LèI CÁM ƠN
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang – Ngưòi
thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành bài
khóa lu¾n cna mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay cô
trong to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán – Trưòng Đai Hoc Sư
Pham Hà N®i 2, Ban chn nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho em
hoàn thành bài khóa lu¾n này.
Trong khuôn kho có han cna m®t bài khóa lu¾n, do đieu ki¾n thòi
gian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc
cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì v¾y,
em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cna các thay cô và các ban.
Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Dương Th% Hue


LèI CAM ĐOAN
Khóa lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p
và nghiên cúu. Bên canh đó em đưoc sn quan tâm cna các thay cô giáo
trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cna TS.Tran
Văn Bang.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khóa lu¾n này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài “Đ%nh lí Hille - Yosida”
không có sn trùng l¾p vói ket quá cna các đe tài khác.

Hà N®i, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Dương Th% Hue


Mnc lnc
Mé ĐAU............................................................................... 2
Chương 1. KIEN THÚC CHUAN B±.......................................5
1.1. Không gian Banach......................................................................5
1.1.1. Đ%nh nghĩa không gian đ%nh chuan và ví du...............................................................5
1.1.2. Toán tú tuyen tính trong không gian Banach.......................................................8
1.1.3. Không gian liên hop, toán tú liên hop trong không gian Banach.........................9
1.1.4. Cơ só trong không gian Banach.........................................................................10

1.2. Toán tú tuyen tính b% ch¾n và không b% ch¾n............................13
1.2.1. Toán tú tuyen tính b% ch¾n.........................................................................................13
1.2.2. Toán tú tuyen tính không b% ch¾n..............................................................................16

Chương 2. бNH LÍ HILLE - YOSIDA.....................................18
2.1. Toán tú đơn đi¾u cnc đai..........................................................18
2.2. Đ%nh lý Hille - Yosida...................................................................22
2.2.1. Nghi¾m cna bài toán tien hoá
tai

du

+ Au = 0 trên [0, +∞], u(0) = u . Sn ton
0

dt
và duy nhat nghi¾m....................................................................................................22

2.2.2. Tính chính quy..................................................................................................31
2.2.3. Trưòng hop tn liên hop......................................................................................34

KET LU¾N.................................................................................43
TÀI LIfiU THAM KHÁO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
44

3


Mé ĐAU
1. Lí do chon đe tài
Ai cũng biet rang Toán hoc là ngành khoa hoc vua, bói le úng dung
cna nó trong đòi song phuc vu con ngưòi là vô han. Toán hoc có n®i
dung vô cùng phong phú và đa dang. Vì the moi m®t ngưòi chí có the
đi sâu nghiên cúu vào m®t so lĩnh vnc Toán hoc mà thôi.
Trong Toán hoc chúng ta g¾p rat nhieu van đe liên quan đen vi¾c giái
các phương trình: phương trình đai so, phương trình vi phân thưòng,
phương trình đao hàm riêng vói đieu ki¾n biên, phương trình tích phân,
. . . , trong đó các phương trình tuyen tính chiem m®t v% trí đ¾c bi¾t
quan trong.
Moi bài toán ve phương trình có nhung đ¾c điem và cách giái riêng.
Tuy nhiên, chúng ta nh¾n thay rang trong cách xú lí tat cá các bài toán
đó có nhung phương pháp cơ bán giong h¾t nhau và có nhung van đe
tuy hình thúc khác nhau nhưng thnc chat chí là m®t. M¾t khác, trong
tư duy toán hoc chúng ta thưòng không chí quan tâm đen m®t phương
trình đơn đ®c mà phái chú ý cá m®t lóp phương trình và nghi¾m cna
chúng (chang han, khi nghiên cúu sn phu thu®c cna nghi¾m m®t bài toán
biên đoi vói ve phái cna phương trình hay đoi vói các đieu ki¾n biên).

