LỜI

CẢM ƠN

Trước tiên, bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn
thầy giáo GS. TSKH Đào Vọng Đức – người đã hướng dẫn và chỉ bảo tận
tình cho em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Vật Lí –
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để giúp em hoàn
thành khóa luận.
Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn tới tất cả bạn bè, những người
đã giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thiện khóa
luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu Hường

1


LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên cứu khóa luận: “Biểu diễn dao động tử của đại
số SU(3)” em đã thực sự cố gắng tìm hiểu, học tập và nghiên cứu đề tài để
hoàn thành khóa luận. Em xin cam đoan khóa luận này không trùng lặp với
các đề tài khác, được hoàn thành là do nỗ lực của bản thân em cùng với sự
hướng dẫn chỉ bảo tận tình của GS. TSKH Đào Vọng Đức.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu Hường

2


LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU

MỤC LỤC
1. Lý do chọn đề tài....................................................
2.

Mục đích nghiên cứu..............................................

3.

Đối tượng nghiên cứu.............................................

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu.............................................

5.

Phương pháp nghiên cứu........................................

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ

1.1. Dao động tử điều hòa..............................................

1.1. Biểu diễn dao động tử của các vi tử

SU(2)......................................................................

1.2. Thống kê của dao động tử điều hòa........................
CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ
CỦA ĐAI SỐ SU(3)

2.1. Đại số SU(3)...........................................................

2.2. Biểu diễn dao động tử của đại số
SU(3)......................................................................
CHƯƠNG 3: SỰ GẦN ĐÚNG CỦA
NHÓM ĐỐI XỨNG SU(3)

3.1. Đa tuyến của nhóm SU(3)......................................

3.2. Hệ thức khối lượng của các hạt..............................

KẾT LUẬN.......................................................................

TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lí vi mô nói chung và lí
thuyết hạt cơ bản nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan Vật lí để lý giải
bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của chúng. Cùng
với sự phát triển của lịch sử loài người, Vật lí học cũng đã trải qua nhiều giai
đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng. Ngày nay, Vật lí học
hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất,

người ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm được trong Vật lí cổ điển ở đây còn
xuất hiện các quy luật mới.
Nghiên cứu Vật lí hạt cơ bản cho phép hiểu được những nguyên lí cơ
bản của tự nhiên cũng như sự hình thành và phát triển của vũ trụ. Hạt cơ bản
là thực thể Vật lí nhỏ nhất tạo nên các dạng thực thể Vật lí khác nhau theo lí
thuyết hiện hành. Các hạt cơ bản đầu tiên được tìm thấy là e, p, n, photon.
Ngày nay, người ta biết được hơn 200 loại hạt cơ bản và con số đó đang tiếp
tục tăng lên. Khi đi sâu vào nghiên cứu hạt cơ bản, người ta thấy rằng các hạt
cơ bản chưa phải “thực sự là cơ bản” mà nó còn được cấu tạo từ các hạt
quark. Cho đến nay quark được coi là viên gạch đầu tiên xây dựng nên thế
giới vật chất.
Sau sự hình thành của mẫu quark, sự hiểu biết về nhóm Lie đã trở thành
cần thiết cho việc nghiên cứu Lí thuyết hạt cơ bản. Nhóm Lie càng trở thành
công cụ chủ yếu của Vật lí lí thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình
vi phân riêng, lí thuyết nhóm vô hạn,…
Đại số Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng của nó
trong nghiên cứu Vật lí mà V.I.Drinfeld đã lượng tử hóa đại số của nhóm Lie,
làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng tử.

4


Đề tài “Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)” cũng nằm trong hướng
nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới xung
quanh, đặc biệt là thế giới của hạt vi mô.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu dao động tử, đại số SU(3) và biểu diễn dao động tử của đại
số SU(3).
3. Đối tượng nghiên cứu
Lí thuyết đối xứng, biểu diễn dao động tử của đại số SU(3).

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu dao động tử, biểu diễn, tính thống kê của dao động tử.
Nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3), sự gần đúng của lí thuyết đối xứng
SU(3), đại số SU(3) và biểu diễn dao động tử của đại số SU(3).
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp Vật lí lí thuyết.
- Phương pháp lí thuyết nhóm đối xứng.


