TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ
N®I 2 KHOA TOÁN

NGUYEN VĂN HÃI

HÀM LOI LIÊN HeP

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Chuyên ngành: Giái tích

Ngưèi hưéng dan
khoa hoc TS. TRAN
VĂN BANG

Hà N®i - 2012


LèI CÃM ƠN
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo TS. Tran Văn
Bang - Ngưòi thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em
hoàn thành bài khóa lu¾n cúa mình. Đong thòi em xin chân thành cám
ơn các thay cô trong to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng
Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n
cho em hoàn thành tot bài khóa lu¾n này.
Trong khuôn kho có han cúa m®t bài khóa lu¾n, do đieu ki¾n thòi
gian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc
cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì v¾y,
em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa các thay cô và các ban.
Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, tháng 05 năm
2012

Sinh viên

Nguyen Văn Hái


LèI CAM ĐOAN
Khóa lu¾n này là ket quá nghiên cúu cúa bán thân em dưói sn hưóng
dan t¾n tình cúa TS. Tran Văn Bang.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành đe tài nghiên cúu này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cúa đe tài “Hàm loi liên hap” không có
sn trùng l¾p vói ket quá cúa các đe tài khác.

Hà N®i, tháng 05 năm
2012
Sinh viên

Nguyen Văn Hái


Mnc lnc
Mé đau......................................................................................................1
Chương 1. Kien thNc chuan b%..................................................3
1.1. Không gian Banach........................................................................3
1.2. Ánh xa tuyen tính...........................................................................6
1.3. Đ%nh lý Hahn-Banach..................................................................8
1.4. Song đoi ngau và tính trnc giao.................................................17
Chương 2. Hàm loi liên hep......................................................20
2.1. Khái ni¾m cơ bán.......................................................................20
2.2. M®t so ket quá ve hàm loi liên hop...........................................22

2.3. M®t so ví dn................................................................................28
Ket lu¾n...............................................................................................39
Tài li¾u tham kháo........................................................................40


Me ĐAU
Giái tích loi đóng vai trò quan trong trong vi¾c nghiên cúu lý thuyet
các bài toán cnc tr% và các ngành Toán hoc úng dnng có sú dnng công cn
giái tích và không gian tuyen tính. Sau các ket quá đau tiên cúa
H.Minkowski (1910) ve t¾p loi và hàm loi, lý thuyet giái tích loi đã thu
hút sn quan tâm nghiên cúu cúa nhieu nhà toán hoc.
Hàm loi liên hop là m®t trong nhung ket quá nen táng cúa giái tích
loi. Nó là cơ só đe đat đưoc nhieu ket quá quan trong khác. Trong
chương trình đai hoc chúng ta đã đưoc hoc ve hàm loi liên hop nhưng
chưa đay đú. Vì the tìm hieu sâu ve hàm loi liên hop và các ket quá cúa
nó là thnc sn can thiet và huu ích, giúp hieu sâu hơn ve nhieu van đe
trong giái tích loi.
Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu hơn ve hàm loi liên hop và các
ket quá cúa nó, em đã manh dan chon đe tài : "hàm loi liên hep".
Nghiên cúu đe tài này giúp chúng ta hieu sâu hơn ve hàm loi liên hop.
N®i dung đe c¾p trong lu¾n văn đưoc trình bày m®t cách ch¾t che ve
m¾t Toán hoc, các đ%nh nghĩa và ket lu¾n nêu ra có kèm theo ví dn
minh hoa.
N®i dung cúa bài nghiên cúu gom hai chương:
Chương 1: Kien thúc chuan b%.
Chương này trình bày m®t so khái ni¾m và ket quá can thiet cho
chương sau như: Không gian Banach, ánh xa tuyen tính, Đ%nh lý HahnBanach, song đoi ngau và tính trnc giao.
Chương 2: Hàm loi liên hop.
Chương này giói thi¾u ve hàm loi, hàm núa liên tnc dưói, hàm liên hop
và m®t so ket quá quan trong ve hàm loi liên hop.

