TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
------------

ĐẶNG THỊ HOA

DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------

ĐẶNG THỊ HOA

DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
THS. ĐINH THỊ KIM THÚY

HÀ NỘI – 2012

LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ
Hình học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ em
hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths. Đinh Thị Kim Thúy, người
đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo và truyền đạt kinh nghiệm cho em trong suốt
quá trình nghiên cứu khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học nên đề tài khóa luận
của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong được sự chỉ
bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2012.
SINH VIÊN
Đặng Thị Hoa


LỜI CAM ĐOAN
Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ chỉ bảo, tận tình của cô
hướng dẫn, em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận tốt nghiệp của em. Em
xin cam đoan bài khóa luận trên là do bản thân em nghiên cứu cùng với sự
giúp đỡ của cô giáo hướng dẫn mà có và không sao chép từ bất cứ tài liệu có
sẵn nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012.
SINH VIÊN
Đặng Thị Hoa


MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
NỘI DUNG....................................................................................................... 3
Chương 1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH..........................................................3
1.1. Định nghĩa, ví dụ............................................................................................... 3
1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên............................5
1.3. Sự xác định dạng song tuyến tính...................................................................... 6
1.4. Ma trận của dạng song tuyến tính...................................................................... 8
1.5. Hạng của dạng song tuyến tính........................................................................ 10
1.6. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai cơ
sở khác nhau.................................................................................................... 11
1.7. Dạng toàn phương........................................................................................... 13
Bài tập chương 1.............................................................................................. 19
Chương 2. DẠNG HERMITE......................................................................... 26
2.1. Dạng song tuyến tính liên hợp.................................................................. 26
2.1.1. Định nghĩa và ví dụ.......................................................................................... 26
2.1.2. Sự xác định định dạng song tuyến tính liên hợp.............................................. 27
2.1.3. Ma trận của dạng song tuyến tính liên hợp...................................................... 29
2.1.4. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính liên hợp đối
với hai cơ sở khác nhau................................................................................... 29
2.1.5. Dạng toàn phương liên hợp..............................................................................30
2.2. Dạng Hermite........................................................................................... 31
2.2.1. Định nghĩa và ví dụ..........................................................................................31
2.2.2. Sự xác định dạng Hermite................................................................................32
2.2.3. Ma trận của dạng Hermite................................................................................32


2.2.4. Mối liên hệ giữa dạng song tuyến tính liên hợp trên không gian unita và dạng
Hermite............................................................................................................ 34
2.2.5. Giới thiệu về dạng toàn phương Hermite.........................................................34
Bài tập chương 2.............................................................................................. 37

KẾT LUẬN..................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 42


7

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Có thể nói, đối với sinh viên khoa Toán nói riêng và sinh viên học toán
nói chung, Đại số tuyến tính là một môn khoa học quan trọng vì nó là nền
tảng của nhiều môn toán như: Hình học Aphin, Hình học Ơclit, Hình học vi
phân.....
Cấu trúc không gian vectơ cho phép diễn đạt các khái niệm như độc
lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính, tập sinh, hạng, cơ sở và tọa độ,
không gian con k chiều (đường thẳng, mặt phẳng)…Tuy nhiên cấu trúc này
chưa cho phép nói đến các khái niệm mang nội dung hình học nhiều hơn như
độ dài vectơ và góc giữa hai vectơ…Để diễn đạt những khái niệm này,
người ta cần cấu trúc không gian vectơ Euclid. Chính vì thế ta cần nghiên
cứu và tìm hiểu sâu hơn về dạng song tuyến tính. Do đó em đã chọn đề tài:
“Dạng song tuyến tính”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về dạng song tuyến tính.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là đại số tuyến tính, cụ thể là dạng song tuyến
tính.

