1


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
*********

PHÙNG THỊ HUYỀN

CÁC DẠNG CƠ BẢN
CỦA MẶT TRONG En VÀ ỨNG DỤNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI, 2012

2


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian học tập và nghiên cứu khoa học tại Trờng Đại học S phạm Hà Nội
2, em đã nhận đợc sự quan tâm giúp đỡ của tất cả các thầy giáo, cô giáo trong trờng, đặc
biệt là sự hớng dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Để hoàn thành bài tập nghiên cứu này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy
Nguyễn Năng Tâm đã tận tình chỉ bảo em trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Em cũng
xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học Khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ
cũng nh đóng góp ý kiến để đề tài của em đợc hoàn thành.
Đề tài này chỉ nghiên cứu trong phạm vi nhỏ nên không tránh khỏi những thiếu sót,
hạn chế. Em mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô.
Em xin chân thành cảm ơn!
Xuân Hòa, ngày

tháng

năm 2012

Sinh viên thực hiện

Phùng Thị Huyền


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi.
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu của mình không trùng với kết quả của tác
giả khác.
Hà Nội, tháng

năm 2012

Sinh viên

Phùng Thị Huyền


MỤC LỤC
Trang
Mở đầu

5

1. Lý do chọn đề tài


5

2. Mục đích nghiên cứu

5

3. Khách thể và đối tợng nghiên cứu

5

4. Giả thuyết khoa học

6

5. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu

6

6. Phơng pháp nghiên cứu

6

Nội dung
Chơng 1. Mảnh tham số

7

1.1. Đạo hàm của hàm vectơ


7

1.2. Trờng vecto

9

1.3. Cung

10

1.4. Mảnh tham số

12

Chơng 2. Các dạng cơ bản của mặt trong E và ứng dụng

18

n

18

n

2.1. Đa tạp hai chiều trong E
2.2. Ánh xạ Wiengarten

20

2.3. Các dạng cơ bản của mặt trong E và ứng dụng


24

Kết luận và kiến nghị

47

Tài liệu tham khảo

48

n


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học, môn hình học là một môn khó và rất trừu tượng. Hình
học trong không gian rất đa dạng và phong phú nhưng lại rất thực tiễn. Từ
những hình đơn giản, những vật xung quanh chúng ta, nhờ hình học mà ta
hiểu được phần nào về cấu tạo của chúng, có hình dạng như thế nào trong
không gian n chiều.
Trong đó Hình học vi phân là môn quan trọng, chủ yếu nghiên cứu về
3

hình học của đường và mặt trong không gian E thông qua các loại độ cong,
gắn liền với các đối tượng hình học trong cuộc sống, các thực thể trong không
3

gian 2 chiều và 3 chiều, đặc biệt đối với phần mặt trong E có nhiều ứng dụng
trong thực tế và các ngành khoa học khác. Giúp chúng ta tư duy, tưởng tượng

cụ thể và chính xác. Vì thế mà em đã chọn đề tài khóa luận: "Các dạng cơ
n

bản của mặt trong E và ứng dụng".
2. Mục đích nghiên cứu
Đối với các dạng cơ bản của mảnh tham số trong không gian thì việc
giải chúng sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Vì vậy để giải được những bài toán đó
chúng ta cần có cách giải, cách nhận dạng và ứng dụng của chúng. Vì thế
trong khóa luận trình bày các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng như sau:
n

+ Các định nghĩa các dạng cơ bản của mặt trong E .
+ Tìm được các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
a) Khách thể nghiên cứu
Sách hình học vi phân (giáo trình, bài tập, sách tham khảo)
b) Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu và tìm hiểu về các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng của
nó trong không gian của hình học vi phân.
4. Giả thuyết khoa học


n
Vấn đề về các dạng cơ bản của mặt trong E và ứng dụng có vai trò rất

quan

trọng.