5


Do là lan đau thnc t¾p nghiên cúu, thòi gian có han và năng lnc bán
thân còn han che nên chac chan bài nghiên cúu này khó tránh khói
nhung thieu sót. Em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay
cô và ban đoc đe đe tài này hoàn chính và đat ket quá cao hơn.


Chương 1

Kien thNc chuan b%
1.1. Không gian Banach
Trong phan này chúng ta se đ%nh nghĩa chuan cho các không gian
tuyen tính đe nó tró thành không gian tuyen tính đ%nh chuan. Đau tiên
ta đe c¾p khái ni¾m chuan.
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho X là m®t không gian tuyen tính trên trưòng
K, chuan trên X là hàm so
"." : X → R+
x ›→ "x",
thóa mãn các đieu
ki¾n
1)

"x" ≥ 0; "x" = 0 ⇔ x = 0;

2)

"λ x" = |λ | "x" ;


3)

"x + y" ≤ "x" + "y"

vói moi x, y ∈ R và λ ∈ K.
Đ%nh nghĩa 1.2. C¾p (X, "."), trong đó X là m®t không gian tuyen
tính, "."


là m®t chuan trên X , goi là m®t không gian tuyen tính đ%nh chuan
(hay goi tat là không gian đ%nh chuan).
Giá sú (X, ".") là m®t không gian đ%nh chuan. De dàng chúng minh
đưoc hàm
ρ : X × X → R+
xác đ%nh bói ρ (x, y) = "x − y" là m®t metric trên X , goi là metric sinh
bói chuan. Như v¾y, không gian tuyen tính đ%nh chuan là m®t không gian
metric. Giá sú (xn) là m®t dãy các phan tú cúa X và x0 ∈ X . Khi đó ta đ
%nh nghĩa:
lim xn = x0 ⇔ lim "xn − x0 " = 0.
n→∞

n→∞

Đ%nh nghĩa 1.3. Không gian tuyen tính đ%nh chuan (X, ".") đay
đú vói metric sinh bói chuan goi là không gian Banach.
Ta cũng có the đ%nh nghĩa không gian Banach như sau.
Đ%nh nghĩa 1.4. Không gian đ%nh chuan X đưoc goi là không gian
Banach, neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.
Trong đó, dãy cơ bán đưoc đ%nh nghĩa như sau :
Đ%nh nghĩa 1.5. Dãy điem (xn) trong không gian đ%nh chuan X

goi là đãy cơ bán, neu
lim
m,n→∞ "xn − xm " = 0.
Nhò nguyên lý làm đay không gian metric và metric ρ (x, y) = "x
− y",
moi không gian đ%nh chuan không phái là không gian Banach đeu có
the làm đay thành không gian Banach.
M®t so ví dn.
Ví dn 1. Kn (n ∈ N∗) là nhung không gian Banach vói chuan
.
"x" =

n

2

∑ |xi| ,

i=1


trong đó x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Kn.
Ví dn 2. Trưòng so huu tý Q là không gian tuyen tính đ%nh chuan vói
chuan
"x" = |x| , nhưng không phái là không gian Banach.
Ví dn 3. T¾p hop tat cá các hàm b% ch¾n trên không gian tôpô T :
B(T ) là không gian Banach vói chuan
"x" = sup |x(t)| .
t∈T


Th¾t v¾y, đau tiên ta chúng minh "." thóa mãn các đieu ki¾n ve chuan
trên
B(T ).
De thay · ∀x ∈ B(T ) : "x" ≥ 0.
"x" = 0 ⇔ sup |x(t)| = 0 ⇔ |x(t)| = 0 ∀t
t∈T

⇔ x(t) = 0 ∀t

⇔ x = 0.