Do đó, can phái khái quát các tình huong cu the thành m®t lí thuyet
trùu tưong, đe có cách nhìn mói bao quát đưoc, theo m®t quan điem


nhat quán nhieu sn ki¾n riêng lé, đong thòi xây dnng nhung công cu
chung, có khá năng xú lí cùng m®t lúc hàng loat bài toán liên quan đen
các lóp phương trình trong nhung lĩnh vnc khác nhau.
Là m®t sinh viên sư pham chuyên ngành Toán vói mong muon đưoc
tìm hieu sâu hơn b® môn này và đưoc sn hưóng dan t¾n tình cna thay
Tran Văn Bang em đã chon đe tài “Đ%nh lí Hille - Yosida” .
Nghiên cúu đe tài này, chúng ta có thêm nhung hieu biet ve Đ%nh lí Hille
- Yosida, các dang cna bài toán tien hóa và nghi¾m cna chúng . . . .

2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Bưóc đau tìm hieu và nghiên cúu sâu ve Đ%nh lí Hille – Yosida.

3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve đ%nh nghĩa và tính chat cna toán tú đơn đi¾u cnc đai,
nghi¾m cna bài toán tien hóa và sn ton tai, duy nhat nghi¾m cna bài
toán.

4. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo. Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các
khái ni¾m, tính chat.


5. Cau trúc khóa lu¾n
Ngoài phan mó đau, ket lu¾n, tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n tot
nghi¾p gom hai chương:
Chương 1: Kien thúc chuan b%.

Chương 2: Đ%nh lí Hille – Yosida.


Chương 1
KIEN THÚC CHUAN B±
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Đ%nh nghĩa không gian đ%nh chuan và ví dn
Đ%nh nghĩa 1.1. Ta goi không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen
tính đ%nh chuan) là không gian tuyen tính X trên trưòng F cùng vói
m®t ánh xa tù X vào t¾p so thnc R, kí hi¾u là "." và đoc là chuan, thóa
mãn các tiên đe sau đây:
(a) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = 0 ⇔ x = θ (kí hi¾u phan tú không là
θ), (b) (∀x ∈ X) (∀α ∈ F ) "αx" = |α| "x" ,
(c) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y" .
So "x" goi là chuan cna vectơ x. Ta cũng kí hi¾u không gian đ%nh chuan
là X.
Đ%nh nghĩa 1.2. Giá sú X là không gian đ%nh chuan.
(a) Dãy điem {xn} trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi là h®i tu
tói điem x X, neu lim
n→∞ "x − xn" = 0. Nghĩa là:
∈
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n ≥ N, "x − xn" < ε.
Khi đó ta viet xn

→

x hay lim xn = x.
n→∞

(b) Dãy điem {xn} trong không gian tuyen tính đ%nh chuan X goi là



dãy Cauchy neu lim "xm − xn" = 0. Nghĩa là:
m,n→∞

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m, n ≥ N, "xm − xn" < ε.
De dàng chí ra rang moi dãy h®i tu trong
không gian tuyen tính đ%nh chuan là dãy
Cauchy. Tuy nhiên, đieu ngưoc lai nói chung
không đúng. Ta nói rang X là không gian đay
neu nó thóa mãn moi dãy Cauchy đeu h®i tu.
Không gian tuyen tính đ%nh chuan đay đưoc
goi là không gian Banach.
Đ%nh nghĩa 1.3. Không gian đ%nh chuan X
goi là không gian Banach neu moi dãy
Cauchy trong X đeu h®i tu.
Đ%nh nghĩa 1.4. Cho không gian đ%nh
chuan X và "."1, "."2 là hai chuan trên X.
Hai chuan "."1 và "."2 đưoc goi là tương
đương neu ton tai hai so dương α, β sao cho:
α"x"1 ≤ "x"2 ≤ β"x"1, ∀x ∈ X.
Đ%nh lý 1.1. Neu "."1, "."2 là tương đương
thì cùng xác đ%nh m®t sn h®i tn vói m®t
dãy bat kì, nghĩa là:
lim "x − xn"1 =
"x − xn"2 = 0.
n→∞
0. ⇔ lim
n


→∞


Đ%nh nghĩa 1.5.
Dãy điem {xn} trong
không gian Banach X
goi là
dãy:
(a) b% ch¾n dưói
neu inf "xn"
> 0,
(b) b% ch¾n trên
neu sup "xn"
< ∞,
(c) chuan hóa neu
"xn" = 1, ∀n.


