TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ
N®I 2 KHOA TOÁN

TRAN TH± THU

PHÉP CHIEU TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưèi hưéng dan
khoa hoc TS.
TRAN VĂN BANG

Hà N®i - 2012


LèI CÃM ƠN
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang Ngưòi thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành
bài khoá lu¾n cúa mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay
cô trong to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho em hoàn
thành tot bài khoá lu¾n này.
Trong khuôn kho có han cúa m®t bài khoá lu¾n, do đieu ki¾n thòi
gian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc
cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì v¾y,
em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa các thay cô và các ban.
Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, tháng 05 năm 2012.
Sinh viên

Tran Th% Thu


LèI CAM ĐOAN
Khoá lu¾n này là ket quá cúa bán thân em trong quá trình hoc t¾p
và nghiên cúu. Bên canh đó em đưoc sn quan tâm cúa các thay cô giáo
trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cúa TS. Tran
Văn Bang.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khoá lu¾n này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cúa đe tài
“Phép chieu trong không gian Hilbert” không có sn trùng l¾p vói ket quá
cúa các đe tài khác.

Hà N®i, tháng 05 năm 2012.
Sinh viên

Tran Th% Thu


Mnc lnc
Mé đau......................................................................................................1
Chương 1. Kien thNc mé đau.....................................................3
1.1. Không gian Banach........................................................................3
1.2. Không gian Hilbert........................................................................7
Chương 2. Phép chieu trong không gian Hilbert........10
2.1. Phép chieu lên t¾p loi đóng.......................................................10
2.2. Đ%nh lí Stampacchia và Lax-milgram.......................................20
2.3. Tong Hilbert, cơ só trnc giao......................................................24

Ket lu¾n...............................................................................................29
Tài li¾u tham kháo........................................................................30


Me ĐAU

1. Lý do chon đe tài.
Trong toán hoc, không gian Hilbert là m®t dang tong quát hóa cúa
không gian Euclid mà không b% giói han ve van đe huu han chieu. Các
không gian Hilbert đưoc đ¾t tên theo David Hilbert, ngưòi nghiên cúu
chúng đe phnc vn cho vi¾c nghiên cúu phương trình tích phân. Đó là
m®t không gian có tích vô hưóng, nghĩa là trong đó có khái ni¾m ve
khoáng cách và góc (đ¾c bi¾t là khái ni¾m trnc giao hay vuông góc).
Tính chat này là can thiet khi nghiên cúu, sú dnng giói han dãy. Các
không gian Hilbert cho phép sú dnng trnc giác hình hoc vào m®t so
không gian hàm vô han chieu.
Neu S là m®t t¾p con cúa không gian Hilbert H, ta đ%nh nghĩa t¾p các
vectơ
trnc giao vói S là
S⊥ = {x ∈ H : (x, s) = 0, ∀s ∈ S}.
S⊥ là m®t không gian con đóng cúa H và do đó là m®t không gian
Hilbert. Neu V là m®t không gian con đóng cúa H, thì V ⊥ đưoc goi là
phan bù trnc giao cúa V. Ta biet rang moi x trong H đeu đưoc bieu dien
duy nhat: x = v + w, (xem đ%nh lí 2.2) vói v thu®c V và w thu®c V ⊥ .
Do đó, H là m®t tong trnc tiep cúa V và V ⊥ . Toán tú tuyen tính PV : H
→ H, x ›→ v đưoc goi là phép chieu trnc giao trong H lên không gian V.
Phép chieu trnc giao trong không gian Hilbert này đóng vai trò vô cùng
quan trong trong giái tích hàm nói riêng và toán hoc nói chung, và đã
đưoc nghiên cúu trong chương trình đai hoc. Vi¾c mó r®ng phép chieu
này lên m®t t¾p loi đóng nói chung là m®t ket quá có nhieu úng dnng

trong các lĩnh vnc khác nhau cúa Toán hoc. Vì v¾y dưói góc đ® m®t
sinh viên sư pham chuyên ngành Toán và trong khuôn kho cúa bài khoá
5


lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng dan nhi¾t tình cúa thay
Tran Văn Bang em đã chon đe

6


tài “Phép chieu trong không gian Hilbert”.
Trong khóa lu¾n này em chí nghiên cúu không gian Hilbert thnc vì v¾y
tat cá các không gian tuyen tính, đ%nh chuan, Hilbert đeu đưoc hieu là
không gian thnc.