· ∀x ∈ B(T ), λ ∈ K ta có
"λ x" = sup |λ x(t)| = sup |λ | |x(t)| = |λ | sup |x(t)| = |λ | "x".
t∈T

· ∀x, y ∈ B(T ) ta

t∈
T

t∈T

có
|x(t) + y(t)| ≤ |x(t)| + |y(t)| ≤ sup |x(t)| + sup |y(t)| .
t∈T

t∈T

⇒ sup |x(t) + y(t)| ≤ sup |x(t)| + sup |y(t)| .
t∈T


t∈T

t∈T

⇔ "x + y" ≤ "x" + "y" .
Bây giò ta se chúng minh B(T ) đay đú vói metric sinh bói chuan. Giá sú
dãy
(xn) là m®t dãy Cauchy tùy ý trong B(T ). Khi đó vói moi ε > 0, ton tai n0
sao cho vói moi m, n ≥ n0 ta có
"xn − xm " < ε,
túc là
sup |xn (t) − xm (t)| < ε.
Suy ra vói moi t ∈ T
,

t∈T

|xn(t) − xm (t)| < ε.

(1.1)

Suy ra (xn(t)) là m®t dãy Cauchy trong K, nên nó h®i tn trong K. Đ¾t


x(t) = lim xn(t) vói moi t
n→∞

T.
∈



Như v¾y, ta có hàm so x xác đ%nh trên T . Cho m → ∞ trong (1.1) ta
đưoc
|xn(t) − x(t)| ≤ ε ∀n ≥ n0, ∀t ∈ T.

(1.2)

Như v¾y, vói moi n ≥ n0, x − xn là hàm so b% ch¾n trên T . Kéo theo x
=
xn + (x − xn ) cũng là hàm so b% ch¾n trên T , túc là x ∈ B(T ).
Tù (1.2) suy ra
sup |xn (t) − x(t)| ≤ ε, ∀n ≥ n0.
t∈T

Túc là "xn − x" ≤ ε ∀n ≥ n0. Kéo theo
lim xn = x.
n→∞

Suy ra B(T ) là không gian đay đú.

1.2. Ánh xa tuyen tính
Trong mnc này ta luôn giá thiet các không gian X,Y nói đen đeu là
các không gian tuyen tính đ%nh chuan trên cùng m®t trưòng K.
Đ%nh nghĩa 1.6. M®t ánh xa A : X → Y goi là m®t ánh xa tuyen tính
hay
toán tú tuyen tính neu
1)

A (x1 + x2) = A(x1) + A(x2) vói moi x1, x2 ∈ X ;


2)

A (λ x) = λ A(x) vói moi x ∈ X, λ ∈ K.

Khi Y = K thì toán tú tuyen tính còn đưoc goi là phiem hàm tuyen
tính. Đ%nh nghĩa 1.7. Ánh xa A : X → Y đưoc goi là tuyen tính liên
tnc neu A tuyen tính và liên tnc theo các tô pô sinh bói chuan trên X và Y
.
Có the thay A liên tnc tai x0 ∈ X khi và chí khi vói moi dãy (xn) h®i
tn ve x0 trong X thì dãy (Axn) h®i tn ve (Ax0) trong Y .
Đ%nh lý 1.2.1. M®t toán tú tuyen tính A tù X vào Y là liên tnc khi và
chí khi nó b% ch¾n.


Đ%nh lý 1.2.2. Cho X và Y là hai không gian tuyen tính đ%nh chuan,
A:X→
Y là m®t toán tú tuyen tính. Neu A liên tnc tai x0 ∈ X thì A liên tnc trên X .
H¾ quá 1.1. Toán tú tuyen tính A b% ch¾n (liên tnc) neu t¾p các giá
tr% cúa nó trên m®t m¾t cau (tùy ý) b% ch¾n. (M¾t cau tâm x0, bán kính
α, ký hi¾u là S(x0, α), là t¾p các x sao cho "x − x0 " = α).
Giá sú toán tú tuyen tính A : X → Y là song ánh. Khi đó nó có toán tú
ngh%ch đáo A−1 : Y → X . Có the thay A−1 cũng là toán tú tuyen tính và
toán tú A có ngh%ch đáo khi và chí khi KerA = 0, túc là phương trình Ax
= 0 chí có m®t nghi¾m duy nhat x = 0.
Đ%nh lý 1.2.3. Neu m®t toán tú tuyen tính liên tnc A : X → Y có ngh
%ch đáo
A−1 liên tnc thì
(∀x ∈ X )


