Khoá luận tốt nghiệp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*****

TRẦN THỊ PHƯƠNG

ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN METRIC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học
GVC.Th.S. Phùng Đức Thắng

HÀ NỘI - 2012

Trần Thị Phương

1

K34B - Sư phạm Toán


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian học tập tại khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội
2 được sự chỉ dẫn, dạy dỗ tận tình của các thầy cô giáo, em đã tiếp thu được
nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm cũng như phương pháp học tập mới và
bước đầu đã được làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô trong

khoa Toán, những người đã luôn chăm lo, dìu dắt giúp đỡ chúng em trưởng
thành như ngày hôm nay.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Phùng Đức Thắng – người đã
trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian
em thực hiện khoá luận này.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Đào Thị Hồng Vân


LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô
giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Phùng Đức
Thắng.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận em có tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần Tài liệu tham khảo. Vì vậy em xin
khẳng định kết quả của đề tài “Ứng dụng của phép tính tích phân trong
toán sơ cấp” là thành quả của riêng cá nhân em, không trùng lặp với bất kỳ
đề tài nào đã được công bố.

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Đào Thị Hồng Vân


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN
LỜI NÓI ĐẦU................................................................................................. 1

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Định nghĩa tích phân...................................................................................3
1.2 Một số tính chất cơ bản và định lý về tích phân..........................................4

Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG ĐẠI SỐ
2.1 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh đẳng thức...................10
2.1.1 Cơ sở lý thuyết...............................................................................10
2.1.2 Một số ví dụ...................................................................................10
2.1.3 Bài tập áp dụng..............................................................................12
2.2 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh bất đẳng thức.............13
2.2.1 Cơ sở lý thuyết...............................................................................13
2.2.2 Một số ví dụ...................................................................................13
2.2.3 Bài tập áp dụng..............................................................................17
2.3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong bài toán cực trị..........................18
2.3.1 Cơ sở lý thuyết...............................................................................18
2.3.2 Một số ví dụ...................................................................................18
2.3.3 Bài tập áp dụng..............................................................................21
2.4 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh sự tồn tại nghiệm.......23
2.4.1 Cơ sở lý thuyết...............................................................................23
2.4.2 Một số ví dụ...................................................................................23


2.4.2 Bài tập áp dụng..............................................................................26
2.5 Ứng dụng của phép tính tích phân trong giải phương trình.......................26
2.5.1 Cơ sở lý thuyết............................................................................26
2.5.2 Một số ví dụ................................................................................26

2.5.3 Bài tập áp dụng...........................................................................29
2.6 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính giới hạn của dãy......................29
2.6.1 Cơ sở lý thuyết...............................................................................29
2.6.2 Một số ví dụ...................................................................................30
2.6.3 Bài tập áp dụng..............................................................................34

Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
3.1 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính diện tích miền giữa hai đường
cong................................................................................................................. 35
3.1.1 Cơ sở lý thuyết.............................................................................35
3.1.2 Một số ví dụ.................................................................................36
3.1.3 Bài tập áp dụng.............................................................................39
3.2 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính thể tích khối tròn xoay..................40
3.2.1 Cơ sở lý thuyết.............................................................................40
3.2.2 Một số ví dụ.................................................................................42
3.2.3 Bài tập áp dụng.............................................................................43

KẾT LUẬN................................................................................................. 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................... 46


LỜI NÓI ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải tích toán học là một trong những môn học cơ bản của chương trình
khoa Toán. Nó đóng vai trò quan trọng trong việc học tập ngành Toán. Giải
tích Toán học có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu Toán học và trong các
ngành khoa học khác.
Bởi vậy việc nắm vững môn học này là yêu cầu rất cần thiết phải đạt
được đối với mỗi sinh viên khoa Toán.
Trong quá trình học môn Giải tích toán học ở trường Đại học, lý thuyết

độ đo rất được quan tâm. Khi nghiên cứu về độ đo ta đã nghiên cứu độ đo trên
không gian trừu tượng bất kỳ ( W, □), trong đó W là tập nào đó và □ là

