Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn TS.Tạ Ngọc Trí,
thầy đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn em để em có thể hoàn thành khóa
luận này.
Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện
khóa luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo
của các thầy cô. Qua đây cho em được bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các
thầy cô giáo trong tổ giải tích, khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Trần Thị Mai

Trần Thị Mai
Toán

1

Lớp K34CSP


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả đề tài đúng, chính xác, khách quan, trung
thực với những kết quả các tác giả khác.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Trần Thị Mai

BẢNG KÝ HIỆU
Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trong .
Không gian các toán tử Compact trong .
Không gian các toán tử Fredholm trên .
Trong đó

là không gian Banach hoặc không gian Hilbert.


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU....................................................................................................... 1
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.......................................2
1.1. Không gian định chuẩn. Không gian Banach.........................................2
1.1.1. Không gian vectơ................................................................................. 2
1.1.2. Không gian định chuẩn........................................................................ 3
1.1.3. Không gian Banach............................................................................. 3
1.1.4. Không gian thương.............................................................................. 4
1.1.5. Không gian liên hợp............................................................................ 4
1.2. Không gian Hilbert.................................................................................4
1.3. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn....................................6
1.3.1. Các định nghĩa..................................................................................... 6
1.3.2. Định lý................................................................................................. 7
1.4. Toán tử Compact.....................................................................................8
1.5. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn.......................................................... 8
CHƯƠNG 2. CHỈ SỐ FREDHOLM............................................................. 9
2.1. Toán tử Fredholm...................................................................................9
2.2. Chỉ số Fredholm................................................................................. 12

2.3. Mệnh đề............................................................................................. 18
KẾT LUẬN................................................................................................... 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 21
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài


Giải tích là một ngành toán học mang tính trừu tượng hóa cao. Trong
quá trình phát triển giải tích đã tích lũy được một nội dung hết sức phong phú
và đa dạng. Sau 4 năm đại học, bộ môn giải tích mặc dù không dễ tiếp cận
nhưng lại thực sự cuốn hút đối với em. Nhờ bộ môn giải tích em đã được làm
quen với rất nhiều khái niệm như toán tử tuyến tính, toán tử tuyến tính bị
chặn, không gian Banach, không gian Hilbert,…Với mong muốn được nghiên
cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo Tạ
Ngọc Trí em xin trình bày những hiểu biết của mình về đề tài: Chỉ số
Fredholm. Thông qua đề tài này em đi sâu nghiên cứu về toán tử Fredholm,
định lý Atkinson và đặc biệt nghiên cứu một số tính chất cơ bản về chỉ số của
toán tử Fredholm.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm
hiểu sâu hơn về bộ môn giải tích đặc biệt về chỉ số Fredholm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về chỉ số Fredholm.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.
5. Cấu trúc khóa luận
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Chỉ số Fredholm.



NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian định chuẩn. Không gian Banach
1.1.1. Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1
Cho □ là tập tùy ý khác rỗng trên trường

với hai phép toán “ + ” và

“.” Giả sử có hai phép toán trong □:
(i)x

(ii)

.

Ta gọi
trường

x

;

cùng với hai phép toán (i) và (ii) là không gian vectơ trên

nếu 8 tiên đề sau được thỏa mãn:
T1: 

:


;

T2: 
T3: Trong
T4: 

có □ để:


để thỏa mãn:

;

T5:
;
ta có:
;

T6:
;
ta có:


T7:
 ta có:

T8:
:
.


Các phần tử của được gọi là các vectơ, các phần tử của
tích vô hướng. Không gian vectơ
vectơ

trên trường

còn gọi là

được gọi là
không gian


Khi

, ta gọi không gian vectơ

là không gian vectơ thực.

Khi

, ta gọi không gian vectơ

là không gian vectơ phức.

1.1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.2
Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định
chuẩn) là không gian tuyến tính

trên trường


(

là trường số thực □

hoặc trường số phức □ ) cùng với một ánh xạ từ vào tập số thực □, ký hiệu
là ||.|| và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:
1) ( ) || ||
là

, || ||

 (ký hiệu phần tử không

);

2) ( ) ( ) ||
3) (

) ||

|| = | | || ||;

|| ≤ || || + || ||.

Số || || gọi là chuẩn của vectơ . Ta cũng ký hiệu không gian định
chuẩn là . Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.3
Dãy điểm ( n) của không gian định chuẩn


gọi là hội tụ tới điểm

,

nếu
Ký hiệu:

hay

n

 khi

Định nghĩa 1.1.4
Dãy điểm ( n) của không gian định chuẩn
lim x 

n
n

x
m

m



0 .