Nếu


vấn đề này được
đổi mới với một
hệ thống phương
pháp,

hình

thức

phù hợp thì nó sẽ
trở thành công cụ
hữu hiệu cho các
nhà quản lí nâng
cao chất lượng giáo
dục và đào tạo của
nhà trường, nâng
cao tinh thần chủ
động sáng tạo tích
cực học tập rèn
luyện của sinh viên
nói chung.
5. Nhiệm vụ và
phạm vi nghiên
cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí
luận của vấn đề tìm
hiểu các dạng cơ
bản của mặt trong
n


E và ứng dụng của
sinh viên.
- Tìm hiểu phương
pháp giải bài tập qua
các dạng của mặt.
7


6. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các sách giáo trình và tra cứu tài
liệu

8


Chương 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Đạo hàm của hàm vectơ
1.1.1. Hàm vectơ
m

Cho tập mở U ⊂ R (m ≥1). Mỗi ánh xạ


n
X:U→ E

p  X(p)
m


được gọi là 1à hàm vectơ trên U. Ở đây R được xét với tôpô thông thường và

n
vectơ E là không gian vectơ Ơclit n-chiều.




có các tọa
n
Nếu trong E cho cơ sở (e1,..., en thì với p ∈ U , vectơ
X(p)
 )
độ phụ thuộc p, kí hiệu là X(p) = (X1 (p),..., Xn (p))
Ta gọi Xi : U
→ R

là hàm tọa độ thứ i của X. Vì p có m tọa độ trong

p  Xi (p)
m

R nên Xi là một hàm số m biến X (t , t ,..., t );p = (t ,..., t )
i
1
2
n
1
n .

1.1.2. Đạo hàm

(

)

n
Cho U là một tập hợp tùy ý U ⊂ E
thì ánh xạ


là một hàm vectơxác định trên U.
X:U
→
n
E

  


(

)

n

Chọn 1 cơ sở e 1,e 2 ,..., en của E thì cho X tương đương với cho n hàm số:
i

x :U→ R

n

u  X(u) =
∈ U
i=1


∑xi i

(u)

⋅ e , ∀u


Khi U = J (là 1 khoảng trong R), cho hàm vectơ


n
X:J→ E

t  X( t )

thì đạo hàm của X nếu có là:


Nếu ∃



X(t

X ( t ) = lim
+ ∆t ) − X ( t )


Kí hiệu X′

∆t→0




thì ta gọi nó là đạo hàm của X tại điểm to.

∆t


Khi đó ta gọi X khả vi tại to.

1.1.3. Đạo hàm cấp cao



′
trên J
Nếu X′ khả vi trên J thì X′ được gọi là đạo hàm cấp 2 của

( )

X


X


và nói rằng X khả vi cấp 2 trên J. Kí hiệu: ′

 được gọi là đạo hàm cấp k trên J. Kí
( k −1 )
k−1
có đạo
Nếu X
X( )
 hàm

(

(

hiệu: X

(k)




Nếu

( X ) liên tục thì takí hiệu X ∈C
(k)

k


.

thì ta nói rằng X là hàm nhẵn (trơn).
Nếu X

∞
∈C
1
Ví dụ: Cho ánh xạ X : R → E
x1

thì X liên tục thật vậy:


k
Ta có: Xx′( ) = 0 (x)
( )

⇒
X
1.1.4. Đạo
hàm riêng

= 0, ∀x

Với hàm vectơ nhiều biến số, chẳng hạn cho hàm vectơ


n

X:U→ E

(u, v)  X (u, v) (với U là một tập mở trong E2)


Có thể nói đến đạo hàm riêng




∂X ∂X
,
, và nếu có các đạo hàm
riêng
liên tục thì chúng bằng nhau.
1.2. Trường vectơ
1.2.1. Vectơ tiếp xúc

∂u ∂v


n

Nhắc lại rằng không gian Euclid E là một không gian afin liên kết với

không gian vectơ Euclid 
n
n
E . Hai điểm p, q của E xác định một vectơ


 



α
mà ta viết pq
hay q = p + α . Thường nói, các phần tử
n
∈ =α
của E là
n
E
n

các “vectơ tự do” của E . Nhưng trong hình học, vật lí, còn cần đến các
“vectơ buộc” . Cụ thể là xét tập tích


n
TE = E x E
n

n

Định nghĩa
Ta gọi α
p =
đặt tại p.