2.

Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu.
Tìm hieu ve phép chieu trong không gian Hilbert.

3.

Đoi tưeng và pham vi nghiên cNu.
Không gian Hilbert: các khái ni¾m và tính chat cơ bán; phép chieu lên

không gian con đóng; phép chieu lên t¾p loi đóng.

4.


Phương pháp nghiên cNu.
Nghiên cúu tong quan.

5.

Cau trúc khóa lu¾n.
Ngoài mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, khoá

lu¾n gom 2 chương:
Chương 1. Kien thúc chuan b%.
Chương 2. Phép chieu trong không gian Hilbert.


Chương 1

Kien thNc mé đau
1.1. Không gian Banach.
Đ%nh nghĩa 1.1. Ta goi không gian đ%nh chuan (hay không gian
tuyen tính đ%nh chuan) là không gian tuyen tính X trên t¾p so thnc R
cùng vói ánh xa tù X vào t¾p so thnc R, kí hi¾u là ||.|| và đoc là chuan,
thóa mãn các tiên đe sau:
i) ∀u ∈ X : ||u|| ≥ 0, ||u|| = 0 ↔ u = θ (θ − phan tú
không). ii) ∀u ∈ X, ∀α ∈ R : ||αu|| = |α|||u||.
iii) ∀u, v ∈ X : ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||.
So ||u|| đưoc goi là chuan cúa vector u. Các tiên đe i), ii), iii) đưoc goi là
các tiên tiên đe ve chuan.
Đ%nh nghĩa 1.2. Dãy điem (un) trong không gian đ%nh chuan X goi
là h®i tn tói u ∈ X neu
lim ||un − u|| = 0.


n→ ∞

Kí hi¾u limn→∞ un = u hay un → u (n → ∞).


M¾nh đe 1.1. Neu dãy un → u thì dãy ||un|| → ||u||. Nói cách khác
||.|| là
hàm giá tr% thnc liên tnc.
M¾nh đe 1.2. Neu dãy un → u thì dãy ||un|| b% ch¾n.
M¾nh đe 1.3. Neu dãy un → u ; dãy vn → v và dãy αn → α thì các dãy
un + vn → u + v và αnun → αu khi n → ∞.
Đ%nh nghĩa 1.3. Dãy (un) trong không gian đ%nh chuan X là dãy cơ
bán neu
lim
n,m→∞

||un − um || = 0.

Đ%nh nghĩa 1.4. Không gian đ%nh chuan X đưoc goi là không gian
Banach
neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.
Ví dn 1.1. Cho không gian vector k chieu Rk,
trong đó Rk = {u = (u1, u2 , ......un ) : u j ∈ R}. Đoi vói u = (u1, ....un)
bat kì
thu®c Rk, ta đ¾t ||u|| = .∑ j= |u j|. Ta chúng minh đưoc
1
Rk

là không gian


Banach.
Ví dn 1.2. Cho không gian vector l2. Đoi vói u = (un) ∈ l2,
,
2
ta đ¾t ||u|| = ∑∞
n= |un| . Ta chúng minh đưoc l2 là không gian Banach.
1

Ví dn 1.3. Cho không gian vector L[a,b]. Đoi vói u(t) ∈ L[a,b],
.
¸b
ta đ¾t ||u||
a |u(t)|dt. Ta chúng minh đưoc L[a,b] là không gian
=
Banach.
Đ%nh nghĩa 1.5. Cho không gian đ%nh chuan X, dãy (un) ⊂ X. Ta
goi chuoi
là bieu thúc dang : u1 + u2 + .... + un + ..., kí hi¾u là un.
n=
∞
1
∑
Moi phan tú un đưoc goi là so hang cúa chuoi. Bieu thúc


Sk
=

k


∑ un(k = 1, 2, 3...)

n=1

là tong riêng thú k cúa
chuoi. Neu ton tai
lim Sk = S
k→∞


trong không gian đ%nh chuan X thì chuoin= un goi là h®i tn và S đưoc goi
∞
1
∑
là tong cúa chuoi đó và ta
viet :
∞

S=

∑ un .

n=1
n=
1

∑

∞


Đ%nh u đưoc goi là
n
nghĩa
h®i tn tuy¾t
1.6.
đoi neu chuoi
Chuoi
∞
∑
n
=
1

|
|
u
n

|
|

h
®
i

t
n
.



