TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGÔ THỊ DƯƠNG

KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH BẰNG LÝ THUYẾT THỐNG
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2013


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa
tuyến tính bằng lý thuyết thống kê” đã được hoàn thành tại trường Đại
học Sư Phạm Hà Nội 2.
Tôi xin trân thành cảm ơn cô giáo PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh.
Người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tôi tận tình trong suốt quá trình
xây dựng và hoàn thiện đề tài này.
Đồng thời tôi trân thành cảm ơn các quý thầy cô trong tổ vật lý lý
thuyết, cùng các thầy cô trong khoa vật lý trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
2 và các bạn sinh viên đã có những đóng góp quý báu giúp cho đề tài của
tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Người thực hiện

Ngô Thị Dương

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là một công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi,
do chính sức lực của bản thân tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở
những kiến thức đã học về môn vật lý lý thuyết. Đặc biệt là sự hướng dẫn
tận tình của cô giáo PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận này, tôi có tham
khảo các tài liệu có liên quan ghi trong mục tài liệu tham khảo.
Vì vậy tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Khảo sát hệ dao động
tử điều hòa tuyến tính bằng lý thuyết thống kê” không trùng lặp với kết
quả của bất cứ đề tài nào khác.
Người thực hiện

Ngô Thị Dương


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN

Trang
MỞ
ĐẦU.........................

LỜI CAM DOAN

CHƯƠ
NG 1.
KHẢO
SÁT

HỆ
DAO
ĐỘNG
TỬ
ĐIỀU
HÒA
TUYẾN
TÍNH
TRON
G
KHÔN
G
GIAN

PHA.........................

1.1. Khôn
g
gian
pha.....................

1.2. Các
yếu
tố cơ
bản
của
khôn
g
gian
pha.....................

1.3. Cách
mô
tả
thốn
g kê
hệ


nhiều hạt. Xác
suất trạng thái
5
1.4. Định lí
Liouville và
phương trình
Liouville cân
bằng thống kê
7
1.5. Khảo sát hệ
dao động tử
điều hòa tuyến
tính trong
không gian
pha
9
1.6. Mở rộng 13

CHƯƠN
G 3.
KHẢO
SÁT HỆ

DAO
ĐỘNG
TỬ ĐIỀU
HÒA
BẰNG
THỐNG
KÊ
LƯỢNG

TỬ........................................................................................
KẾT LUẬN
3.1. Dùng
CHƯƠNG 1.....................................................................................................
phân bố
CHƯƠNG 2.
KHẢO SÁT HỆ

chính tắc

DAO ĐỘNG TỬ

lượng tử

ĐIỀU HÒA

để tìm

BẰNG THỐNG

thống kê


Mắcxoen
KÊ CỔ ĐIỂN.................................................................................................
Bônxơma
2.1. Phân bố chính
tắc Gipxơ
n lượng tử
15
24
2.2. Định lí phân
3.2. Khảo sát hệ
bố đều động
dao động tử
năng theo các
điều hòa
bậc tự do 17
tuyến tính
2.3. Định lí virian
bằng thống
18
kê lượng tử
30
2.4. Khảo sát hệ
dao động tử
điều hòa tuyến
tính bằng
thống kê cổ
điển
20
KẾT LUẬN

CHƯƠNG 2.....................................................................................................


3.2.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính..............................30
3.2.2. Tổng trạng thái và nội năng của hệ dao động tử điều hòa tuyến tính.......34
3.3. Mở rộng...........................................................................................................37
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3................................................................................38
CHƯƠNG 4. KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN
TÍNH TRONG VẬT LÝ HIỆN ĐẠI............................................................39
4.1. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng phương pháp lý
thuyết trường lượng tử.....................................................................................39
4.2. Các trạng thái kết hợp...............................................................................45
4.2.1. Định nghĩa và các thuộc tính của các trạng thái kết hợp........................45
4.2.2. Phép biểu diễn tọa độ của các trạng thái kết hợp...................................48
KẾT LUẬN CHƯƠNG 4................................................................................51
KẾT LUẬN....................................................................................................52
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................53