1.1.3. Không gian Banach


gọi là dãy cơ bản, nếu


Định nghĩa 1.1.5


Không gian định chuẩn gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản
trong

đều hội tụ.

1.1.4. Không gian thương
Cho không gian định chuẩn
. Vì
của

và không gian định chuẩn con đóng

là không gian tuyến tính và

là không gian tuyến tính con

, nên có thể thành lập không gian tuyến tính thương

gian tuyến tính con

trong đó

.


. Mỗi phần tử 

theo

không

có dạng:

là tập đóng trong .

1.1.5. Không gian liên hợp
Định nghĩa 1.1.6
Cho không gian định chuẩn

trên trường

hoặc trường số phức □). Ta gọi không gian I(
liên tục trên không gian
của không gian

(

là trường số thực □

) các phiếm hàm tuyến tính

là không gian liên hợp( hay không gian đối ngẫu)

và ký hiệu


*

( thay cho ký hiệu I(

)).

Định nghĩa 1.1.7
Không gian định chuẩn

gọi là không gian phản xạ, nếu

**

.

Định nghĩa 1.1.8
Không gian định chuẩn

gọi là không gian tự liên hợp, nếu

*

.

1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1
Cho không gian tuyến tính

trên trường


(

là trường số thực □

hoặc trường số phức □ ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian

mọi ánh


xạ từ tích Descartes

x

vào trường

, ký hiệu là (. , .), thỏa mãn các tiên

đề:
1)
(
2) (

3) (

4) (

Các phần tử

)


;
)

)

;

)
(

;

)
, nếu

(□ là ký hiệu phần tử không),

, nếu
… gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số

gọi

là tích vô hướng của hai nhân tử và , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên
đề tích vô hướng.
Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Schwarz)
Đối với mỗi

ta đặt
|| || = (x, x) .


Khi đó 

ta có bất đẳng thức Schwarz
|

| ≤ || || || ||.

Định nghĩa 1.2.2
Ta gọi một tập

gồm những phần tử

nào đấy là không

gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện sau:
1) H là không gian tuyến tính trên trường

;

2) H được trang bị một tích vô hướng (. , .);
3) H là không gian Banach với chuẩn

,

H.

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian Hilbert H.
Ví dụ:



Ký hiệu

là không gian vectơ thực n chiều. Với
ta đặt

,

. Hệ thức này thỏa mãn hệ tiên đề tích

vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng là:
,
Chuẩn này trùng với chuẩn của trong không gian ( không gian định
chuẩn), nên không gian vectơ thực cùng với tích vô hướng này là một
không gian Hilbert.
Định lý 1.2.1 ( Định lý Riesz)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có
thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
( ) = ( ,a) ,

H

trong đó phần tử a H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm

và || ||=||a||.

Nhận xét:
Nhờ định lý Riesz mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục


trên không gian

Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử a trong H. Hiển nhiên tương
ứng đó vừa tuyến tính vừa đẳng cự. Vì vậy ta có thể đồng nhất mỗi phiếm
hàm

*

H với phần tử a H nghĩa là

*

. Nói cách khác không gian

Hilbert là không gian tự liên hợp.
1.3. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn
1.3.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1

Trần Thị Mai
Toán

10

Lớp K34CSP


Cho hai không gian tuyến tính

và


trên cùng trường

số thực □ hoặc trường số phức □ ). Ánh xạ
gian

gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ
1) (

từ không gian

(

là trường
vào không

thỏa mãn các điều kiện:

)

;

2) ( ) ( )

.

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính.
Khi toán tử

chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì


gọi là toán tử cộng tính.

Khi toán tử

chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì

gọi là toán tử thuần nhất.

Khi

thì toán tử tuyến tính

gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Định nghĩa 1.3.2
Cho

và

không gian

là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính

từ

vào không gian gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C >0 sao

cho:
,


≤C

(*)

Định nghĩa 1.3.3
Cho

là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn

không gian định chuẩn . Hằng số C
chuẩn của toán tử

0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (*) gọi là

và ký hiệu là || ||.

Định nghĩa 1.3.4 (Hạt nhân và ảnh của toán tử tuyến tính)
Cho

là toán tử tuyến tính.

Gọi tập

là hạt nhân của

Vậy Ker

={


Gọi tập {

|

Vậy Im = {
+ dim Ker

|

và ký hiệu là Ker .

}.

} là ảnh của
|

vào

và ký hiệu là Im .

}.

gọi là số khuyết của .


+ dim Im gọi là hạng của

( rank

).