M∞
∑
¾
n
h

n=1 un h®i tn

∗

khi và chí

> n0) ta

)(∀n

∗

)

khi (∀ε > 0) (∀p ∈ có
N
(∃n0 ∈ N

đ
e

||

1

.
4
.

un
+1

+

N
e
u

un
+2
∞

+

∞

∑ ∑ vn = s 1 ,

α∈R

n=1

thì

+


n

un
+p

||

s
,

<
ε.

n
=
1

∑

α×

∞

∑ (un +

un = α vn) = s +
× s;
s1;
n

=
1

.

u
=

∞

...

∞

∑ (un − vn ) =
s − s1 .
n=1

n=1

M¾nh đe 1.5. (Tiêu chuan Cauchy).
Trong không gian đ%nh chuan X chuoi

Đ%nh lý 1.1. Không
gian đ%nh chuan là
không gian Banach khi và
chí khi trong X moi chuoi
h®i tn tuy¾t đoi đeu h®i
tn.
Đ%nh nghĩa cúa

không
1.7. Không
gian đ
gian tuyen tính %nh
con X0 ƒ= 0/


chuan X goi là không gian đ%nh chuan con
cúa X neu X0 là không gian đ%nh chuan vói
chuan cám sinh trên X. Neu X0 đong thòi là
t¾p đóng trong X thì X0 goi là không gian
con đóng cúa không gian X.
Đ%nh nghĩa 1.8. Cho hai không gian
tuyen tính X và Y trên R. Ánh xa A tù không
gian X vào không gian Y goi là tuyen tính
neu ánh xa A thóa mãn:
i)

∀u, v ∈ X thì A(u + v) = Au + Av.

ii)

∀u ∈ X, ∀α ∈ R : Aαu = αAu.

Viet gon lai ta có A(αu + β v) = αAu + β
Av, ∀u, v ∈ X, ∀α, β ∈ R.


Đ%nh nghĩa 1.9. Cho không gian đ%nh chuan X và Y, toán tú tuyen
tính A tù X → Y đưoc goi là b% ch¾n neu ton tai C > 0 sao cho ||Au|| ≤ C||

u||, ∀u ∈ X. Hang so C nhó nhat goi là chuan cúa toán tú A, kí hi¾u ||
A||.
Đ%nh lý 1.2. (Ba m¾nh đe tương đương). Cho A là toán tú tuyen
tính tù không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y. Ba m¾nh
đe sau đây là tương đương:
i) A liên tnc.
ii) A liên tnc tai x0 nào đó thu®c X.
iii) A b% ch¾n.
Đ%nh lý 1.3. (Đ%nh lí tính chuan cúa toán tú). Cho A là toán tú tuyen
tính tù không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y. Neu A b%
ch¾n thì
||A|| = sup ||u||≤1 ||Au||

hay

||A|| = sup ||u||=1 ||Au||.

Đ%nh nghĩa 1.10. Cho không gian đ%nh chuan X trên R. Ta goi
không gian
L(X, R) các phiem hàm tuyen tính liên tnc trên X là không gian liên hop
(không gian đoi ngau) cúa X và kí hi¾u là X ∗ .
Đ%nh nghĩa 1.11. Không gian liên hop cúa không gian X ∗ đưoc
goi là không gian liên hop thú hai cúa X và kí hi¾u là X ∗∗ .
Đ%nh nghĩa 1.12. Cho X là không gian đ%nh chuan. Neu M ∈ X là
m®t không gian con tuyen tính thì ta đ¾t
M⊥ = { f ∈ X ∗ ; ( f , x) = 0,

∀x ∈ M}.

