Lài cám ơn
Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cô giáo to
Giái tích và các ban sinh viên khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham
Hà N®i 2. Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna mình tói
TS. Nguyen Văn Hào đã t¾n tình giúp đõ em trong quá trình hoàn
thành khóa lu¾n tot nghi¾p.
Lan đau thnc hi¾n công tác nghiên cúu khoa hoc nên vi¾c trình bày
khóa lu¾n không tránh khói nhung han che và thieu sót. Em xin chân
thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và
các ban sinh viên.

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Pham Th% Trang


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào,
khóa lu¾n tot nghi¾p “Nghi¾m cía phương trình vi phân
tuyen tính dưái dang tích phân xác đ%nh” đưoc hoàn thành
theo quan điem riêng cna cá nhân tôi.
Trong quá trình làm khóa lu¾n, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna các
nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Pham Th% Trang

Mnc lnc
Má đau.......................................................................................... 2
Chương 1. KIEN THÚC CHUAN B±.......................................5
1.1. Khái ni¾m tong quan ve phương trình vi phân...........................5
1.1.1. Các khái ni¾m cơ bán.....................................................................................................5
1.1.2. Bài toán Cauchy..................................................................................................6
1.1.3. Nghi¾m tong quát............................................................................................................6

1.2. Đ%nh lý ton tai duy nhat nghi¾m cna phương trình vi phân . 8
1.3. Lý thuyet tong quát ve phương trình vi phân tuyen tính . . .

8

1.3.1. M®t so khái ni¾m cơ bán...............................................................................................8
1.3.2. Sn phu thu®c tuyen tính và đ®c l¾p tuyen tính cna các hàm............................10
1.3.3. Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính.....................................11

Chương 2. NGHIfiM CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYEN TÍNH DƯéI DANG TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . 17
2.1. M®t so nguyên lý tong quan.......................................................17
2.2. Nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính qua các phép
bien đoi tích phân..................................................................................19
2.2.1. Bien đoi Laplace.................................................................................................19
2.2.2. Nhân K(x, t) cna bien đoi tích phân..................................................................26
2.2.3. Bien đoi Mellin...................................................................................................33
2.2.4. Nghi¾m xác đ%nh bói tích phân kép...........................................................................37

Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
43


1


Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

2


Má đau
1. Lí do chon đe tài
Phương trình vi phân là m®t chuyên ngành cna Giái tích toán hoc,
đóng vai trò quan trong trong khoa hoc ky thu¾t, v¾t lí, kinh te và
nhieu lĩnh vnc khác. Phương trình vi phân đơn gián
yr(x) =

dy
dx

the hi¾n moi quan h¾ giua m®t đai lưong bien thiên liên tuc đưoc bieu
dien bang hàm vói đ® bien thiên cna đai lưong đó đưoc bieu dien bang
đao hàm b¾c nhat cna nó (ho¾c đao hàm cap cao hơn). Đoi vói các
phương trình thông thưòng, nghi¾m là m®t giá tr% so thnc ho¾c so
phúc. Tuy nhiên, đoi vói các phương trình vi phân nghi¾m là m®t ho
các hàm, sai l¾ch bang m®t hang so nào đó, đưoc xác đ%nh tưòng
minh khi có thêm đieu ki¾n đau ho¾c đieu ki¾n biên.
Nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính là tong cna
nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat
tương úng vói m®t nghi¾m riêng cna phương trình đó. Cho đen nay,

ngưòi ta đã đưa ra đưoc phương pháp xây dnng h¾ nghi¾m tong
quát cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so. Tuy
nhiên đoi vói phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so không phái
là hang so thì vi¾c tìm nghi¾m cna nó còn g¾p phái nhung khó khăn
nhat đ%nh. Chang han như


phương trình dưói đây
(1 − x2 )

