thứ tự các điểm đó.
Chứng minh:

Giả sử qua phép dời hình

f , cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C khi

đó điểm A thành A điểm B thành B điểm C thành C thì ta có
,
,
AB
AB,

BC
BC,

CACA. Vì
C

B
nằm
nên

giữa

A

và


AB BC AC. Từ đó
suy ra


ABBC Như vậy ba điểm A, B,C
AC.

thẳng hàng và điểm B nằm giữa A và C.
b, Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng.
Chứng minh:
Cho đường thẳng d trong không gian K đi qua hai điểm
đường thẳng trong K đi qua
ảnh

A,
B của

A,
B.

A, B và gọi d  là

Nếu M thuộc d thì ảnh

M  của nó thuộc d  và nếu M  thuộc d  thì theo tính chất a, tạo ảnh của nó
thuộc d , tức
là

f  d d .

c, Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.
Chứng minh:
Cho hai phép dời hình f và g. Ta xét tính chất của phép biến hình g  f .
Giả sử A, B là hai điểm bất kì và ta

có

f A  g A f B 
A,
A ,
B,

g  B  B . Vìf
phép dời hình nên ta có
và
AB
AB .

và g đều là
AB AB

Như vậy phép biến hình g  f đã biến điểm A thành điểm A,

biến điểm B thành điểm B thỏa mãn điều kiện AB 
AB.
hai phép dời hình g  f

Do đó tích của

là một phép dời hình vì nó là một phép biến hình có

tính chất bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì A, B của mặt phẳng.
d, Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp.
Chứng minh:



Giả sử

g  h  
f

g, h, f

đều là các phép dời hình, ta cần chứng minh

g   h  Thật vậy giả sử f biến M thành M
,
f .

thành M  và g biến M  thành M . Ta có g 
h
M  thành M  và do đó
f
M thành M  và

g  h  

h biến M 

là một phép dời hình biến

biến M thành M . Mặt khác h 
f

g   h  f biến M

thành

biến

M .

Vậy g  h   g  h 
 vì cả hai đều biến điểm M thành điểm M  với
f
f
mọi điểm M bất kì trong mặt phẳng.
e, Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm đối với phép nhân ánh xạ.


Chứng minh:
Do tích các phép dời hình là phép dời hình. Như vậy tập hợp các phép dời
hình đóng kín với phép toán đã cho. Mặt khác ta thấy rằng tập hợp các phép
dời hình có tính chất kết hợp. Hơn nữa trong tập hợp các phép dời hình có
phần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất và bất cứ phép dời hình nào cũng
có phép dời hình đảo ngược của nó.
Nếu gọi f là một phép dời hình bất kì,

f

là phép dời hình đảo ngược của

1

nó, e là phép đồng nhất ta luôn luôn có
1

f  f e
Vậy tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm gọi là nhóm các phép
dời hình.
f, Phép dời hình chính là một phép biến hình afin.
Chứng minh:
Giả sử f là một phép dời hình ta phải chứng minh
f : A, B,C A, B,C
Nếu
A,

B, C thẳng hàng thì
AB BC AC
ABBCAC

Giả sử AC lớn nhất thì AC AB BC
Giả sử AClớn nhất thì ACABBC
Tức là

A B C không thẳng hàng do đó A, B, C không thẳng hàng.
, ,

g, Phép dời hình bảo tồn độ lớn của góc phẳng


Chứng minh:
Giả sử

x□Oy là góc trong không gian và f là phép biến hình đã cho,
đặt


Ox f
Oy f Oy .

 Ox  , 
Lấy điểm A trên OxA
O ta có

f

A

khác O. Tương tự lấy B

A Ox

trên Oy B

f

O ta có

B BOykhác O.

Hai tam giác OAB và OAB bằng nhau do ba cạnh tương ứng bằng nhau.
Vậy x□Oy x□Oy.
h, Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính và trong
không gian

3


E biến mặt cầu thành mặt cầu.

Chứng minh:
Giả sử f là phép dời hình,  là đường tròn tâm O bán kính R .
Gọi O


f  O và gọi là đường tròn tâm Obán kính R .

- Lấy M




đặt M  f  M
 

ta có OM

f OM

R. Vậy M
     .


- Lấy

N   tồn tại N
sao cho


f N N  vì ON
ON  R
2

nên N
 

.

Phép chứng minh trên được xét trong E phép dời hình biến đường tròn thành
đường tròn.

2.3. Định lý về sự xác định phép dời hình
Trong mặt phẳng cho hai tam giác bằng nhau: ABC và ABC tồn tại duy
,
nhất một phép dời hình của mặt phẳng lần lượt biến các điểm A, B, C thành
các điểm A B C.
, ,
Chứng minh:

       
Cho hai tam giác □ ABC và □ ABCcó CA a, CB  CA CBb
 
b,
a,
.
a a

 
Do đó  b

   

 
 

 a,b
a,b







Với mỗi điểm M trong mặt phẳng ta có CM m1 a m2 b





Cho tương ứng với M được xác định CM m
a2 m b
1
Với mỗi M ứng với bộ  m1 , m2 duy nhất nếu điểm M
,

bộ số  m1 , m2

 n , n  cũng phân biệt.
1


;

Vậy các điểm

N phân biệt thì hai

2

N  cũng phân biệt.