MỞ ĐẦU
1. Lý do chon đề tài
Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học, áp dụng các phương
pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất
lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải chính xác
bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử có tính hỗn
loạn và tuân theo các quy luật thống kê.
Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần nghiên cứu trong vật lý thống kê. Một
trong số vấn đề có tính chất kinh điển là bài toán khảo sát hệ dao động tử điều
hòa tuyến tính. Hệ dao động tử điều hòa là một hệ lí tưởng trong vật lý, nó tồn
tại rất ít trong thực tế. Nhưng nó có ứng dụng rất rộng rãi trong ngành vật lý

hiện đại, nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn là đề tài mà các nhà khoa học rất
quan tâm và nghiên cứu.
Chính vì vậy, để có thể hiểu rõ hơn về hệ này, tôi đã chọn đề tài “Khảo
sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lý thuyết thống kê” làm đề tài
nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Đưa ra giả thuyết không gian pha, các mô tả thống kê hệ nhiều hạt, định lí
Liouville, từ đó khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong không
gian pha.
- Nắm được thế nào là phân bố chính tắc Gipxơ, xây dựng định lý phân bố đều
động năng theo các bậc tự do, định lý varian. Từ đó dùng kiến thức trong
vật lý thống kê cổ điển để khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính.
- Nghiên cứu cách thiết lập thống kê Mắcxoen – Bônxơman lượng tử, để khảo
sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê lượng tử.
- Khảo sát được hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong vật lý hiện đại.
Biết được trạng thái kết hợp của dao tử điều hòa tuyến tính.
7


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Hệ dao động tử điều hòa tuyến tính
- Nhiệt động lực học
- Vật lý thống kê
4. Phương pháp nghiên cứu
- Tra cứu, thu thập, phân tích tài liệu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết
5. Tên đề tài và kết cấu của luận văn
Tên đề tài: “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lý
thuyết thống kê”.
Kết cấu của luận văn: Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn

được kết cấu làm 4 chương:
Chương 1. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyết tính trong không
gian pha.
Chương 2. Khảo sát hệ dao đông tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê
cổ điển.
Chương 3. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê
lượng tử.
Chương 4. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong vật lý
hiện đại.


CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN
TÍNH TRONG KHÔNG GIAN PHA
1.1. Không gian pha
Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian
người ta đưa vào 1 không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời các
tọa độ của không gian đó chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi
mô của hệ tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu
thành hệ.
Đối với tất cả các hệ vật lí thực, không gian pha là không gian nhiều
chiều.
Ví dụ, không gian pha của 1 phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là
không gian 6 chiều, đối với phân tử 2 nguyên tử có 5 bậc tự do, không gian
pha là 10 chiều. Đối với 1 hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều với f là số bậc
tự do của 1 hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ.
Trong thống kê người ta thường xét 2 loại không gian pha là không
gian  và không gian K:
Không gian  là không gian của 1 hạt. Do đó, để khảo sát hành vi của 1
phân tử khí lí tưởng có 3 bậc tự do ta đưa ra không gian  6 chiều có sáu tọa
độ. Và khi đó trạng thái vi mô của hệ đó được xác định bằng 1 điểm trong

không gian  đó.
Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt.
Ví dụ, 1 chất khí xét toàn bộ và không gian đó có 2fN chiều. Trạng thái
vi mô của một hệ phức tạp được xác định, bởi 2fN thông số qk và pk và do đó
“được biểu diễn” bằng một điểm trong không gian K. Đối với các hệ vĩ mô thì
N rất lớn và do đó không gian K là một không gian rất nhiều chiều.
1.2. Các yếu tố cơ bản của không gian pha


- Điểm pha: Trạng thái của hệ được xác định bởi các giá trị của tất cả các tọa
độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu thành lên và được biểu diễn
trong không gian pha bằng một điểm, gọi là điểm pha.
- Quỹ đạo pha: khi trạng thái của hệ biến đổi theo thời gian, điểm pha sẽ
“chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha. Đồng
thời mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác
định nào đó của hệ.
Chú ý:

 Quỹ đạo pha là quy ước.
 Đối với mỗi điểm của không gian pha, chỉ có một quỹ đạo pha đi
qua.
- Mặt năng lượng : Nếu xét một hệ cô lập, thì đối với hệ đó năng lượng
toàn phần là không đổi, nghĩa là:
E = E (q1,q2,…p1,p2,…) = const.