Đ%nh nghĩa 1.6. (a) T¾p E ⊂ X đưoc goi là trù m¾t trong X neu
E = X.
(b) Không gian đ%nh chuan X goi là không gian tách đưoc neu ton
tai m®t t¾p đem đưoc, trù m¾t trong X.
Ví dn 1.1. M®t so không gian Banach thưòng dùng
(a). Giá sú E ⊂ R.
(a1). Vói 1 ≤ p < ∞, kí hi¾u

Lp (E) = f : E → C |


¸


p

|f (x)|


dx <

E



∞

thì Lp (E) là không gian Banach vói chuan
1

"f"Lp



p
p
¸
=  |f (x)| dx .
E

(a2). Vói p = ∞, kí hi¾u
.


∞

L (E) = f : E → C |f b% ch¾n hau khap nơi trên E

.

thì L∞ (E) là không gian Banach vói chuan
.
.
"f"L∞ = esssup |f (x)| = inf M ≥ 0 : |f (x)| ≤ M hau khap nơi .
x∈E

(Hàm f đưoc goi là b% ch¾n hau khap nơi trên E neu ton tai M > 0 sao
cho t¾p Z = {x ∈ X : |f (x)| > M} có đ® đo lebegue bang không.)
n=
(b). Kí hi¾u c = (c1) =
là chuoi các vô hưóng.
(cn)

p

1

(b1). Vói 1 ≤ p < ∞, kí hi¾u lp = {c = (cn) :

.

lp là không gian Banach vói chuan
"c"lp = "(cn)"lp
=


.

.

1

|cn|

p

.p .

p

|cn| < ∞} thì


(b2). Vói p = ∞, kí hi¾u l

∞

.
.
= c = (cn) là hàm b% ch¾n thì l∞ là

không gian Banach vói chuan
"c"l∞ = "(cn)"l∞ = (sup |cn|) .
1.1.2. Toán tN tuyen tính trong không gian Banach
Đ%nh nghĩa 1.7. Cho hai không gian tuyen tính đ%nh chuan X và Y

trên trưòng F . M®t ánh xa T : X → F đưoc goi là m®t toán tú.
Neu Y = F thì toán tú T : X → F đưoc goi là m®t phiem hàm trên
X.
Ta viet Tx hay T (x) đe kí hi¾u ánh hưóng cna phan tú x qua toán
tú T .
Đ%nh nghĩa 1.8. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y trên trưòng
F , T : X → Y là m®t toán tú.
(a) T tuyen tính neu T (ax + by) = aT x + bT y, ∀a, b ∈ F, ∀x, y ∈ X.
(b) T là đơn ánh hay 1-1, neu Tx = Ty khi và chí khi x = y.
(c) Ánh hay mien giá tr% cna T kí hi¾u là
Range (T ) = T (X) = {T x : x ∈ X} .
(d) T là toàn ánh hay lên neu Range (T ) = Y .
(e) T là song ánh neu T là đơn ánh và toàn ánh.
(f) T liên tuc neu xn → x trong X kéo theo T (xn) → T (x) trong F .
(g) Chuan cna toán tú tuyen tính, hay đơn gián chuan cna toán tú T
là
"T " = sup "|T x" .
y
"x"x=1


T b% ch¾n neu "T " < ∞.
(h) T báo toàn chuan hay đang cn neu "T (x)"Y = "x"X , ∀x ∈ X. Đ%nh
lý 1.2. Giá sú T : X → Y là toán tú tuyen tính ánh xa không gian đ
%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y . Khi đó:
T liên tnc ⇔ T b% ch¾n.
Kí hi¾u 1.1
• x∗ là phiem hàm tuyen tính liên tuc trên X.
• Tác đ®ng cna x∗ lên x bói kí hi¾u
(x, x∗ ) = x∗ (x) .