Neu N ⊂ X ∗ là m®t không gian con tuyen tính thì ta đ¾t

N⊥ = {x ∈ X ; ( f , x) = 0, ∀ f ∈ N}.
Chú ý rang theo đ%nh nghĩa N⊥ là m®t t¾p hop con cúa X chú không
phái cúa X ∗∗ . Rõ ràng M⊥ (tương úng N ⊥ ) là không gian tuyen tính
đóng cúa X ∗ (tương úng cúa X ). Ta nói M⊥ (tương úng N ⊥ ) là không
gian trnc giao vói M (tương úng N).

14


Đ%nh lý 1.4. Ton tai phép đang cn tuyen tính tù không gian đ%nh
chuan X
vào không gian liên hop thú hai cúa X∗∗ cúa không gian X.
Đ%nh nghĩa 1.13. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian
phán xa neu
X = X ∗∗ .
Đ%nh lý 1.5. Không gian con đóng cúa không gian phán xa là không
gian phán xa.

1.2. Không gian Hilbert.
Đ%nh nghĩa 1.14. Cho H là m®t không gian vector. M®t tích vô
hưóng (u, v) là m®t dang song tuyen tính trên H × H vói giá tr% thnc
(nghĩa là m®t ánh xa đi tù H × H vào R là tuyen tính theo tùng bien)
thóa mãn:
(u, v) = (v, u), ∀u, v ∈ H, (đoi xúng),
(u, u) ≥ 0, ∀u ∈ H, (xác đ%nh dương),
(u, u) ƒ= 0, ∀u ƒ= 0,
(xác đ%nh).
M¾nh đe 1.6. i) Vói moi u, v ∈ H và α ∈ R ta có: (αu, v) = α(u,
v).
ii)


(∀u ∈ H) ta có: (θ , u) = 0.

iii) (∀u, v, w ∈ H) ta có: (u + v, w) = (u, w) + (v, w).
iv)

(∀u, v, w ∈ H) ta có: (u, v + w) = (u, v) + (u, w).

Đ%nh lý 1.6. (Bat đang thúc Cauchy-Schwarz). Cho không gian
Hilbert H ta có bat đang thúc:
1

1

|(u, v)| ≤ (u, u) 2 .(v, v) 2 ,
Nhò bat đang thúc Cauchy-Shwarz ta suy ra:
1

∀u, v ∈ H.


|u| = (u, u)

2


là m®t chuan và thưòng kí hi¾u là |.| (thay vì ||.||). Ta goi đó là chuan
sinh
bói tích vô hưóng. (Ta có the de dàng thay |.| thóa mãn các tiên đe i), ii)
ve chuan, ta chí can kiem tra tiên đe iii). Th¾t v¾y

|u + v|2 = (u + v, u + v) =2 + (u, v) + (v, u) +| ≤ |u|2 + 2|u||v| + |v|2,
|v 2

|u|

và do đó |u + v| ≤ |u| + |
v|).
Ta de kiem tra đưoc đang thúc hình bình hành.
a+b
|
|

2

2

| +

a−b

2

1

2

| = 2 .(|a| + |
2
b|


2

),

∀a, b ∈ H.

(1.1)

Đ%nh nghĩa 1.15. M®t không gian Hilbert là không gian vector H
đưoc trang b% m®t tích vô hưóng sao cho H luôn là không gian đú vói
chuan |.|.
Sau đây H luôn đưoc kí hi¾u cho không gian Hilbert.
¸

Ví dn 1.4. L2(Ω) vói tích vô hưóng (u, v) = u(x)v(x)dµ là không
gian
Hilbert.

Ω

Tương tn như the l2 cũng là không gian Hilbert vói tích vô hưóng (u, v)
=
∞ u nv n .
∑ n=1
Đ%nh nghĩa 1.16. Cho E là m®t không gian vector trên R. T¾p con
A⊂E
đưoc goi là t¾p loi neu
tu + (1 −t)v ∈ A, ∀u, v ∈ A, ∀t ∈ [0; 1].



