Giải gần đúng đạo hàm và tích phân

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian học tại khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội 2, được
sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy giáo cô giáo, em đã tiếp thu được
nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu
làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây, em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo trong khoa
Toán - Những người đã giúp đỡ, chăm lo và dìu dắt chúng em trưởng thành
như hôm nay.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ở chân thành và sâu sắc nhất tới thầy: TS
Nguyễn Văn Hùng - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp
nhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này.
Sinh viên

Bùi Thị Cương

Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Bùi Thị Cương


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn
Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em trong quá trình nghiên cứu
và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu
trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên

Bùi Thị Cương


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1....................................................................................................... 2
A.

SAI SỐ.................................................................................................................................. 2

1.1 Số gần đúng và sai số..................................................................................................... 2
1.3
B.

Sai số tính toán và sai số phương pháp.................................................................... 5
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN.................................................................... 6

1.4

Đạo hàm.............................................................................................................................. 6

1.5

Tích phân............................................................................................................................. 8

CHƯƠNG 2....................................................................................................... 9
2.1

Mở đầu............................................................................................................................... 10


2.2

Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy Lagrange..................10

2.3

Giải gần đúng đạo hàm nhờ đa thức nội suy với mốc cách đều...................14

2.4

Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng hàm nội suy Spline bậc ba................24

CHƯƠNG 3..................................................................................................... 28
3.1

Mở đầu............................................................................................................................... 28

3.2

Công thức hình thang................................................................................................... 29

3.3

Các công thức Parabol (Simpson)............................................................................ 33

3.4

Công thức Newton-Cotes............................................................................................ 39


3.5

Công thức Chebyshev................................................................................................... 42

3.6

Công thức Gauss............................................................................................................ 43

3.7

Giải gần đúng tích phân bội bằng phương pháp Monte-Carlo......................46

CHƯƠNG 4..................................................................................................... 48
A.GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM.................................................................................. 48
B.GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN................................................................................ 50


LỜI NÓI ĐẦU
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toàn có nguồn gốc từ
thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thành hai
lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán ứng dụng. Khi nói đến toán ứng dụng
không thể không nói đến giải tích số.
Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng các
phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu. Sự ra đời và
phát triển của giải tích số đã góp phần quan trọng tạo ra các thuật giải các bài
toán thực tế như: Các bài toán ngược trong lĩnh vực thăm dò, chuẩn đoán,
nhận dạng…
Ngày nay với sự phát triển của tin học thì các kiến thức của giải tích số
càng trở lên cần thiết. Chúng ta đang được chứng kiến xu thế song song hóa
đang diễn ra trong tất cả các lĩnh vực của giải tích số. Để tiết kiệm bộ nhớ

trong máy tính người ta đề suất ra những phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn,
thưa như kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận…
Vì vậy, với niềm yêu thích bộ môn giải tích số em đã lựa chọn đề tài cho
khóa luận đề tài tốt nghiệp của em là: “Tính gần đúng đạo hàm và tích phân”
Khóa luận này gồm 4 chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Giải gần đúng đạo hàm
Chương 3: Giải gần đúng tích phân
Chương 4: Bài tập

Đại học Sư phạm Hà Nội 2

-1-

Bùi Thị Cương


CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
A. SAI SỐ
1.1 Số gần đúng và sai số
1.1.1 Số gần đúng - sai số tương đối và sai số tuyệt đối
Ta gọi x là số gần đúng của x* nếu x không sai khác nhiều so với x* hiệu
số Δ = | x*- x | được gọi là số thực của x vì không biết được giá trị đúng x*
nên không thể xác định được ∆
Mặt khác ta có thể tìm được số ∆≥0 sao cho | x*- x | Δx . Khi
đó: Δx được gọi là sai số tuyệt đối của x


 x=


x

x

đươc gọi là sai số tương đối của x

Suy ra Δx=|x|.x là công thức thể hiện được mối liên hệ giửa sai số tương
đối và sai số tuyệt đối.
1.1.2 Quy tròn số và sai số quy tròn
a, Hiện tượng quy tròn số
Khi gặp một chữ số có quá nhiều số đáng nghi, người ta bỏ đi vài chữ số
ở cuối, việc làm đó gọi là quy tròn số.
Mỗi khi quy tròn số, ta tạo ra một sai số mới gọi là sai số quy tròn tuyệt
đối.
b, Sai số quy tròn tuyệt đối
Gọi x là số gần đúng của x* và x’ là số quy tròn của x. Thế thì số θx sao
cho |x – x’| θx được gọi là sai số quy tròn của x’.
Vì |x* - x’ | | x* - x | + | x – x’ | Δx + θx nên ta thấy khi làm tròn
số thì sai số tuyệt đối tăng thêm θx .


