TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN

PHẠM THỊ DIẾN

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ
RIESZ VỀ DẠNG TỔNG QUÁT CỦA
PHIẾM HÀM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TIẾN SĨ BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội, 2012


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường người đã định hướng chọn đề tài
và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá
trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012
Phạm Thị Diến

LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường khóa luận tốt nghiệp
Đại học chuyên ngành Toán Giải tích của tôi với đề tài “Một số mở rộng của
định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm” được trình bày hoàn toàn
dưới sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc.
Một số kết quả tác giả đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa học này.
Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012
Phạm Thị Diến


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU
BẢNG KÍ HIỆU
BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach............................................8
1.2 Không gian Hilbert.................................................................................14
Chương 2: ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG
2.1. Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không
gian Hilbert............................................................................................20
2.2. Định lý Lax - Milgram...........................................................................22
2.3 Định lý về toán tử ẩn..............................................................................29
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm


LỜI MỞ ĐẦU
Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu về các
không gian vectơ được trang bị thêm các cấu trúc tôpô và các toán tử tuyến
tính liên tục giữa chúng. Ra đời từ đầu thế kỉ 20 đến nay Giải tích hàm đã đạt
được những thành tựu quan trọng và trở thành chuẩn mực trong việc nghiên
cứu và trình bày các kiến thức toán học. Giải tích hàm đã được đưa vào
chương trình Đại học như một phần bắt buộc, tuy thế với lượng thời gian có
hạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó, bên cạnh đó
nội dung của Giải tích hàm rất phong phú như: không gian vectơ lồi địa
phương (không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach,…),
các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian,…
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc về
Giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng
tổng quát của phiếm hàm”. Khóa luận này nghiên cứu về những mở rộng của
định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm, cụ thể là định lý LaxMilgram và định lý về toán tử ẩn.
Nội dung khóa luận bao gồm:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương này đưa ra các kiến thức cơ bản về không gian định chuẩn, không
gian Banach, không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục, không gian tuyến
tính liên tục, không gian đối ngẫu.
Chương 2: Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của
phiếm hàm.

Phạm Thị Diến K34D SP Toán

- 5-

Khóa luận tốt nghiệp



Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Phạm Thị Diến K34D SP Toán

- 6-

Khóa luận tốt nghiệp


Chương này đưa ra một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của
phiếm hàm, cụ thể là định lý Lax-Milgram và định lý toán tử ẩn.
Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn và
trình độ còn non trẻ nên các vấn đề được trình bày trong bài không tránh khỏi
những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô
và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!



BẢNG KÍ HIỆU
□

đường thẳng thực

□n

không gian Euclid n – chiều

f:Χ
→

Y
.

ánh xạ từ X vào Y
chuẩn trong không gian V

V

inf f

cận dưới đúng của ánh xạ f

sup f

cận trên đúng của ánh xạ f

min f

giá trị nhỏ nhất của ánh xạ f

max f

giá trị lớn nhất của ánh xạ f

ker f

hạt nhân, hạch của ánh xạ f

( x,
y)


tích vô hướng của hai nhân tử x và y

chứng minh hoàn thành



BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT

α
β

an pha

γ ,Γ

gamma (thường và hoa)

δ

đen ta

ε

ép si lon

θ
ρ

tê ta


τ

tô, tao

ϕ, Φ

phi (thường và hoa)

ψ

psi (thường và hoa)

bê ta

rô

,Ψ



Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản về: không gian định
chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach, toán tử tuyến tính liên tục,
phiếm hàm tuyến tính liên tục, không gian đối ngẫu sẽ được sử dụng trong các
phần sau.
1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1
Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không

gian tuyến tính X trên trường □ cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực □ ,
kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiền đề sau đây:

(∀x
∈ Χ)

≥ 0 = 0
, x
⇔
x= θ

1)
x

2)

(∀x

(kí hiệu phần tử không là θ );

∈ Χ)( ∀α ∈□

(∀x, y
∈ Χ)
3)

)α

x =


α x;

x+ y ≤ x + y .