( p,α ) ∈TE n là một vectơ tiếp xúc của En tại p,


hay vectơ α

Trong đó
n

TE gọi là không gian các vectơ tiếp xúc của E
α là kí hiệu mỗi phần tử của E
n

n

n

n

n

Với p∈E , kí hiệu T E là không gian các vectơ tiếp xúc của E tại p
p
thì
có song ánh:

n

n


E → Tp E

α  αp



n
(“đặt gốc” tại p). Từ đó đưa được cấu trúc không gian vectơ Euclid từ E

lên T
n
E p

vectơ tiếp xúc của U. Với p∈ U , kí
hiệu vectơ (trường) tiếp xúc của U tại
p.

n

là không gian vectơ tiếp xúc (trường) của E tại p.

n
n
U là một tập mở trong E thì đặt TU = U x E và gọi là không gian
các
1.2.2. Tr
n
pườ T U = T E
ng
ve

ct
ơ

p


và gọi nó là không gian
n

Cho tập U mở trong E , ta gọi ánh xạ X : U → TU
p  X (p)
là một trường vectơ trên U sao cho với mọi

p∈ U, X ( p ) ∈Tp ( U )

Trường vectơ X : U → TU xác định ánh xạ




n
X:U→ E


p  X ( p ) = p, X ( p )

k
Nói X khả vi lớp C nếu ánh xạ X khả vi lớp Ck

Khi

là ánh xạ hằng thì trường vectơ X gọi là một trường vectơ song
X

(

song.

)

1.3. Cung
1.3.1. Cung tham số
Cho J là một khoảng mở trong R ta gọi ánh xạ
ρ: J → E

n

t  ρ( t )
n

là một cung tham số (hay một quỹ đạo) trong E .
a. Vi phôi
k

Song ánh f được gọi là một vi phôi nếu f khả vi tới lớp C và f

−1

khả

k


vi tới lớp C .
b. Hai cung tham số tương đương
n
Hai cung tham số ρ : J
và r : I → E
→
n
E

t  ρ( t )

u  r (u)

(I, J là những khoảng trong R; ρ và r khả vi) gọi là tương đương nếu
có vi phôi λ : J → I .
t  u = λ ( t ) sao cho r0λ = ρ .
Dễ thấy đó là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của
n

quan hệ trên gọi là một cung trong E .
ρ và r được gọi là các tham số hoá của cung.
Vi phôi gọi là một phép đổi tham số của cung.


Ví dụ
+ Cho cung tham số:


n


ρ: J → E là ánh xạ hằng
tI
Từ đó ta có ảnh của cung tham số này là tập chỉ có một điểm I.
+ Cho R là một số dương cho trước,
trong
 khi đó ta xét:
En
n
ρ: J → E
t  ρ( t ) =

{e1,e2 }là

một hệ trực chuẩn

( R cos t, R sin t )

hay ρ ( t ) = 0 + R cos t.e1 + R sin t.e2
Từ đó ta có ảnh của ρ là một đường tròn tâm O có bán kính R.
1.3.2. Cung chính quy
Ta gọi ρ ( t ) là điểm thuộc cung cho bởi tham số t (hay đơn giản gọi
là
điểm t), ta không đồng nhất cung với ảnh của cung, ảnh của cung là tập hợp
n

n

các điểm trong E tạo thành một đường trong E .
Điểm

ρ( t )


được gọi là điểm chính quy của cung γ nếu ρ′ ( t ) ≠ 0
.