1.1.3 Cách viết số gần đúng
a, Chữ số có nghĩa
Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể
các chữ số từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải là chữ số có
nghĩa.
Chẳng hạn 1,46 có ba chữ số có nghĩa và 0,0146 cũng chỉ có ba chữ số
có nghĩa là 1;4;6
b, Chữ số đáng tin

Mọi chữ số thập phân x đều có thể biểu diễn dưới dạng:
p

s

x   s pq s .10 x
Trong đó s là những số nguyên từ 0 đến 9
Gọi x là số gần đúng của x* với sai số tuyệt đối Δx. Thế thì s được
gọi
là chữ số chắc hay chữ số đáng tin nếu
s là chữ số đáng nghi.

x



x
s
0.5.10

và nếu  
s
0.5.10

thì

c, Cách viết số gần đúng
Gọi x là số gần đúng của x* với sai số tuyệt đối Δx. Thế thì có 2 cách
viết số gần đúng x:
Cách 1: x  hoặc x(1 x)

x
Cách 2: Viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa của x đều là chữ số
đáng tin.
1.2 Các quy tắc tính sai số
1.2.1 Mở đầu
Xét hàm số u của 2 biến x và y có dạng u = f (x,y). Cho biết sai số về x;
y. Hãy lập công thức tính sai số về u.
Ta kí hiệu:

Δ1, Δ2, Δ3 là các số gia của x; y; u
dx, dy, du là các vi phân của x; y; u


Δx, Δy, Δu là các sai số tuyệt đối của x;
y; u Vì | x* - x| Δx nên ta có:

|Δ1| Δx

|Δ2| Δy
Ta phải tìm Δu để có |Δ3| Δu
1.2.2 Sai số của tổng u = x + y
Ta có Δ3 = Δ1 + Δ2 suy ra Δ3 |Δ1| + |Δ2| nên Δ3 Δx
+ Δy Ta chọn Δx + y = Δx + Δy để có |Δ3| Δu
Do đó ta có quy tắc: Sai số tuyệt đối của một tổng bẳng tổng các sai số tuyệt
đối của các số hạng.
Chú ý:

 x y
Nếu u = x - y với x và y cùng dấu thì u = u
=

u
xy
Cho nên nếu | x – y | rất bé thì sai số tương đối là rất lớn. Vì vậy, trong tính
toán người ta tìm mọi cách để tránh phải trừ các số gần nhau.
1.2.3 Sai số của tích u = x.y
Ta có Δ3 du = ydx + xdy yΔ1
+ xΔ2 Suy ra |Δ3| |y| |Δ1| + |x| |Δ2| |y|
Δx + |x|Δy Suy ra Δu = |y| Δx + |x|Δy
 y  x  x y
x  y
Do đó u = u =
=
y
x y
x
u
Tức là

xy = x + y

Vậy sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa
số của tích.
Đặc biệt ta có
n
(

x )

= n. x với n là số nguyên dương.



x
1.2.4 Sai số của thương u  , y 0
y
Tương tự như trường hợp tích ta có quy tắc: Sai số tương đối của một
thương bằng tổng các sai số tương đối của các số hạng: x  
x
y
y

1.2.5 Công thức tổng quát
n
f
Cho u = f (x1,x2,…,xn) ta có: u 

x i
i1

n

x

i

f

 x

x
i


u
Suy ra    i1 i
u u
f (x1 , x2 ,..., xn )
1.3 Sai số tính toán và sai số phương pháp
Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đã cho bằng
một bài toán đơn giản hơn có thể giải được thông qua việc thực hiện các phép
tính thông thường bằng tay hay bằng máy tính điện tử. Phương pháp này thay
bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản được gọi là phương pháp gần đúng.
Sai số của phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp.
Để giải bài toán đơn giản ta phải thực hiện các phép tính thông thường,
ta luôn phải quy tròn các kết quả trung gian. Sai số tạo bởi tất cả các lần quy
tròn như vậy gọi là sai số tính toán.
Sai số cuối cùng là tổng hợp của 2 loại sai số phương pháp và sai số tính
toán.
Chú ý:
Sai số tổng hợp cuối cùng của phần sai số phương pháp và sai số tính
toán.Vì vậy, phải chú ý điều chỉnh sao cho sai số cuối cùng nhỏ hơn sai số
cho phép.


B. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1.4 Đạo hàm
1.4.1 Đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số

y f (x) xác định trên khoảng (a,b) và x0 (a,b)
nếu tồn tại
lim

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm
f (x)
x
giới hạn (hữu hạn) 
f (x0 )
x0
x x0
số y


f (x) tại điểm x0 và kí hiệu là f '(x0 ) hoặc y '(x0 ) . Tức là
f '(x0 ) lim f (x) f (x0 )

x
x x0

x0

1.4.2 Đạo hàm một
phía

lim

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên
phải

xx 0

là đạo hàm bên phải của hàm
số




f (x)


ta sẽ gọi giới hạn

f (x0
)

x x0

y f (x) tại điểm x0 và kí
hiệu là

Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại)



f '(x0 )
lim
x

x0



được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y f
(x)




f (x) f (x0
)
x x
0

tại điểm x0 và kí

hiệu f '(x0 )
1.4.3 Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn
Hàm số y f
(x)

được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có


đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
Hàm số

y f
(x)

được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo

hàm tại mọi điểm x0 (a,b), có đạo hàm bên phải x = a, có đạo hàm
bên trái x = b.
1.4.4 Các quy tắc tính đạo hàm
a. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử

u u(x), v  là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc
v(x)

khoảng xác định.


(u v)u

Ta có:
v

v v(x) 0


u  vu
uv ,
 
v

v2
(u v)uv
(uv)uv uv
b. Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số

y f
(u)


u
g(x)

có đạo hàm tại x là ux 
g(x)

có đạo hàm tại u g(x) yu f (u) , thì hàm số
là
 hợp

có đạo hàm tại x là

và hàm số

y

f

y(x) yu.ux

c. Bảng đạo hàm một số hàm sơ cấp cơ bản
(c)0

( c là hằng số)

n

(x )
n-1
n.x



(sin x)cos x
(cos x)sin x

1

 x  2

 tan x

x

1
2



cos x

 a a
x

 cot x 

x

.ln a




logx a





1
x ln a

1
sin
x

2

[g(x)]


1.4.5 Đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm số

y f (x) có đạo hàm tại
điểm

x (a,b). Khi đó hệ thức

y f (x) xác định một hàm số trên khoảng (a,b) .
Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y được


gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số y f (x) và kí hiệu là y 
hoặc
Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 3, cấp 4…

f (x) .


Tổng quát: Cho hàm số

hoặc

f

n1

có đạo hàm cấp n 1, kí hiệu yn1
là

y f
(x)

với n N , Nếu hàm số yn1 f n-1
n 2.
(x)


(x)

đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của
f


f (x) , kí hiệu
là

 n 

(x).
Vậy

f

 n 

(x) f

1.5 Tích phân

(n 1)



(x)

có đạo hàm thì

y

n

hoặc






1.5.1 Định nghĩa
Cho hàm số f liên tục trên K và a; b là hai số bất kì thuộc K . Nếu F
là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F (b)
F (a)
phân của f từ a đến b , và kí hiệu:

được gọi là tích

b

f (x)dx
a

Người ta còn dùng kí hiệu F (x) b
để chỉ hiệu số F (b) F (a) . Như
a
vậy
b

nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

f (x)dx F
(x)

b


a

a

Vì f (x)dx là một nguyên hàm bất kì của f nên ta có:
b

 f xdx 

f xdx 
a

b

a

Người ta gọi 2 số a; b là 2 cận tích phân, số a là cận dưới, b là cận


trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f (x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân
và x là biến số lấy tích phân.
1.5.2 Tính chất của tích phân
Giả sử các hàm
số

f ; g liên tục trên K và a; b; c là 3 số bất kì thuộc K .


Khi đó ta có:

b

f (x)dx 0
a

b

a

f (x)dx f (x)dx
a

b

b

b

b

[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
a

a

b

b

 k. f (x)dx k f


a

với k R .