"Ax" ≥ m "x"

(1.3)

1

. Ngưoc lai neu có m > 0 nghi¾m đúng (1.3) thì A−1 ton
"A−1" tai,
liên tnc và có A−1 ≤ 1 .
vói m =

m

Vói hai không gian tuyen tính X và Y trên cùng m®t trưòng K, ký
hi¾u
L(X,Y ) là t¾p hop các toán tú tuyen tính tù X vào Y . Túc là
.
.
L(X,Y ) = A : X → Y |A tuyen tính .
Trên L(X,Y ) ta trang b% hai phép toán c®ng và nhân vô hưóng xác đ%nh
như sau: Vói moi A, B ∈ L(X,Y ) , λ ∈ K,
(A + B)(x) = Ax + Bx ∀x ∈ X ;
(λ A)(x) = λ (Ax) ∀x ∈ X.
Khi đó L(X,Y ) cùng vói hai phép toán trên là m®t không gian tuyen
tính. Đ¾c bi¾t, neu Y = K thì L(X, K) goi là không gian các phiem
hàm tuyen tính trên X và goi là không gian liên hop đai so cúa X , ký
hi¾u là X r . Không gian liên hop đai so cúa X r goi là không gian liên hop


đai so thú hai cúa X , ký hi¾u là X rr . Hien nhiên X r và Xrr là các không

gian tuyen tính trên K.


Đ%nh nghĩa 1.8. Ta ký hi¾u E ∗ là không gian đoi ngau cúa E,
nghĩa là
không gian cúa tat cá các phiem hàm tuyen tính liên tnc trên E; chuan
(đoi ngau) trên E ∗ đưoc đ%nh nghĩa bói :
" f "E ∗ = sup
"x"≤1,x∈E

| f (x)| = sup

f (x).

(1.4)

"x"≤1,x∈
E

Khi không có sn nham lan ta viet " f " thay cho " f "E ∗.
Vói f ∈ E ∗ và x ∈ E, ta thưòng viet < f , x > thay cho f (x); ta goi <
., . > là tích vô hưóng cúa c¾p đoi ngau E ∗ , E. Ta biet E ∗ là không gian
Banach, nghĩa là E ∗ là không gian đú (ngay cá khi E không là không gian
đú); đieu này đưoc suy ra tù vi¾c R là không gian đú.

1.3. Đ%nh lý Hahn-Banach
Dang giái tích cúa Đ%nh lý Hahn-Banach: Thác trien
phiem hàm tuyen tính Cho E là không gian vector trên R. Chúng
ta nhac lai rang m®t phiem hàm là m®t hàm xác đ%nh trên E, hay trên
m®t không gian con cúa E vói các giá tr% trong R. Ket quá chính cúa

phan này liên quan đen vi¾c thác trien m®t phiem hàm tuyen tính xác đ
%nh trên không gian con tuyen tính cúa E thành m®t phiem hàm tuyen tính
xác đ%nh trên toàn b® E.
Cho P là m®t t¾p hop có quan h¾ sap thú tn (b® ph¾n) ≤. Ta nói m®t
t¾p hop con Q ⊂ P là sap thú tn toàn phan neu vói bat kỳ c¾p (a, b)
trong Q ho¾c a ≤ b ho¾c b ≤ a (ho¾c cá hai). Cho Q ⊂ P là m®t t¾p
hop con cúa P; ta nói c ∈ P là m®t c¾n trên cúa Q neu a ≤ c vói moi a
∈ Q. Ta nói m ∈ P là m®t phan tú cnc đai cúa P neu không có phan tú x
∈ P sao cho m ≤ x, trù x = m. Chú ý rang m®t phan tú cnc đai cúa P
không can là m®t c¾n trên cúa P. Ta nói P là quy nap neu moi t¾p hop
con sap thú tn toàn phan Q trong P đeu có m®t c¾n trên.