Phạm vi nghiên cứu là tất cả tài liệu liên quan đến dạng song tuyến

tính.
4. Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu có
liên quan…
5. Nội dung của khóa luận
Nội dung của khóa luận gồm có hai chương chính như sau:
Chương 1. Dạng song tuyến tính


Nội dung của chương 1 xoay quanh 2 vấn đề chính:
Định nghĩa dạng song tuyến tính và các khái niệm, các định lí liên quan
đến dạng song tuyến tính nhằm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về vấn đề mà chúng
ta đang nghiên cứu.
Định nghĩa dạng toàn phương và các khái niệm, các định lí của dạng
toàn phương, phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính
tắc.
Chương 2. Dạng Hermite
Nội dung của chương 2 đi vào tìm hiểu dạng song tuyến trong không
gian vectơ phức trong đó xoay quanh 2 vấn đề chính:
Trình bày các định nghĩa, định lí liên quan đến dạng song tuyến tính
liên hợp.
Định nghĩa dạng Hermite (dạng song tuyến tính liên hợp đối xứng) và
các khái niệm liên quan đến dạng Hermite.


NỘI DUNG
Chương 1
DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
1.1. Định nghĩa, ví dụ
Cho V và W là hai không gian vectơ trên trường K.
Định nghĩa
Ánh xạ f : V × W → K được gọi là một dạng song

tuyến tính trên
V×
W

nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, x ′ ∈V , y,
y ′ ∈ W và

α,β
f (x + x′, y) = f (x, y) + f (x′, y), f (αx, y)
∈K : (I)
= αf (x, y)
(II)
f (x, y + y′) = f (x, y) + f (x, y′), f (x,βy) = βf
(x, y)
Nói cách khác khi cố định một biến thì f là dạng tuyến tính đối với biến
còn lại. Dạng song tuyến tính trênV ×V còn được gọi là dạng song tuyến
tính trên V.
Ví dụ 1.
a) Nếu g là một dạng tuyến tính trên V và h là một dạng tuyến tính trên
W, thì f(x, y) = g(x).h(y) với mọi x ∈V,
y∈ W
trên V × W . Chẳng hạn khi V

là một dạng song tuyến tính
3

W = K , thì

2


= K và

f (x, y) = (x1 + x 2 )(y1 − 2y 2 + 3y3)
là một dạng song tuyến tính trên
Thật vậy, đặt

2

3

K × K .

g(x) = x1 + x 2 ,∀x ( x 1 , x 2 ) ∈K

2

h(y) = y1 − 2y 2 + 3y3 ,∀y ( y1, y2 , y3

) ∈K 3

2

Vì g(x) là một dạng tuyến tính trên K nên f (x, y) thỏa mãn (I)


3

Vì h(y) là một dạng tuyến tính trên K nên f (x, y) thỏa mãn (II)
Suy ra f(x, y) thỏa mãn các điều kiện của một dạng song tuyến
2


3

tính. Vậy f là một dạng song tuyến tính trên K × K .
2

2

b)Ánh xạ f : K × K → K cho bởi
a b
f (a, b, c,d) =
c d
là một dạng song tuyến tính (tính chất của định thức).
2

K và

Thật vậy, với bất kì x = (a, b), y = (c,d), x′ = (a′, b′),
y′ = (c′, d′) thuộc
α,β
ta có:
∈K

a+
a′

f (x + x′, y) =
c

b+

b′
d

a′

b′

=
+
c d c

d

a

b

= f (x, y) + f (x′, y)

αa αb a b = αf (x, y)
f (αx, y)
= α
=
c
d
c d
a
b
a b a b
f (x, y + y′) =

= f (x, y) + f (x, y′)
=
+
c+ d+
c d c′ d′
c′
d′
f (x,βy)
a b = βf (x, y)
a
b
=
= β
βc βd c d
2

Vậy f là một dạng song tuyến tính trên K .
Ví dụ 3. Nếu E là không gian Euclid, thì tích vô hướng là một dạng
song tuyến tính trên E. Thật vậy, Với ∀x, x1, x 2 , y, y1, y2
∈E và ∀α,β∈□
Theo định nghĩa tích vô hướng trên E ta có x1 + x 2 ,
y =
và
αx, y

1

2

x ,y

+

x ,y

= α x, y

Lại có
1

1

x, y + = y + y
2
,x =
y

2

1

y ,x
+

2

y ,
x

= x, y
+


1

x, y

2


x,βy =
= β
βy, x y, x

= β x, y

Vậy tích vô hướng là một dạng song tuyến tính trên E.