• x∗ tuyen tính neu ∀a, b ∈ F , ∀x, y ∈ X
(ax + by, x∗) = a (x, x∗) + b (y, x∗) .
x∗ liên tuc neu lim
•
n→∞

xn = x thì (xn , x∗ ) = (x, x∗ ) .
lim
n→∞

∗

• "x " = sup |(x, x )| .
∗

"x"x=1

1.1.3. Không gian liên hap, toán tN liên hap trong không gian
Banach
Đ%nh nghĩa 1.9. Cho X là không gian đ%nh chuan trên trưòng F . Ta
goi không gian X∗ các phiem hàm tuyen tính liên tuc trên không gian
X là không gian liên hop (không gian đoi ngau) cna không gian X.
Đ%nh lý 1.3. Neu X là không gian đ%nh chuan thì không gian đoi ngau
X ∗ là không gian Banach vói chuan
"x∗ "X ∗ = sup |(x, x∗)| .
"x"X =1


Đ%nh lý 1.4. Giá sú X là không gian Banach và x ∈ X. Khi đó, ∀x ∈ X
"x"X = sup |(x, x∗)| .

"x∗"X∗ =1

Đ%nh nghĩa 1.10. Giá sú X, Y là hai không gian tuyen tính đ%nh chuan,
S là toán tú tuyen tính b% ch¾n tù X vào Y . Toán tú S∗ : Y ∗ → X ∗
xác đ%nh bói S∗ y∗ = y∗ ◦ S, y∗ ∈ Y ∗, nghĩa là
(x, S∗ y∗ ) = (Sx, y∗) , ∀x ∈ X

(1.1)

goi là toán tú liên hop cna toán tú tuyen tính b% ch¾n S.
De thay S∗ tuyen tính và vói moi y∗ ∈ Y ∗ ta có
|(S∗y∗) x| = |(Sx, y∗)| ≤ "y∗" . "S" . "x" , ∀x ∈ X.
Do đó, "S∗y∗" ≤ "S" "y∗" . V¾y S∗ là m®t toán tú tuyen tính b%
ch¾n.
1.1.4. Cơ sá trong không gian Banach
Đ%nh nghĩa 1.11. Giá sú {xn} là dãy điem trong không gian Banach
X.

.

xn h®i tu và có tong bang x ∈ X neu dãy tong riêng
.
N
xn h®i tu tói x theo chuan trong X. Nghĩa là:
{Sn} vói Sn
n=1
=

(a) Chuoi


N

∀ε > 0, ∃N0 > 0, ∀N ≥ N0, "x − Sn" = x
−
.
(b) Chuoi

.x

n

< ε.

n=
1

xn là chuoi Cauchy neu dãy tong riêng {Sn} là dãy

Cauchy trong X. Nghĩa là:
N

∀ε > 0, ∃N0 > 0, ∀N, M ≥ N0, "xm − Sn" = xm
−

.x
n=
1

n


< ε.


Đ%nh nghĩa 1.12. Giá sú X là không gian Banach. Dãy {xn} trong
không gian Banach X đưoc goi là cơ só cna không gian Banach X neu
vói moi x ∈ X, ton tai duy nhat các vô hưóng an (x) sao cho
x=

.

an (x) xn.

(1.2)

n

Kí hi¾u 1.2. Các h¾ so an (x) đưoc đ%nh nghĩa ó (1.2) là các phiem
hàm tuyen tính cna x. Hơn nua chúng đưoc xác đ%nh duy nhat bói cơ
só, nghĩa là vói moi cơ só {xn} xác đ%nh duy nhat t¾p các phiem hàm
tuyen tính an : X → F .
Do đó ta goi {an} là dãy các phiem hàm h¾ so liên ket. Khi can chí rõ
cơ só và phiem hàm h¾ so liên ket ta se viet ({xn} , {an}) là cơ só.
Đ%nh nghĩa 1.13. Giá sú X là không gian Banach, có cơ só là ({xn} ,
{an}).