Bo đe 1.1. (Zorn) Moi t¾p hop sap thú tn khác rong , quy nap đeu có
m®t phan tú cnc đai.


Chú ý 1. Bo đe Zorn có nhieu úng dnng quan trong trong giái tích, nó
là công cn cơ bán trong vi¾c chúng minh m®t so khang đ%nh ve sn ton
tai dưòng như hien nhiên như "moi không gian vector đeu có m®t cơ só
" và "trên không gian vector bat kỳ có các phiem hàm tuyen tính không
tam thưòng". Đ¾c bi¾t bo đe này là m®t công cn huu ích đe chúng
minh Đ%nh lý Hahn-Banach sau đây:
Đ%nh lý 1.1. (Hahn-Banach, Helly, Dang giái tích) Cho p : E → R là m®t
hàm thóa mãn:
p(λ x) = λ p(x), ∀x ∈ E và ∀λ > 0,
(1.5)
p(x + y) ™ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E.
(1.6)
Cho G ⊂ E là m®t không gian con tuyen tính và g : G → R là m®t

phiem hàm tuyen tính thóa mãn:
g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ G.

(1.7)

Vói giá thiet này, ton tai m®t phiem hàm tuyen tính f xác đ%nh trên E là thác
trien cúa g, nghĩa là g(x) = f (x), ∀x ∈ G và thóa mãn:
f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ E.

(1.8)

Chúng minh: Xét t¾p hop.

.
D(h) không gian con tuyen tính cúa

.
.

E h tuyen tính, G ⊂ D(h)
p = h : D(h) ⊂ E → R
.
..

. h thác trien g và h(x) ≤ p(x) ∀x ∈ D(h)
Trên P ta đ%nh nghĩa quan h¾ thú tn
h1 ≤ h2 ⇔ (D(h1) ⊂ D(h2)và h2 thác trien h1).




.





Rõ ràng P khác rong vì g ∈ P. Chúng ta se chí ra P là quy nap. Th¾t v¾y,
cho
Q ⊂ P là t¾p con sap thú tn toàn phan; ta viet Q là Q = (hi)i∈I và đ¾t
D(h) =

[

D(hi),

h(x) = hi(x) neu x ∈ D(hi) vói m®t i nào đó.

i∈I

De dàng thay rang h hoàn toàn xác đ%nh, h ∈ P và h là m®t c¾n trên
cúa Q. Theo Bo đe Zorn, có m®t phan tú cnc đai f trong P. Ta se chúng
tó rang D( f ) = E là xong.
Giá sú ngưoc lai rang D( f ) ƒ= E. Lay x0 ∈/ D( f ); đ¾t D(h) = D( f )
+ Rx0,
và vói moi x ∈ D( f ), đ¾t h(x0 + tx0) = f (x) + tα. (t ∈ R), trong đó
hang so
α ∈ R đưoc chon sao cho h ∈ P. Ta phái đám báo rang:
f (x) + tα ≤ p(x + tx0), ∀x ∈ D( f ) và ∀t ∈ R.
Theo (1.5) ta chí can chúng minh rang:
.

f (x) + α ≤ p(x + x0)∀x ∈ D( f )
f (x) −α ≤ p(x − x0 ) ∀x ∈ D( f ).
Nói cách khác, ta phái tìm m®t so α thóa mãn:
Sup { f (y) − p(y − x0 )} ≤ α ≤
{p(x − x0 ) − f (x)} .
y∈D(
in f
f)

x∈D( f )

M®t so α như v¾y ton tai, vì
f (y) − p(y − x0 ) ≤ p(x + x0) − f (x)

∀x ∈ D( f ), ∀y ∈ D( f );

Th¾t v¾y, tù (1.6) ta suy ra:
f (x) + f (y) ≤ p(x + y) ≤ p(x + x0) + p(y − x0 ).
V¾y f ≤ h nhưng đieu này là không the vì f là cnc đai và h ƒ= f .
Bây giò chúng ta mô tá m®t so úng dnng đơn gián cúa Đ%nh lý 1.1 trong
trưòng hop E là không gian vector đ%nh chuan vói chuan ".".