1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên
Định nghĩa.
Dạng song tuyến tính f (x, y) trên V gọi là đối xứng nếu
f (x, y) = f (y, x), ∀x, y ∈V
Dạng song tuyến tính f (x, y) trên V gọi là đối xứng lệch nếu
f (x, y) = −f
(y, x),

∀x, y ∈V

Dạng song tuyến tính f (x, y) trên V gọi là thay phiên nếu
f (x, x) = 0 ,∀x ∈V
Ví dụ:

2
f (x, y) = x1y 2 + là một dạng song tuyến
Cho V = K . Khi
x2y1
đó

(i)

tính đối xứng, còn

g(x, y) = x1y2 − x2y1 vừa là một dạng song
tuyến

tính thay phiên, vừa là đối xứng lệch.
Dạng song tuyến tính f (x, y) = x1y1 +
x2y2

(ii)

trên

K

2

là đối xứng,

nhưng không thay phiên.
(iii)


n

n

Ánh xạ f : R × R → R xác định bởi:
f (x, y) = x1y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n ,

là một dạng song tuyến tính đối xứng trên R
Nhận xét.

n

với x = (x1,...xn ), y
= (y1,..yn ).

1. Mọi dạng song tuyến tính thay phiên là đối xứng lệch.
Thật vậy: do f là dạng song tuyến tính thay phiên nên với mọi x,
y ∈V

ta có

 f (x + y, x + y) = 0

−f (x + y, x + y) = 0
⇔

f (x + y, x + y) = −f (x + y, x + y)

⇔ f (x, x + y) + f (y, x + y) = −f (x, x + y) − f
(y, x + y)



⇔ f (x, x) + f (x, y) + f (y,x) + f (y, y) = −f (x, x)
− f (x, y) − f (y,x) − f (y, y)
⇔
(y,x)

2f (x, y) + 2f (y,x) = 0 ⇔ f (x, y) = −f
W.


2. Mọi dạng song tuyến tính trên V đều có thể biểu được thành tổng của một
dạng song tuyến đối xứng và một dạng song tuyến tính thay phiên trên V.
Thật vậy: với ∀x, y ∈V đặt
f1 (x, y) =

1

f2 (x, y) =

1

Dễ dàng chứng minh được

{f (x, y) + f
(y, x)} 2
{f (x, y) − f
(y, x)} 2

f1là dạng song tuyến tính đối xứng và f2 là


dạng tuyến tính thay phiên thỏa mãn f = f1 + f2
1.3. Sự xác định dạng song tuyến tính
Cho S={υ ,υ ,.. là cơ sở của V và T={ω ,
1 2
1
.υm}
ω2 ,...ωn}

là cơ sở của

W. Khi đó, tương tự như ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính được xác
định duy nhất qua các giá trị của nó trên S× T .
Định lí 1.1 Ánh xạ f : V × W là một dạng song tuyến tính khi và chỉ khi
→ K
tồn tại mn phần tử aij ∈K,i = 1, 2,...m, j = 1, 2,...n sao cho
m n

f (x, y) =

∑∑a i j x i y j
i=1 j=1

với mọi

x = x1υ1 + ... + x n υn và y = y1ω1
+ ... + ynωn . Hơn nữa khi đó
f (υi ,ωj ) = a ij ,i = 1, 2,...m, j = 1, 2,...n

và f là dạng song tuyến tính duy nhất trên V thỏa mãn điều kiện này.