(1.2.1)

Điều kiện đó được xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông
số vi mô của trạng thái, trong đó không gian pha nó là phương trình của một
mặt nào đó. Mặt đó được gọi là siêu năng lượng, hay vắn tắt hơn là mặt năng

lượng trong không gian pha.
- Thể tích pha: sau này ta sẽ xét không phải là một hệ mà là một tập hợp hệ
(tập hợp thống kê) và sự phân bố các điểm pha của chúng trong không gian
pha. Vì vậy, ta có lý do để đưa vào quan niệm về thể tích pha.
- Thể tích nguyên tố: Người ta chia không gian pha ra thành các thể tích nguyên
tố. Thể tích đó được biểu thị:
dX  dq1, dq2 ...dq fN , dp1, dp2 ...dp
fN ,

trong đó

(1.2.2)

dqk và dpk biểu thị các khoảng đủ nhỏ của các thông số trạng thái.


1.3. Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt. Xác suất trạng thái
Thay cho việc khảo sát một hệ thực nào đó người ta khảo sát một tập
hợp thống kê tức là một tập hợp các hệ tương tự như nhau và ở các trạng thái
vi mô khác nhau.
Trong không gian K, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê được
biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này được gọi là điểm biểu diễn pha
của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập
hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt
là tập hợp pha.
Bởi vì các hệ trong tập hợp thống kê biến đổi với thời gian, cho nên các
điểm biểu diễn pha qua các hệ đó chuyển động trong không gian pha và vạch
ra các quỹ đạo pha, đồng thời mỗi điểm dịch chuyển một cách độc lập đối với
sự tồn tại các điểm khác.
Ta hãy xét một thể tích nguyên tố dX của không gian pha bao quanh

một điểm pha nào đó. Ở thời điểm t đang xét, có một số hệ trong tập hợp
thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố dX ở
thời điểm t. Dĩ nhiên là, một cách tổng quát, ta có thể coi rằng: số lượng dn
của các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong
thể tích nguyên tố dX của không gian pha, sẽ tỉ lệ với độ lớn dX của thể tích
đó, và ta có thể viết
dn   dX ,

(1.3.1)

trong đó  = f (q1, q2… q1, q2… t) = f (X,t) được gọi là mật độ phân bố các hệ,
nó chỉ rõ các hệ có điểm biểu diễn pha ở trong cùng một đơn vị thể tích pha.
Bởi vì các hệ trong tập hợp thống kê đều bình đẳng như nhau, cho nên, nếu
gọi n là số hệ trong tập hợp thống kê thì theo lý thuyết xác suất, xác suất để có
một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào trong thể
tích nguyên tố dX sẽ là


dW 

dn 
 dX   ( X ,t)dX ,
n n

(1.3.2)
trong đó hàm

( X ,t) được
gọi là mật độ
xác suất pha

hay hàm phân
bố thống kê và
nó thỏa mãn
điều kiện
chuẩn hóa

 dW  
(

(1.3.3
)

X,
t)d
X
1.
(X)

(Tích
phân lấy
theo toàn
bộ
khoảng
biến thiên
của dX).
Ta

biết

rằng trong tập

hợp thống kê
của một hệ là
hệ thực mà ta
muốn

khảo


sát, nên xác suất dW ở trên là chính xác để hệ thực
mà ta khảo sát có điểm biểu diễn pha nằm trong thể
tích nguyên tố dX. Mặt khác, bởi vì mỗi điểm pha
biểu diễn một trạng thái vi mô khả hữu của hệ thực
nên ta có thể kết luận rằng:
Xác suất để hệ thực mà ta xét ở trong một trạng
thái vi mô nào đó, đặc trưng bằng một tập hợp các
giá trị của các biến số X nằm trong khoảng dX sẽ
bằng
dW   ( X ,t)dX

(1.3.4)

tron ( X là hàm phân bố thống kê thỏa mãn điều
,t)
kiện chuẩn hóa
g
đó
(1.3.
3).