H¾ quá 1.2. Cho G ⊂ E là không gian con tuyen tính. Neu g : G →
R là
phiem hàm tuyen tính liên tnc, thì ton tai f ∈ E ∗ thác trien g và thóa mãn
" f "E ∗ = sup | f (x)| = "g"G ∗.
x∈E

"x"≤1


Chúng minh, sú dnng Đ%nh lý 1.1 vói p(x) = "g"G ∗"x".
Ta thay p (x) = "g"G∗ "x" thóa mãn (1.5), (1.6). Th¾t v¾y:
·

p(λ x) = "g"G∗ "λ x" = λ "g"G∗ "x" ∀λ > 0, ∀x ∈ E.

·

p(x + y) = "g"G∗ "x + y" ≤ "g"G∗ ("x" + "y") = "g"G∗ "x" +

"g"G∗ "y"
= p(x) + p(y).
Theo Đ%nh lý 1.1, ton tai thác trien liên tnc f cúa g trên E (túc là f ∈
E ∗ ) và thóa mãn:
f (x) ≤ p(x) = "g"G∗ "x", ∀x ∈ E.
Thay x bói −x ⇒− f (x) = f (−x) ≤ "g"G∗ "−x" = "g"G∗
⇒ f (x) ≥ − "g"G∗ "x", ∀x ∈ E
Do đó
| f (x)| ≤ "g"G∗ "x", ∀x ∈ E.
Suy ra " f "E∗ ≤ "g"G∗ M¾t khác, lay x0 ∈ G có "x0" = 1 thì ta có:
f (x0) = g(x0).
Theo (1.9) thì |g(x0)| ≤ "g"G∗ nên | f (x0)| = |g(x0)| = "g"G∗ .
V¾y:

Chúng tó

" f "E∗ = sup| f (x)| ≥ | f (x0)| =
"g"G∗ .
x∈E


" f "E∗ = "g"G∗ .
H¾ quá 1.3. Vói moi x0 ∈ E ton tai f0 ∈ E ∗ thóa mãn

(1.9)


2

" f0" = "x0" và < f0, x0 >= "x0" .


Chúng minh.
Sú dnng H¾ quá 1.2 vói G = Rx0 và g(tx0) = t
"x0"

2

. Suy ra "g"G ∗ = "x0".

Chú ý 2. Phan tú f0 đưoc cho bói H¾ quá 1.3 nói chung là không duy
nhat. Tuy nhiên neu E ∗ là không gian loi ng¾t–chang han neu E là
không gian
Hilbert ho¾c neu E = Lp(Ω) vói 1 < p < ∞ thì f0 là duy nhat. Tong
quát, chúng ta d¾t , vói moi x0 ∈ E,
F(x0) = , f0 ∈ E ∗ ; " f0" = "x0" và < f0, x0 >= "x"0

2

,.


Ánh xa (đa tr% ) x0 → F(x0) đưoc goi là ánh xa đoi ngau tù E vào E ∗ .
H¾ quá 1.4. Vói moi x ∈ E ta có
"x" =
f

|< f , x >| = max

sup

f ∈E∗," f
"≤1

∈E∗," f "≤1

|< f , x >| .

(1.10)

Chúng minh. Ta có the giá sú rang là x ƒ= 0. Rõ ràng là
sup
f

∈E∗,"

f "≤1

|< f , x >| ≤ "x".