Nếu kí hiệu

A = (aij) ∈M(m, n; K) thì ta có thể viết f(x, y) như
sau:
T

f (x, y) = (x1,...xm )A(y1,...yn ) .
Chứng minh.
Giả sử f là dạng song tuyến tính tùy ý trên V × W . Với mỗi cặp
(i, j)
trong đó i = 1, 2,...m, j = 1,
2,...n ta đặt

f (υi , ωj ) = a ij . Khi đó, với
bất kì


x = x1υ1 + ... + x m υm , y
= y1ω1 + ... + yn ωn ∈ V

ta có:


m
n
n
n


f (x, y) = f (∑ x i υi , ∑ y jω j ) =



∑ y jωi=1
j=1
i=1
j=1
j


m

n

∑x i f

 υi ,



m n

m n

i=1 j=1

i=1 j=1

∑x i ∑ y jf (υi ,ωj ) = ∑∑ x i y jf
(υi , ωj ) = ∑∑ a i j x i y j


=

i=1 j=1

Ngược lại, giả sử tồn tại mn phần tử
2,...n

{aij | i = 1, 2,...m, j = 1,

} sao cho

ánh xạ f : V × W
→ K

thỏa mãn điều kiện trong định lí. Khi đó với bất kì

m

m

n

n

i=1

i=1

j=1


j=1

x = ∑x i υ i , x′ = ∑ x′i υi ∈V, y =
y′ = ∑ y′jυ j ∈ W,α,β∈K ta có

∑ y jωj ,

m
n
m
n
 m

f (x + x′, y) = f  ∑ x i υi + ∑ x′i υi , ∑ y jω j
 = f  ∑
 (x i + x′i )υi , ∑
 yjω j 

i=1
j=1

i=1

i=1





m n


j=1





m n

∑∑ (x i + x′i )y jf (υi , ωj ) =
∑∑( x i + x′i )y ja ij

=

i=1 j=1
m n

=

i=1 j=1

m n

∑∑x i y j a i j + ∑∑ x′i y ja ij =

f

(x, y) + f (x′, y)
i=1 j=1


i=1 j=1

m
n
m
= f (α∑ x i υi ,
∑αx i υ
i , ∑ y jω j 

i=1
j=1

f

(αx, y )


m n

n



∑ y jω j )

i=1

j=1

= f






m n

∑∑ αx i y j f (υi, ωj ) =
α∑∑ x i y ja ij = αf (x, y)
=

i=1 j=1

i=1 j=1

Tương tự ta cũng chứng minh được f (x, y + y′) = f (x, y) + f
(x, y′) và


f (x,βy) = βf (x, y) . Do đó f là dạng song tuyến tính trên x = υi
V × W . Khi
,
y=
xi = 1, x t = 0
ωj thì với t ≠ i ,

y j = 1, yh với h ≠ j .
= 0

Vì vậy ta có: f (υi, ω j ) = aij với mọi cặp (i, j).

Giả sử g là một dạng song tuyến tính trên V thỏa mãn điều kiện
g(υi ,ωj ) = aij.


Khi đó với hai vectơ bất kì x = x1υ1 + ... + x m υm , y
ta có = y1ω1 + ... + ynωn
m n

g(x, y) =

∑∑a i j x i y j

= f (x, y)

i=1
j=1

Vậy f = g. Định lí được chứng minh.
1.4. Ma trận của dạng song tuyến tính
Định nghĩa
Ma trận A =
(aij)m×n

trong đó aij = f (νi ,ωj ),i = 1, 2,...m,
j = 1, 2,...n

được gọi là ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f trên V × W theo
cặp cơ sở (S, T). Nếu f là dạng song tuyến tính trên V thì ma trận biểu diễn
của f theo cặp (S, S) được nói gọn là ma trận biểu diễn của f theo S.
Ví dụ. Tìm ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f với

2

3

i) Dạng song tuyến tính f trên K × K được cho bởi
f (x1, x 2 ; y1, y2 , y3 ) = (x1 − x 2 )(y1 − 2y 2 + y3 )
2

ii) Dạng song tuyến tính trên R , x = (x1, x2 ), y = (y1, y2 ) cho
bởi
x x2
f (x, y) = 1
y1 y2
iii) Nếu f là tích vô hướng trên không gian vectơ Euclid, thì ma trận
biểu diễn của f theo cơ sở
thế nào?

