TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA: TOÁN
——————————————–

BÙI TH± LINH

бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG
DUNG TRONG TOÁN PHO THÔNG

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC

HÀ N®I, 2012


TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA: TOÁN
——————– * ———————

BÙI TH± LINH

бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG
DUNG TRONG TOÁN PHO THÔNG

KHÓA LU¾N TOT NGHIfi

ĐAI HOC

Chuyên ngành: Giái tích

Ngưài hưáng dan khoa hoc
THS. PHÙNG ĐÚC THANG

Hà N®i, 2012


Khóa lu¾n tot nghi¾p đai
hoc

Bùi Th% Linh

LèI CÁM ƠN
Trong quá trình nghiên cúu đe tài vói sn hưóng dan nh¾t tình cna
thay giáo: Thac sy Phùng ĐÚc Thang. Cùng vói sn giúp đõ cna Thac
sy Pham Xuân Th%nh , sn no lnc cna bán thân em đã phan nào
nghiên cúu đưoc đe tài trên. Do han che ve thòi gian, kien thúc nên
chac chan khóa lu¾n này không tránh khói nhung thieu sót. Em rat
mong có đưoc nhung ý kien đóng góp quý báu cna các thay cô và
các ban quan tâm đe đe tài đưoc hoàn thi¾n hơn.
Em xin chân thành cám ơn sn hưóng dan giúp đõ chí báo nhi¾t tình
t¾n tâm cna thay giáo: Thac sy Phùng ĐÚc Thang và toàn the các
thay cô giáo trong to giái tích, các thay cô giáo trong khoa Toán, Thac
sy Pham Xuân Th%nh đã quan tâm tao đieu ki¾n giúp đõ em hoàn
thi¾n khóa lu¾n này, cũng như trong suot thòi gian thnc t¾p nghiên
cúu tai trưòng ĐHSP Hà N®i 2.

Sinh viên
Bùi Th% Linh

3



Khóa lu¾n tot nghi¾p đai
hoc

Bùi Th% Linh

LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa lu¾n tot nghi¾p vói đe tài:
"бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG
TOÁN PHO THÔNG"
là công trình nghiên cúu cna riêng tôi, ket quá không trùng vói ket quá
nào. Neu sai tôi xin ch%u hoàn toàn trách nhi¾m.
Hà N®i, ngày 08 tháng 05 năm
2012 Sinh viên
Bùi Th% Linh


Mnc lnc

1

Kien thNc chuan b%
1.1 Giói han cna dãy so thnc và giói han cna hàm so

6
. . . .

6

1.1.1


Đ%nh nghĩa giói han cna dãy so thnc . . . . . . .

6

1.1.2

Đ%nh nghĩa giói han cna hàm so . . . . . . . . .

6

1.2 Hàm so liên tuc.............................................................................10
1.2.1

Đ%nh nghĩa hàm so liên tuc tai m®t điem...................10

1.2.2

Các tính chat.....................................................................10

1.2.3

Đ%nh nghĩa hàm so liên tuc trên m®t đoan.................11

1.3 Đao hàm cna hàm m®t bien.......................................................13

2

1.3.1

Đao hàm cap m®t............................................................13


1.3.2

Đao hàm cap cao.............................................................15

1.3.3

Đ%nh nghĩa.......................................................................15

Đ%nh lí Lagrange và Nng dnng

17

2.1 Đ%nh lí Rolle.................................................................................17
2.2 Đ%nh lý Lagrange........................................................................ 17