M¾t khác, theo H¾ quá 1.3, ton tai f0 ∈ E ∗ thóa mãn " f0" = "x" và

2

< f0 , x >=
. Đ¾t f1 = f0 /"x" suy ra " f " = 1 và < f1, x >= "x".
"x"
Chú ý 3. Công thúc (1.4)-là đ%nh nghĩa-không đưoc nham vói công
thúc (1.10)-là m®t khang đ%nh. Nói chung " sup " trong (1.4) là không
đat đưoc. Tuy nhiên " sup " trong (1.4) đat đưoc neu E là không gian
Banach phán xa
và R.C.James đã khang đ%nh đieu ngưoc lai : Neu E là không gian
Banach sao cho vói moi f ∈ E ∗ " sup " trong (1.4) đeu đat đưoc thì E
phán xa.
Dang hình hoc cúa Đ%nh lý Hahn-Banach: Tách các t¾p
loi.
Chúng ta bat đau vói m®t so van đe sơ b® ve siêu phang. Dưói đây, E
ký hi¾u là không gian vector đ%nh chuan.


Đ%nh nghĩa 1.9. M®t siêu phang afin là m®t t¾p hop con H cúa E
có dang
H = {x ∈ E; f (x) = α} ,


trong đó f là m®t phiem hàm tuyen tính không đong nhat bang
không và α ∈ R là m®t hang so đã cho. Ta viet H = [ f = α] và nói
rang f = α là
phương trình cúa H.
M¾nh đe 1.1. Siêu phang H = [ f = α] là đóng neu và chí neu f liên
tnc.
Chúng minh. Rõ ràng neu f liên tnc thì H đóng. Ngưoc lai, ta giá sú H

đóng. Phan bù H c cúa H là mó và khác rong (vì f không đong nhat bang
không). Lay x0 ∈ H c , suy ra f (x0) ƒ= α, giá sú, f (x0) < α. Co đ%nh r
> 0 sao cho B(x0, r) ⊂ H c , trong đó
B(x0, r) = {x ∈ E; "x − x0 " < r}.
Chúng ta chúng minh rang
f (x) < α, ∀x ∈ B(x0, r).
(1.11)
Th¾t v¾y, giá sú ngưoc lai rang f (x1) > α vói m®t x1 ∈ B(x0, r). Khi đó
đoan thang
{xt = (1 − t)x0 + tx1; t ∈ B(x0, r)}
chúa trong B(x0, r) nên f (xt ) ƒ= α
∀t ∈ [0, 1]; M¾t khác, f (xt ) = α
vói m®t
f (x1−α)
t [0, 1], chang han t =
. Mâu thuan này chúng tó là có (1.11).
∈
f (x1)− f (x0)

Tù (1.11) suy
ra

f (x0 + rz) < α ∀z ∈ B(0, 1).

Do đó, f liên tnc và " f " ≤

α

1


(α − f (x0)) .

Đ%nh nghĩa 1.10. Cho A và B là hai t¾p hop con cúa E. Ta nói siêu
phang
H = [ f = α] tách A và B neu
f (x) ≤ α ∀x ∈ A và f (x) ≥ α ∀x ∈ B.
Ta nói H tách ng¾t A và B neu ton tai m®t so ε > 0 thóa mãn
f (x) ≤ α −ε ∀x ∈ A và f (x) ≥ α + ε ∀x ∈ B.


Ve m¾t hình hoc, thu¾t ngu tách có nghĩa là A nam trong m®t núa
không gian xác đ%nh bói H, và B nam trong núa không gian kia. Cuoi
cùng chúng
ta nhac lai rang m®t t¾p hop con A ⊂ E là loi neu
tx + (1 −t)y ∈ A, ∀x, y ∈ A,

∀t ∈ [0, 1].

Đ%nh lý 1.2. (Hahn-Banach, dang hình hoc thú nhat)
Cho A ⊂ E và B ⊂ E là hai t¾p hop con, loi, khác rong thóa mãn
A ∩ B ƒ= φ . Giá sú m®t trong hai t¾p là mó. Khi đó ton tai m®t siêu
phang đóng tách A và B.
Chúng minh Đ%nh lý 1.2 dna trên hai bo đe dưói đây.
Bo đe 1.2. Cho C ⊂ E là m®t t¾p hop con, loi, mó vói O ∈ C. Vói moi
x∈E
đ¾t
.
.
−1
p(x) = in f α > 0; α x ∈ C .