CHƯƠNG 1
DAO ĐỘNG TỬ
1.1. Dao động tử điều hòa



Trước hết chúng ta đi làm rõ định nghĩa của các toán tử

a , a, N ... và

hệ các toán tử Boson. Trong không gian Hilbert ta định nghĩa toán tử a thỏa
mãn:
 a, a    1
Ta đi xây dựng toán tử N:

(1.1)



Na a


 N có tính chất :


● N N
● Xác định dương


 N , a  a



N  1  aa



và  N , a  

a

(1.2)



Gọi n là véctơ riêng của toán tử N với trị riêng n trong không gian
Hilbert:
Ta có:
N n nn
Na   n 1 a n
n


Na n   n  1 a n
Trong đó: a là toán tử hủy
+

a là toán tử sinh
N là toán tử số hạt
2

2
Vậy:.....a
,a
,a ,n ,a
n
n
n
n
6

,..... là dãy các véctơ riêng của toán


tử N tương ứng với các giá trị riêng:.....n  2, n  1, n, n  1, n  2,.....

7


Vì N là toán tử xác định dương (các trị riêng của nó đều phải không âm)
nên đây là dãy sẽ có kết thúc ở cận dưới. Giá trị riêng của cận dưới này là n  0
.
Vì vậy ta định nghĩa một vecto đặc biệt 0 trong không gian Hilbert có

tính chất sau:
a0 0
00 1
0 là trạng thái chân không.
Ta có: N 0  0 nên 0 là véctơ riêng của N với trị riêng bằng không.
+

Dãy các toán tử a tác dụng lên chân không


0 , a 0 , a 2 0 ,.....a 0 ,.....

(1.3)

n

Dãy (1.3) là dãy các véctơ riêng của N ứng với các trị riêng: 0, 1, 2,...n,…
+

Mỗi lần tác động toán tử a hay a lên dãy (1.3) ta lại được một phần tử
khác của dãy đó.
Có thể chuẩn hóa dãy (1.3) thành dãy các véctơ riêng sau:
1  a  n 0
n!
n n  nn

(1.4)

n


+

Tóm lại có thể lấy không gian tác dụng của toán tử boson a và a là
không gian Hilbert vì số chiều gồm các véctơ trực chuẩn (1.4). Các véctơ này
là các véctơ riêng của toán tử số hạt N.
Tương tự, ta có thể định nghĩa một hệ các toán tử boson:
ai , ai

i  1, N 



và thỏa mãn:  ai , a j  

 ij
Định nghĩa toán tử số hạt:



Na a

;

;

 ai , a j   0

 Ni , N j   0



i

Chân không:

0  0, 0,..... 0
;

i
i

ai 0  0


n  n1, n2 ,.....,
Véctơ riêng trực chuẩn: nN

 a n1 .....a nN






i

n1 !...nN !

0

N i n  ni n

1.2. Biểu diễn dao
động tử của các
vi tử SU(2)
Bây giờ chúng
ta đi xét xem có thể
biểu diễn đại số Lie
qua các toán tử Boson
được không? Muốn
vậy ta giả sử có các
toán tử boson ai (i=1,
2)
i

i



 a , a   
 ai , a j   0

j
ij

ThN 
eoa
địn
a
h;
ng
hĩa

:

i
i

n
Cáriêng:
1
,
n
c toán
2

vé
ctơ
1
0

(1.5)

 N i , N j
  0


 a n1  a
n2





n n



1

(1.7)

(1.
6)

2

!

1

!

0

i

1

 
a a   a1 
i

1 2

a
2
 2

J

2





Trong đó:  i  i  1, 2,
3 là các ma trận Pauli:
i 

 1
0

 ; 3  
0
0
1

1

Dựa
vào
các
hệ

thức
giao
hoán
(1.7)
ta
được
hệ
thức
giao
hoán
của
Ji:

 J i , J j  
i ijk J k








Ng
hĩa
là:

J1  1
2


J2 
J3 

a a  a a 

1



a

aa
a
2
1



1

2

2

1

2





a a
a a

1

2

2

1

1

2

2

1





1
1


Đây chính là đại số Lie, vậy có thể biểu diễn đại số Lie qua các toán tử
Boson, tức (1.6) là véctơ trong không gian Hilbert của biểu diễn.

Vấn đề đặt ra bây giờ là từ không gian biểu diễn (1.6) ta tìm được các
không gian con bất khả quy. Muốn vậy ta đi xét toán tử Causimir:
2

2

C  J1  J 2  J 3
Đặt:

J

1

a a  a a 
 N  N   22
1

2

1



1

2

(1.8)




1

2

(1.9)
2

Ta được: C  J  J  1

(1.10)

Đối với biểu diễn bất khả quy toán tử Causimir có giá trị xác định cho
nên từ (1.9) ta thấy có thể đặc trưng cho biểu diễn đại số Lie bởi các giá trị
riêng của toán tử J mà ta kí hiệu là j.
Theo định nghĩa của Ni từ (1.9):

j

1
2

 n1  n2 

(1.11)