Như vậy, mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta

khảo sát được đặc trưng
bằng một xác suất dW. Điều đó là hoàn toàn dĩ nhiên.
Thực vậy, khi hệ nằm trong một trạng thái vĩ mô
nào đó ta chỉ có thể biết được một số ít biến số
thôi, đó là các thông số vĩ mô đo được trong thực
nghiệm, chúng là hàm của các biến số vi mô X:
Fk  Fk ( X )
với k = 1, 2…m,
mà m □
N.
Do đó, dù cho biết tất cả các thông số vĩ mô ta
cũng không thể xác định tất cả các biến số X, có
nghĩa là từ các phép đo vĩ mô ta chỉ có thể dự đoán


một cách thống kê (xác suất) về các giá trị của các biến số vi mô X tức là về
các trạng thái vi mô mà thôi.
Biết hàm phân bố ( X ,t), ta có thể tìm được trung bình thông kê
(trung bình theo tập hợp) của một đại lượng vật lý bất kì F(X) theo công thức:

F   F ( X )dW

(X)

 F ( X )( X ,t)dX ,

(1.3.5)

(X)


trong đó tích phân lấy theo toàn bộ khoảng biến thiên của các biến số X (gọi
là biến số pha).
Chú ý rằng: Tích phân thuộc loại (1.3.3) và (1.3.5) các tích phân nhiều
lớp bởi vì
dX = dq1, dq2… dq1, dq2…,
đó là các tích phân 2fN lớp với fN là số bậc tự do của hệ.
1.4. Định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê
Định lí: Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha
của hệ.
Chứng minh: Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các
điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong
không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của
các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì
vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này. Phương trình
liên tục có dạng:


t


 div  0
j 

(1.4.1)

trong đó là hàm phân bố thống kê và j  v với v  (q ,...,q , p ,..., ) là vận
p

1


s

1

tốc của điểm pha trong không gian pha 2s chiều.
Do đó ta có:


s







s

 





s

 q

s



p 

divj   

(p i )   

(q i ) 
i1

qi

pi



i1

 qi

p i     

q i 
pi



i1

 qi


i



i


pi 

(1.4.2)


Mặt khác, khi di chuyển dọc theo quỹ đạo pha của hệ thì các qi và pi

i

t m
v
hHamil
ớ
ỏton
 i
acủa
H
mhệ.
ã 
n ,H
p p
h


ư
ơp
ni
g
t
ì
n
h
c
h
í
n
h
t
ắ
c
H
a
m
il
t
o
n
:
q

i

l

à
h
à


H  H (q, p)
 

s

 

Suy
ra:




q i


i1  qi

s

 q


pi


pi 

 H 

(1.4.
3)



i1



 qi

pi qi 

2
 2
 H
H
i





 
 i1  qi pi pi qi


 p 

i


i1  qi

  H

p i  
 


pi





s

s



(1.4.
4)

 
0



Thay (1.4.3) và (1.4.4) vào (1.4.2), rồi thay vào (1.4.1)
ta được:

t

  , H   0

(1.4.5)

  H  H 
trong đó , H    
 gọi là ngoặc Poisson giữa  và H

i1  qi pi
p q i i 
th d 
(1.4.6
ì
)
   , H 
Mặt khác, ta lại có: nếu  
(q, p,t)
s

dt

Từ (1.4.5) và (1.4.6)
ta có:


d

 0 hay 

t

(1.4.
7)

const
dt

Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không
đổi theo thời gian.
Phương trình (1.4.5) được viết lại là:

t

 , H  ha

y



 H,