d 2y
dx2

dy + 2y = 0.
− 2x
dx

Phương trình trên là phương trình vi phân cap hai vói h¾ so là hàm so
cna m®t bien đ®c l¾p, nhưng ta không the tìm đưoc nghi¾m riêng
dưói dang m®t hàm so sơ cap. Vi¾c giái các dang phương trình trên
có nhieu úng dung quan trong không chí trong ngành Toán hoc mà còn
úng dung trong nhieu ngành khoa hoc khác như v¾t lí, hóa hoc. Vì
v¾y, chúng ta can xây dnng các phương pháp tìm nghi¾m cho các
phương trình vi phân dang này. M®t trong nhung phương pháp huu
ích là úng dung các phép tính tích phân đe tìm nghi¾m cna phương
trình vi phân tuyen tính.
Đưoc sn đ%nh hưóng cna TS. Nguyen Văn Hào nên em đã chon đe
tài “Nghi¾m cía phương trình vi phân tuyen tính dưái dang
tích phân xác đ%nh” nham nghiên cúu m®t úng dung cna phép tính
tích phân trong vi¾c tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính,

góp thêm m®t công cu huu ích tìm nghi¾m đoi vói phương trình vi
phân thưòng.
Khóa lu¾n đưoc bo cuc thành hai chương
Chương 1. Trình bày m®t so khái ni¾m tong quan ve phương trình vi
phân; đ%nh lý ton tai và duy nhat nghi¾m cna phương trình vi phân; lý
thuyet tong quát ve phương trình vi phân tuyen tính.
Chương 2. Chương này là n®i dung chính cna khóa lu¾n. é đây em
trình bày m®t so phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình vi phân


dưói dang tích phân xác đ%nh thông qua các phép bien đoi như bien
đoi Laplace, bien đoi Euler, bien đoi Mellin.


2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Trình bày m®t so phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình vi
phân tuyen tính dưói dang tích phân xác đ%nh.

3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Bói vì nghi¾m cna phương trình đưoc cho dưói dang tích phân xác
đ%nh, nên đieu ki¾n can thiet liên quan đen van đe này phái ke đen
các phép bien đoi tích phân.
Nghiên cúu m®t phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình vi phân
tuyen tính. Tuy nhiên, do khuôn kho yêu cau đoi vói m®t khóa lu¾n tot
nghi¾p, nên em chí trình bày van đe trong pham vi tìm nghi¾m dưói
dang tích phân xác đ%nh.

4. Phương pháp nghiên cNu
Tìm kiem tài li¾u, phân tích, tong hop và xin ý kien đ%nh hưóng cna
ngưòi hưóng dan.



Chương 1
KIEN THÚC CHUAN B±
1.1. Khái ni¾m tong quan ve phương trình vi phân
1.1.1. Các khái ni¾m cơ bán
Phương trình vi phân là m®t phương trình chúa hàm can tìm và các
đao hàm cna nó. Neu hàm can tìm chí phu thu®c m®t bien đ®c l¾p,
thì phương trình đó đưoc goi là phương trình vi phân thưòng goi tat là
phương trình vi phân. Neu hàm can tìm phu thu®c hai ho¾c nhieu bien
đ®c l¾p thì phương trình đưoc goi là phương trình vi phân đao hàm
riêng goi tat là phương trình đao hàm riêng.
Phương trình vi phân thưòng là phương trình có dang tong quát
F (x, y, yr , yrr, ..., y(n)) = 0,

(1.1)

trong đó F là hàm xác đ%nh trong m®t mien G nào đó cna không gian
Rn+2. Trong phương trình (1.1) gom các bien đ®c l¾p x và y là hàm cna
bien đ®c l¾p cùng các đao hàm cap m®t đen cap n cna nó. Cap cna
m®t phương trình vi phân thưòng đưoc xác đ%nh bói cap cao nhat
cna đao hàm xuat hi¾n trong phương trình.
Trong phương trình (1.1) có the vang m¾t m®t so các bien x, y, yr , ...,
y(n−1)
nhưng y(n) nhat thiet phái có m¾t.
Neu tù (1.1) ta giái ra đưoc đao hàm cap cao nhat, túc là phương trình


