TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***************

NGUYỄN THỊ HẠNH

ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN
TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC

HÀ NỘI, 2012


NGUYỄN THỊ HẠNH

ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN
TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PHAN HỒNG TRƯỜNG

HÀ NỘI, 2012


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô khoa Toán – Trường

Đại học sư phạm Hà Nội 2. Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới
thầy Phan Hồng Trường, vì sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành
khóa luận.
Xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Hạnh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này do tôi thực hiện.
Kết quả do tôi công bố không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về tính trung thực của nội dung khoa học của
công trình.


MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU ………………………………………………………...1
PHẦN 2: NỘI DUNG………………………………………………….……2
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.....................................................2
1.1.Không gian tôpô…………………………………………………

2

1.2.Tập con của không gian tôpô………………………………………

3

1.3.Ánh xạ liên tục………………………………………………………


4

CHƯƠNG 2: ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP
KHẢ VI……………………………………………………………………..6
2.1. Định nghĩa Đa tạp khả vi và ví dụ…………………………………

6

2.2. Ánh xạ khả vi……………………………………………………

12

2.3.Trường Tenxơ trên đa tạp khả vi…………………………………

15

2.4. Dạng vi phân trên đa tạp khả vi……………………………………

30

KẾT LUẬN………………………………………………………………..40
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………..41


PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.
Hình học là một môn học tương đối khó trong chương trình toán phổ
thông và để hiểu được nó người học cần phải tư duy cao. Với mong muốn
được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về đa tạp

khả vi và dạng vi phân trên đa tạp khả vi, em đã chọn đề tài “ đa tạp khả vi và
dạng vi phân trên đa tạp khả vi ” làm khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân
trên đa tạp khả vi.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu : Kiến thức về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi,
trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi.
Phạm vi nghiên cứu : Một số bài toán về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi,
trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng
vi phân trên đa tạp khả vi.
Một số bài toán có liên quan đến đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường
tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi.
5. Các phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu sách tham khảo và các tài liệu có liên quan.

1


PHẦN 2:NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.Không gian tôpô
1.1.1.Định nghĩa không gian tôpô
Không gian tôpô là tập hợp M (mỗi phần tử gọi là điểm) cùng một họ

những tập con của M , gọi là những tập mở (trong M ), sao cho :



Tập rỗng, tập M là tập mở,



Hợp tùy ý những tập mở là tập mở,



Giao của một số hữu hạn tập mở là tập mở.

Thường ký hiệu đơn giản không gian tôpô ( M ,) bởi M (khi
không cần chỉ rõ họ ).
Không gian tôpô M gọi là không gian tôpô Hausdorff nếu với mọi cặp
điểm

p, q M , p q , có các tập mở U ,V ( p U , q V )
sao cho U  V = .
1.1.2.Ví dụ.
1) Không gian mêtric : đó là tập hợp M cùng với một mêtric (khoảng

cách), tức ánh xạ d : M M R thỏa mãn :

d p, q 
0

,d

p, q 0 p q




d p, q d  q, p 



d p, q d q, r

(với p, q, r tùy ý thuộc M ).

d  p, r 
Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập con U
M

2

gọi là tập mở


nếu với mọi p U , có số >0 sao cho hình cầu mở q M d (
p, q) nằm hoàn toàn trong U (tôpô gây bởi mêtric d ).
Đó là một không gian tôpô Hausdorff.
Không gian tôpô gây bởi một mêtric trên nó gọi là không gian tôpô
mêtric hóa được.

3


□ n cùng với khoảng cách thông thường là một không gian mêtric.
2) M là một không gian tôpô, N là một tập con của M thì N với tôpô
sau đây (tôpô cảm sinh) gọi là không gian tôpô con của M : tập

U N

gọi là

tập mở trong N nếu nó là giao của N với một tập mở trong M .
3) M và N là hai không gian tôpô thì tích trực tiếp M
N

với tôpô sau

đây (tôpô tích) gọi là tích trực tiếp các không gian tôpô M với N : tập con của
M
gọi là tập mở (trong M N ) nếu nó là hợp tùy ý những tập
N
dạng
U V , U mở trong M , V mở trong N
4) M là một không gian tôpô, □ là một quan hệ tương đương trên M ,
tập các lớp tương đương

M / □ cùng với tôpô sau đây (tôpô thương ) gọi là

không gian tôpô thương : tập con của

M / □ gọi là tập mở (trong M / □ ) nếu

nghịch ảnh của nó bởi phép chiếu chính tắc
(trong M ).