Khóa lu¾n tot nghi¾p đai
hoc

Bùi Th% Linh

Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Lý thuyet giói han là cơ só cna giái tích toán hoc. Bói v¾y, nghiên
cúu ve lĩnh vnc này chúng ta thưòng xuyên phái giái quyet các bài toán
liên quan đen giói han, trong đó phan lón liên quan đen giói han cna
dãy so và giói han hàm so. Giái bài toán giói han cna dãy so là vi¾c
làm het súc phúc tap và khó khăn đoi vói sinh viên và các em hoc sinh
khá, giói toán trung hoc pho thông. Các bài toán giói han cũng nam

trong chương trình quy đ%nh cna h®i toán hoc Vi¾t Nam đoi vói kì thi
Olympic toán hoc sinh viên hang năm giua các trưòng Cao Đang và
Đai hoc ve b® môn giái tích.
Giái các bài toán ve giói han dãy so có nhieu phương pháp khác
nhau, trong đó đ%nh lý Lagrange là m®t phương pháp manh đe giái
các bài toán giói han dãy so khó và phúc tap. Vói muc đích tiep c¾n
m®t hưóng nghiên cúu cna toán hoc hi¾n đai, đưoc sn hưóng dan chí
báo t¾n tình cna Thac sy Phùng ĐÚc Thang , tôi đã chon đe tài:
"бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG TOÁN
PHO THÔNG".
2. Mnc đích nghiên cNu
Cung cap cho hoc sinh m®t phương pháp đe có the xú lý các bài
toán giói han dãy so khó và đa dang. Qua đó cnng co kien thúc ve


Khóa lu¾n tot nghi¾p đai
Bùi Th% Linh
hoc
giói han cho hoc sinh và giúp hoc sinh v¾n dung thành thao đ%nh lý

Lagrange.


3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nhac lai kien thúc cơ bán ve giói han. Giúp hoc sinh nam chac đ
%nh lý Lagrange và khá năng v¾n dung sáng tao đ%nh lý đe giái bài
toán ve giói han.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
+ Đoi tưong nghiên cúu: Sinh viên và hoc sinh THPT.
+ Pham vi nghiên cúu: Đ%nh lý Lagrange và úng dung trong toán pho

thông.
5. Phương pháp nghiên cNu
Sú dung các đ%nh nghĩa, đ%nh lý, tính chat cna giói han dãy so,
giói han hàm so, hàm so liên tuc và đao hàm cap m®t và cap cao cna
hàm m®t bien vào trong khóa lu¾n.
6. DN kien đóng góp mái
Đưa ra đưoc úng dung cna đ%nh lý Lagrange vào vi¾c giái các bài
toán ve giói han cna toán pho thông.


Chương 1
Kien thNc chuan b%
1.1

Giái han cúa dãy so thNc và giái han cúa hàm
so

1.1.1

Đ%nh nghĩa giái han cúa dãy so thNc

Cho dãy so thnc {un}. So a ∈ R đưoc goi là giói han cna dãy
{un} neu vói moi ε > 0 cho trưóc bao giò cũng ton tai m®t so n0 (phu
thu®c ε) sao cho vói moi n > n0 ta đeu có |un − a| < ε.
Khi đó ta nói rang dãy {un} hay h®i tu đen a hay tien đen giói han
a và ta viet un → a(n → ∞) hay lim un = a.
n →∞

M®t dãy không có giói han đưoc goi là dãy phân kì.
1.1.2


Đ%nh nghĩa giái han cúa hàm so

1.1.2.1 Lân c¾n cúa m®t điem
Cho điem x0 ∈ R và so ε > 0. Khoáng (x0 − ε, x0 + ε) đưoc goi là
S
ε- lân c¾n cna x0, kí hi¾u là ε(x0).
S
Như v¾y, ε(x0) = {x ∈ R| |x − x0| < ε}.
T¾p V ⊂ R đưoc goi là lân c¾n cna điem x0 neu ton tai ε > 0 sao
cho
9


Khóa lu¾n tot nghi¾p đai
hoc

S

ε(x0)

Bùi Th% Linh

⊂ V.