(1.1) có
dang


y(n) = F (x, y, yr , ..., y(n−1)),

(1.2)

thì ta nói phương trình vi phân cap n đã giái ra đưoc vói đao hàm cap
cao nhat y(n) qua các bien còn lai thì ta nói phương trình giái ra đưoc
đoi vói y(n) ho¾c ta còn goi phương trình có dang chính tac.
Nghi¾m cna phương trình (1.1) cũng như (1.2) là hàm y = y(x) khá vi
n lan trên khoáng (a, b) nào đó thóa mãn các phương trình đó.
Đưòng cong y = y(x), x ∈ (a, b) goi là đưòng cong tích phân cna
phương trình đã cho. Đe giái phương trình vi phân ta cũng dùng thu¾t
ngu "tích phân phương trình vi phân" vì lý do này.
Thông thưòng nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân cap n phu
thu®c n hang so tùy ý C1, C2, ..., Cn. Trong thnc te ngưòi ta chí
quan tâm đen nghi¾m cna (1.1) ho¾c (1.2) thóa mãn m®t so đieu ki¾n
nào đay.
M®t trong nhung đieu ki¾n đó là đieu ki¾n ban đau
y0 = y(x0), yr = yr(x0), ..., y
0

1.1.2.

(n−1)

= y(n−1)(x0).

(1.3)

Bài toán Cauchy


Tìm nghi¾m y = y(x) cna phương trình (1.1) ho¾c (1.2) thóa
mãn đieu ki¾n ban đau (1.3). Bài toán này đưoc goi là bài toán
Cauchy.
1.1.3.

Nghi¾m tong quát

Ta giá thiet rang G là mien ton tai và duy nhat nghi¾m cna phương
trình (1.2), túc là nghi¾m bài toán Cauchy ton tai và duy nhat đoi vói


moi điem

(x0, y0, yr , ..., y

(n−1)

0

Hàm

) ∈ G.

y = ϕ(x, C1, C2, ..., Cn)

xác đ%nh trong mien bien thiên cna các bien x, C1, C2, ..., Cn có tat cá
các đao hàm riêng theo x liên tuc đen cap n đưoc goi là nghi¾m tong
quát cna phương trình (1.2) trong mien G neu trong G tù h¾ phương
trình


 y0


 yr
0


=
=

ϕ(x0, C1, C2, ..., Cn),
(x0, C1, C2, ..., Cn),

.....................
ϕr x


(x0, C1, C2, ..., Cn),
y0(n−2)
= 0
 (n−1)
(n−1)
 y0 ϕ(n−2)= ϕ x
(x0, C1, C2, ..., Cn)

ta có the xác đ%nh
đưoc



(n−1)

 01
y C

0


=

ψ1 (x0 , y0 ,




 0
C

0,

...,

y
r

2

C
y


r

=

0

ψ2 (x0 , y0 ,

),
0
(n−1)
0

.....................

 n−1 = ψn−1(x0,
y0 , y

 0
Cn = ψn (x0 , y0 ,
y

),

, ..., y

r

0


(n−1)
0

, ..., y

(n−1)

r

0,

..., y0

),

)


và hàm y = ϕ(x0, C0 , C0 , ..., C 0 ) là nghi¾m cna phương trình (1.2)
úng
0

0

1

2

vói
moi h¾ C , C , ...,

C0
1

2

bien thiên trong G.

n

n

xác đ%nh đưoc tù trên khi (x0, y0, , ..., y
yr
0

(n−1)

0

)


1.2. Đ%nh lý ton tai duy nhat nghi¾m cúa phương
trình vi phân
Đoi vói phương trình vi phân, vi¾c nghiên cúu ve van đe ton tai và
duy nhat nghi¾m là khá phúc tap. Dưói đây, chúng tôi chí phát bieu ket
quá cho trưòng hop tong quát.
Đ%nh lý 1.1. (Ton tai duy nhat nghi¾m) Cho phương trình vi phân cap
n dang chính tac
y(n) = f .x, y, yr , ..., y(n−1). .

Neu ve phái cúa phương trình trên là m®t hàm liên tnc cúa n + 1 bien
trong m®t mien nào đó cúa Rn+1 chúa điem .x0,

(n−1)

, ..., y0

0

. và

các

y0 , y r
đao hàm riêng

∂f ∂f
∂f
,
, ...
r
∂y ∂y
,
∂y(n)

liên tnc thì ton tai m®t khoáng (a, b) chúa điem x0 đe trên khoáng
này ton tai và duy nhat m®t hàm y = y(x) khá vi n lan trên khoáng
đó và thóa mãn đieu ki¾n đau (1.3).