(a) = {a1,a2 ,...an}trong không gian vectơ E như

Giải.
 a11
a12
i)Đặt A = 
a
a
 21 22

a 
a13
23 ,



chọn cơ sở của K 2 là (e) =
là
(ε) =

{ε1 =

{e 1 =

(1,0), e2 = (0,1)} và cơ sở của K 3

(1,0, 0),ε2 = (0,1, 0),ε2 = (0,0,1)} ta có:


a11 = f (e1,ε1 ) = (1 − 0)(1
− 2.0 + 3.0) = 1 a21 = f (e2 ,
ε1) = (0 − 1)(1 − 2.0 + 0)
= −1 a12 = f (e1, ε2 ) = −2
a22 = f (e2 , ε2
) = 2 a13 = f
(e1,ε3 ) = 3 a23
= f (e2 , ε3) =
−3
Vậy ma trận của f theo cặp cơ sở ((e),(ε)) là
 1 −2 3 
A= 

−1
2

−3


ii) Nếu chọn cơ sở
của

R 2 là (e) =

{e 1 =

= (0,1)} thì

1 0
a11 = f (e1,e1) =
=

0 1
1

1
1 0
a12 = f (e1,e2 ) =
=

(1, 0), e2

0
0

0

= 0

1

= 0

a21 = f (e2 ,e1)

= −1
0 1
= 1

a22 = f (e2 ,e2 )

0
1
Vậy ma trận của f theo cơ sở (e) là

0 1
A=

−1
0
 

iii)Nếu f là tích vô hướng của không gian Euclid, thì ma trận biểu
diễn của f theo cơ sở S chính là ma trận Gram của cơ sở đó.
Nhận xét:
1. Một dạng song tuyến tính f hoàn toàn được xác định nếu biết ma trận của nó
đối với một cơ sở nào đó.

2. Nếu A là ma trận biểu diễn của một dạng song tuyến tính f. Khi đó f đối
xứng khi và chỉ khi A đối xứng, và f đối xứng lệch khi và chỉ khi A đối xứng
lệch. Thật vậy:
∗ f đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng.


Rõ ràng, nếu f đối xứng thì aij = f (υi , ωj ) = f (ωj , υi )
= a ji với mọi i, j nên A đối xứng.


21

Ngược lại, nếu A đối xứng, tức là aij = a ji
,∀i,jthì với

 m
α =
∑ x i υi
tùy ý
i=1

 n
thuộc V và β =
j=1

∑ y jωj tùy ý thuộc W ta có:

m n
n m
 

 
(α,β) = ∑∑ a i j x i y j = )
a ji y j=1
∑∑
jx i =
i=1 j=1
i=1f (β,α

f
Vậy f đối xứng □.

∗ f đối xứng lệch khi và chỉ khi A đối xứng lệch.
Rõ ràng, nếu f đối xứng lệch thì

aij = f (υi , ωj ) = −f
(ωj , υi ) = −a ji với
mọi i, j nên A đối xứng lệch.
 m
Ngược lại, nếu A đối xứng lệch, tức là aij = −a ji ,∀i,jthì
với α = ∑ x i υi
i=1

 n
tùy ý thuộc V và β =
thuộc W ta có:
 

∑ y jω j tùy ý
 


j=1
m n

n m

n m

f (α,β) = ∑∑a i j x i y j = ∑∑ −a
= − ∑∑ a ji y jxi = −f (β,α)
i=1 j=1

j=1 i=1

ji y jxi

j=1 i=1

Vậy f đối xứng lệch □.
1.5. Hạng của dạng song tuyến tính
Định nghĩa.
Hạng của dạng song tuyến tính f trên V là hạng của một ma trận biểu
diễn của nó và được kí hiệu là rank(f) .
Ta nói dạng song tuyến tính f suy biến nếu rank(f ) < dim V , và
không suy biến nếu rank(f ) = dim V .
Ví dụ.
rank(f) = 2.