σ _trường nào đó gồm các tập con của W. Trong chương này ta sẽ nghiên
cứu
các tính chất của độ đo khi lấy W= X

là không gian metric (hoặc không gian

tôpô) và □ =□( X ) là σ _trường Borel của X (tức là σ _trường bé
nhất chứa các tập mở). Vậy trong không gian metric độ đo có những
tính chất gì? Đề tài này sẽ giúp chúng ta nghiên cứu và tìm hiểu về lý
thuyết độ đo trong không gian metric.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, cung cấp cho sinh viên
những kiến thức về môn giải tích mà nội dung chủ yếu là lý thuyết độ đo
trong không gian metric. Từ đó nâng cao năng lực tư duy logic đặc thù của bộ
môn.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Đưa ra những kiến thức về không gian metric, độ đo và nhưng kiến thức
liên quan đến độ đo.
Nghiên cứu những kiến thức về độ đo trong không gian metric.


IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: độ đo trong không gian metric
- Phạm vi nghiên cứu: những kiến thức cơ bản về đô đo trong không gian
metric
V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu lý luận và đánh giá tổng hợp.



Chương
1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1. Không gian metric
Định nghĩa
Ta gọi không gian metric một tập hợp X ¹ Æ cùng với một ánh xạ d
từ tích Descartes X ´ X vào tập hợp số thực ¡ thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) " x, y
Î
2) " x, y
Î

X ,d(x, y) ³ 0;d(x, y) = 0
Û
X ,d(x, y)
=
d(y, x ) ;

3) " x, y, z X ,d(x, y)
Î
£

x = y;

d(x, z ) + d(z, y) ;


Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d(x, y gọi là khoảng cách giữa hai
)
phần tử x và y .
Không gian metric được kí hiệu là M = (X ,d) .
Ví
dụ:
a) Với hai phần tử bất kỳ x, y Î ¡ ta đặt:
d(x, y ) = x - y .

(1)

Dễ dàng kiểm tra hệ thức (1) xác định một metric trên ¡ . Không gian tương
1

ứng là một không gian metric được kí hiệu là ¡ .
b) Với hai vecto bất kỳ x =

(x , ..., ), y
x
=
1

vecto thực k chiều ¡

k

ta đặt:

k


(y , ..., y thuộc không gian
)
1

k

d(x,
y)=


2

å (x j - y j )
k

(2)

j=1

Dễ dàng thấy hệ thức (2) thỏa mãn các tiên đề về metric. Vì vậy hệ thức
(2) xác định một metric trên không gian
vẫn kí hiệu là ¡

k

k

¡ . Không gian metric tương ứng

và thường được gọi là không gian Eukleides.



Định nghĩa. Cho không gian metric M = (X ,d) . Dãy điểm (x )
Ì

X gọi là

n

dãy cơ bản trong M nếu : " e > 0,
$n

*

0

Î ¥ , " m , n n ,d(x ,
³
x
0

n

)< e .
m

Hay
lim d(x n ,

n ,m ® ¥


)= 0.

Dễ dàng thấy mọi dãy điểm (x ) Ì X hội tụ trong M đều là dãy cơ bản.
n
Định nghĩa. Không gian metric M = (X
,d)

gọi là không gian đủ, nếu mọi

dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
Ví
dụ:

a) Không gian metric ¡

b) Không gian ¡

k

1

là không gian đủ.

là không gian đủ.

Định nghĩa. Một không gian metric X được gọi là khả ly nếu nó có một tập
con hữu hạn hoặc đếm được trù mật trong X .
2. Không gian tôpô
2.1. Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa. Cho X là một tập hợp tùy ý.
Ta gọi là tôpô trên X một lớp các tập hợp con t của X thỏa mãn các
tiên đề:
1) Æ, X Î t .
2) G
Î

a

t , " Î L thì
a

UG

aÎL

a

Î t ;


3) Nếu G Î
j

n

t ,( j
=

1, n thì

)

I

Gj Î t .

j=1


Ta gọi không gian tôpô một cặp (X , t ) , trong đó X là một tập hợp, t
là một tôpô trên X .
Ví
dụ:

Ta gọi mỗi U Î
t

là tập mở. Phần bù của tập mở được gọi là tập đóng.

a) Cho X ¹ Æ là một tập hợp tùy ý. Khi đó t =

{Æ, X } là một tôpô trên

X , gọi là tôpô thô.
Họ s =

P (X tất cả các tập hợp con của X cũng là tôpô trên X , gọi là tôpô
)

rời rạc.