N
.

an (x) xn là phép chieu tn
Ta goi Sn : X → X xác đ%nh bói Snx

n=1
=
nhiên (hay toán tú tong riêng), tương úng vói cơ só ({xn} , {an}).
Đ%nh lý 1.5. Giá sú ({xn} , {an}) là cơ só cúa không gian Banach
X. Khi đó ta có:
(a) sup "SN x" < ∞, ∀x ∈ X.
(b) C = sup "SN " < ∞.
(c) |"x"| = sup "SN x" tao thành chuan trên X tương đương vói chuan
ban đau "." trên X thóa mãn:
"." ≤ |"."| ≤ C "." .
So C = sup "SN ", ∀N ≥ 1, trong đ%nh lí trên đưoc goi là hang so cơ
só. Hang so C phu thu®c vào chuan xác đ%nh trên X.


Đ%nh nghĩa 1.14. Ta goi m®t phép đong phôi tuyen tính giua không
gian Banach X và không gian Banach Y là m®t song ánh tuyen tính
T : X → Y liên tuc.
Đ%nh lý 1.6. Các cơ só đưoc báo toàn qua phép đong phôi tuyen tính.
Nghĩa là: Neu {xn} là cơ só cúa không gian Banach X và S : X → Y là
m®t phép đong phôi tuyen tính thì {Sxn} là cơ só cúa Y .
Đ%nh nghĩa 1.15. Giá sú {xn} là dãy điem trong không gian tuyen tính
đ%nh chuan X.
(a) Bao tuyen tính huu han cna dãy {xn} là t¾p hop tat cá các to hop
tuyen tính các phan tú cna dãy {xn}. Kí hi¾u
span {xn}
=

.

N

.

.
cnxn : ∀N > 0, ∀cn > 0

.

n=1

(b) Bao đóng tuyen tính huu han cna dãy {xn} là t¾p đóng nhó nhat
trong X cna bao tuyen tính huu han và đưoc kí hi¾u là span {xn}.
(c) Dãy {xn} là đay trong X neu span {xn} = X hay span {xn} trù
m¾t trong X.
Đ%nh lý 1.7. Giá sú {xn} là dãy trong không gian Banach X. Khi đó
các m¾nh đe sau tương đương:
(a) Dãy {xn} là cơ só cúa X.
(b) Dãy {xn} là đay, xn ƒ= 0 ∀n và ∃C ≥ 1 sao cho
M

∀N ≥ M, ∀c1, ..., cN , . cnxn
n=1

N

≤ C. cnxn .
n=1


1.2. Toán tN tuyen tính b% ch¾n và không b% ch¾n
1.2.1. Toán tN tuyen tính b% ch¾n

Đ%nh nghĩa 1.16. (toán tú tuyen tính) Cho hai không gian tuyen tính
bat kì X và Y trên trưòng P (P = R (C)). M®t ánh xa A:X → Y goi là
ánh xa tuyen tính hay toán tú tuyen tính neu:
(a) A (x1 + x2) = A (x1) + A (x2) ∀x1, x2 ∈ X.
(b) A (αx) = αAx ∀α, x ∈
X. Đieu ki¾n tương đương:
A (α1x1 + · · · + αkxk) = α1Ax1 + · · · + αkAxk
vói ∀x1, ..., xk ∈ X và vói moi so α1, ..., αk.
Neu X = Y thì ta nói A là m®t toán tú trong X.
Đ%nh nghĩa 1.17. (toán tú liên tuc) Giá sú X và Y là hai không gian
đ%nh chuan. Toán tú A : X → Y goi là liên tuc neu xn → x0 thì
Axn → Ax0.
Đ%nh nghĩa 1.18. (toán tú tuyen tính b% ch¾n) Toán tú A : X → Y goi
là b% ch¾n neu có m®t hang so C > 0 đe vói ∀x ∈ X
"Ax" ≤ C "x" .

(1.3)

Đ%nh nghĩa 1.19. (chuan cna toán tú tuyen tính) Cho A là toán tú b%
ch¾n tù X vào Y (X, Y là hai không gian đ%nh chuan). Hang so C > 0
nhó nhat thóa mãn (1.3) goi là chuan cna toán tú A và kí hi¾u là "A".
Tù đ%nh nghĩa ta thay chuan cna toán tú có các tính chat sau:


1) ∀x ∈ X : "Ax" ≤ "A" . "x".
2) ∀ε > 0, ∃xε ∈ X : ("A" − ε) "xε" < "Aε" .
Đ%nh lý 1.8. (đ%nh lí 3 m¾nh đe tương đương ve toán tú tuyen tính liên
tuc) Cho A là toán tú tuyen tính tù X vào Y (X, Y là hai không gian
đ%nh chuan). Khi đó 3 m¾nh đe sau tương đương:
1) A liên tnc.