(x)dx
a

a

CHƯƠNG 2
GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM


2.1 Mở đầu
Nguyên tắc chung để giải gần đúng đạo hàm của một hàm số

y f (x)
là

người ta thay nó bởi hàm nội suy (thường là hàm đa thức p (x) . Sau đó lấy
n


f (x) pn (x), f (x) (x)... ở trên đoạn [a,b] đang xét.
pn
Tổng quát là

k 


n
f
(x) p
N *

Nếu R(x) f (x)

Pn (x)

 k 

(x), k

k 

thì phần dư là
R

(x)
 f

k 

k 

(x)  (x)
Pn

Việc giải gần đúng đạo hàm như vậy (nhất là đạo hàm cấp cao) kém
chính xác.

2.2 Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy Lagrange
2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange
a, Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì
Bài toán .
Cho x
i
  a,b 
; i

0,1,..., n; xi
x j

Hãy xây dựng đa thức nội suy P
n
(x)

,i  yi f (xi );
j và
 i

0,1,..., n
.

thỏa mãn:

deg Pn (x) n; Pn (xi ) yi , i 0,1,...n
Trước tiên ta xét
n

x x 

i

j (x) 


(x

i0;ij

j
i0;ij

xi )

0,i j
Rõ ràng


deg j (x) n, j 0,1,..., 
1,i j
n và j (x) 
n

Đặt

Pn (x)

y j
.j (x)


j 0

ta có deg Pn (x) n; Pn (xi ) yi , i 0,1,...n


Vậy P
n
(x)

thỏa mãn mọi yêu cầu của bài toán đặt ra và Pn
(x)

xây dựng như

vậy được gọi là đa thức nội suy Lagrange.
n

n1 (x) (x x i )

Đặt

i0

(x)

x x
n

Ta có


Pn (x)


n1

yj

j0

0

 .n1 (x j )

Ngoài ra, giả sử còn có đa thức Qn (x) thỏa mãn các điều kiện trên, khi đó gọi

(x) [Pn (x)
 Qn (x)]

thì deg (x)
n

và nhận ít nhất là

n 

nghiệm

1

x0 , x1 ,..., xn . Do đó (x) 0, hay Qn (x) Pn (x)

Vậy tồn tại duy nhất 1 đa thức với các điều kiện kể trên.
b, Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều
Giả sử

đổi biến

xi1 xi h,i 0,1,..., (n 1); x0 a, xn b .
Khi đó dùng phép

x x0 th, x j
x0 jh

với j 0,1,...,(n và thay vào biểu thức
1)

của j (x) ta được
t t 1...t n  1 

x  t 
j!n j !
j


j
n

Suy ra

Pn (x) Pn (x0
 th) 


t(t 1)...(t
n)
n

1
n
nj j0

.

y
C j
j

t


n

j

(2.1)


Trong công thức (2.1) các hệ số
n

1nj .C j


không phụ thuộc vào hàm số

f (x) , mốc nội suy, bước h nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong
quá trình tính toán.
Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ tính và nhược là
nếu them mốc nội suy thì phải tính lại từ đầu.
Nếu

f (x) là đa thức, deg f (x)
n

thì Pn (x) f (x)



2.2.2 Áp dụng
Phương pháp chung

f (x) ta có thể thay
Để giải gần đúng đạo hàm của hàm f (x) tại x là

hàm f (x) bằng đa thức nội suy P
rồi tính đạo hàm của đa thức nội suy
n

(x)

làm giá trị gần đúng của f (x) .
Pn (x) ,
Pn

lấy
(x)
Bài toán 1
Hàm số y


f (x) được cho bởi bảng

x

-2

-1

1

2

y

-5

1

4

7

Tính f (x)
Giải

Trước tiên ta tìm đa thức nội suy Lagrange của
Tacó

x 1  ( x 1)( x 2 )


P3 ( x ) 5 .

( 2 1)( 2

 1)( 2 2 )
+4
2)

( x 2 ) ( x 1 ) ( x 
  2 ) (1
(1


1 ) (1


2)


7

(x

f (x) .


2 )( x 1)( x 2 )

1 .
(  2 )( 1 1)(
1  1  2 )

( x 2 ) ( x 1 ) ( x 1 )
(2

2)(
2

5 2
1 2
 (x 1)( x 2)  (x 4)(x 1)
2 2
 (x 4)(x 1) 
12
6
3

1 ) 1 )
(2
7
12

2

(x 2)(x 1)



5 3
1 3
2
2
 (x 2x x 2)  (x x 4x 4)
2 3
2
 (x x 4x 4) 12
63
7 3
2
 (x 2x 
x 2) 12
1 3
1 2
 x  x
 x 3 2
2
Vậy

3 2
f (x) P  (x)  x x 1
3
2
Bài toán 2
Hàm số y



f (x) được cho bởi bảng

x

1

2

3

4

y

17

27,5

76

210,5

Tính f  x ?
 