1.3. Lý thuyet tong quát ve phương trình vi phân

tuyen tính
1.3.1. M®t so khái ni¾m cơ bán
Phương trình vi phân tuyen tính cap n là phương trình có dang


r
y(n) + p1(x)y(n−1) + · · · + −1(x)y + (x)y = f (x),
pn
pn

(1.4)


trong đó p1(x), p2(x), ..., pn−1(x), pn(x), f (x) là nhung hàm liên
tuc trên khoáng (a, b) nào đó.
Neu trong phương trình (1.4) hàm f (x) ≡ 0, thì phương trình đưoc
goi
là phương trình tuyen tính thuan nhat cap n. Trong trưòng hop pi(x)
(i = 1, 2, ..., n) là các hang so thì phương trình (1.4) đưoc goi là
phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so.
Tù đ%nh lý ton tai và duy nhat nghi¾m, vói các đieu ki¾n đã nêu cna
phương trình vi phân tuyen tính cap n ta thay phương trình luôn ton tai
duy nhat nghi¾m thóa mãn đieu ki¾n đau cho trưóc. Ve phái cna (1.4)
thưòng đưoc kí hi¾u là xLn (y) và goi là toán tú vi phân tuyen tính
cap
n. Khi đó phương trình (1.4) đưoc viet dưói dang
xL(y)
n

= f (x).


Chú ý: tính tuyen tính và thuan nhat cna phương trình đưoc báo toàn
qua moi phép đoi bien so đ®c l¾p x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là m®t hàm
so bat kỳ khá vi n lan, mà đao hàm ϕr(t) ƒ= 0 trên đoan đang xét
cna bien so t.
Tính tuyen tính và thuan nhat đưoc báo toàn cá qua phép bien đoi
tuyen tính thuan nhat cna hàm so chưa biet y(x) = α(x)z(x).
Đe xây dnng nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính.
Chúng ta can đen m®t so khái ni¾m và ket quá liên quan đen hàm so
dưói đây.


1.3.2. SN phn thu®c tuyen tính và đ®c l¾p tuyen tính cúa các
hàm
Các hàm y1(x), y2(x), ..., ym(x) xác đ%nh trên khoáng (a, b) đưoc
goi là phu thu®c tuyen tính trên khoáng đó neu ton tai các hang so c1,
c2, ..., cm không đong thòi bang 0 sao cho
m
.
ckyk(x) = 0,

(1.5)

k=1

vói moi x ∈ (a, b). Các hàm so đó đưoc goi là đ®c l¾p tuyen tính trên
khoáng (a, b) neu nó không phu thu®c tuyen tính, túc là h¾ thúc
(1.5) chí xáy ra khi c1 = c2 = ... = cm = 0.
Giá sú các hàm y1, y2, ..., ym xác đ%nh và có đao hàm đen cap m − 1
trên

khoáng (a, b) nào đó, ta đ¾t

.
.
y2
. y1
..
.
W [y1, y2, ..., ym] = Det . yr1
yr2
.
. ···
···
.. (m−1) (m−1
)
y
. 1
y2

···
··
·
···

.
.
ym .
.
..
r

ym .
..
··· .
.
(m−1)

· · · ym

.

Giá tr% trên đưoc goi là đ%nh thúc Wronski cna các hàm y1, y2, ..., ym
trên khoáng (a, b).
Bo đe 1.1. Neu các hàm y1, y2, ..., ym phn thu®c tuyen tính thì W (x)
=0
vói moi x ∈ (a, b).
Bo đe 1.2. Cho các hàm y1, y2, ..., ym xác đ%nh trên khoáng (a, b)
n
là nghi¾m cúa phương trình
x L (y) = 0. Khi đó đe y1, y2, ..., ym


đ®c l¾p tuyen tính thì đieu ki¾n can và đú là W [y1, y2, ..., ym] ƒ=
0 vói moi x ∈ (a, b).