2) A liên tnc tai điem x0 nào đó thu®c X.
3) A b% ch¾n.
Đ%nh lý 1.9. (đ%nh lí chuan cna toán tú) Cho toán tú tuyen tính A tù
không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y . Neu toán
tú A b% ch¾n thì:
"A" = sup "Ax"

(1.4)

"A" = sup "Ax" .

(1.5)

"x"≤1

ha
y

"x"=1

Đ%nh nghĩa 1.20. (toán tú liên hop) Cho toán tú tuyen tính b% ch¾n
A ánh xa không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán tú B
ánh xa không gian Hilbert Y vào không gian X goi là toán tú liên
hop vói toán tú A neu:
(Ax, y) = (x, By) , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Toán tú liên hop B thưòng đưoc kí hi¾u là A∗.
Đ%nh nghĩa 1.21. (toán tú tn liên hop) Toán tú tuyen tính b% ch¾n A
ánh xa không gian Hilbert H vào chính nó goi là tn liên hop neu:
(Ax, y) = (x, Ay) , ∀x, y ∈ H.



*Không gian các toán tN tuyen tính b% ch¾n:
Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y . Kí hi¾u L (X, Y ) là t¾p
hop tat cá các toán tú tuyen tính. Tong cna hai toán tú A, B ∈ L (X,
Y ) là toán tú, kí hi¾u A + B xác đ%nh bang h¾ thúc:
(A + B) (x) = Ax + Bx,∀x ∈ X.
Tích vô hưóng α ∈ P vói toán tú A ∈ L (X, Y ) là toán tú, kí hi¾u αA,
xác đ%nh bang h¾ thúc:
(αA) (x) = α (Ax) .
Ta thay A, B ∈ L (X, Y ), αA ∈ L (X, Y ) và hai phép toán trên đây
thóa mãn h¾ tiên đe tuyen tính. T¾p L (X, Y ) tró thành m®t không gian
tuyen tính trên trưòng P .
Vói toán tú bat kì A ∈ L (X, Y ) ta đ¾t:
"A" = sup "Ax" .

(1.6)

"x"≤1

Ta thay công thúc (1.6) thóa mãn h¾ tiên đe chuan và không gian tuyen
tính L (X, Y ) trên trưòng P tró thành không gian đ%nh chuan.
Sn h®i tu trong không gian đ%nh chuan L (X, Y ) goi là sn h®i tu đeu
cna dãy toán tú b% ch¾n. Dãy toán tú (An) ⊂ L (X, Y ) goi là h®i tu
tùng
điem tói toán tú A ∈ L (X, Y ), neu vói moi x ∈ X, lim "Anx − Ax" =
n →∞

0
trong không gian Y . M®t dãy toán tú (An) ⊂ L (X, Y ) h®i tu đeu tói
A ∈ L (X, Y ) thì dãy (An) h®i tu tùng điem tói toán tú A trong

không gian Y .