Giải
Trước tiên ta tìm đa thức nội suy Lagrange của f(x).

Ta có

( x 2)(x 3)(x 4)

( x 1)( x 3)(x
P (x) 17
27.5

4)
3
(1 2)(1 3)(1 4) (2 1)(2 3)(2 4)
( x 1)( x 2)(x 4)
(x
761)
210.5.
(
x
 2
)(x3
)(3 1)(3
2)
(3 4)
(4  1)(4 2)
(4 3)
17
27.5

(x 2)(x 3)(x 4) 
(x
1)(x 3)(x 4) 6 2
76
210.5
 (x 1)(x 2)(x 4) 
(x

1)( x 2)(x 3) 2
6


3

2

8x 29x 41.5x 3.5
Vậy
Bài tập 3

 (x) 24x 58x 41.5
3
f (x) P
2

Hàm số y
f (x) được cho bởi bảng

x
-3
-1
y

Tính
Giải

f  x ?


39

8

1

3

5

54


Trước tiên ta tìm đa thức nội suy Lagrange của f (x) .
Ta có
( x 1)(x 1)(x 3)
( x 3)(x 1)( x
P(x) 39.
8.

3)

(3 1)(3 1)(3 3) (1 3)(1 1)(1 3)
( x 3)(x 1)(x 3)
( x 3)(x 1)(x
5.
54.
1)

(1 3)(1 1)(1 3)

(3 3)(3 1)(3 1)
39
1

(x 1)(x 1)(x 3) 
(x  3)(x 1)(x 3) 48 2
5
54
 (x 3)(x 1)( x 3)  (x
3)(x 1)(x 1) 16 48
1 3
2
 x 5x 
3
2x  2
2
Vậy
3 2
f (x) P  (x)  x 10x 2
3

Nhận xét

2

Cách tính này chỉ có ý nghĩa khi các | xi1
 xi |

nhỏ vì nếu không thì sai


số có thể rất lớn.
2.3 Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy với mốc cách
đều
Phương pháp chung
Ta có thể sử dụng các công thức nội suy Newton tiến, Newton lùi,
Gauss 1 tiến, 1 lùi hoặc Gauss 2 tiến, 1 lùi để giải gần đúng đạo hàm.
2.3.1 Đa thức nội suy Newton tiến
Giả sử

x0 x1
... xn

và xi1 xi
h,

i 0,1,..., (n -1)


Ta tìm đa thức nội suy

Pn
(x)

ở dạng:

Pn (x) a0 a1 (x x0 ) a2 (x x0 )(x x1 ) ... an (x
x0 )...(x  xn1 )
Nếu thay thế x lần lượt là

x0 , x1,..., xn và chú ý rằng



ta được:

Suy ra

Pn (xi )


f (xi )
 yi ,

i 0,1,...,
n

y0

 y0

a0 y0 ,
a1 

h

i

,..., ai


i!

i
h

n

 y

2

 y
y
0
0
P (x) y 
(x x ) 
(x x )(x x )
0
... 
(x x )(x x
)
n
0
0
0
1
0
n1
2
n
1!h

2!h
n!h
Ta đổi biến
với j 0,1,...,  n thì:
x x0 th, x j
x0 jh
1
2

y 0  y 0
t(t 1)
Pn (x0 th) y0
 ... 

t
2!

1!h

n

 0y
t(t 1)...(t n 1)
n!

Đây là công thức đa thức nội suy Newton tiến
2.3.2 Đa thức nội suy Newton lùi
Giả sử x x
0
1

... xn
Ta tìm đa thức nội suy

và xi1 xi
h,

Pn
(x)

i 0,1,..., (n 1) .

ở dạng:

Pn (x) a0 a1 (x xn ) a2 (x xn )(x xn1 ) ... an (x
xn )(x  xn1 )...(x x1 )
Nếu thay thế x lần lượt là

Pn (xi )


f (xi ) yi ,i
 0,1,..., n
yn1

Suy ra

xn , xn1,..., và chú ý rằng:
x0
ta được:
n


 y
0

a0 yn , a1 