Các tôpô thô và tôpô rời rạc là các tôpô tầm thường trên X .
b) Mọi không gian metric đều là không gian tôpô với tôpô t là lớp tất cả các
tập hợp mở trong không gian metric đó, gọi là tôpô sinh bởi metric hay
tôpô metric.
Tôpô sinh bởi metric trong không gian Euclide ¡

k

còn gọi là tôpô tự

k

nhiên trong ¡ .
2.2. Lân cận. Cơ sở lân cận, cơ sở tôpô
Định nghĩa. Giả sử (X , t là không gian tô pô, A Ì X .
)
Ta gọi là lân cận mở của A một tập hợp mở chứa A ;
Ta gọi là lân cận của A một tập hợp chứa một lân cận mở của A ;
Nếu A là một tập hợp gồm chỉ một điểm thì tương ứng ta có các khái niệm
lân cận mở, lân cận của một điểm.
Định nghĩa. Giả sử (X , t ) là không gian tô pô.
Một họ V những lân cận của điểm
xÎ
Trần Thị Phương

12

X được gọi là một cơ sở lân cận
K34B - Sư phạm Toán



của x nếu với mọi lân cận U của x , tồn tại V Î V sao cho
V

Ì U.

Họ □ các tập mở được gọi là cơ sở lân cận của tôpô t , nếu với mọi tập
mở U và với mọi x Î
U

Trần Thị Phương

tồn tại V Î □ sao cho x Î
V

13

Ì U.

K34B - Sư phạm Toán


Điều kiện cần và đủ để {V } là cơ sở của tôpô nào đó là:
a
(i) {V } phủ X ;
a
(ii) Với mọi V ,V và với mọi x Î V ÇV tồn tại V sao cho
a
a
a

a
a
1

2

1

3

2

xÎ V

a3

Ì V ÇV
a1

a2

2.3. Không gian tôpô khả ly
Định nghĩa. Cho không gian tôpô X , A, B Ì X .
Ta nói tập hợp A trù mật trong tập hợp B nếu B Ì
thì ta nói A là trù mật khắp nơi trong X .

clA . Nếu clA = X

Không gian tôpô X gọi là khả ly nếu tồn tại tập hợp A Ì


X đếm được

trù mật trong X .
Ví dụ:
a) Nếu X là không gian tôpô rời rạc thì X là không gian khả ly khi và chỉ khi
tập hợp X là không quá đếm được.
b) Vì mỗi số thực đều có thể là giới hạn của một dãy số hữu tỉ, nên tập hợp
¤ các số hữu tỉ trù mật trong không gian metric ¡
tập hợp ¤ các số hữu tỉ là đếm được. Vì vậy ¡

các số thực. Mặt khác,

là không gian khả ly.

Định lí. Nếu không gian tôpô X có một cơ sở tôpô đếm được ◻ thì X là
không gian khả ly.

2.4 Một số không gian tô pô cơ bản
2.4.1. T - không gian và T 2 - không gian
1


Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T - không gian nếu X thỏa
1
mãn tiên đề tách T .
1
T 1 : Với mọi x Î X , y Y , x
Î
¹


y , tồn tại một lân cận U của x mà

y Ï U và tồn tại một lân cận V của y mà x ∉V .
Ví dụ: Không gian tô pô rời rạc là một T - không gian. Không gian tôpô thô
1
không là T - không gian.
1
Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T - không gian hay không gian
2
Hausdorff nếu X thỏa mãn tiên đề tách T 2.
T : Với
2
mọi

x, y
Î

cận V của y sao cho U
ÇV

X,x
¹

y , tồn tại một lân cận U của x và một lân

= Æ.

Hiển nhiên T - không gian là T - không gian.
2
1


Ví dụ: Mọi không gian metric đều là T - không gian.
2
2.4.2. Không gian chính quy. Không gian chuẩn tắc
Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T - không gian hay không gian
3
chính quy nếu X là T - không gian thỏa mãn tiên đề tách T 3.
1
T : Với mọi x Î X và một tập hợp đóng F Ì X sao cho x Ï F , tồn
3
tại một lân cận U của x và một lân cận V của F sao cho U
ÇV

= Æ.

Định lí. T - không gian là không gian chính quy khi và chỉ khi với mọi
1


xÎ
X

và mọi tập hợp mở G chứa x , tồn tại tập hợp mở U chứa x sao cho
x Î U Ì clU Ì G .