p : M M / □ là
tập mở


1.2.Tập con của không gian tôpô.
M là một không gian tôpô.
p M

thì mọi tập con của M chứa một tập mở chứa p gọi là một lân

cận của p (trong M ).
Tập con F

gọi là tập đóng (trong M ) nếu M \ F là tập mở

M
(trong M ). Khi đó, tập rỗng, tập M là những tập đóng. Giao tùy ý những tập
đóng là tập đóng,hợp tùy ý những tập đóng là tập đóng.
 của A là giao mọi tập đóng chứa
A là tập con của M thì bao đóng A


3


A ; đó là tập đóng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa A . Phần trong A của
A là tập mở lớn nhất nằm trong A ; mỗi điểm của nó gọi là một điểm trong
_



của A . Tập A \ gọi là biên của A , mỗi điểm của nó gọi là một điểm biên
A

của A .
M gọi là liên thông nếu mọi tập vừa mở vừa đóng (trong M ) phải là

4


tập rỗng hay toàn bộ M . Tập con A M , gọi là tập con liên thông
nếu không gian tôpô con A là liên thông. Một thành phần liên thông của
không gian tôpô M là một tập con liên thông của M mà mọi tập liên
thông của M chứa nó phải trùng với nó. Ví dụ : mọi tập liên thông trong
□ là một khoảng (mở, đóng, nửa đóng, bị chặn, không bị chặn…).
M gọi là compact nếu M là không gian tôpô Hausdorff và khi
M
U i ,
Ui

mở (trong M ) , thì có tập con hữu hạn J
I

mà M  U
j .
jJ

iI

Tập con A của không gian tôpô M gọi là tập compact khi không gian tôpô
con A là compact. Ví dụ : tập con của □

n


là compact khi và chỉ khi nó là tập

đóng, bị chặn.
1.3. Ánh xạ liên tục.
Ánh xạ

f:M
giữa các không gian tôpô gọi là ánh xạ liên tục nếu

N

nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở (trong N ) là tập mở (trong M ) (và vì vậy ,
nghịch ảnh mọi tập đóng là tập đóng).
Song ánh f : M
gọi là một đồng phôi nếu f và f là những ánh

1
xạ liên tục.
N
Dễ thấy :


Tích các ánh xạ liên tục là liên tục ;



Ảnh của tập liên thông qua ánh xạ liên tục là tập liên thông ;




Ảnh của tập compact qua ánh xạ liên tục vào không gian

Hausdorff là một tập compact.
Từ đó một đơn ánh liên tục từ một không gian compact vào một không
gian Hausdorff là một đồng phôi lên ảnh.
Ánh xạ liên tục
4


: I  M

từ đoạn

I
\ 0 t
t 1
□

vào
không

gian tôpô M gọi là một cung (liên tục) trong M nối (0) với (1).
Không
gian tôpô M gọi là liên thông cung nếu với mọi p, q

M

5

, có cung (liên tục)



trong M nối p với q . Tập con A của không gian tôpô M gọi là liên thông
cung nếu không gian tôpô con liên thông cung. Dễ thấy mọi không gian liên
thông cung thì liên thông ; mọi tập mở liên thông trong □ n đều liên thông
cung ; ảnh của một không gian liên thông cung qua một ánh xạ liên tục là một
tập liên thông cung.
Không gian tôpô M gọi là đơn liên nếu nó liên thông cung và với mọi
ánh xạ liên tục

xạ liên tục

H t : S1

M

1

f:S

M

2

 □
1

n

( I là đoạn


0,1

là ánh xạ p  H (t, p) ( p

1
S

x

2

1

2

 ,có ánh

trong □ ) sao cho đặt
) thì H0  và
Ht
f

là ánh xạ

y □ ( □ > 0) là đơn liên, nhưng hình vành khăn
2

2


2

x, y  □

x, y

x y

H1 là tập chỉ gồm một điểm ). Chẳng hạn : hình

x, y

 □

( S là đường tròn

H : I S
M

hằng (ảnh của
tròn

1

2



r x y □
2


2

2

5

2

(0 r □ ) không đơn liên.