Chú ý
a) Lân c¾n cna m®t điem bao giò cũng chúa điem đó và neu V là
S
S
lân c¾n cna x0, ⊃ V thì cũng là lân c¾n cna x0.

b) Neu V1, V2 là hai lân c¾n cna x0 thì V1 ∩ V2 cũng là lân c¾n cna
x0 .
1.1.2.2 Điem tn cúa m®t t¾p hap
Điem x0 ∈ R đưoc goi là điem tu ( hay điem giói han ) cna t¾p
hop A ∈ R neu moi lân c¾n V cna x0 đeu chúa ít nhat m®t điem cna
A khác x0, túc là V ∩ (A\{x0}) ƒ= ∅, vói moi lân c¾n V cna x0.
Tù đ%nh nghĩa ta suy ra rang x0 là điem tu cna t¾p hop A khi và chí
khi moi lân c¾n cna x0 đeu chúa vô so điem cna A.
1.1.2.3 Điem cô l¾p cúa t¾p hap
Cho t¾p hop A ⊂ R. Điem x0 ∈ A đưoc goi là điem cô l¾p cna
t¾p hop A neu ton tai m®t lân c¾n V cna x0 sao cho V ∩ A = {x0}
(t¾p chí gom m®t điem x0).
1.1.2.4 Đ%nh nghĩa giái han cúa hàm so
Cho x0 là điem tu cna t¾p hop A ⊂ R và hàm so f : A → R.
Hàm so f đưoc goi là h®i tu đen b ∈ R khi x → x0 hay b là giói han
cna hàm so f khi x → x0 neu vói moi ε > 0 ton tai δ > 0 sao cho
|f (x) − b| < ε vói moi x ∈ A thóa mãn đieu ki¾n 0 < |x − x0| < δ. Khi
đó, ta kí hi¾u lim

x→x0 f

(x) = b hay f (x) → b khi x → x0.

Chú ý
Trong đ%nh nghĩa này ta chí xét đen nhung giá tr% f (x) úng vói
nhung giá tr% x ó trong m®t lân c¾n nào đó cna x0. Đieu ki¾n 0 < |x
− x0| nói lên rang x ƒ= x0. Vì the tai chính điem x0 (x0 là điem tu
cna A) hàm so



có the không đưoc xác đ%nh, ngay cá trong trưòng hop hàm f xác đ
%nh tai x0 thì giá tr% f (x0) không đóng vai trò nào cá trong đ%nh
nghĩa này. Sau đây ta nêu ra m®t đieu ki¾n tương đương vói đieu
ki¾n nêu trong đ%nh nghĩa và vì v¾y có the dùng nó đe đ%nh nghĩa
giói han cna hàm so.
Đ%nh lý 1.1. Đe cho hàm f : A → R h®i tn đen b ∈ R khi x → x0
đieu ki¾n can và đú là vói moi dãy {xn}n ⊂ A\{x0}, xn → x0, ta có f
(xn) → b khi n → ∞.
Chúng minh. a) Đieu ki¾n can: Giá sú lim
x→x0

f (x) = b. Cho dãy {xn}n

⊂
A\{x0}, xn → x0(n → ∞). Ta chúng minh f (xn) → b(n → ∞). Theo
đ%nh nghĩa
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ A : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − b| < ε.
Vì dãy {xn}n ⊂ A\{x0} và xn → x0(n → ∞) nên vói δ > 0 nói
trên ton tai n0 sao cho vói moi n > n0 ta có 0 < |xn − x0| < δ, khi
đó
|f (xn) − b| < ε. Theo đ%nh nghĩa lim f (xn) = b.
n →∞

b) Đieu ki¾n đn: Ngưoc lai, giá sú rang vói moi dãy {xn}n ⊂ A\{x0}, xn
→
x0 ta đeu có f (xn) → b. Ta chúng minh f (x) → b khi x → x0.
Neu f (x) không h®i tu đen b khi x → x0 thì:
∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃xδ ∈ A : 0 < |xδ − x0| < δ nhưng |f (xδ ) − b| ≥ ε.
Lay dãy δn > 0, δ → 0, kí hi¾u xδn = xn, ta có {xn}\A, 0 < |xn −x0 |
< δn → 0, do đó xn → x0(n → ∞) nhưng do |f (xn) − b| ≥ ε, nên f