Định nghĩa. Không gian tôpô X gọi là T - không gian hay không gian
4
chuẩn tắc nếu X là T - không gian thỏa mãn tiên đề tách T .
1

4
T 4 : Với mọi tập đóng E, F ⊂ X, E ∩ F = Æ, tồn tại một
lân cận U của
E và một lân cận V của F sao cho U
ÇV

= Æ.

Nhận xét.
Mỗi không gian chính quy là một không gian Hausdorff;
Mỗi không gian chuẩn tắc là một không gian chính quy.
Định lí. Mọi không gian metric đều là không gian chuẩn tắc.
Định lí. T - không gian X là không gian chuẩn tắc khi và chỉ khi với mọi
1
tập hợp đóng F Ì

và mọi tập hợp mở G chứa F tồn tại tập hợp U mở

X chứa F sao cho
F Ì U Ì clU Ì G .
2.4.3. Không gian hoàn toàn chính quy
Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian hoàn toàn chính quy
nếu X là T - không gian thỏa mãn tiên đề tách sau:
1
Với mọi x Î
0
X

và với mọi tập hợp đóng F Ì X , x Ï
F


tồn tại một

0

hàm liên tục f trên X sao cho
1) 0 £

f (x )
£

1 với mọi x Î X ;

2) f (x 0 ) = 0 ;
3) f (x )
=

1, " x Î F

Nhận xét. Mọi không gian hoàn toàn chính quy là không gian chính quy.


2.4.4. Tập compact


Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô Hausdorff và K là tập con của X .
Khi đó, K được gọi là compact nếu từ phủ mở bất kỳ (phủ K ) có thể trích ra
phủ con hữu hạn (phủ K ).
Tập K được gọi là compact tương đối nếu bao kín của K (tức là tập
đóng bé nhất chứaK ) là compact. Nếu X là compact hoặc X là không gian

metric thì X là chuẩn tắc.
3. Không gian Banach
Định nghĩa. Giả sử X là không gian vecto trên trường số thực ¡ .
Khi đó, ánh xạ p :
X

® ¡

+

p(x ) ³

được gọi là nửa chuẩn nếu
0, " x Î X

p(l x ) = l p(x ), " l
Î
p(x + y) £ p(x )
+
Nếu thêm điều kiện p(x )
=

¡ ,"x Î X ;

p(y), " x, y Î X .

0 khi và chỉ khi x = 0 thì p được gọi là

chuẩn. Trong trường hợp này ta kí hiệu x = p(x và gọi X là không gian
)

định chuẩn.
Định nghĩa. Giả sử X là không gian định chuẩn. Nếu X là đầy đủ
theo metric
d(x, y ) = x - y
thì X được gọi là không gian Banach.
Định nghĩa. Không gian Banach X được gọi là không gian Banach khả ly
nếu trong X có một tập hợp con đếm được và trù mật.
4. Độ đo


4.1. Định nghĩa. Ta gọi hàm tập m là độ đo nếu


1) Miền xác định của m là s - đại số nào đó (của W),
2) m không âm và s - cộng tính.
Với A Î □ ,
m(A)

được gọi là độ đo hay số đo của tập A .

Nói rằng m là độ đo hữu hạn, nếu nó là hàm tập hữu hạn, tức là
0 £ m(A) < + ¥
,

" A Î □. Dễ dàng thấy rằng, m hữu hạn khi và chỉ khi

m(W) < + ¥ . Nếu
m(W) =
Bộ ba (W, A ,
m)


1 thì ta gọi là độ đo xác suất.
được gọi là không gian có độ đo ( W là không gian, là

s - đại số các tập con của, m là độ đo xác định trên A ).
Định nghĩa. Cho (X ,d) là không gian metric. Một độ đo Borel hữu hạn trên
X là ánh xạ m: B (X )
®

é 0,
ëê
+¥

) sao cho

1) m(Æ) = 0 ;
2) A , A , ... Î ◻rời nhau
Þ
1

2

¥

m(UA ) =

å

i=1


i

¥

m(A ) ;

i=1

i

3) m(X ) =
1.
4.2. Các tính chất cơ bản của độ đo
1) m(Æ) = 0 ;
2) A, B Î □, B
Ì

A và m(B ) < + ¥ Þ m(A B )
\
=

3) Tính đơn điệu: A, B Î □ và B
Ì

A thì m(B )
£

m(A)
m(A) ;


m(B ) ;