Đ%nh nghĩa 1.17. Không gian Banach E đưoc goi là t¾p loi đeu
neu (∀ε > 0)(∃δ > 0) thóa mãn (x, y ∈ E, ||x|| ≤ 1, ||y|| ≤ 1và||x
− y|| > ε)

thì

x+y
||

|| < 1 − δ .
2
Đ%nh lý 1.7. (Đ%nh lí Milman-Pettis). Moi không gian loi đeu đeu
phán xa.
M¾nh đe 1.7. Moi không gian Hilbert H là t¾p loi đeu và do đó nó
phán xa.


Chúng minh. Giá sú ε > 0 và u, v ∈ H thóa mãn |u| ≤ 1, |v| ≤ 1 và |
u − v| >
ε, theo đang thúc hình bình hành ta có:
u+v
|

<1−

2
|

và do
đó


2

ε2
4

u+
v
1
2

|

vói δ = 1 − (1 −2 )0. >

2

| < 1 −δ,

ε

4

Đ%nh nghĩa 1.18. Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa
không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Toán tú B ánh xa không
gian Y vào X goi là tuyen tính liên hop vói toán tú A, neu
(Au, v) = (u, Bv), ∀u ∈ X, ∀y ∈ Y, kí hi¾u A∗ = B.
Đ%nh nghĩa 1.19. Toán tú tuyen tính b% ch¾n A ánh xa không gian
Hilbert
H vào chính nó là tn liên hop neu

(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ H.
Toán tú tn liên hop còn goi là toán tú đoi xúng.


Chương 2

Phép chieu trong
không gian Hilbert
2.1. Phép chieu lên t¾p loi đóng.
Đ%nh nghĩa 2.1. Cho không gian Hilbert H, hai phan tú u, v ∈ H
goi là trnc giao, kí hi¾u u ⊥ v neu (u, v) = 0.
Đ%nh nghĩa 2.2. Cho không gian Hilbert H và t¾p con A ⊂ H, A
ƒ= 0/ . Phan tú u ∈ H goi là trnc giao vói t¾p A neu u ⊥ v, ∀v ∈ A, kí
hi¾u u ⊥ A.
M¾nh đe 2.1. i) θ ⊥ u,

∀u ∈ H.

ii) u ∈ H mà u ⊥ u thì u = θ.
iii) Neu u, v ∈ H thóa mãn u ⊥ v j ( j = 1, 2...., n) thì
n

u⊥

∑ α jv j,

j=1

∀α j ( j = 1, 2.., n).



Th¾t v¾y, nhò các tính chat cúa tích vô hưóng
n

(x,
=

∑

j=1

α jy j )

n

n

=

j=1

∑ (x, α j y j ) ∑ α j (x, y j ) = 0.
j=1

,
iv) Cho u ∈ H và dãy (vn) ⊂ H h®i tn tói v ∈ H theo chuan ||u|| = (u, u).
Neu u ⊥ vn, ∀n ∈ N∗ thì u ⊥ v.
v) Cho A là t¾p con trù m¾t khap nơi trong H. Khi đó neu u ∈ H và u ⊥ A
thì u = θ. Th¾t v¾y, giá sú x ∈ H và x ⊥ A. Do A là t¾p trù m¾t khap
nơi trong không gian H nên ton tai dãy phan tú (xn) ⊂ A h®i tn tói x

trong không gian H. Áp dnng tính chat iv) ta đưoc x ⊥ x, do đó x = θ.
Đ%nh lý 2.1. (Đ%nh lí Pitago). Neu u, v ∈ H và u ⊥ v thì
||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2.
Chúng minh. Tù công thúc ||u||2 = (u, u) và theo giá thiet ta có:
||u + v||2 = (u + v, u + v) = ||u||2 + (u, v) + (v, u) + ||v||2.

Đ%nh nghĩa 2.3. Cho không gian Hilbert H và không gian con E ⊂
H. T¾p
con F ⊂ H gom các phan tú cúa không gian H trnc giao vói E goi là phan
bù trnc giao cúa E trên H và kí hi¾u là F = E ⊥ .
Nh¾n xét 2.1. Tù tính chat iv) cúa tích vô hưóng ta có F là m®t
không gian con cúa H.
Đ%nh nghĩa 2.4. Cho E là không gian vector trên R.
M®t hàm ϕ : E → (−∞, +∞] là hàm loi neu
ϕ(tu + (1 − t)v) ≤ tϕ(u) + (1 − t)ϕ(v), ∀u, v ∈ E, ∀t ∈ [0; 1].
Bo đe 2.1. Lay E là m®t không gian Banach phán xa và A ⊂ E là t¾p
ƒ= 0/
loi, đóng. Neu hàm ϕ : A → (−∞; +∞) loi, liên tnc sao cho ϕ(x) ƒ≡ +∞
và