1.3.2. Định lý
Định lý 1.3.1 (Định lý ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên tục)
Cho

là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn

vào không gian

định chuẩn . Khi đó ba mệnh đề sau tương đương:
1)

liên tục;

2)

liên tục tại điểm

; 3)

0

nào đó thuộc

bị chặn.

Định lý 1.3.2
Cho toán tử tuyến tính
định chuẩn . Nếu toán tử


từ không gian định chuẩn

bị chặn, thì

A sup Ax
x 1

.

vào không gian


1.4. Toán tử Compact
Định nghĩa 1.4.1
Toán tử tuyến tính
định chuẩn

ánh xạ không gian định chuẩn

gọi là toán tử Compact, nếu toán tử

trong không gian

vào không gian

ánh xạ tập bị chặn bất kỳ

thành tập Compact tương đối trong không gian .

Toán tử Compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.

Ví dụ:
Nếu toán tử

ánh xạ không gian định chuẩn

chuẩn hữu hạn chiều

thì toán tử tuyến tính

vào không gian định

là toán tử hữu hạn chiều. Mọi

toán tử tuyến tính bị chặn hữu hạn chiều đều là toán tử Compact.
Thật vậy, giả sử

là tập bị chặn bất kỳ trong không gian

tập bị chặn trong không gian hữu hạn chiều

thì

là

. Nhưng mọi tập bị chặn trong

không gian hữu hạn chiều đều là tập Compact tương đối, nên

là toán tử


Compact.
1.5. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.5.1
Số
tử

□ gọi là giá trị chính quy (hay điểm chính quy) của toán

, nếu tồn tại toán tử R ( với R =

là toán tử giải của toán tử A)

xác định và bị chặn trên toàn không gian
điểm phổ) của toán tử A, nếu số

. Số

gọi là giá trị phổ (hay

không là giá trị chính quy của toán tử .

Định nghĩa 1.5.2
Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử

gọi là phổ của toán tử .


CHƯƠNG 2. CHỈ SỐ FREDHOLM
2.1. Toán tử Fredholm
Định nghĩa 2.1.1

Một toán tử bị chặn
Fredholm nếu Ker

trên một không gian Banach

hữu hạn chiều và

gọi là toán tử

là không gian con đóng hữu hạn

chiều trong không gian .
Định lý 2.1.1 (Định lý Atkinson)
Một toán tử bị chặn

trên

là một toán tử Fredholm nếu và chỉ nếu

là khả nghịch trong
Trước khi chứng minh định lý này, chúng tôi thu thập một số hệ quả
trực tiếp của nó. Giả sử

là tập tất cả các toán tử Fredholm trên

.

Hệ quả 1
Một toán tử bị chặn
( ) sao cho


và

thuộc

nếu và chỉ nếu có một toán tử

đều là Compact.

Chứng minh Hệ quả 1
Giả sử toán tử

là khả nghịch trong ( ) ( ). Khi đó nghịch

đảo của nó là một phần tử có dạng

với ( ). Và các toán tử

và

phải là các toán tử Compact vì chúng ánh xạ vào 0 trong các thương
đại số.
Rõ ràng nếu ta giả sử phản chứng thì sẽ nhận được mâu thuẫn với kết
quả của định lý Atkinson.
Hệ quả 2


Tập □( ) các toán tử Fredholm là mở trong tôpô định chuẩn ( ), nó
ổn định khi Compact thay đổi, nó chứa tất cả các toán tử khả nghịch của ( )
và nó là đóng dưới phép nhân toán tử.

Chứng minh Hệ quả 2
Định lý Atkinson có nghĩa rằng □( ) là ảnh nghịch đảo của nhóm
tuyến

tính

tổng

quát

( )

( )

dưới

phép đồng

cấu liên tục

+□( ), do đó sự khẳng định từ tất cả dẫn chứng trên là tập hợp
các phần tử khả nghịch của một đại số Banach

một dạng nhóm đó là mở

trong tôpô định chuẩn của .
Thực chất phổ □e( ) của một toán tử
của hình ảnh

trong


( ) được định nghĩa là phổ

( )/ ( ). □e( ) là một tập con Compact của □(

). Kết quả theo sau có nghĩa rằng các điểm trong phổ của

không thể bỏ

đi
bằng cách thay đổi

với các toán tử Compact.

Hệ quả 3
Giả sử

là một toán tử bị chặn trên một không gian Banach vô hạn

chiều . Khi đó □e( ) □ và
□e( ) 

{ □( ):

□(

) }.

Có lẽ nó cần thiết đưa ra hệ quả này như một hệ quả của định lý Atkinson, từ
đó nó có thể được suy ra dễ dàng hơn.