CHƯƠNG 2
ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI
2.1.Định nghĩa đa tạp khả vi và ví dụ.
2.1.1.Khái niệm đa tạp khả vi.
Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được M được
gọi là đa tạp tôpô m-chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian mchiều □ m , nghĩa là với mỗi điểm x M , có lân cận mở U của x và
:U V
là đồng phôi từ U lên một tập mở V □ .
m

xác định ở trên

Giả sử M là đa tạp tôpô m -chiều , khi đó cặp (U
, )

gọi là một bản đồ địa phương trên M , hay gọi tắt là bản đồ. Họ
C=Ui ,i


nào đó các bản đồ gọi là một tập bản đồ hay atlas khả vi

: i I
lớp C (k 1) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :
k

1. Họ U i là một phủ mở của M .
Với hai bản đồ

U , 
i

i

xác định trên U U
khả vi lớp

i

và U j
,j 

là ánh xạ

hình 1).
i

6

mà U i U

thì ánh j
k

C từ lên
U

j

,



1

i


  (xem
U




Hình 1

7

j

i


j


Hai tập bản đồ C1
=

lớp
k
C

U ,  ,i
I 
i

và C2
=

i

V , ,
j J 
j

j

khả vi

được gọi là tương thích với nhau, nếu hợp của chúng là một tập bản đồ


khả vi lớp
k
C

. Dễ thấy quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương
k

trên họ các tập bản đồ khả vi lớp C . Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương
đương trên gọi là một cấu trúc khả vi lớp C

k

trên M .

Đa tạp tôpô m -chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp
k
C

cho trên nó

k

được gọi là một đa tạp khả vi m -chiều lớp C . Nếu M là đa tạp khả vi, thì
bản đồ của cấu trúc khả vi trên M thì được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ)
trên
M . Khi k , nghĩa là khi đòi hỏi các ánh xạ chuyển


j




1

trong điều



kiện 2 ở trên thuộc lớp C , thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là
cấu trúc nhẵn trên M . Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn.
2.1.2.NHẬN XÉT.



Khi M là không gian tôpô liên thông, thì số tự nhiên m trong

định nghĩa trên không phụ thuộc vào bản đồ địa phương và nó được gọi là
số chiều của đa tạp M , viết dim M m .



Trên cùng không gian tôpô M có thể có nhiều cấu trúc khả vi

khác

nhau. Thật vậy, mỗi một atlas khả vi lớp C
khả vi lớp
k
C


k

xác định hoàn toàn một cấu trúc

k
trên M . Vì vậy, hai atlas khả vi lớp C không tương thích xác

8


định hai cấu trúc khả vi khác nhau. Ví dụ, trên đường thẳng thực □ cho hai
atlas khả vi lớp C
U



xác định bởi
1

(□ , và U 2 (□ ,  ), ở đó :
id )
□ □

xác định bởi (x) x . Vì hai atlas lớp C này không tương thích,


3




nên chúng xác định hai cấu trúc khả vi lớp C khác nhau trên □ .



Giả sử M là đa tạp khả vi m -chiều, Ui
,i  ,i I

là một atlas khả

vi lớp Ck , U là tập con mở khác rỗng của M . Khi đó dễ thấy U cũng là một
đa tạp khả vi m -chiều
k
C

sinh bởi cấu trúc khả vi trên M với atlas khả vi C=

9


V , , ở đó V U
i

j

i



i


. Đặc biệt, nếu (U , ) là bản
đồ



U và


i

Vi

địa phương trên M , thì M cũng là đa tạp khả vi.
2.1.3.VÍ DỤ.
Trong phần này ta nêu lên một số đối tượng hình học là những đa tạp
khả vi thường gặp.
a,Ví dụ 1
Cho

M 
n
□

khả vi lớp C



n
và bản đồ (□ ,id tạo thành một atlas, xác định cấu trúc
)


trên M . Cấu trúc khả vi này được gọi là cấu trúc khả vi
n

chính tắc trên □ .
b,Ví dụ 2
Giả sử

0 và



M S


n

,..., p

n 1

n

p p

 □

1

1


,

n1

2

p 
p 2 
i
2

i1

 



n


n

S với tôpô cảm sinh từ


xác định một atlas trên
N 0,0,...,

được gọi là mặt cầu n chiều tâm bán kính .

Ta

□

S n bởi hai bản đồ địa phương trên


n

S

như sau: Gọi

và S 0,0,...,0, )
0, 
là cực
S
n
nam của mặt cầu. Đặt U S \  N  , V
x, y là hai phép chiếu nổi
S n \ S và
là cực bắc của mặt cầu





từ cực N và S tương ứng.
1
0


n


x :U □

n

p  x p x
ở đó

y :V

□

1

p,..., x p  
n

xi p   ,i 1, 2,..., n..
i
p



pn1
n

p  y p y


1

p,..., y p   ..
n

1
1


ở đó

ypi

i


,i 1, 2,..., n.

p



p
Các

ánh

xạ


n1

x, y là những

 r

đồng

phôi,

và

“hàm

chuyển”

2

x.y 
:r
1
1 n
r
y.x

là vi phôi của , □ \ 0 vì

2

x(U  V ) y(U  V ) □ n \ 0 . Do đó,

, x),(V , y)


lớp C ,xác định một cấu trúc nhẵn
trên

(U

lập thành một atlas

n

S .

c,Ví dụ 3
Đa tạp xạ ảnh thực

Pn  □

.