1.2.2. Toán tN tuyen tính không b% ch¾n
Đ%nh nghĩa 1.22. Cho E và F là hai không gian Banach. M®t toán
tú tuyen tính không b% ch¾n tù E vào F là m®t ánh xa tuyen tính
A : D (A) ⊂ E → F xác đ%nh trên m®t không gian tuyen tính con
D (A) ⊂ E vói giá tr% trong F .
T¾p D (A) đưoc goi là mien xác đ%nh cna A.
Ta nói A là b% ch¾n (ho¾c liên tuc) neu D (A) = E và neu ton tai
hang so C ≥ 0 sao cho:
"Au" ≤ C "u" , ∀u ∈ E.
Chuan cna toán tú b% ch¾n đưoc xác đ%nh bói:
" Au"
"A"2(E,F ) = sup
.
uƒ=0 "u"
Chú ý 1.1. Có the xáy ra rang m®t toán tú tuyen tính không b% ch¾n là
b% ch¾n. Thu¾t ngu này là không thích hop nhưng nó van đưoc sú dung
và không dan tói sn nham lan nào.
Chú ý 1.2. Trong thnc hành, hau het các toán tú không b% ch¾n là đóng
và xác đ%nh trù m¾t, túc là D (A) trù m¾t trong E.
M¾nh đe 1.1. Cho A : D (A) ⊂ E → F là m®t toán tú tuyen tính
không b% ch¾n xác đ%nh trù m¾t. Khi đó A∗ là đóng, túc là G (A∗)
là đóng trong F ∗ × E∗ .
H¾ quá 1.1. Cho A : D (A) ⊂ E → F là m®t toán tú tuyen tính không
b% ch¾n, xác đ%nh trù m¾t và đóng. Khi đó:
⊥

i) N (A) = R(A∗) ,



⊥

ii) N (A∗) = R(A) .
⊥

iii) N (A) ⊃ R (A∗),
iv) N (A∗) = R (A).


Chương 2
бNH LÍ HILLE - YOSIDA
2.1. Toán tN đơn đi¾u cNc đai
Trong suot chương này H là không gian Hilbert.
Đ%nh nghĩa 2.1. Cho m®t toán tú tuyen tính không b% ch¾n
A : D(A) ⊂ H → H
đưoc goi là đơn đi¾u neu nó thóa mãn:
(Av, v) ≥ 0 ∀v ∈ D(A).
Nó đưoc goi là đơn đi¾u cnc đai neu có thêm giá thiet R(I + A) = H,
nghĩa là : ∀f ∈ H, ∃u ∈ D(A) sao cho u + Au = f .
M¾nh đe 2.1. Cho A là m®t toán tú đơn đi¾u cnc đai. Khi đó
(a) D(A) là trù m¾t trong H,
(b) A là m®t toán tú đóng,
(c) Vói moi λ > 0, (I + λA) là song ánh tù D(A) lên H, (I + λA)
toán
−1
≤ 1.
tú b% ch¾n và (I +
L(H)

λA)

−1

ChNng minh. (a) Giá sú f ∈ H sao cho (f, v) = 0∀v ∈ D(A). Chúng
ta chí ra rang f = 0. Th¾t v¾y, theo giá thiet ∃v0 ∈ D(A) sao cho
v0 + Av0 = f nên
2

2

0 = (f, v0) = |v0| + (Av0, v0) ≥ |v0| .


V¾y v0 = 0 và do đó f = 0.
(b) Nh¾n thay rang vói bat kì f ∈ H, ton tai duy nhat m®t u ∈ D(A)
sao cho u + Au = f vì neu u¯ là m®t nghi¾m khác thì ta có:
uu − u¯ + A(u − u¯) = 0.
Lay tích vô hưóng vói (u−u¯) và sú dung tính đơn đi¾u ta suy ra u−u¯
2

2

= 0. Tiep theo, lưu ý rang |u| ≤ |f |, vì |u| + (Au, u) = (f, u) ≥ |u| .
−1

Do đó ánh xa f ›→ u, đưoc kí hi¾u bói (I + A)

là m®t toán tú


tuyen
tính b% ch¾n tù H vào chính nó và (I +
A)

≤ 1. Bây giò chúng

−1
L(H)

ta chúng minh rang A là m®t toán tú đóng. Giá sú (un) là m®t dãy
trong D(A) sao cho un → u và Aun → f chúng ta phái chúng tó rang
u ∈ D(A) và Au = f , nhưng
un + Aun → u + f
và do đó

un = (I + A)

Như v¾y: (I + A)

−1

−1

−1

(un + Aun) → (I + A)

(u + f ).

(u + f ), nghĩa là u ∈ D(A) và u + Au = u + f .


