TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

TRƯƠNG THỊ HÀ

HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Giáo viên hướng dẫn
ThS. NGUYỄN QUỐC TUẤN

HÀ NỘI, 2012


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chuyên ngành: Giải tích

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới thầy
ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt thời
gian tập dượt nghiên cứu khoa học và hoàn thiện khóa luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy trong tổ Giải tích, các thầy
giáo, cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 đã hết lòng dạy dỗ tôi trong suốt thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ, quan tâm, động viên của gia
đình, bạn bè trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Trương Thị Hà

Trương Thị Hà K34A-Toán


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, do chính sức lực
của bản thân tôi nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã được
học và các tài liệu tham khảo. Khóa luận không trùng với kết quả của bất cứ
người nào khác đã có trước đó.

Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Trương Thị Hà


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
NỘI DUNG.......................................................................................................4
Chương 1. Hàm đơn điệu................................................................................4
1.1. Các khái niệm hàm số một biến số........................................................ 4
1.1.1. Các khái niệm hàm số................................................................... 4
1.1.2. Giới hạn và hàm số liên tục của hàm số một biến số.....................4
1.2. Khái niệm hàm đơn điệu........................................................................ 8
1.3. Một số định lý về hàm đơn điệu............................................................ 9

Chương 2. Ứng dụng của hàm đơn điệu......................................................14
2.1. Ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các bài toán về dãy số................14
2.1.1. Phương pháp................................................................................ 14
2.1.2. Ví dụ minh họa............................................................................ 14
2.1.3. Bài tập vận dụng.......................................................................... 23
2.2. Ứng dụng của hàm số đơn điệu để giải phương trình..........................24
2.2.1. Phương pháp................................................................................ 24
2.2.2. Ví dụ minh họa............................................................................ 25
2.2.3. Bài tập vận dụng.......................................................................... 28
2.3. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ phương trình................................. 29
2.3.1. Phương pháp................................................................................ 29


2.3.2. Ví dụ minh họa............................................................................ 29
2.3.3. Bài tập vận dụng.......................................................................... 34
2.4. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải bất phương trình...............................34
2.4.1. Phương pháp................................................................................ 34
2.4.2. Ví dụ minh họa............................................................................ 35
2.4.3. Bài tập vận dụng.......................................................................... 40
2.5. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ bất phương trình...........................41
2.5.1. Phương pháp................................................................................ 41
2.5.2. Ví dụ minh họa............................................................................ 41
2.5.3. Bài tập vận dụng.......................................................................... 43
2.6. Ứng dụng hàm đơn điệu để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ... 43
2.6.1. Phương pháp................................................................................43
2.6.2. Ví dụ minh họa............................................................................ 44
2.6.3. Bài tập vận dụng.......................................................................... 48
2.7. Ứng dụng hàm đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức thức...............49
2.7.1. Phương pháp................................................................................ 49
2.7.2. Ví dụ minh họa............................................................................ 49

2.7.3. Bài tập vận dụng.......................................................................... 52
2.8. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải phương trình hàm.............................52
2.8.1. Phương pháp................................................................................ 52
2.8.2. Ví dụ minh họa............................................................................ 53
2.8.3. Bài tập vận dụng.......................................................................... 57


Chương 3. Sáng tạo bài toán mới..................................................................58
3.1. Phương pháp sáng tạo bài toán mới về dãy..........................................58
3.2. Phương pháp sáng tạo bài toán mới về phương trình, hệ phương trình59
3.3. Phương pháp sáng tạo bài toán mới về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất............................................................................................60
KẾT LUẬN.....................................................................................................62
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................63