¥

4) Tính nửa s - cộng tính dưới theo nghĩa, nếu Ak Î □ , A Î □, A Ì
UAk

thì
k=1

∞

µ( A) ≤ ∑ µ( Ak ) .
k =1
Đặc biệt, nếu thêm điều kiện µ ( k A ) ∀k = 1, 2, … thì µ(A) = 0;
= 0


5) Nếu A Î □, A
k

¥
k

Ç
A

= Æ (k ¹ j ) , A Î □, A É
k


åA

thì

k=1
¥

m(A) ³

å

k- 1

m(Ak )

4.3. Tính σ - cộng tính
Đối với độ đo, tính σ - cộng tính là quan trọng nhất.
Định lí. Giả sử A là σ - đại số, µ là hàm tập không âm, cộng tính
hữu hạn trên A. Khi đó, các điều kiện sau tương đương:
a) µ là độ đo (tức là µ

σ - cộng tính);

b) µ nửa σ - cộng tính dưới;
c)

µ liên tục dưới, tức là, An
nếu


□

A
thì

µ (

µ ( A) .

An ) □

Nếu thêm điều kiện hữu hạn thì các điều kiện trên tương đương với một trong
các điều kiện sau:
d)

µ liên tục trên, tức là, An
nếu

□

e) liên tục tại ∅ ,
tức là, nếu

An
□

A
thì

µ ( A) .


µ (

An ) □

∅µ
thì

(A)□
n

0.

4.4 Độ đo Lebesgue - Stieltjes
a) Hàm không giảm và độ đo trên đường thẳng.
Giả sử

F:
□

→ □ là hàm số (hữu hạn) không giảm. Đã biết
rằng đối

với mỗi hàm số như thế luôn luôn tồn tại các giới hạn một phía.
F ( a + 0) = lim F ( x ) , F ( a − 0) = lim F ( x )


x□ a

x□ a


F ( +∞) = lim F ( x ) , F
( x) .
x→+∞

( −∞)

= lim F

x→−∞

Vì vậy, không giảm tổng quát, ta giả thiết ngay từ đầu

F(

liên tục

x)
bên trái. Hai hàm F , F được gọi là tương đương và
viết
1

2

F □ F , nếu chúng
1

2

chỉ sai khác nhau một hằng số cộng, tức là, F1 − F2 = hằng số. Ta kí hiệu F

là


tập tất cả các hàm không giảm, liên tục bên trái, và trong F ta đồng nhất các
hàm tương đương với nhau. Nói chính xác hơn, trong F ta xem
và chỉ nếu chúng tương đương với nhau.

F1 = nếu
F2

Xét hàm gia số
F ( [ a,b ) ) = F ( b ) − F ( a ) , với −∞ < a ≤ b
< +∞ .
Rõ ràng, nếu

F □ F , thì F ( [ a,b ) ) = F ( [ a,b ) ) . Hơn nữa, với mỗi F
∈ hàm
1

2

1

2

gia số có các tính chất đơn giản sau:
1) 0 ≤ F ( [ a,b ) ) < +∞ ,
2) F ( [ a,b ) )
→ 0


khi a
□

b (vì F liên tục trái),

3) ∑ F ([ak ,bk ) ) +
n

k =1

k =1

∑

F ([bk , ak +1 ) ) = F ([a1 ,bn ) ) ,

trong đó −∞ ≤ a1 ≤ b1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ ... ≤ an ≤ bn
< +∞ .
Bây giờ ta lần lượt kí hiệu : B
0

trái

[a,b)

là lớp tất cả các nửa khoảng đóng bên

B1 là lớp tất cả các khoảng vô hạn
và
∅ ( −∞, a )

;

hoặc [b,
+∞) ; B 2

là lớp tất cả các tổng hữu hạn của các tập thuộc B ∪ B
1
0
  B2
: ∆ = ∑n ∆ , ∆ ∈ B
={∆ ∈□
∪ B
}k k
1
0
k =1
Dễ dàng kiểm tra lại rằng, B kín đối với phép giao, B là đại số bé nhất chứa
0

B 0 và
B

2

= s (B ) là s - đại số Borel của đường thẳng thực.