(xn) không h®i tu đen b khi n → ∞, trái vói giá thiet.
V¾y lim f (x) = b.
x→x0


M®t so tính chat cúa giái han hàm so
Tù moi quan h¾ giua giói han hàm so và giói han dãy so nêu trong


nhieu đ%nh lý, nhưng thay rang tính chat cna giói han dãy so có the
phát bieu lai cho giói han hàm so (vói nhung thay đoi thích hop).
Đ%nh lý 1.2. Cho t¾p hop A ⊂ R, x0 là điem tn cúa A, f : A → R
và g : A

R là nhung hàm so xác đ%nh trên A. Giá sú lim

f (x)
=
a;
lim g(x) = b. Neu ton tai m®t so δ > 0 sao cho f (x) ≤ g(x) vói
x→x0 moi
x ∈ A thóa mãn 0 < |x − x0| < δ thì a ≤ b.
→

x→x0

Chúng minh. Lay m®t dãy bat kì {xn}n ⊂ A\{x0}, xn → x0(n → ∞).
Theo đ%nh nghĩa cna giói han dãy so vói δ > 0 nêu trong giá thiet cna
đ%nh lý, ton tai n0 sao cho vói moi n > n0 ta có |xn − x0| < δ. Khi
đó, f (xn) ≤ g(xn) vói moi n > n0. Cho n → ∞ ta đưoc a ≤ b.

H¾ quá 1.1. Giá sú lim
x→x0

f (x) = a và ton tai δ > 0 sao cho f (x) ≤

b
vói moi x ∈ A thóa mãn 0 < |x − x0| < δ. Khi đó a ≤ b.
Đ%nh lý sau đây có tính chat ngưoc lai.
Đ%nh lý 1.3. Cho hàm so f : A → R, x0 là điem tn cúa A. Neu
li
m f (x) = a và a < b (tương úng a>c) thì ton tai δ > 0 sao
x→x0 cho
f (x) < b (tương úng f (x) > c) vói moi x ∈ A thóa mãn 0 < |x − x0 | <
δ.
Chúng minh. Chon ε > 0 sao cho ε < b − a (tương úng ε < a − c).
Khi đó ton tai δ > 0 sao cho vói moi x ∈ A thóa mãn 0 < |x − x0| < δ,
ta có a−ε < f (x) < a + ε. Tù đó ta suy ra f (x) < b (tương úng f (x)
> c).
Đ%nh lý 1.4. Cho ba hàm f, g, h cùng xác đ%nh trên m®t t¾p hop A
có


điem tn là x0. Giá sú lim f (x) =
x→x0 lim

h(x) = b và ton tai δ > 0 sao cho

x→x0

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) vói moi x ∈ A thóa mãn 0 < |x − x0| < δ. Khi

đó
li
m g(x) = b.
x→x0


Chúng minh. Lay m®t dãy {xn} ⊂ A\{x0}, xn → x0 khi n → ∞. Vói
δ > 0 nêu trong giá thiet cna đ%nh lý ton tai n0 sao cho |x − x0| < δ
vói moi n > n0. Khi đó ta có f (xn) ≤ g(xn) ≤ h(xn). Cho n → ∞ ta
đưoc
li f (x) =
h(x) = b, tù đó suy ra g(x) = b.
m lim
lim
x→x0

x→x0

V¾y lim g(x) = b.

n→∞

x→x0

1.2

Hàm so liên tnc

1.2.1


Đ%nh nghĩa hàm so liên tnc tai m®t điem

Cho t¾p hop A ⊂ R, hàm so f : A → R và điem x0 ∈ A. Neu vói
moi ε > 0 cho trưóc bao giò cũng ton tai δ > 0(phu thu®c vào ε) sao
cho vói moi x ∈ {x ∈ A : |x − x0| < δ} ta đeu có |f (x) − f (x0)| < ε
thì ta nói hàm f liên tuc tai điem x0.
Neu f liên tuc tai moi điem x ∈ A thì ta nói f liên tuc trên A.
Neu f không liên tuc tai điem x0 thì ta nói f gián đoan tai x0 hay
x0
là điem gián đoan cna f.
1.2.2