Cung chính quy là một cung mà mọi điểm thuộc nó đều là điểm chính quy.
Tham số hoá tự nhiên của cung chính quy
Cho cung chính quy γ tham số hoá r : J → E

n

s  r (s)
gọi là tham số hoá của cung γ
nêú
1.3.3. Cung định hướng

r′ (s = 1, ∀s ∈J .

)

Định nghĩa
Vi
phôi


λ được gọi là vi phôi bảo toàn hướng nếu
Vi phôi λ được gọi là vi phôi bảo toàn

λ′ ( t ) > 0, ∀t

∈J .

λ ′ ( t ) < 0, ∀t
∈J .
Hai cung tham số ρ và r gọi là tương đương định hướng nếu tồn
tại
hướng nếu

một vi phôi bảo toàn hướng

λ : J sao cho ρ = r0λ . Khi đó quan hệ
→
trên là
I


một quan hệ tương đương và mỗi lớp tương đương theo quan hệ trên gọi là
một cung định hướng.
Đảo hướng của một cung định hướng
n

Cho cung định hướng r xác định bởi ρ: J → E , thì cung
định hướng r
xác định bởi

−

−1

r = ρλ

:I
n
→ E ,λ :J
→ I

là một vi phôi đảo hướng, gọi là có

được từ r do đảo hướng.
1.4. Mảnh tham số
1.4.1. Định nghĩa
2

Cho một tập mở U trong R , ta gọi ánh xạ
r:U→ E

n

(u, v)  r (u,
v) là một mảnh tham số trong En .
1.4.2. Cung và đường trong E

3

Với điểm ( u 0 , v0 )
Khi

v = cung tham số u  r ( u, v0 trong En (ở đây u thay đổi trong
v0

)


một khoảng J ⊂ R
nào đó, độ u qua ( u 0 ,
v0 ) .

u0 ∈ J ) gọi là đường v = (hay đường toạ
v0
toạ độ

Khi u = u0 , cung tham v  r ( u 0 ,
v)
số

n

trong E gọi là đường toạ độ

u = u0 (hay đường toạ độ v qua ( u 0 , v0 ) ).


Khi r_khả vi, điểm

( u 0 , v0

)

được gọi là điểm chính quy của r nếu

{ru′ ( u 0 , v0 ) , rv′ ( u 0 , v0 )} - độc lập tuyến tính.
Trong đó r′ ( u ,

v
u

0

) , r′ ( u
v
0

v

0

) ∈T

,
0

n

( )E .

r u0 ,v0

Điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị. Khi đó mảnh
tham số r gọi là mảnh chính quy nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm chính
quy.
1.4.3. Mặt phẳng tiếp xúc, pháp tuyến



Tại điểm chính quy ( u 0 , v0 của mảnh tham số r, gọi 2_phẳng trong En

)

đ
i r ( u 0 , v0 ) với không
gian vectơ chỉ
q phương
u
a

ru′ ( u 0 , v0

) , rv′ ( u 0 ,
v0 ) là

mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện
của r tại
nói tại

( u 0 , v0 ) (

cũng có khi

r ( u 0 , v0 ) ). Khi n r
thẳng góc
= 3, đường thẳng ( u với tiếp
0
đi qua
, v0 diện


)

tại ( u 0 , v0 ) gọi là pháp tuyến của r
tại ( u 0 , v0 ) .
Trong
toạ độ
afin

(x, y,
z)

c E3 viết:
ủ
a

r ( u,
v) = ( x ( u
, v ) , y ( u,
v ) , z ( u,
v))
(trong đó

r ( u, v) 

( x ( u, v), y (u,
v ) , z ( u, v ) )


là

hàm số trên
những U) thì
phương trình tiếp diện của r tại

(u 0 , v0 ) là :

và khi toạ độ đó là Descartes vuông
góc thì phương trình pháp tuyến của r
tại

( u0 , v0 ) là

X x
 uz0 (, vu0 ,
Y y  u 0 , v0 
Z−
0
=
yu−
 u 0v, v)0 zu  u 0 , v0  zu  u 0 , v0 xu  u 0 , v0 
0
yv  u 0 , vz0 zv  u 0 , v0  zv  u 0 , v0 xv  u 0 , v0 
y
′
Z − z ( u 0 , v0 )
(