MỞ ĐẦU

Hàm đơn điệu là một lớp hàm cơ bản, quan trọng trong lý thuyết hàm
số và có ứng dụng rất mạnh trong toán sơ cấp cũng như trong toán học hiện
đại ngày nay. Nhờ có tính chất đơn điệu của hàm số mà chúng ta đã giải quyết
được rất nhiều vấn đề trong toán học. Trong toán sơ cấp, các bài toán liên
quan đến hàm đơn điệu xuất hiện nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi toán
phổ thông, kỳ thi Olympic học sinh, Olympic sinh viên, các kỳ thi đại học,
cao đẳng… Đó là các dạng bài toán về dãy số, phương trình, hệ phương trình,
các bài toán về bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, giá trị
lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) và phương trình hàm…
Hiện nay, đã có một số sách chuyên đề viết về phương pháp giải bài
toán sử dụng tính đơn điệu của hàm số cho từng dạng bài toán cụ thể (xem
[1,3,5,9,12]) và cũng đã có một số sinh viên nghiên cứu và hoàn thành khóa

luận tốt nghiệp đại học với đề tài liên quan tới hàm đơn điệu (xem [10]). Các
tài liệu đó đã nghiên cứu sự vận dụng của hàm đơn điệu vào giải một số dạng
toán ở toán học phổ thông nhưng vẫn chưa đưa ra phương pháp sáng tạo bài
toán mới dựa trên lớp hàm đơn điệu. Với mục đích là tìm hiểu sâu hơn nữa về
ứng dụng của hàm đơn điệu trong toán học và nghiên cứu phương pháp sáng
tạo bài toán mới dựa trên lớp hàm đơn điệu. Cũng là để tích lũy vốn kinh
nghiệm cho bản thân phục vụ cho công tác giảng dạy sau này, đồng thời giới
thiệu cho các em học sinh phổ thông, các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan
và sâu sắc hơn về hàm đơn điệu và ứng dụng của hàm đơn điệu.

Trương Thị Hà K34A-Toán

1


Vì những lý do trên cùng với sự góp ý động viên và tận tình giúp đỡ
của các thầy cô, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, với sự đam mê của
bản thân tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài
"Hàm đơn điệu và ứng dụng".
Dựa trên những kết quả đã có và những hạn chế trong nội dung của các đề
tài khóa luận trước đó, cùng với các tài liệu tham khảo có liên quan tới hàm đơn
điệu. Trong khóa luận này, tôi đã nghiên cứu các ứng dụng của hàm đơn điệu
trong giải toán ở phổ thông, ứng dụng trong việc giải các bài toán về dãy số,
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất
đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và phương trình hàm, đồng thời đề
ra phương pháp sáng tạo bài toán mới cho các bài toán đó.
Khóa luận của tôi gồm 3 phần:
Phần 1. Mở đầu
Phần 2. Nội dung gồm:
Chương 1. Hàm đơn điệu

Chương này, trình bày về các khái niệm hàm số, khái niệm hàm số
đơn điệu và các tính chất của hàm đơn điệu.
Chương 2. Ứng dụng của hàm đơn điệu
Chương này, nghiên cứu các ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các
dạng bài toán về dãy số, giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương
trình, bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và phương
trình hàm.
Chương 3. Sáng tạo bài toán mới
Trong chương này, tôi đã đưa ra phương pháp sáng tạo một số bài toán
mới dựa vào các phương pháp giải và các bài toán đã nêu ở chương 2.


Phần 3. Kết luận.
Mặc dù khóa luận đã hoàn thành với sự đam mê và cố gắng của bản
thân, song do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân tôi,
nên trong quá trình viết cũng như trong quá trình in ấn khóa luận không tránh
khỏi những thiếu sót. Tôi kính mong các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên
đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành khóa luận của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa toán trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận
tình hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa luận.


Chương 1

Hàm đơn điệu
1.1. Các khái niệm hàm số một biến số
1.1.1. Các khái niệm hàm số
Cho một tập hợp khác rỗng D □ , hàm số f xác định trên D là
một

quy tắc cho tương ứng với mỗi số x
D
f x ;
số

f

với một và chỉ một số, kí hiệu là

x đó được gọi là giá trị của hàm số

Kí hiệu, y f x
 
hoặc

x f

f tại x .

x.