M
,




Với mỗi điểm M mà CM m
am
bsẽ M . Ứng với bộ  m1 , m2 
1
2
có điểm
là tạo ảnh. Suy ra f là song ánh. Giả sử M và N là các điểm ứng với hai bộ
số  m1 , m2

;

 n , n .
1


2




Khi đó MN  n1 m1  a n2 m2  b



 1 m
 1 an2 m2 b
M Nn
Bình phương vô hướng
MN M N
2

2

f là phép dời hình.
Dễ thấy f :
A,

B, C  A, B, C

Giả sử có phép dời hình g : A, B, C  A, B, C với mỗi M ứng với bộ số

m , m 
1


và

2

g  M  thì do tính chất bảo toàn tổng hai vectơ, bảo toàn tỉ
M*

số đơn ta có: CM 
*


f CM





f  m a m b 


1

2


m1 am2 b

CM 

Do đó M 

M
*

Trong không gian cho hai tứ diện và bằng nhau. Tồn tại duy nhất một phép
dời hình của không gian lần lượt biến các điểm thành các điểm.

2.4. Một số phép dời hình cụ thể

a, Phép tịnh tiến theo một vectơ v, được kí hiệu là Tv là phép dời hình của
không gian E
tịnh tiến

n

 
Phép
biến mỗi điểm M thành điểm M  sao cho MM
 v.

là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời

hình. Ngoài ra, phép tịnh tiến Tv biến một đường thẳng khác phương với v


Tv

thành một đường thẳng song song với đường thẳng đó và giữ bất biến các

đường thẳng cùng phương với v.
Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến, hơn nữa T T T  .

v
w
vw
b, Phép đối xứng trục được kí hiệu là Đlà dời hình của không
gian E

n

biến mỗi điểm M thành điểm M  đối xứng với điểm M qua đường thẳng
.
Phép đối xứng trục Đ là một phép dời hình nên nó có đầy đủ tính chất
của phép dời hình, ngoài ra Đ biến một đường thẳng d cắt thành
một đường
thẳng d  đi qua giao điểm của d với . Tập các điểm bất động qua Đ
là
đường thẳng . Hình

H 

được gọi là có trục đối xứng nếu nó bất
biến


qua Đ .

c, Phép đối xứng
tâm

n


A, kí hiệu là
ĐA

là phép dời hình của không gian E

biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua A. Phép đối xứng
tâm là một phép dời hình nên nó có các tính chất của phép dời hình, ngoài ra
phép đối xứng tâm biến một đường thẳng không đi qua tâm thành đường
thẳng song song với đường thẳng đó và giữ bất biến các đường thẳng đi qua
tâm. Phép đối xứng tâm ĐA có duy nhất một điểm bất động là A. Hình  H
được gọi là có tâm đối xứng A nếu ĐA



giữ bất biến hình  H .

d , Cho điểm O và góc lượng giác . Phép quay tâm O
góc ,

kí hiệu là

QO , là phép dời hình của không gian En biến O thành O và biến điểm M


khác O thành M  sao cho OM 
OM

và góc lượng giác OM ,OM 

.


Phép quay là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời
hình, ngoài ra phép quay QO ,biến đường thẳng thành
đường thẳng

thỏa mãn 
/ k .
min2k
với một góc


tạo


e,

Phép đối xứng qua siêu phẳng

Cho siêu phẳng . Phép đối xứng qua siêu
phẳng



kí hiệu là Slà
phép

n

dời hình của không gian E biến mỗi điểm M thành M  được xác định: kẻ




tại O sao cho OM 
cắt
qua M đường thẳng vuông góc với

 OM .
f , Phép quay quanh  n
 2
f1 ,

phẳng

Phép quay quanh điểm trong E 2 Trong mặt phẳng E 2 cho O và góc
:

định hướng , phép dời hình biến mỗi điểm M thành M  được xác định
như sau:
+ Nếu M  thì M O
O
+ Nếu
M



O thì OM OM

Với OM ,OM 





được gọi là phép quay tâm O với góc quay . Kí hiệu
là



Q O.

Phép quay quanh trục trong E : Cho trục d và góc định hướng .
f2 ,
Phép
3

quay quanh trục trong



3

E kí hiệu Qd là phép dời hình biến mỗi điểm M

thành M  được xác định như sau:
Qua M dựng mặt phẳng


 

vuông góc với trục d cắt d tại O. Mặt phẳng
được định

hướng theo
trục
10

 Chiều   


của



được xem là chiều

cùng chiều với chiều  của không gian. Khi đó M
 chính là

11


M Q
M
O

.