Các tính chat

1.2.2.1 Tính chat 1: Neu x0 là điem cô l¾p cna A thì f liên tuc tai x0.
Th¾t v¾y, do x0 là điem cô l¾p nên ton tai δ− lân c¾n Vδ (x0) =
{x ∈ R : |x−x0| < δ} sao cho Vδ (x0)∩A = {x0}. Vì the neu x ∈
Vδ (x0)∩A thì x = x0 do đó |f (x) − f (x0)| = |f (x0) − f (x0)| =
0 < ε, vói ε là so dương cho trưóc bat kỳ.
1.2.2.2 Tính chat 2: Neu x0 là điem tu cna A thì f liên tuc tai x0 khi và
chí khi lim
x→x0

f (x) = f (x0). é đây đieu ki¾n 0 < |x − x0| không
đ¾t


ra vì tai x = x0 ta có |f (x) − f (x0)| = 0 < ε, vói ε là so dương
cho
trưóc bat kì.

1.2.2.3 Tính chat 3: Hàm f liên tuc tai x0 khi và chí khi vói moi dãy
{xn}n ⊂ A, xn → x0(n → ∞) ta đeu có lim f (xn) = f (x0).
n →∞

Ta có the lay tính chat này làm đ%nh nghĩa tính liên tuc cna hàm f tai
điem x0
Chú ý :
a) Khác vói đ%nh nghĩa hàm so tai điem x0, trong đ%nh nghĩa hàm
liên tuc tai x0 ta không giá thiet x ƒ= x0.
b) Đ%nh nghĩa hàm so liên tuc tai điem x0 có the phát bieu lai qua
các khái ni¾m lân c¾n như sau:
Hàm f : A → R đưoc goi là liên tuc tai x0 ∈ A neu vói moi lân c¾n
V cna f (x0) ton tai m®t lân c¾n U cna x0 sao cho f (U ∩ A) ⊂ V.
1.2.3

Đ%nh nghĩa hàm so liên tnc trên m®t đoan

Cho hàm so f : [a, b] → R. Neu f liên tuc trên (a, b), liên tuc
bên phái tai điem a và liên tuc trái tai điem b thì ta nói f liên tuc trên
đoan [a, b].
Đ%nh lý 1.5. Neu hàm f liên tnc trên đoan [a, b] thì nó b% ch¾n trên
đó. Chúng minh. Ta đi chúng minh phán chúng, giá sú f liên tuc trên
đoan
[a, b] nhưng không b% ch¾n trên đó. Khi đó vói moi n ∈ N∗ ton tai


xn ∈ [a, b] sao cho |f (xn)| > n. Dãy {xn}n là dãy b% ch¾n, theo
nguyên lý Bolzano - Weierstrass nó có chúa m®t dãy con {xnk }k h®i
tu đen x0 .



Vì a ≤ xnk ≤ b vói moi k, nên cho k → ∞ ta suy ra a ≤ x0 ≤ b. Do f
liên tuc tai x0 ta có f (xnk ) → f (x0), tù đó |f (xnk )| → |f (x0)|, (k → ∞).
M¾t khác |f (xnk )| ≥ nk, vì the |f (xnk )| → +∞, (k → ∞), ta đi đen mâu
thuan. V¾y hàm f phái b% ch¾n trên đoan [a, b].
Đ%nh lý 1.6. Neu hàm f liên tnc trên đoan [a, b] thì nó đat đưoc c¾n
trên đúng và c¾n dưói đúng trên đó, túc là ton tai hai so x0,
xr

0

∈ [a; b]

sao cho f (x0) = sup f (x), f (xr ) =
f (x).
x∈[a;b]
inf
0

x∈[a;b]