Tập xác định (miền xác định) của hàm số y f
x



là tập hợp tất cả

các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f (x) được xác định.
Cho hàm số y f

x



xác định trên tập hợp D . Khi đó trong mặt

phẳng R2 , tập hợp G gồm các điểm có tọa độ




x, f

(x) 

gọi là đồ thị của hàm số f .
1.1.2. Giới hạn và hàm số liên tục của hàm số một biến số
 Khái niệm lân cận

với x
D

được


Cho điểm x0 thuộc tập D nằm trong □ , khoảng
 , kí
hiệu là V x0 , với 0 được gọi là - lân x .
0
cận của


x0 , x0


Lân cận tại một điểm x0 là tập hợp U chứa điểm x mà trong đó tồn
0
tại một - lân cận nào đó tại điểm
x0

nằm trong U , có nghĩa là, tồn tại

Vx0 U .
 Khái niệm giới hạn của hàm số
Cho hàm số y f
x



xác định trên tập hợp D R lấy giá trị
trên R ,

x0 là một điểm giới hạn của tập hợp D . Số l được gọi là giới hạn của hàm số
f khi x dần đến

x0 , nếu với

0, 

, x0 0:
Kí hiệu,


lim f x 
l
xx 0

f x 
l

,x x  .
D, 0  x0

hay f  x 
khi x x0 .

l

Ta gọi số l là giới hạn trái của hàm số f khi x
(nghĩa là x



x0
x
0

nhưng luôn luôn

x x0 ), nếu với

0, 


, x0 0:
Kí hiệu,

lim

f

x

f x 
l

, x D,0 x0
x  .

 

f x
0 .

l
xx 0

Ta gọi số l là giới hạn phải của hàm số f khi


xx




(nghĩa x
là

x0
0

nhưng luôn luôn

x x0 ), nếu với

0, 

, x0 0:
Kí hiệu, l lim

f x 
l

, x D,0 x
x0  .



 .

f x  f x0


xx 0


Ta nói hàm số f có giới hạn là
khi



x x , nếu với
0

A 0,A, x0 x
D,
 0: f x A,
0
Kí hiệu, lim f x .
 
xx0

x  .
x0


Ta nói hàm số f có giới hạn là
khi
A 0,A, x0

 0: f x A,



x x , nếu với

0

x
D,
0

x  .
x0

Kí hiệu, lim f x .
 
xx0

Ta gọi số l là giới hạn của hàm số f khi x tiến ra , nếu
với
0, M
M

f x 
l

0 :

Kí hiệu, lim f
x l



,


x D, x M .

hay f  x 
khi x .

l

x

Ta gọi số l là giới hạn của hàm số f khi x tiến ra , nếu
với
0, M  f x   x D, x M .
,
M 0 :
l
Kí hiệu,

hay f  x 
khi x .

l

lim f x 
l

x





 Khái niệm hàm số liên tục hàm số gián đoạn
Cho hàm số y f
x
khoảng
số

 a,b  ,

hàm



xác định trong khoảng

 a,b 

y f
x



và điểm x0 thuộc

được gọi là liên tục tại điểm
x0

nếu


lim f x 

f


x0 .

xx 0

Hàm số y f
x



được gọi là hàm số liên tục trong khoảng

 a,b 

nếu

nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng đó.
Cho hàm số

y f x xác định trên đoạn  a,b  . Hàm số đó được
gọi là

một hàm số liên tục trái tại điểm b (hay liên tục phải tại điểm a ) Nếu:
lim


xb


f x  f  b 
(hay


lim f x  f  a ).


x


a

Hàm số y f được gọi là hàm số liên tục trên đoạn

a,b
x

nếu nó



liên tục tại mỗi điểm của khoảng
 a,b 
phải tại điểm a .

và liên tục trái tại điểm b , liên tục


Nhận xét 1.1. Điều kiện cần và đủ để hàm số f
y


x liên tục tại điểm

x0 là

nó liên tục phải và liên tục trái tại điểm đó hay
lim f x  f x  f

lim



xx0

Cho hàm số y f



x

x0  .

xx 0

xác định trong khoảng  a,b  , hàm
số

được gọi là gián đoạn tại điểm x
0
  a,


y f



x

nếu nó không liên tục tại điểm đó,

b

hay ta nói x0 là điểm gián đoạn của hàm f .
Điểm gián đoạn của hàm số thường phân thành hai loại:
i)