(c) Chúng ta se chúng minh rang neu R(I + λ0A) = H đoi vói m®t so
thnc λ0 > 0 thì R(I + λA) = H vói moi λ > λ0/2.
Lưu ý đau tiên như trong phan (b) rang vói moi f ∈ H có duy nhat m®t
u ∈ D(A) sao cho u + λ0Au = f . Hơn nua, ánh xa f ›→ u kí hi¾u
bói
−1
(I + λ0A)
là toán tú tuyen tính b% ch¾n vói (A +
λ0A)

−1
L(H)

≤ 1.

Chúng ta se đi giái phương trình
u + λAu = f vói λ > 0

(2.1)


Phương trình (2.1) có the đưoc viet là:
0

λ

. −
h
a

y

λ

0.

u f 1
λ
+
+λ
.

λ
.
A
uλ
0

u,

0.

λ
.

0

=
u
f

( λ
λ +
−

.

(2.2
)

1
−

.
.

λ

λ
u
/2 vì theo
nguyên lý ánh
xa co phương

neu
λ0 . 1 −
< 1,
nghĩa là λ
>λ.
.
.

.0
trình (2.2) có m®t nghi¾m.
Ket lu¾n (c) đưoc chúng
minh de dàng bang
phương pháp quy nap. Vì
I + A là toàn ánh nên I +
λA là toàn ánh vói moi λ
> 1/2 và do đó vói
∀λ > 1/4, ....
Nh¾n xét 2.1. Neu A là
đơn đi¾u cnc đai thì λA
cũng là đơn đi¾u cnc
đai vói moi λ > 0. Tuy


nhiên, neu A và B là nhung toán tú
đơn đi¾u cnc đai thì A + B đưoc xác
T
đ%nh trên D(A) D(B) có the không
đơn đi¾u cnc đai.
Đ%nh nghĩa 2.2. Cho A là m®t toán tú
đơn đi¾u cnc đai, vói moi λ > 0
1
đ¾t Jλ = (I +
(I − Jλ).
−1
λA)
và Aλ = λ
Jλ đưoc goi là giá thu®c cna A, và Aλ
đưoc goi là xap xí Yosida (ho¾c chính

quy hoá Yosida) cna A. Ghi nhó rang
"Jλ"L(H) ≤ 1.
M¾nh đe 2.2. Cho A là m®t toán
tú đơn đi¾u cnc đai. Khi đó (a1)
Aλv = A(Jλv) ∀v ∈ H và ∀λ > 0,
(a2) Aλv = Jλ(Av) ∀v ∈ D(A) và ∀λ >
0,
(b) |Aλv| ≤ |Av| ∀v ∈ D(A) và ∀λ > 0,
(c) lim Jλv = v ∀v ∈ H,
λ→0


(d) lim Aλv = Av ∀v ∈ D(A),
λ→0

(e) (Aλv, v) ≥ 0 ∀v ∈ H và ∀λ > 0,
(f) |Aλv| ≤ (1/λ) |v| ∀v ∈ H và ∀λ > 0.
ChNng minh. (a1) có the đưoc viet là v = (Iλv) + λA(Jλv), đây chí
là đ%nh nghĩa cna Jλv.
(a2) theo (a1) chúng ta có: Aλv + λA(v − Jλv) = Av, nghĩa là
Aλv + λA(Aλv) =
Av, Aλv = (I + λA)
−1

Av.

(b) Có đưoc de dàng tù (a2).
(c) Giá sú đau tiên v ∈ D(A). Khi đó

|v − Jλv| = λ |Aλv| ≤ λ |Av| (do (b))

và do đó lim Jλv = v.
λ→0

Bây giò giá sú v ∈ H bat kì. Vói ε > 0, ton tai m®t so v1 ∈ D(A) sao
cho |v − v1| ≤ ε ( vì D(A) trù m¾t trong H, theo M¾nh đe 2.1). Chúng
ta có:
|Jλv − v| ≤ |Jλv − Jλv1| + |Jλv1 − v1| + |v1 − v|
≤ 2 |v − v1 | + |Jλv1 − v1 | ≤ 2ε + |Jλv1 − v1 | .
Do v¾y

lim

sup |Jλv − v| ≤ 2ε ∀ε > 0,

λ→0

nên lim |Jλv − v| = 0.
λ→0

(d) Đây là m®t h¾ quá cna (a2) và (c).