Số x gọi là chuẩn của vector x. Ta kí hiệu không gian định chuẩn là

(

) . Nếu trên Χ

chỉ trang bị một chuẩn ta có thể kí hiệu là Χ .

Χ Các tiên
,

đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2
Dãy điểm

( xn )


trong không gian định
chuẩn X gọi là dãy cơ
bản, nếu:
lim x −
n
xm

m,n→∞


Định nghĩa 1.1.3

= 0.


Không gian định chuẩn Χ gọi là không gian Banach, nếu mọi
dãy cơ bản trong Χ đều hội tụ.
Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co)
Cho không gian Banach V , một ánh xạ co T đi từ V vào chính nó,
nghĩa là tồn tại một hằng số, 0 ≤ M < 1 thỏa mãn:
Tv1 − Tv2 ≤ M v1
− v2

, ∀v1 , v2 ∈V

Khi đó, tồn tại duy nhất điểm u thuộc V sao cho u = Tu .
Định nghĩa 1.1.4
Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường số thực □ . Ánh xạ A
từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn
các điều kiện:
1)

(∀x,

2)

(∀x

x '∈ Χ ) Α ( x + x ') = Αx + Αx ' ;

∈ Χ)( ∀α ∈ □

) Α( α x )

=

αΑx .

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ
thỏa mãn điều kiện 1) thì toán tử A gọi là cộng tính, còn khi toán tử A chỉ
thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = □ thì toán
tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.5
Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A từ không
gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C
>0
Αx ≤ C x ,∀x ∈ Χ .

sao cho:


Định nghĩa 1.1.6


Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y. Chuẩn của toán tử A, kí hiệu là Α , được xác
định bởi:
Α = inf

{C >


Αx
≤ C x

0

, ∀x ∈ Χ } .

Định lý 1.1.2 (Tính chuẩn của toán tử)
Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y. Nếu toán tử A bị chặn thì:
Α

= sup

Α x

x ≤ 1

hay
Αx = sup Αx .
x =1

Định lý 1.1.3 (Tính liên tục của toán tử ngược)
Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không gian
định chuẩn Y có toán tử ngược

α > 0 sao cho:

khi

đó

≤
Α1
.
−1

α

liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số
Α
−1

Αx x
≥

(∀x

∈ Χ) .

α

Định nghĩa 1.1.7
Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiệu
Λ ( Χ, Y )

là tập hợp tất


cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y.



Ta đưa vào Λ ( Χ, Y ) hai phép toán:
Tổng của hai toán tử A, B thuộc
Λ ( Χ, Y )

là toán tử, kí hiệu Α +
Β, xác

định bằng hệ thức:

(Α

+ Β )( x ) = Α
x + Βx,∀x
là toán tử, kí hiệu là
∈ Χ .
Tích của vô hướng

α ∈□ với toán tử

Α∈ Λ ( Χ, Y )

α A , xác định bằng hệ thức:

( αΑ)( x )
α ( Αx ) .

=
và hai phép toán tổng và


Dễ dàng kiểm tra
Α + Β∈Λ ( Χ, Y ) ,

α Α∈Λ ( Χ, Y )

tích trên đây thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính.
Tập Λ ( Χ, Y ) trở thành một không gian tuyến tính trên trường Ρ.
Định lý 1.1.4
Nếu Y là không gian Banach, thì Λ ( Χ, Y ) là không gian
Banach.
Định lý 1.1.5 (Nguyên lý thác triển Hahn- Banach)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính
co
n

Χ0 của không gian định chuẩn Χ
thể thác triển lên

( Χ0 ≠

Χ ) , đều có


toàn không gian Χ với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng
được phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định trên toàn không gian
Χ sao cho:
1) F ( x ) f
=
2) F


( x )( ∀x

∈X 0

)

;

= f .