điểm x0

Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại một nếu f gián đoạn tại


nhưng tồn tại f  x0 
và



f  x0  , đặc biệt nếu có

lim

f x  f x  f


lim



xx0

x0 ,

xx
0

thì f còn được gọi là gián đoạn bỏ được tại điểm

x0 , hay x0 là điểm gián

đoạn bỏ được.
ii) Hàm số f gián đoạn tại điểm x0
nhưng không phải là gián đoạn loại
một thì ta bảo điểm x0

là điểm gián đoạn loại hai của hàm f .

 Khái niệm đạo hàm
Cho hàm số


y f x xác định
trên  a,b và điểm x0
x0 một số gia


f x0 
x 

thuộc  a,b  , cho

x x x0  a,b  , lập số
gia hàm số

 f x f
y
x0  

y
f x . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) của tỉ số
khi x
x

0

thì ta nói rằng hàm số
hàm của hàm số f tại


x
f

x0 .

khả vi tại x  và giới hạn đó được gọi là đạo

x0


Kí hiệu, f  lim
x
lim
0

y

x0 
x 
f

x0

f

x0 

.

x

x0

x
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải lim
y


thì ta gọi giới hạn đó


y f x  x0 x
là đạo hàm bên phải của hàm số tại
x x0 .



Kí hiệu,

f   x0 .

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên trái

lim
y

thì ta gọi giới hạn đó là


x0
x
y f x 
đạo hàm bên trái của hàm số tại
x x0 .



Kí hiệu,


f   x0 .

Hàm số y f



được gọi là khả vi (có đạo hàm) trên khoảng  a,b 

x
nếu nó khả vi tại mỗi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số y f được gọi là có đạo hàm trên đoạn

a,b
x

nếu nó có



đạo hàm trên  a,b  và có đạo hàm bên phải tại điểm a, bên trái tại điểm b .


1.2. Khái niệm hàm đơn điệu
Cho tập D □ và
hàm số

f :D □ , ta nói hàm f là hàm
đơn điệu


tăng (tương ứng, tăng thực sự) hay đồng biến trên D nếu từ điều kiện
x1, x2 D,
ta suy ra f x1 f x2 (tương ứng, f x1 f
x1 x2
 


x2 ).

Ta nói hàm f là hàm đơn điệu giảm (tương ứng, giảm thực sự) hay
nghịch biến trên D nếu từ điều kiện x ,
x
f (x1 ) f (x2 )
(tương ứng, 
).

1

D, ta suy ra f (x ) f (x )
x x

2

1

2

Các hàm tăng và hàm giảm được gọi là hàm đơn điệu.

1


2


 Một số tính chất của hàm đơn điệu
Nếu các hàm f và g đồng biến trên tập hợp D thì hàm f 
g

cũng

đồng biến trên D .
Nếu hàm f đồng biến trên tập hợp D , thì hàm
f

nghịch biến trên

D.
Nếu hàm số y f
(x)
thì hàm số y


1

đồng biến và có dấu không đổi trên tập hợp D

là nghịch biến trên D .

f (x)
Nếu các hàm số f và g đồng biến và tương đương trên tập hợp D , thì

hàm số f .g đồng biến trên D .
1.3. Một số định lý về hàm đơn điệu
Định lý 1.1 (xem 1 ). Cho phương
trình

f (x) g(x) , với mọi x
D □ .

Giả sử trên miền D hàm f luôn đồng biến còn hàm g luôn nghịch biến. Khi
đó, nếu phương
trình

f (x) 
g(x)

có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Chứng minh. Giả sử x x là một nghiệm của phương
0
trình
D1 x : x 
x0  D

f (x) g(x) .
Gọi

và D2 x: x x0  D .


Do f luôn đồng biến trên D nên ta có f x f x f

   0 


x D2 , xD1 .
D
nên
g x g x0

g
luôn nghịch
cũng có

biến

với mọi x D2 , xD1 . f (x0 ) 
Nhưng vì
g(x 0 )

 g x 

suy ra f (x) 
g(x)
của phương trình

Do
ta

xvới
trên
nên ta


với mọi x D1
x  là nghiệm duy nhất
D2 . Tức là x0
f

xg x, với

x D .