Xét quan hệ tương đương trên □

n


\

xác định bởi x □ y 
0


0 
để y x .
Ta gọi

Pn  □
chiếu

□

n1

\ 0/ □ với tôpô thương. Xét phép

: □ n1 \ 0 □ n \ 0, đặt  x  x  .
với i = 0,1,…,n
Đặt V  x x0 ,..., xn  □ n1



\ 0; x 0
i

i

n
□
i :Vi

cho bởi i

x ,...,

và




x

0

x

i

x


i

x

i

,...,

1
2



xn . Ở đó, ký hiệu có nghĩa
là số
x 

i


hạng dưới mũ đó được bỏ đi. Dễ thấy



i

xác định đồng phôi

: 
,với Ui 
U

1

y

□

 Vi

n

i


, y ,..., y y ,..., y

.
Giả
sử U ,
 



0

n 1

1

hằng trên mỗi lớp tương đương và

0

i 1



. Ánh xạ được cho bởi

i

,1, y ,..., y


i

i

hai

bản

đồ

địa

phương

trên

Pn  □


 1 : 


i

i

i

j


U
j



y

0

,..., y

n1

Do đó

và

i

, 
là

và
U
j

i j

j


thì

 cho bởi công thức
U

U U
j

n 1

0

i

j
i 1

n1` 
1
yj
y 
y
y
 j ,...,
,..., j
, ,....,j
 y
y 
j
y

y
i
x




j



1i

C



.Vì vậy họ

U ,
 
i

i

1
3

là tập bản đồ địa phương, xác



định cấu trúc khả vi lớp C
trên



Pn  □

.

d, Ví dụ 4 .
Đa tạp Grassmann thực
Giả sử V là không gian vectơ n chiều trên trường số thực □ và G  k,V 
là tập hợp các không gian con k chiều của V . Xét không gian đối ngẫu V
của V ,
n

v*

v * ,...,
1



là cơ sở của V . Nếu v

V và




*

E G
hiệu v*



 k,V  , ta ký
E

*

là hạn chế của v E trên E .
Với mỗi bộ i1 ,...,ik ,1 i1 ... ta đặt
 ik n,
1

k

i ,...,i

U
V


,  : *,..., *
vE là cơ sở của E .
 E G k
vE



Giả sử
jnk



j

1

i1

,...,

ik

*

là tập hợp các chỉ số bù của



i ,...,i
1

k

với




j1
jn . Khi đó :
... k

j*

k

p

i*

nếu E
vE  
hl
l

 v
E
1
U
p

l

i ,...,i
k

; p 1,..., n k ;


1

Xét ánh xạ i
□

1 ,...,ik

k  nk

:U

i1 ,...,ik

p 1,..., n k;l 1,..., k ;



E   hl

p



,
Ta chứng minh được 
14

i1 ,...,ik



G  k,V

 U

là song ánh và

i1 ,...,ik
i1 ...ik

Do đó có thể cho một tôpô trên

đồng phôi và họ

k,V  .

U 1
i

,...,i

k , 1
i

,...,i

k

G  k,V sao cho
các


i là những
1

,...,ik

tạo thành một atlas khả vi trên G

Như vậy G  k,V  là đa tạp khả vi số chiều k  n k .

e, Ví dụ 5 :
Ta nêu một ví dụ chứng tỏ những đối tượng hình học không thể trang bị
cấu trúc khả vi trên nó. Trong không gian afin hai chiều □

15

2

lấy hai đường


thẳng cắt nhau có phương trình y 
x

trong một hệ tọa độ afin cho trước.

Khi đó, dễ thấy tập M gồm hai đường thẳng này coi là không gian tôpô con
□ 2 không là đa tạp tôpô, vì vậy không thể trang bị được cấu trúc khả vi trên
M , nghĩa là M không thể là một đa tạp khả vi (xem hình 2).


O

`
Hình 2

16


2.2.ÁNH XẠ KHẢ VI
2.2.1.Định nghĩa.
Giả sử

m, n tương ứng. Ánh xạ

M , N là hai đa tạp khả vi với số
chiều

liên tục f : M

N
địa phương U

được gọi là khả vi tại điểm p
M
quanh p và V

,

nếu với mọi bản đồ


quanh f p 
q

,

thì ánh xạ  f   1 là khả vi tại

sao cho f U



điểm  p  □

( xem hình 3 ).

m

N

M

V

f

U

q

p






  f   1
.

 p 

12

 V ,