X Y

u


u
0

,
v
0

)
y
′u

(
u

(
u
,
v
0

)
=

,
v

0

0


y
′u

(
u
0

,
v

xv  u 0 , v0 yv  u 0 , v0 

0

0

)

xu  u 0 , v0 yu  u 0 , v0 

z
′
u

(
u
0

,


0

v

)

0

)

1.4.4. Mảnh
định
hướng

v r:U r →
n

ớ→
E
n
i
E : được
Hai mảnh
U gọi
và
tham số r,

r trong
n

E

là tương
đương nếu
có vi phôi

λ : r và quan hệ
U
= này là một
→
U r

để
0

λ


n

quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương đó gọi là một mảnh trong E và
r còn gọi là một tham số hoá của mảnh.
Ta có thể nói đến khái niệm điểm chính quy của mảnh, tiếp diện của
mảnh tại một điểm chính quy của nó.
Nếu trong định nghĩa quan hệ tương đương nói trên, đòi hỏi λ là
một vi phôi bảo tồn hướng thì ta có thể nói đến mảnh định hướng, khi đó
nếu n = 3 và mảnh chính quy thì vectơ đơn vị.
ru rv
ru rv
tại điểm ứng với ( u,


trong một tham số hoá r của nó là hoàn toàn xác định

v)

và phương của nó chính là phương của pháp tuyến của mảnh tại điểm đó.
Ví dụ




Cho 2 vectơ
n
α,β∈E

thì


2

r:R
→
n
E
u  r ( u, v ) = I + u.α + v.β
∞

là một mảnh tham số (khả vi lớp C ).
 
Nếu α = β = 0 thì r ( u, v ) = I


( )

Từ đó ta có ảnh r R 2 = {I}



Nếu α = thì r ( u, v ) = I + v.β
0≠ β

( )
(
2



Từ đó ta có ảnh r R là đường thẳng qua I có vectơ chỉ phương là β .

  

Nếu β = kα α ≠ 0, k ≠ 0 thì r ( u, v ) = I + ( u _
kv).α .

)




( ) là đường thẳng qua I có vectơ chỉ phương là α


Từ đó ta có ảnh r R

2

.



Nếu hệ α,β

{

}



( )là
2

độc lập tuyến tính (các vectơ khác 0 ) r R

mặt



phẳng qua I có không gian vectơ chỉ phương là α , khi
α,β
,β
thuộc
khi đó:


{

}phụ

tuyến tính thì mọi điểm của mảnh đều là điểm kì dị.
1.4.5. Mảnh hình học
a. Định nghĩa
Tập S ⊂ E3 được gọi là mảnh hình học nếu tồn tại
tập mở

U
2
⊂ E
và

ánh xạ r khả vi trên U thoả mãn.
i. S = r ( U )
ii.Hệ {ru′ ( u, v ) , rv′ ( u, v )} - độc lập tuyến tính ∀( u,
v) ∈ U

iii. r là một đồng phôi lên ảnh E với r : U → E n
b. Tham số hoá của mảnh hình học
Để nghiên cứu các mảnh hình học người ta thường dùng một kiểu
mảnh tham số gọi là mảnh tham số kiểu đồ thị được định nghĩa như sau: giả
sử trong E cho một hệ toạ độ afin (x1, x2 ,, xn và U là một tập mở trong
n

)


mặt phẳng R

2

=

{( x ,

x
thức toạ độ dạng

trong đó

),(i ≠ J)}thì một mảnh

i

r:U
→
n
E

tham số

có biểu

j

r (xi , x j ) =


(f (x , x ),f ( x , x ),,f (x , x ))
1

i

j

2

i

j

n

i

j