Chứng minh Định lý 2.1.1
Giả sử toán tử
sao cho

-1

.

là khả nghịch và toán tử

(

) là một toán tử


Từ các công thức
Compact

1,

2

sao cho: 1

Để chứng minh
chiều và

và

và 1


2.

hữu hạn

là một không gian con đóng hữu hạn chiều trong .
1,

Ker

Ta có Ker (

1)

Ker (

có

2)
2)

1).

{ } Ker (

hữu hạn chiều. Xét

Từ đó (

1


là toán tử Fredholm thì ta chứng minh Ker

Thật vậy, ta có:
Ker

, nó theo sau rằng có các toán tử

1)

: Từ

2

ta

.

là một không gian con đóng hữu hạn chiều trong

.

Sử dụng đại số tuyến tính cơ bản ta có thể tìm một tập hữu hạn các vectơ
1,.., r

sao cho:
2)

1


r

,

là một không gian con đóng hữu hạn chiều trong .
Ngược lại, giả sử rằng

là một toán tử Fredholm trên . Khi đó Ker

hữu hạn chiều và

là một không gian con đóng hữu hạn chiều, có các toán

tử bị chặn

sao cho:

ý rằng khi

trên
và

một toán tử bị chặn

2

,

2


,

Ker

và

. Chú

là các lũy đẳng hạng hữu hạn, nó đủ chứng tỏ rằng có
trên

sao cho:
(2.1.1)

Công thức (2.1.1) có nghĩa rằng

trong ( )

( ). Khi đó

toán tử đạt được.
Giả sử
Sự hạn chế
( từ đó

.
của
= 0).

đến


là một toán tử với hạt nhân tầm thường ánh xạ vào


Bằng nguyên lý đồ thị đóng

0

là một toán tử khả nghịch.


Giả sử

(

là một toán tử bị chặn từ

đến

) là nghịch đảo

của nó.
,

Ta có:
Lấy

,

và


.

, ta thấy công thức (2.1.1) được thỏa

mãn. Chú ý
Chứng minh của định lý Atkinson chứng tỏ phần nào khẳng định sau:
Cho

là toán tử bị chặn bất kỳ trên . Khi đó ba điều kiện sau là tương

đương:
(1)

là một toán tử Fredholm.

(2) Có một toán tử

( ) mà

(3) Có một toán tử

( ) mà

và

là Compact.

và


là các toán tử hạng

hữu hạn.
2.2. Chỉ số Fredholm
Định nghĩa 2.2.1
Giả sử

là một toán tử Fredholm trên một không gian Banach

hai không gian vectơ Ker
chiều, và chỉ số của

={

:

} và coker

=

. Cả

hữu hạn

được định nghĩa là hiệu số:
ind = dim Ker

– dim coker .

Ví dụ1:

Định lý thay thế Fredholm (Định lý 3.2.2 trang 87- A short course on
spectral theory) trở thành sự khẳng định rằng một toán tử có dạng
Compact và

, với

là số khác không là một toán tử Fredholm.

Ví dụ 2:
Toán tử nâng

là một toán tử Fredholm với ind

Ta cũng có chiều của coker
liên hợp của , khi đó:

bằng chiều của Ker , ở đó

.


( ) là


ind

= dim Ker

– dim Ker


.

Công thức này rất có ích cho các toán tử trên không gian Hilbert, ở đó ta có
*

thể thay thế với không gian Hilbert liên hợp
Định lý Atkinson có nghĩa rằng tích

.

của hai toán tử Fredholm

( ) là một toán tử Fredholm. Tính chất quan trọng nhất của chỉ số là loga
cộng tính của nó.
ind

= ind

+ ind .

(2.2.1)

Công thức (2.2.1) là một kết quả cơ bản trong đại số tuyến tính vô hạn chiều.
Chúng ta chú ý đến sự rời chỗ xa từ phạm trù của không gian Banach với các
toán tử tuyến tính bị chặn tới phạm trù của không gian vectơ phức với phép
biến đổi tuyến tính như ánh xạ. Giả sử
toán tử trên

là một không gian vectơ phức. Một


chúng ta đơn giản một phép ánh xạ tuyến tính

hợp tất cả cái đó ký hiệu là

). Mọi toán tử

, và tập

có hai không gian

vectơ kết hợp với nó, gọi là hạt nhân và đối hạch của nó
Ker

=

} ,

coker

.

gọi là toán tử Fredholm nếu cả hai không gian vectơ này có chiều hữu hạn.
Tập hợp các toán tử Fredholm trên

được ký hiệu là

Mọi toán tử

□( ) có một chỉ số, cụ thể:
ind


= dim ker

– dim coker .