Chúng minh. Theo đ%nh lý (1.5) hàm f b% ch¾n trên [a; b], vì the ton
tai
sup f (x) = M, M < +∞ và
f (x) = m, m > −∞.
x∈[a;b
inf
x∈[a;b]

]


Theo đ%nh nghĩa cna c¾n trên đúng, ton tai dãy {xn}n ⊂ [a; b] sao
cho
f (xn) = M. Dãy {xn}n là dãy b% ch¾n nên có chúa m®t dãy
lim
n→∞

con

{xnk }k, xnk → x0 ∈ [a; b]. Khi đó, do f liên tuc, ta có
M = lim
n→∞

f (xn) = f (xnk ) = f (x0).
lim
k→∞

Tương tn, ta chúng minh ton tai xr0 ∈ [a; b] sao cho f 0(xr ) = m.
Đ%nh lý 1.7 (Đ%nh lý Bolzano - Cauchy thú nhat). Giá sú hàm f :
[a; b] → R liên tnc trên đoan [a; b] và f (a).f (b) < 0. Khi đó ton
tai c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.
Chúng minh. Không mat tính tong quát ta có the giá thiet f (a) <
0 và f (b) > 0. Đ¾t A = {x ∈ [a; b] : f (x) ≤ 0}. Vì a ∈ A nên
A ƒ= . Goi c = sup A. Ta đi chúng minh f (c) = 0. Theo đ%nh
nghĩa cna c¾n


trên đúng, ton tai dãy {tn}n ⊂ A sao cho lim tn = c. Vì f liên tuc tai
n →∞


c nên f (c) = lim f (t ) ≤ 0. Do f (b) > 0 nên c ƒ= b và do đó c <
n
n→∞
b.
Neu f (c) < 0 thì do f liên tuc tai c, lim f (x) = f (c) < 0, do đó
x→c+
ton


tai δ > 0 sao cho c + δ < b và f (x) < 0 vói moi x ∈ [c; c + δ]. Đ¾c
bi¾t
f (c + δ) < 0. Vì the c + δ ∈ A, đieu này mâu thuan vói c là c¾n trên
cna
A. V¾y f (c) = 0.
Đ%nh lý này có ý nghĩa hình hoc rat rõ ràng: Neu m®t đưòng cong
liên tuc đi tù m®t phía cna truc x sang phía kia thì nó cat truc này.
Đ%nh lý 1.8 (Đ%nh lý Bolzano - Cauchy thú hai). Giá sú hàm f liên
tnc trên đoan [a; b]. Khi đó f nh¾n moi giá tr% trung gian giua f (a)
và f (b), túc là vói moi so thnc λ nam giua f (a) và f (b), ton tai c ∈
[a; b] sao cho f (c) = λ.
Chúng minh. Neu f (a) = f (b) đ%nh lý hien nhiên đúng. Giá sú f
(a) ƒ= f (b). Không mat tong quát ta có the xem rang f (a) < f
(b). Giá sú λ là so sao cho f (a) < λ < f (b). Xét hàm g(x) = f
(x) − λ. Ta có g(a) < 0, g(b) > 0. Theo đ%nh lý 1.2.3.3, ton tai
c ∈ (a; b) sao cho g(c) = 0 hay f (c) − λ = 0. Do đó f (c) = λ.

1.3

Đao hàm cúa hàm m®t bien


1.3.1

Đao hàm cap m®t

1.3.1.1 Khái ni¾m hàm khá vi
Xét hàm so y = f (x) xác đ%nh trong lân c¾n U cna điem x0 ∈
R. Cho x0 m®t so gia ∆x khá bé sao cho x0 + ∆x ∈ U. Khi đó, so
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) đưoc goi là so gia cna hàm so tương úng
vói so gia đoi so ∆x tai điem x0.