Dạng song tuyến tính f (x, y) = x y + trên K2 có hạng
1 1
3x 2 y 2



Thật vậy, chọn cơ sở của K 2 là (e) =

{e1=(1,0),e2 =

(0,1)} ta có

1 0
ma trận của dạng song tuyến tính f trong (e) là A =  
0 3
1 0
Vì
= 3 ≠ 0 nên rankA = 2
0 3
Vậy hạng của dạng song tuyến tính f là rankf = 2.
1.6. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai
cơ sở khác nhau
Theo định nghĩa, ma trận dạng song tuyến tính thay đổi khi ta đổi cơ sở
của không gian vectơ. Ta hãy xét mối liên quan giữa hai ma trận của cùng
một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau.
Định lí 1.2.

Giả sử trong không gian tuyến tính V, cho hai cơ sở

( S)

= {υ1,υ2 ,. (T) = {ω1,ω2 ,...ωn}. A và B là hai ma
trận tương ứng
..υn} và

của cùng một dạng song tuyến tính f (x, y) trong ( S) và ( T ) , P là ma
trận chuyển từ cơ sở (S) sang cơ sở ( T ) . Khi đó ta có
T

B = P AP
T

trong đó P là ma trận chuyển vị của ma trận P .
Chứng minh.
Kí hiệu A = (aij) n×n , B = (bij)n×n , P ta có
= (cij)n×n
n

n

bkl = f (ωk , ωl ) = f

( ∑c ik υi , ∑c jl υj ) =
i=1

i=1

n

∑

(υi ,
i, j=1

n


cik c jlf
υj ) =

∑

cik a ijc jl

i, j=1

với mọi k,l = 1,…,n, b chính là phần tử nằm ở dòng k, cột l của ma trận
kl
T

T

P AP . Điều này tương đương với B = P AP . □
Chú ý:
1. Ta có det P ≠ 0; rank ( B ) = rank ( A ).


2. Như đã biết, một vectơ ej của hệ cơ sở (e) = {e1, e2,...en}có tọa độ trong hệ
cơ sở (e) là ej = (0,0,…0,1,0,…0) và một vectơ x có biểu diễn
x = (x1, x 2
,...xn )

trong cơ sở (e) . Do đó nếu không nói gì thêm, thì ta luôn

hiểu hệ (e) , xác định như trên là hệ chính tắc và nói cho x = (x1, x 2 ,...xn
) thì hiểu đây là tọa độ của x trong hệ cơ sở chính tắc.

3. Hai ma trận A và B như trên được gọi là tương đẳng. Như vậy hai ma trận
là tương đẳng với nhau khi và chỉ khi chúng là ma trận biểu diễn của cùng
một dạng song tuyến tính.
Ví dụ. Trong V = R3 với cơ sở chính tắc (e) = {e , e , e }cho
1
2
3
dạng
song tuyến tính:
f (x, y) = x1y1 + x 2 y 2 + x3y3 .
Hãy tìm ma trận B của f trong cơ sở (ε) = {ε1 = (1,1, 0), ε2 (1, 0,1), ε3
(1,1,1)}.
Bài giải.
Cách 1. (trực tiếp)
Gọi ma trận của f trong cơ sở (ε) là
b
 11
B = b21

b12
b22

b
31 b32


b13 

b23
b33



ta có
b11

= f

(ε1,

ε 1)

= 1.1

+ 3.1.1 + 2.0.0 = 4 b12 = f
(ε1,ε2

)

= 1.1

+ 3.1.0

+ 2.0.1 = 1 b13 = f (ε1, ε2 )
= 1.1 + 3.1.1 + 2.0.1 = 4
b21 = f (ε2 ,ε1) = 1; b22 = f (ε2 ,ε2 ) = 3;
Vậy

b23 = f (ε2 ,ε3 ) = 4 b31 = f (ε3,ε1) = 4; b32
= f (ε3, ε2 ) = 3; b33 = f (ε3 ,ε3 ) = 6
4 1 4


 B= 13

3 .