Χ

Χ0

Hệ quả 1.1.1
Cho Y là không gian tuyến tính con của không gian định chuẩn
Χ và


x0 ∈ Χ là một phần tử thỏa mãn điều kiện:
d ( x0 , Y ) = inf
y∈Y

x0 − = d > 0 .
y

Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian
Χ
sao cho:

1) f
2)
f

(y)

= 0,(∀y ∈ Y ) ;

1

=
;
d

3) f ( x0 ) = 1 .
Định nghĩa 1.1.8
Cho không gian định chuẩn X trên trường số thực □ . Ta gọi không gian
Λ ( các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X, là không gian
Χ, □

)
liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí

*

X (thay cho

hiệu kí hiệu Λ ( Χ, □ ) ).
Định nghĩa 1.1.9
Không gian định chuẩn Χ gọi là không gian phản Χ =

**
xạ, nếu
Χ .
Hệ quả 1.1.2
Không gian phản xạ là không gian Banach.


Định lý 1.1.6
Không gian con đóng của một không gian phản xạ là không gian phản
xạ.
Định nghĩa 1.1.10


Cho không gian định chuẩn
Χ ,
gian Χ . Với mỗi x
∈ Χ ta xét họ γ

x

*

Χ là không gian liên hợp của
không
tất cả các tập con của không gian Χ
có

dạng:
Vx = V ( x; f1, f2 ,..., fn ) = f ( y ) − f ( x ) < ε , j = 1,
j

j

{y ∈

}

Χ

2,..., n ,

trong đó n là số nguyên dương tùy ý, f , f ,...,
1 2
fn
không gian

là n phần tử tùy ý của

Χ , ε là số dương tùy ý.
*

Dễ dàng kiểm tra họ

γx

(∀x γ
∈ Χ)
1)

2) V1 ∈γ


x

x

có các tính chất:

≠ ∅, ∀Vx ∈γ

x

⇒ x ∈Vx ;

,V2 ⊃ V1 ⇒ V2 ∈γ

3) ∀V1 ∈γ
4) ∀Vx ∈γ
⇒ ∃Wx
∈γ x

x
x

,∀V2 ∈γ

x

x

;


⇒ V1 ∩ V2 ∈ γ

sao cho (∀y ∈Wx )Vx ∈γ

y

x

;

.

Do đó, tồn tại một tôpô duy nhất trên không gian Χ sao cho tồn
tại mỗi
điểm

x
họ γ là một cơ sở lân cận của điểm x . Tôpô này gọi là tôpô yếu
∈ x
X

trên không gian Χ . Kí hiệu tôpô đó là τ
Định nghĩa 1.1.11

( Χ,

Χ

*


).


Tương tự, ta có khái niệm của tôpô yếu* trên không gian Χ* , kí
∗
∗
∗∗
hiệu là
τ (Χ , Χ ) .
Định nghĩa 1.1.12
Cho không gian định chuẩn Χ . Dãy

( xn ) ⊂

gọi là hội tụ yếu tới phần

X

tử x ∈ Χ , nếu với mọi lân cận yếu U của x , tìm được số nguyên
dương n0
sao cho với mọi

n ≥ thì xn
n0
∈
U,

kí hiệu:

xn →

x (n → ∞) .
yeá


Định lý 1.1.7
Cho không gian định chuẩn Χ . Dãy điểm

( xn ) ⊂

hội tụ yếu tới điểm

X

x ∈ Χ khi
và chỉ khi

f ( xn ) f ( x ) với mọi f ∈ Χ
→

∗

.

Định lý 1.1.8
Cho không gian định chuẩn Χ . Nếu dãy điểm

( xn ) ⊂

hội tụ yếu thì


X

dãy đó bị chặn.
Định lý 1.1.9
Dãy
fn

( )

⊂
*
mọi f ∈ Χ
∗
Χ .

hội tụ yếu tới f
∗
∈ Χ

khi và chỉ
khi

f ( xn ) f (
→x )

với

Định lý 1.1.10
Dãy
fn

chặn.

( )

⊂
*
Χ

hội tụ yếu và Χ là không gian Banach,
thì dãy

fn bị

1.2 Không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.2.1
Cho không gian tuyến tính X trên trường số thực □ . Ta gọi là tích vô