Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
2 KHOA TOÁN
_ _ _ _***_ _ _ _

PHẠM THỊ GẤM

ĐỊNH LÝ AHARONOV - CASHER
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội - 2012

Phạm Thị Gấm K34C - Toán


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu nhà trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích đã giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa
luận của mình.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tạ Ngọc Trí, người Thầy đã
luôn quan tâm, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành khoá luận của
mình.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian và
trình độ có hạn; và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên không tránh
khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được những
góp ý của thầy cô và các bạn.

Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Phạm Thị Gấm


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên
cứu, bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong khoa Toán,
đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS.Tạ Ngọc Trí.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bài khoá luận này, em đã tham khảo một
số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ Định lý Aharonov - Casher” là công
trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Phạm Thị Gấm


Mục lục
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
BẢNG KÍ HIỆU
MỞ ĐẦU...............................................................................................................5
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN...............................................7
1.1 Không gian Banach......................................................................................7
1.2. Không gian Hilbert.....................................................................................8
1.3. Toán tử tuyến tính......................................................................................11
1.3.1. Toán tử tuyến tính bị chặn.................................................................. 11

1.3.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn........................................................ 20



2

CHƢƠNG 2. ĐỊNH LÝ AHARONOV - CASHER
................ 23
TRONG
2.1 Zero mode của toán tử Weyl - Dirac..........................................................23
2.2 Bài toán về zero mode................................................................................26
2.3 Zero mode trong không gian hai chiều.......................................................28
KẾT LUẬN.........................................................................................................32
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................33


BẢNG KÍ HIỆU
□n

Không gian thực n chiều

□

Tập số phức, đơn vị ảo kí hiệu là i
Tập các hàm trơn có giá compact

∞

0
2


3

L (R
)

Không gian các hàm bình phương khả
3

tích trên R
S

2

x
I
I2

Hình cầu đơn vị trong R3
Chuẩn của vectơ x
Toán tử đồng nhất
Ma trận

10

 0 1


Ker
A


Hạt nhân của toán tử A

dim X

Số chiều của không gian vectơ X

x↓
x0

x → x0 , x ≥ x0

□

Kết thúc chứng minh


MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài:
Khi một vấn đề mới ra đời các thuật ngữ xung quanh nó sẽ nhanh chóng
được biết đến và định nghĩa một cách cụ thể. Vấn đề về zero mode cũng không
nằm ngoài quy luật đó.
Vấn đề về zero mode được xuất hiện lần đầu tiên trong vật lý. Việc nghiên
cứu đề tài này ở các khía cạnh khác nhau theo quan điểm toán học đã được rất
nhiều nhà toán học quan tâm như J. M. Loss, H. T. Yau, D. M. Elton,C. Adam,
B. Muratori, C. Nash … Thực tế năm 1979, Aharonov - Casher đã xây dựng và
chứng minh được công thức tính số zero mode của toán tử Weyl – Dirac

σ.


trong R2 .

(−i∇
− A)
Dưới sự gợi ý của thầy Tạ Ngọc Trí và bản thân em cũng có hứng thú khi
tìm hiểu một đề tài khá mới. Em mạnh dạn quyết định đi vào tìm hiểu và nghiên
cứu đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ”.
Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về định lý Aharonov - Casher và các kết
quả liên quan cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí, em lựa chọn
đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ”
2. Mục đích nghiên cứu:
Tìm hiểu định lý Aharonov - Casher trong R2 và chứng minh của định lý
này.
Phạm Thị Gấm K34C - Toán

6


3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu định lý Aharonov - Casher trong R2
- Nghiên cứu sự phát triển của bài toán này trong những năm gần đây.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher trong R2 và chứng minh
của định lý này.
- Phạm vi nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher và các kết quả có liên quan.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu:
- Sử dụng kiến thức, phương pháp của giải tích hàm.
- Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu có liên quan.
6. Cấu trúc khóa luận:

Ngoài phần mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo,bài khóa luận
của em gồm có 2 chương đó là:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản.
Chương 2: Định lý Aharonov - Casher trong R2 .


CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong chương này chúng ta sẽ đưa ra một số khái niệm và tính chất của toán tử
tuyến tính bị chặn và toán tử tuyến tính không bị chặn.
1.1 Không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1 ( Không gian định chuẩn ).
Một không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn ) là
không gian tuyến tính X trên trường K ( K là trường số thực R hoặc là trường số
phức  ) cùng với ánh xạ từ X vào tập số thực  , kí hiệu là . và đọc là chuẩn,
thoả mãn các tiên đề sau:
1) ( ∀x
∈ X)

x
≥ 0,
x

= 0⇔

x = 0;

X )(∀λ ∈K ) λx =

2)


(∀x∈

3)

(∀x, y∈ X ) x +

λ x;

y ≤ x + y.

Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Định nghĩa 1.1.2 ( Sự hội tụ trong không gian định chuẩn )
Dãy điểm {xn } của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm
n
x∈ X nếu lim →

∞


xn − x

= 0. Kí hiệu lim
xn = x

n→∞

hay xn
khi n → ∞ .
→

x


Định nghĩa 1.1.3 ( Dãy cơ bản ).
Dãy điểm {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (
hay dãy Cauchy) nếu

lim x − x = 0
m
n

m,n →∞

Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Banach ).
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
Định lý 1.1.1 (Một số tính chất)
Giả sử

( xn ) , ( yn ) là các dãy trong không gian định chuẩn X. (λn ) là

dãy số trong K . Khi đó :
1) Nếu xn
→
a thì

xn →

a


2) Nếu x
xn + yn → a + b
→
n
→ b thì
a, yn
Nếu

λn

thì

λn → λ.a

→ xn

λ

3) Nếu

( xn ) , ( yn ) là các dãy cơ bản trong X; (λn ) là dãy cơ bản trong

( xn + yn
) , ( λn x n )

là các dãy cơ bản trong X.

1.2. Không gian Hilbert.

K thì



Định nghĩa 1.2.1 (Tích vô hướng ).
Cho không gian tuyến tính X trên trường K7( K là trường số thực 
hoặc trường số phức  ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh
xạ từ
tích Descartes X × vào trong trường K , kí hiệu .,. , thoả mãn các tiên đề
X
sau:


1)

(∀x,
∈ X)

y

(∀x,
∈ X)

y, z

2)

3)

(∀x,

y, x

=
x+
y, z

y∈ X

) (∀λ

∈K)

(∀x
∈ X)

x, x
>0

4)

x, y ;

= x, z y, z ;
+

λ x = λ x, y ;
,y

nếu x ≠ 0,
nếu x = 0.

x, x

=0
Các phần tử x,y,z… gọi là các nhân tử tích vô hướng, số x, y gọi là tích vô
hướng của hai nhân tử x,y ; các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô
hướng.
Định lí 1.2.1. (Bất đẳng thức Schwarz)
Đối với mỗi

x ∈ X ta đặt
x = x, x .

Khi đó ∀x,
y∈ X

(1.1)

ta có bất đẳng thức Schwarz
x, y ≤ x y
.

Chứng minh:
Nếu x, y = 0 thì bất đẳng thức (1.2) hiển nhiên đúng.
Nếu x, y ≠ 0, thì với mọi

λ ∈ ta có

(1.2)


0≤ x
− λ

= x2
− λ

= x2 −
2λ

x, y y, x
−λ
x, y y, x
− λ2

x,
y

+

x, y y

+

x, y y,
x

x, y

2

λ
λ


x, y x, y y, y

2

y .

λ2

Ta nhận được một tam thức bậc hai đối với λ không âm với mọi giá trị

λ ∈ .Do đó


4

2

− x, y
y

x,
y
Vì vậy

x,
y

2

2


2

≤0
x,
⇔
y

x

≤ x

2

≤ x

2

y

⇔≤ x y .
x,
y

(∀x, y ∈ X )

y

Bất đẳng thức Schwarz được chứng minh.
Hệ quả 1.2.1 Công thức (1.2) xác định một chuẩn trên không gian X.