Định lý 2.2.1 (Công thức cộng)
Giả sử

là một không gian vectơ phức và giả sử

Fredholm trên . Khi đó

là các toán tử

là một toán tử Fredholm và
ind

= ind

+ ind

.

Chúng ta có thể suy ra định lý 2.2.1 từ hai công thức chính xác hơn,
trong đó cả hai số khuyết:


dim ker
và dim coker


+ dim ker

+ dim coker

– dim ker

– dim coker

được tính rõ ràng.

Bổ đề 2.2.1
là một không gian vectơ và giả sử □( ). Khi đó:

Giả sử
dim ker

+ dim ker

= dim ker

+ dim(ker /(

ker

)). (2.2.2)

Chứng minh
Ker

Ta có Ker


.
Ta cần có:
dim( ker

ker

) = dim(

ker

Chứng minh điều này, xét toán tử tuyến tính

).

(2.2.3)

từ Ker lên

ker

hạt nhân là ker . Nó được định nghĩa bởi :

,

)

nếu và chỉ nếu

Rõ ràng ( ker


ker

và

là toàn ánh nếu

ker

đó

ker

với

mà

.
ker

.

, khi

.

Do đó

ker


và

.

Bây giờ ta cộng dim ker B + dim( ker A/(BV∩ ker A)) vào cả hai vế của
(2.2.3). Từ đó dim( ker
= dim ker
dim ker

ker

) + dim ker

, vế trái trở thành:
+ dim( ker

(

ker )),

tương tự vế phải trở thành:
dim ker

+ dim ker .

Từ đó công thức (2.2.2) được chứng minh.
Bổ đề 2.2.2
Giả sử

là một không gian vectơ và giả sử


□( ). Khi đó:


dim coker
Chứng minh

+ dim coker

= dim coker

+ dim((

+ker )

). (2.2.4)


Trước hết tôi thiết lập một công thức cơ bản. Nếu
con của

là một không gian

hữu hạn chiều, khi đó:
dim(

) = dim(

) + dim(( +ker )


).

Để chứng minh, xét toán tử tuyến tính

(2.2.5)
được định nghĩa

bởi
Phạm vi của

là

và ta cần ker = ( +ker )

Thật vậy, một lớp

thuộc hạt nhân của

.

khi và chỉ

khi 0 
Tức là

+ker .

Công thức (2.2.5) theo sau một dạng đồng nhất thông thường của đại số tuyến
tính hữu hạn chiều:
dim domain

Lấy

= dim ran

+ dim ker .

trong (2.2.5) ta được:
dim (

Nếu ta cộng dim(
dim coker

) = dim (

) + dim((

+ker

).

) vào cả hai vế, vế trái trở thành:
+ dim coker

vế phải trở thành:
dim (
Từ đó

) + dim (

) + dim((


ker

.

, tổng hai số hạng đầu bằng dim(

) = dim coker

.

Vậy công thức (2.2.4) được chứng minh.
Chứng minh. Sự thay đổi chứng minh của định lý 2.2.1, bổ đề 2.2.1 có nghĩa
rằng:
dim ker

dim ker

+ dim ker

,

khi đó bổ đề 2.2.2 có nghĩa:
dim coker
Trần Thị Mai
Toán

dim coker

+ dim coker

20

.
Lớp K34CSP


Thật vậy :

□( )  □( ).

Từ hai không gian con bất kỳ
tuyến tính từ

của một không gian vectơ có một ánh xạ

lên

với hạt nhân

Do đó

.

.

Nó theo sau rằng:
ker

Ker


+ker

,

và đặc bệt
dim (ker

ker

) = dim ((

+ker

Ta suy luận từ các bổ đề 2.2.1 và bổ đề 2.2.2 rằng:
dim ker

+ dim ker

– dim ker

dim coker
Và cần tìm công thức ind

=

+ dim coker

= ind

+ ind


– dim coker

.

(2.2.6)

, sau đó sắp xếp lại các số hạng

trong (2.2.6).

Bây giờ quay lại với

là một không gian Banach vô hạn chiều, tôi thu

được các kết quả cơ bản:
Hệ quả 1
Cho hai toán tử Fredholm bất kỳ

trên . Khi đó tích

Fredholm và
ind

= ind

ind .

Hệ quả 2 (Sự ổn định của chỉ số)
Cho toán tử Fredholm


 ) và toán tử Compact

đó: ind( ) = ind

.

. Khi

là toán tử


Chứng minh