Chương 2
Ứng dụng phép dời hình vào giải một số lớp bài
n


toán trong E

1. Ứng dụng của phép dời hình để giải bài toán
chứng minh trong hình học
1.

Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A
B

là đúng, trong

đó A được gọi là giả thiết, B được gọi là kết luận của bài toán.
Để giải bài toán chứng minh thông thường ta xuất phát từ giả thiết hay mệnh
đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ và suy diễn logic, dựa trên các định
nghĩa, tính chất của các hình để dẫn đến kết luận.

2.

Giải bài toán chứng minh nhờ vào phép dời hình

Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường trong giả thiết
A với các điểm, các đường trong kết luận B thông qua một phép dời hình
hay một tích các phép dời hình nào đó để nhờ những tính chất được bảo toàn
qua các phép dời hình ta có thể nhận được các kết quả về: tính đồng quy hay
thẳng hàng, quan hệ song song, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau
giúp suy ra được điều cần chứng minh.


3.


Các ví dụ

a, Ví dụ 1
Chứng minh rằng tam giác có hai phân giác trong bằng nhau là một tam
giác cân.
Lời giải:

Cho tam giác □AB
C
trường hợp sau:
TH1: □A
C□
2

1

Xét hai tam giác □
ACF

có hai phân giác trong AE và CF bằng nhau. Xét các

CF AE

và □ AEC có AC chung AF>CE *

C□ □A

 2 1


Gọi K là ảnh của F qua phép tịnh tiến theo vectơ AE
Ta có:
T : F K CF
 AE FK KFC□
AE

cân tại F



F□KC
F□CK

 K C□ C□
□

hay
K□
1

2

□A
□A

1
2
2
3 (
K□

C□  K□
C□
1

Mà theo giả sử có
C□
2

2

3

do AEKF là hình bình hành)

1

 
C□
□ K□
A
1

2

3

Suy ra trong tam giác KEC thì CE KF (AF) . Điều này mâu thuẫn
với *
Vậy không thể có
C□


□A .
2

1

TH 2 C□ □A
:
2

1

Tương tự như trên ta cũng có mâu thuẫn với giả thiết nên không thể có
□A
C2□ 
1
C□
□A hay □ ABC


□

Vậy
C□
2

A

cân đỉnh B .


1

b, Ví dụ 2
Cho tam giác □
ABC

với trực tâm H .

Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam

HAB, HBC, HAC có

giác bán kính bằng nhau.

O1 O2 O3 là tâm các đường tròn trên. Chứng minh đường tròn qua
Gọi ,
,
O1 , O O3 bằng đường tròn qua ba điểm A, B, C .
2
,
Lời giải:


 Gọi O và R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp □ ABC

Gọi H1 ĐBC H  . Ta chứng H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp □ ABC
minh
Ta có:

ĐBC □ HBC □ H1BC


Bán kính đường tròn

ngoại tiếp
tiếp □
H1BC

□
HBC

bằng bán kính đường tròn ngoại

và bằng R .

Tương tự ta chứng minh được: Bán kính đường tròn ngoại tiếp
R và bán kính đường tròn ngoại tiếp □
HAB
 Ta có O

và
qua BC .
Nếu gọi I
,

bằng

bằng R .
đối xứng với nhau

O1 đối xứng với nhau qua AB , O và

O2
J

□
HAC

lần lượt là trung điểm của

AB , BC


 
O1O2 AC
O1O2 2IJ
 AC

thì ta có:


Tương tự ta chứng minh được O2O3  và O O BC .
3
1
AB
Vậy hai tam giác

O2 ,

□AB
C


và
□O1O2O3

bằng nhau. Do đó đường tròn qua O1 ,

O3 bằng đường tròn.

c, Ví dụ 3
Cho hai tam giác vuông cân OAB và OAB có chung đỉnh O sao cho O
nằm trên đoạn AB và nằm ngoài đoạn AB . Gọi G và G lần lượt là trọng
tâm của tam giác OAA và OBB. Chứng minh tam giác OGG là tam giác
vuông cân.
Lời giải:


Qua phép quay Q O;90 thì:





A

B A

B
□OAAbiến thành □OBB .
G biến thành G.
OG OG và
G□OG90 Do đó □OGG



vuông cân tại O d, Ví dụ 4
Cho một hình hộp  H

H


. Chứng minh rằng giao điểm của các đường chéo của

là tâm đối xứng của nó.

Lời giải


Giả sử hình hộp đã cho là ABCDABCD và O là giao điểm của các đường
chéo của nó.
Theo tính chất của hình hộp ta có:
ĐO : A  C
B  D
C  A
D  B
Vì vậy

ĐO : ABCD ABCD

Tương tự như vậy với các mặt bên
ABBA,
chuyển thành CDDC


,



 BCCB,
CDDC,

…được

 DAAD ABBA ,...


Suy ra: ảnh của một điểm thuộc hình hộp  H qua phép đối xứng tâm O



( O là giao điểm của các đường chéo của hình hộp  H
thuộc hình hộp  H

.

) là một điểm