lim
x∈A,||x||→∞

ϕ(x) = ±∞ (không có giá thiet này neu A b% ch¾n)


thì ϕ đat min trên A (nghĩa là ton tai x0 ∈ A : ϕ(x0) = minA ϕ).
Đ%nh lý 2.2. (Hình chieu lên không gian con đóng). Cho không gian
Hilbert H và H0 là không gian con cúa H. Khi đó phan tú bat kì x ∈ H

bieu dien m®t cách duy nhat dưói dang:
x = y + z, y ∈ H0, z ∈ H ⊥ .
0

Phan tú y trong bieu dien trên goi là hình chieu cúa x lên không gian con
H0 .
Chúng minh.
Đ¾t

||x − u||,

d = inf
u∈H
0

theo tính chat c¾n dưói đúng, ton tai m®t dãy phan tú (un) ⊂ H0 sao cho
lim ||x − un || = d.

n→ ∞

Ta
có

2||x − un ||2 + 2||x − um ||2 = 4||x
−

un + ||2+ ||un − um || 2.
um
2


Kí hi¾u dk = ||x − uk ||(∀k = 1, 2, 3...). 2Vì 1 .(un + um) ∈ H0, nên
||un − um ||2 ≤ 2d2 + 2d2 − 4d2(n, m = 1, 2, , , ).
n

Do đó

lim
n,m→∞

m

||un − um || = 0.

Do H là không gian Banach và tính đóng cúa không gian con H0 ta đưoc
lim un = y
n→∞

nghĩa
là

∈

H0 ,

||x − y|| = lim ||x − un || = d.
n→ ∞


Đ¾t z = x − y, ta chúng minh z ∈0 H ⊥ .
Th¾t v¾y, giá sú ∃v ∈ H0 mà (z, v) = c ƒ= 0, do đó v ƒ= θ. Suy ra

phan tú
w=y

c
(v,v)

2

× v ∈ H0 và
c

2

d ≤ ||x − w|| = ||x
−y−
= ||z||2
−

c ×
(v, c−
v)

(v,
v)
c
(v, v)
+

2


× v|| =
(z −

×c

c
(v,
v)

c
×
v−

(v,
v)

× v) =

c.c × (v, v) = ||z||2 c2
< d2,
(v, −
(v,
v)2
v)

đieu này vô lí. Suy ra, (z, u) = 0, ∀u ∈ H0 hay z ∈ H0 ⊥ . H¾ thúc trên
đưoc
chúng minh.
Giá sú phan tú x ∈ H có the đưoc bieu dien dưói dang bang hai cách:
x = y + z = yr + zr; y, yr ∈ H0; z, zr ∈ H ⊥ .

0

Khi đó

(y − yr ) + (z − zr ) = 0, y−y r ∈ H0, z−z r 0∈ H ⊥ .

Áp dnng đ%nh lí Pitago, ta đưoc ||y − yr||2 + ||z − zr||2 = 0 ↔ y = yr, z
= zr
nghĩa là bieu dien là duy nhat.
Tong quát hóa đ%nh lí trên ta có:
Đ%nh lý 2.3. (Hình chieu lên t¾p loi đóng). Cho K ⊂ H là t¾p loi
đóng, khác rong. Khi đó vói moi f ∈ H đeu ton tai duy nhat phan tú u ∈
K sao cho
| f − u| = min | f − v| = dist( f , K).
v∈K

(2.1)


Vói dist( f , K) là khoáng cách tù f xuong K. Hơn nua u đưoc đ¾c trưng
bói tính chat:
u ∈ K và

( f − u, v−u) ≤ 0, ∀v ∈ K.

(2.2)

Nh¾n xét 2.2. Phan tú u như trên đưoc goi là hình chieu cúa f lên
Kvà đưoc kí hi¾u bói
u = PK f .