Định nghĩa 1.2.2 ( không gian Hilbert )
Ta gọi một tập hợp Η ≠ ∅ gồm những phần tử x,y,z,… nào
đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường K
2) H được trang bị một tích vô hướng .,. ;
3) H là không gian Banach với chuẩn x
=

Ví dụ 1.2.1.
Không gian

2

x,
x

,x∈ H

3

L (R ) là không gian các hàm số với bình phương khả tích trên

3

R .
∀f (x), g(x) ∈ L
3
(R ) ta đặt :

2


f,
g

=
R3

∫ f (x)g(x)dx.

Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên là :
1

f =


2
2
=

f
(x)dx

f, f
∫

3
R




Khi đó không gian L2 ( 3 ) cùng với tích vô hướng trên là một không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.2.2.
Ký hiệu  là không gian véctơ thực k chiều.
k


Với ∀x ) ∈
= (x
,∀y
= ( y

)

k

∈
k

n

ta đặt

n
k

x,
y

=


∑

n=1

xn yn

Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên là:
x =

k

x ,x
∑

x, x

=

) ∈

2

n

(x

=

n

=
1

k

Khi đó không gian véctơ thực  cùng với tích vô hướng trên là một không gian
k
Hilbert.
Ví dụ 1.2.3.
Ký hiệu l2

∞

là không gian véctơ các dãy số phức x =
số

∑ hội tụ. ∀x
xn

n=1

2

,∀y =

(

=

ta đặt:


( xn ) ∈l 2

yn ) ∈l 2

∞

x, y =

∑

n=1

xn yn

Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng trên là:
∞

x =
∑x
n=1

Khi đó không gian véctơ l2

Hilbert.

2

,( xx =
n


) ∈l
n

2

( xn ) sao cho chuỗi


1.3. Toán tử tuyến tính.

cùng với tích vô hướng trên là một không gian

1.3.1. Toán tử tuyến tính bị chặn.
Định nghĩa 1.3.1 ( Toán tử tuyến tính ).


Cho hai không gian vectơ bất kỳ X và Y. Một ánh xạ A: X gọi là một ánh
→Y
xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:
1) (∀x, x
∈ X)
2) (∀x
∈ X)

'

'

'


A(x + x ) = Ax + Ax .
Aα x =

(∀

α

α

Ax.

∈K)
Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) .
Nếu X ≡ ta nói A là toán tử trong X.
Y
Ví dụ 1.3.1 :

X≡ Y≡
k
(Không gian các hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp k trên [a;b])
C[a,b]
'

Ax(t) =0 a x(t)1 + a x (t)
(k )
+... + a x k

(t)


trong đó a , a ..., a là những hằng số ( hoặc những hàm số cho trước của t
0
1,
k
thuộc C
ka,b ) là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử vi phân.
[
]

Định nghĩa 1.3.2 ( Toán tử tuyến tính liên tục).
Cho X,Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A:
X → Y

liên tục tại

x0 ∈ X nếu :

gọi là


∀{xn} ⊂ X , xn thì Ax → Ax (n
n
0
→ x0 (n →
→ ∞).
∞)
Toán tử A gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.
Định nghĩa 1.3.3 ( Toán tử tuyến tính bị chặn).
Cho X,Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A: X →Y
gọi là bị

chặn (giới nội) nếu có một hằng số

k > 0 sao cho:

(∀x ∈ X ) , ≤ k x .
Ax
Định nghĩa 1.3.4 (Chuẩn của toán tử).


Số k > 0 nhỏ nhất trong định nghĩa 1.3.3 gọi là chuẩn của toán tử A và kí
hiệu là A .
Định lí 1.3.1 ( Ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên tục).
Cho

X ,Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A: X
→Y .
Khi

đó các mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục;
2) A liên tục tại

x0 ∈ X ;

3) A bị chặn.
Chứng minh:
1) ⇒ 2) : Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa, toán tử A liên
tục tại mỗi
điểm x ∈ X , do đó A liên tục
tại điểm


x0 ∈ X .