(1.12)
(p đưoc goi là cõ cúa C hay phiem hàm Minkowski cúa C).
Khi đó p thóa mãn (1.5), (1.6) và có các tính chat sau:
Ton tai m®t hang so M sao cho 0 ≤ p(x) ≤ M "x" ∀x ∈ E, (1.13)
C = {x ∈ E; p(x) < 1} .

(1.14)

Chúng minh Bo đe 1.2. Rõ ràng (1.5) đúng.
Chúng minh (1.13). Lay r > 0 sao cho B(0, r) ≤ C; rõ ràng ta có
1
p(x) ≤ "x", ∀x ∈ E.
r
Chúng minh (1.14). Trưóc tiên, giá sú x ∈ C, vì C là
mó nên suy ra (1 +
ε)x ∈ C vói moi ε > 0 đú nhó và do đó p(x) ≤ 1 1 ε < 1. Ngưoc lai, neu
p(x) < 1 thì ton tai α ∈ (0, 1) sao cho +
α−1x ∈ C, và do đó x = α(α−1x)
+ (1 − α)0 ∈ C. Chúng minh (1.6). Lay x, y ∈ E và ε > 0. Sú dnng
(1.5) và (1.14) ta thu
đưoc

x
p(x)
+ε

∈C
Chon giá tr%và
t


y
p(y)
+ε
p(x)+ε
p(x)+p(y)
+2ε

(1−t)
∈ C vói moi t ∈ [0,
y
+ p(y)
1].
p(x)
+ε
x+y p(x)
, ta thay rang +p(y)+2ε
∈ C. Sú dnng (1.5)

∈ C. Do đó

tx

và (1.14) m®t lan nua ta suy ra p(x + y) < p(x) + p(y) + 2ε, ∀ε > 0.


Bo đe 1.3. Cho C ≤ E là m®t t¾p hop loi, mó, khác rong và x0 ∈ E
vói
x0 ∈/ C. Khi đó, ton tai f ∈ E ∗ thóa mãn f (x) < f (x0 ) ∀x ∈ C. Đ¾c
bi¾t, siêu phang [ f = f (x0)] tách x0 và C.
Chúng minh Bo đe 1.3. Sau m®t phép t%nh tien chúng ta luôn có the

giá sú rang 0 ∈ C. Do đó ta có hàm cõ p cúa C (xem Bo đe 1.2). Xét
không gian con tuyen tính G = Rx0 và phiem hàm tuyen tính g : G → R
xác đ%nh bói
g(tx0) = t, t ∈ R.
Rõ
ràng

g(x) ƒ= p(x) ∀x ∈ G

(Xét hai trưòng hop t > 0 và t ≤ 0). Tù đ%nh lý 1.1 suy ra ton tai m®t
phiem
hàm tuyen tính f trên E thác trien g và thóa mãn
f (x) ≤ p(x) ∀x ∈ E.
Đ¾c bi¾t, ta có f (x0) = 1 và theo (1.13) thì f liên tnc. Tù (1.14) ta suy
ra
f (x) < 1 vói moi x ∈ C.
Chúng minh Đ%nh lý 1.2. Đ¾t C = A − B, suy ra C loi, C mó (vì C = (∪
y B
A−
∈

y)), và 0 ∈/ C (vì A ∩ B = φ ). Theo Bo đe 1.3 ton tai f ∈ E ∗ thóa
mãn
f (z) < 0 ∀z ∈ C,
nghĩa
là

f (x) < f (y) ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

Co đ%nh m®t hang so α thóa mãn

sup f (x) ≤ α ≤ in f f (y).


x∈A

Rõ ràng, siêu phang [ f = α] tách A và
B.

y∈B