4 3 6


Cách 2. Trong cơ sở (e) , f có ma trận
1 0 0

 A e= 03

 0

0 0 2
Ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở (ε) là

Vậy B

1 1 1
P  0 1

= 

1 1
0
T


= P .A.P
1 1
 0
= 1
1 1


0  10 0  11 1  4 1 4 


 
1
  0 3 0 1 0 1 = 1 3

 3  

1
  0 0 2  0 1 1  4 3 6

1.7. Dạng toàn phương
Định nghĩa
Cho f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V . Ta gọi ánh xạ xác
định bởi
Γ(x) = f (x, x)
là dạng toàn phương trên V sinh bởi f (hoặc liên kết với f).
Ví dụ. Với mọi vectơ x = (x1, x 2 ), y = (y1, y2 ) , dạng song
tuyến tính
f (x, y) = 3x1y2 − x 2 y1 , sinh ra dạng toàn phương Γ(x) = 2x1x2.
Nhận xét. Có thể có nhiều dạng song tuyến tính cùng sinh ra một dạng toàn
phương. Chẳng hạn, nếu f là một dạng song tuyến tính không đối xứng, ta

đặt g(y, x) = f (x, y),∀x, y ∈V thì các dạng song tuyến tính f và g
trên V cùng sinh ra một dạng toàn phương nhưng f ≠ g .
Bổ đề sau đây không chỉ cho ta ví dụ, mà còn cho ta biết dạng tổng quát của
dạng toàn phương, đồng thời giải thích tên gọi ‘‘toàn phương’’ (toàn bậc hai).


Bổ đề 1.1 Cho S là cơ sở của không gian vectơ V chiều n. Một ánh xạ
Γ :V
là một dạng toàn phương khi và chỉ khi nó được viết dưới dạng
→
K
n

Γ(x) =

n

∑∑a ij x i x
i=1 j=1

j

trong đó (x1, x 2 ,...., xn ) là tọa độ của x theo S và aij ∈K
Nếu ta cố định một cơ sở S của không gian vectơ, thì nhiều khi ta cũng
nói

Γ( là dạng toàn phương của các biến (tọa độ) x1, x 2 ,...xn . Ngược lại,
x)

khi cho dạng toàn phương dưới dạng

n

Γ(x) =

n

∑∑ a ijx i x
i=1 j=1

ta hiểu đó là dạng toàn phương trên K

n

j

và (x1, x 2 ,...xn ) là tọa độ của x theo

cơ sở tự nhiên.
Chứng minh. Từ định lí 1.1 ta suy ra bổ đề 1.1.
Chú ý. Cho một trường P với đơn vị e, nếu đẳng thức ne = 0 xảy ra với một
số nguyên dương n, thì số bé nhất trong các số đó gọi là đặc số của của trường
P. Nếu không tồn tại số nguyên dương n như vậy thì ta nói đặc số của trường P
bằng 0. Vậy đặc số của trường chỉ có thể là số nguyên tố hoặc số 0. Kí hiệu
là char(P) = n . Ví dụ, trường các số hữu tỉ ¤ , trường các số thực ¡ ,
trường số phức £ có đặc số bằng 0, trường thặng dư theo môđun nguyên tố p
có đặc số p.
Bổ đề 1.2 Giả sử char ( K ) ≠ Cho Γ là một dạng toàn phương trên V.
Khi
2.
đó tồn tại duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứng h sinh ra Γ . Dạng

này được xác định bởi công thức:
1
h(x,y) = [Γ(x + y)
− Γ(x)
− Γ(y)] 2
với mọi x,y∈V . Hơn nữa, nếu Γ trong cơ sở S được viết dưới
dạng