□


Định lý 1.2 (xem 16 ). Cho hàm
số
a)

Nế
u

f (x)


b)

Nế
u

f  x 
0


0 với
mọi
với
mọi

y f x có đạo hàm trên khoảng

 a,b .

x  a,b thì hàm số đồng biến trên khoảng
đó.
x  a,b thì hàm số nghịch biến trên khoảng
đó.

Chứng minh. Theo định nghĩa, ta có đạo hàm của hàm số y f tại điểm

x

x0 bất kì, x0  a,b  f x0  f x  f x0 
.

lim
là
x
x x0

x0
f x0 0 , lim
f x0

a) Nếu suy ra
f x 


0 .
x
x x 0

x0
g x 
lim g x 
f x0 
, suy 0
Ta đặt 
f x 
ra

x x0




0

sao cho g x 
0

f x 
f x0 



xx0

với mọi x thuộc D mà 0 x
x0

0 x
với mọi x thuộc D , x0

0
x x0
Trương Thị Hà K34A-Toán

có nghĩa là tồn tại

, hay ta
có

, suy ra hàm f
đồng

biến trên khoảng

x0 , x0
10




. Do x0


bất kì thuộc khoảng
 a,b 

f đồng biến trên khoảng  a,b  . Vậy,
nếu hàm số đồng biến.
lim

b) Nếu f x0 0 ,
suy ra

g x 
Ta đặt 

f x  f x0



x

x0

f

f x 



0


sao cho g x 
0

f x 
f x0 


b

0 .

lim g x 
, suy 0

x0 

có nghĩa là tồn tại

ra
xx 0

với mọi x thuộc D mà 0 x
x0

0 x
với mọi x thuộc D , x0

0
x x0


Trương Thị Hà K34A-Toán

với mọi x
thì
  a,

x x 0

x x0



f x0 
0

nên hàm

11

, hay ta
có

, suy ra hàm f
ngịch


biến trên khoảng

x0 , x0


bất kì thuộc khoảng

nên hàm

 a,b

. Do x0
f nghịch biến trên khoảng  a,b  . Vậy,
nếu

f x0 
0

với mọi x
thì
  a,
b

hàm số nghịch biến.

□

Định lý 1.3 (xem 16 ). Cho hàm
số
Nế
u

f (x) 0
(hoặc


y f (x) có đạo hàm trên khoảng

 a,b  .

f (x) 0 ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn

điểm trên khoảng đó thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.
Chứng minh. Chứng minh tương tự như định lý 1.2.
Định lý 1.4 (xem 8 ).
Cho

□

f :  a,b  □ là một hàm đơn điệu.
Điều kiện

cần và đủ để hàm f liên tục trên a,b là tập giá trị của nó chính là đoạn với
hai đầu
mút

f (a)
và

f (b).

Chứng minh. Ta xét trường hợp hàm f là hàm tăng (nếu hàm f là hàm giảm
thì ta xét hàm g : f , khi đó, hàm g là hàm tăng).

Điều kiện cần: Giả sử hàm f liên tục trên


a,b
f  a  , f  b  ,
với mọi

x  a,b  . Thật vậy,
ta có

ta chứng minh f a,b 

f

 a,b
f  a  , f

b f
  a 
.


f  x 

f b

Ngược lại, ta lấy  f


(1.1)

suy ra


theo giả thiết hàm f liên tục, áp dụng

 a  , f  b ,
định lý Bolzano – Cauchy về giá trị trung gian, suy ra tồn tại c
  a,

sao

b
cho


f  c . Do
đó,

f  a  , f

f  a,b.

(1.2)

 b 
Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra

f  a,b  f  a  , f  b  .

Điều kiện đủ: Giả sử f là hàm tăng và

f


 a,b f  a  , f  b , ta

chứng
minh f liên tục trên

a,b

bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, hàm f gián