1.3.3. Cau trúc nghi¾m cúa phương trình vi phân tuyen tính
a) Đ%nh nghĩa
H¾ gom n nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cna phương trình
r
y(n) + p1(x)y(n−1) + · · · + −1(x)y + (x)y = 0

pn
pn

goi là h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình đó.
Đ%nh lý 1.2. Neu y1, y2, ..., ym là các nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính
n
cúa phương trình
x L (y) = 0, thì nghi¾m tong quát cúa phương

trình có
dan
g

y=

m
.

ckyk(x),

(1.6)

k=1

trong đó c1, c2, ..., cm là các hang so tùy ý.
Đ%nh lý 1.3. Neu y1, y2, ..., yn là m®t h¾ nghi¾m cơ bán cúa
phươngx trình Ln (y) = 0 và y˜ là m®t nghi¾m riêng cúa phương
trình
xL(y)
n


= f (x),

thì nghi¾m tong quát cúa phương trình Lxn (y) = f (x) có dang
n

y(x) = y˜(x) +

.

ck yk (x).

(1.7)

k=1

ChNng minh. Ta có
n

L

n

(y) = Lx (y˜)
+ Lx
x

n

..

n
k=
1

.
ck yk (x
)

= f (x) + 0 = f (x).


Như v¾y công thúc (1.7) cho ta nghi¾m cna phương trình xLn (y) = f
(x). Ta can chúng minh rang moi nghi¾m cna phương trình
Ln (y)
x
= f (x)


đeu có dang (1.7).
Th¾t v¾y, giá sú y∗ là m®t nghi¾m nào đó cna phương trình, ta có
Lx (y
n

∗

∗

− y˜) =n

) − Ln (y˜) = f (x) − f (x) = 0,


Lx (y

x

n
nên y ∗ − y˜ cũng là m®t nghi¾m cna phương trình
x L (y) = 0. Do đó

theo
đ%nh lý 1.2, ton tai các hang so c0, c0, ..., c0 đe
1

2

∗

y − y˜ =

n

n
.
k

c0 yk

k=1

hay


n
∗

.

y = y˜ + k

c0 yk .

k=1

∗

Như v¾y nghi¾m y có dang
(1.7).
b) Phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so
* Nghi¾m riêng cía phương trình vi phân tuyen tính thuan
nhat h¾ so hang so
Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so là phương
trình có dang
L

x

ny

(y) =

(n)


+
pn−1y

(n−1
)

+···+

+ p0y = 0,

(1.8)

p1yr

trong đó pn−1, pn−2, ..., p0 là các hang so thnc. Ta tìm nghi¾m riêng
cna phương trình (1.8) dưói dang y = eλx, trong đó hang so λ đưoc
xác đ%nh
sao cho y là nghi¾m cna (1.8). Khi đó


yr = λeλx, yrr = λ2eλx, ..., y(n) = λneλx.
Thay vào phương trình (1.8) ta đưoc
Ln

(y) =
Lx(e

n
n


λx

x

n−1

)=
(λ

+
pn−1λ

Bói vì eλx ƒ= 0 nên ta có
1λ
n

n−1

Pn(λ) = λ + −p1
pn

λx

+ · · · + p 1λ +
p0)e
+···+λ+
p0

= 0.


= 0.

(1.9)

Như v¾y, neu λ là m®t nghi¾m cna phương trình (1.9) thì y = eλx là
m®t nghi¾m cna phương trình (1.8). Phương trình (1.9) đưoc goi là
phương trình đ¾c trưng cna phương trình (1.8). Đa thúc Pn(λ) goi
là đa thúc đ¾c trưng cna phương trình (1.8). Đe xây dnng đưoc h¾
nghi¾m cơ bán cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang
so, ta can m®t so bo đe sau
Bo đe 1.3. Neu λ1, λ2, ..., λm là các nghi¾m khác nhau cúa phương trình
(1.9), thì
eλ1x, eλ2x, ..., eλmx
là các nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình (1.8).
Bo đe 1.4. Neu λ1 là m®t nghi¾m b®i m cúa phương trình (1.9) thì các
hàm
eλ1x, xeλ1x, ..., xm−1eλ1x
là các nghi¾m riêng đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình (1.8).
Bo đe 1.5. Neu α ± iβ là c¾p nghi¾m phúc b®i m cúa phương trình
(1.9) thì h¾ các hàm


eαx cos βx, xeαx cos βx, ..., xm−1eαx cos βx
và
eαx sin βx, xeαx sin βx, ..., xm−1eαx sin βx
là 2m nghi¾m riêng đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình (1.8).