2) ⇒ 3) : Giả sử toán tử A liên
tục tại điểm chặn.
Khi đó: (∀n * (
∈ N
)

∈
∃ X)
x

bị
Ax > n x .

n

xn
yn =n xn ,

Hiển nhiên xn ≠ 0 ,
đặt
thì
Nghĩa là yn

khi n

→→
∞

0

⇒
Theo giả thiết, ta có:

x0 ∈ X , nhưng toán tử A không

n

n

1
yn =
→
0
n
yn + x0
→
x0

(n → ∞)

(n → ∞)


A( yn + x0 )
− Ax0

Nhưng


= A(
=

Ay
n

xn

n x

n

)
1
n xn

→ 0( Ay → 0(n →
n
n→
∞)
∞)
⇒

Ax > 1. Điều này mâu thuẫn với chứng

minh
n

trên.
Vì vậy toán tử A liên tục tại


x0 thì A bị chặn.

3) ⇒ 1): Giả sử toán tử A bị chặn.


Theo định nghĩa ∃k > 0
sao cho
x ∈ X và dãy điểm tuỳ ý

Ax
,∀x ∈ X . Lấy một điểm bất
≤ k x kỳ

{xn}

⊂ X hội tụ tới

Axn − Ax = A(xn − ≤ k xn
x)
− x

Do đó A liên tục tại điểm

x . Ta có :

→ 0(n
→ ∞) .

x.


Do đó tính chất bất kỳ của x ∈ X nên A liên tục trên X.
Định nghĩa 1.3.5 ( Toán tử ngược ).
Cho X,Y là hai không gian định chuẩn. Cho toán tử tuyến tính

f:X
→

Y

,
nếu tồn tại toán tử g thỏa mãn g( f (x))
=x

( ∀x ∈ X ) thì g được gọi là
toán tử

ngược của toán tử f . Ta thường ký hiệu toán tử ngược của toán tử f là

f

−1

.

Định lý 1.3.2 ( Tính liên tục của toán tử ngược).
Cho X,Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính

A: X →Y
có


toán tử ngược A 1 liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số α > 0 sao cho:
−

Khi đó

A
−1

≤
1
.

Ax ≥ x ,(∀x
α
∈ X ).

(1.3)

α

Chứng minh:
-1

Trước hết ta chứng minh toán tử ngược A của toán tử tuyến tính A là toán tử
tuyến tính. Thật vậy, lấy hai phần tử

y1, y2
∈Y


và hai số tùy ý a, b. Khi đó, tồn


tại hai phần tử x1, x2
sao cho y1 = Ax1, y2 = Ax2 . Do đó
∈ X
A(ax1 + bx2 ) = aAx1 + bAx2 = ay1 + by2
Suy
ra
−1

−1

−1

A (ay1 + by2 ) = ax1 + bx2 = aA y1 + bA y2
Điều kiện cần


-1

Giả sử toán tử tuyến tính A có toán tử ngược A liên tục. Theo chứng minh trên
-1

A là toán tử tuyến tính. Do đó theo định lý về ba mệnh đề tương đương của
-1
toán tử tuyến tính liên tục, A bị chặn. Suy ra tồn tại hằng số sao cho
C>0

,∀y ∈Y.

A−1 y ≤
C y
Nhờ đó ta được
C Ax
≥

α

−

A 1 ( Ax) = x
⇒

Ax ≥
1
C

x ,(∀x ∈ X ).

Đặt
1 ta nhận được hệ thức (1.3).
=
C

Điều kiện đủ
Giả sử toán tử tuyến tính A thỏa mãn điều kiện (1.3). Khi đó với
x1 , x2 ∈ X ,
ta có
x1 ≠ x2
≤ A(x1

x − − x2 ) =
α x1
2
-1

Ax1 −
Ax2

⇒ Ax1 ≠ Ax2 .

-1

Do đó A có toán tử ngược A . Theo chứng minh trên, toán tử A tuyến tính.
Nhờ đó với mọi phần tử y
∈Y

ta có:

−
1
−1
y = A( A 1 y)
−1
A
y
≤
y.
A y
≥ α
α

⇒

-1

Suy ra, A là toán tử tuyến tính bị chặn hay toán tử tuyến tính liên tục và


1

A ≤
−1

.

α
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.3.6 ( Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp ).
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H. Toán tử
*

A : H → H gọi là toán tử liên hợp của A, nếu
Ax, y x, A* y , (x, y H ).