Đ%nh nghĩa : Neu tí
so han khi

∆y
f (x0 + ∆x) − f
=
(x0)
∆x
∆x

có giói han huu


∆x → 0 thì giói han đó đưoc goi là đao hàm cna hàm f đoi vói x tai x0
và đưoc kí hi¾u là f r(x0) :
f r(x0) = lim f (x0 + ∆x) − f
∆x→0

(x0)

∆x

Khi đó ta nói rang hàm f khá vi tai x0.
Đ%nh nghĩa : Cho U là t¾p mó trong R, f : U → R là m®t hàm
xác đ%nh trên U. Hàm f đưoc goi là khá vi trên U neu f khá vi tai moi
điem cna U. Khi đó hàm so
f r : U → R, x → f r(x)
đưoc goi là đao hàm cna hàm so f trên U.
Neu f

r

liên tuc trên U thì ta nói rang f khá vi liên tuc trên U hay f

thu®c lóp C1(U ).
Đ%nh lý 1.9. Cho t¾p mó U ⊂ R và hàm so f : U → R.
Neu f khá vi tai x0 ∈ U thì
f (x0 + h) − f (x0) = f r(x0)h + r(h).h
trong đó r(h) → 0 khi h → 0.
Chúng minh. Đ¾t f (x0 + h) − f (x0)
h

− f r(x0) = r(h)

Do hàm f khá vi tai x0 ta có r(h) → 0 khi h → 0. Do đó
f (x0 + h) − f (x0) = f r(x0)h + r(h).h


Đ%nh lý 1.10 (Fermat). Cho t¾p hop mó U ⊂ R và hàm f : U → R.
Neu điem c ∈ U là điem cnc tr% cúa hàm f và neu ton tai f r(c) thì

f r(c) = 0.
Chúng minh. Giá sú f đat cnc đai đ%a phương tai c ∈ U. Theo đ%nh
nghĩa ton tai δ > 0 sao cho (c − δ, c + δ) ⊂ U và f (c + ∆x) − f (c)
≤ 0 vói moi
∆x có |∆x| < δ. Neu ∆x > 0
thì

c + ∆x − f (c)
∆x
0

ta có f r(c) ≤ 0.
Neu ∆x < 0
thì

c + ∆x − f
(c)
∆x
f r(c) ≥ 0. V¾y f r(c) = 0.

≤ 0, cho ∆x → 0, ∆ >

≥ 0, cho ∆x → 0, ∆ < 0 ta có

Trong trưòng hop f đat cnc tieu đ%a phương tai c chúng minh đưoc
tien hành m®t cách tương tn.
1.3.2

Đao hàm cap cao


1.3.3

Đ%nh nghĩa

Giá sú U ⊂ R là t¾p hop mó, f : U → R là hàm khá vi trên U.
Khi đó có xác đ%nh hàm f r : U → R, x → f r(x).
Đ%nh nghĩa 1.1. Neu tai x0 ∈ U hàm f r : U → R khá vi thì ta goi
đao hàm cúa f r tai x0 là đao hàm cap hai cúa hàm f tai x0 và kí
hi¾u là f rr(x0) : f rr(x0) = (f r )r (x0 ).
Hàm f có đao hàm cap hai tai x0 còn goi là khá vi cap hai tai đó.
M®t cách tong quát, giá sú ton tai đao hàm cap n − 1 cna f trên
U,
khi đó có xác đ%nh hàm f
(n−1)

(n−1)

: U → R, x → f

(n−1)

(x). Neu hàm f


khá vi tai x0 ∈ U thì ta goi đao hàm cna f

(n−1)

tai x0 là đao hàm


cap
n cna f tai x0 và kí hi¾u là f
có

(n)

(x0) : f

(n)

(x0) = (f

(n−1) r

) (x0). Hàm f


đao hàm cap n tai x0 còn goi là khá vi cap n tai đó. Đao hàm cna hàm
so f đưoc goi là đao hàm cap m®t cna f.
Ta quy ưóc đao hàm cap không cna hàm so f chính là f.