* Phương pháp giái phương trình tuyen tính thuan nhat h¾ so

hang so
Tù "đ%nh lý cơ bán cna đai so" đa thúc đ¾c trưng Pn(λ) có đúng
n nghi¾m ke cá nghi¾m b®i. Do đó ta xây dnng đưoc n nghi¾m đ®c
l¾p tuyen tính cna phương trình (1.8) qua các bo đe đã trình bày trên
đây. tù đó, ta nh¾n đưoc nghi¾m tong quát cna phương trình đã cho.
* Nghi¾m tong quát cía phương trình vi phân tuyen tính
không thuan nhat
Phương trình vi phân tuyen tính không thuan nhat có h¾ so hang là
phương trình có dang
r
y(n) + p1y(n−1) + · · · + −1y + y = f (x),
pn
pn

(1.10)

trong đó p1, p2, ..., pn là các hang so, f (x) liên tuc trên khoáng (a, b)
nào đó.
Đe nh¾n đưoc nghi¾m tong quát cna phương trình tuyen tính không
thuan nhat, ta lay m®t nghi¾m riêng cna phương trình không thuan
nhat c®ng vói nghi¾m tong quát cna phương trình thuan nhat tương
úng. Van đe này đã đưoc ta chúng minh trong phan đ%nh lý cau trúc
nghi¾m tong quát.
* Phương trình vi phân tuyen tính không thuan nhat h¾ so
hang so ve phái có dang đ¾c bi¾t
Dang 1. Ve phái có dang f (x) = eαxPn(x), trong đó Pn(x) là m®t
đa
thúc b¾c n cna x.
14



* Neu α không là nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng, thì ta có the tìm
nghi¾m riêng dưói
dang

y = eαxQn(x).

* Neu α là nghi¾m b®i m cna phương trình đ¾c trưng, thì ta có the tìm
nghi¾m riêng cna phương trình dưói dang
y = xmeαxQn(x),
trong đó Qn(x) là m®t đa thúc b¾c n cna x.
Dang 2. Ve phái có dang f (x) = eαx [Pm (x) cos βx + Qm (x)
sin βx],
1

2

trong đó Pm1 (x), Qm2 (x) là nhung đa thúc b¾c m1, m2 và α, β là
hang so.
* Neu α + iβ không là nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng thì ta
tìm nghi¾m riêng y˜(x) cna phương trình dưói dang
y˜(x) = eαx [Rm (x) cos βx + Sm (x) sin βx] .
* Neu α + iβ là nghi¾m b®i m (m ≥ 1) cna phương trình đ¾c trưng
thì ta tìm nghi¾m riêng y˜(x) cna phương trình dưói dang
y˜(x) = xm eαx [R(x) cos βx + S(x) sin βx] ,
trong đó R(x) và S(x) có b¾c bang b¾c lón nhat cna các đa thúc P
(x)
và Q(x).
Đe xác đ%nh các h¾ so cna Rm(x), Sm(x) ta thay y˜(x) vào phương
trình và tien hành như ó trưòng hop trên.

Dang 3. Ve phái có dang
f (x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x),
15


trong đó moi hàm fk(x) có dang trong dang 1 và dang 2. Trưóc het
ta tìm nghi¾m riêng y˜k cna phương trình
L x (y) = fk(x), k = 1, 2, ..., m.
n

Khi đó nghi¾m riêng cna phương trình Lx n (y) = fk(x) là
y˜(x) = y˜1 (x) + y˜2 (x) + · · · + y˜n (x).
Th¾t v¾y, ta
có

.
n

.

m

m

.

m

.


.

Ln
x

(y˜) =

Lx

k=
1

y
˜
k

=
k=
1

(y˜k )
=

k=
1

fk(x) = f (x).