Ta thấy j là một số nguyên tố hoặc bán nguyên, không âm.
Để xác định các véctơ riêng của không gian con Hilbert (1.6) biểu diễn
bất khả quy của đại số Lie, ta nhận xét rằng biểu diễn này phải được xác định
bởi 2 giá trị riêng (do không gian chung được xác định bởi 2 số n1 , n2 ). Ta

nhận xét rằng toán tử

J3 giao hoán với toán tử J (tức là có giá trị riêng xác

định). Ta kí hiệu trị giá riêng này là m và từ định nghĩa của
J3 ta có:
1
m   n1  n2 
2

(1.12)

Vậy biểu diễn bất khả quy của đại số Lie trong không gian các véctơ cơ
sở (1.6) có thể đặc trưng bởi j và m liên hệ với n1 ,
n2

như sau:

n1  j  m ; n  j  m
2
Từ đó không gian con các véctơ cơ sở của biểu diễn bất khả quy là:
 jm

 jm


 j, m 

a 
1


a 
2

 j  m !  j  m !

0


Từ (1.11) và (1.12) ta thấy rằng với một j xác định thì m lấy 2 j  1 giá
trị: m  j, j  1,.....,  j  1,  j
Vậy không gian biểu diễn bất khả quy là 2 j  1 chiều.
Tiếp theo chúng ta đi biểu điễn số hạt của dao động từ điều hòa.
Hamiltonaian của dao động tử điều hòa có dạng:
(1.13)

2
2
H□   ћ d 2  1 kx2
2m dx
2

Để thuận tiện cho việc viết công thức ta thay các toán tử tọa độ x và
d bằng các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới:
xung lượng i

dx
x
d


i
dx

 qˆ  mx

d
 pˆ  i
.
m dx

Hệ thức giao hoán giữa pˆ , là:  pˆ , qˆ   pˆ qˆ  qˆpˆ
qˆ
Mà pˆ i d ; qˆ

m dx 
pˆ qˆ  

m nên ta có:
xˆ
i d

m dx
qˆpˆ 

mxˆ

i


Thay

vào trên ta có:
d

mxˆ  i

d
dx

d
m dx

 xˆ 

   ixˆ



d
dx

 pˆ , qˆ   i  xˆ    ixˆ d 
dx

 pˆ , qˆ  i 

d






d
xˆ  xˆ


dx 
 dx

14

dx








d
i  , x  i 
 pˆ , qˆ  
 dx 
 1 
Vậy : [pˆ , qˆ]  pˆ qˆ  qˆpˆ  i

15

(1.14)



Thay pˆ , vào (1.13) ta có:
qˆ H□
Đặt:
pˆ 



 aˆ  aˆ 




;

1

 pˆ

2

2

2

  qˆ

2






 aˆ  aˆ 


2

qˆ  i

2


Hamiltonian
(1.13) trở
thành:
1  
H□ 

 aˆ  aˆaˆ 


2

aˆ aˆ   aˆ
 2  







 aˆ  aˆaˆ 


2

aˆ aˆ   aˆ



2 




2 
2
2



Vậy
:

(1.15)


H□ 


 aˆaˆ
aˆ aˆ 





2

Các 
pn
aˆ , aˆ có
toán
ˆh
tửthể biểu diễn
ngược lại qua ư
,
các toán tử
q
ˆ


 
H□   1aˆ 1.17

aˆ 


i


s1
1 pˆ 
a 2 a 2
pˆ  i qˆ 





i
qˆ



a



2

a ˆ



a

,




Theo a a 
(1.1

4)
 2
thì 
a
pˆ ,
qˆ   a
i 22
2



pˆ  
 aˆ  aˆ  
qˆ 

  i aˆ2 pˆ qˆ





 aˆaˆ  aˆ aˆ i 

   aˆ  2






a
ˆ

aˆ aˆ




aˆ 



 

a

Việc
nghiên cứu
phổ

năng

lượng
dao

của
động


tử điều hòa
ta quy về
bài

toán

tìm

véctơ

riêng và trị
riêng

của

Hamiltonia
n

(1.17).

Để tìm điều
này

ta

 
quay
lại
Hamiltoni
định nghĩa

an (1.13)
trở
về số hạt N:

ˆ



i

2
2
2
qˆp
ˆ
i



a





 aˆ  aˆ





 N□ , aˆ    N□ aˆ  


 



 aˆ aˆaˆ  aˆ aˆ aˆ  aˆ  aˆaˆ  aˆ aˆ 
 □
aˆ N





 aˆ  aˆ, aˆ  =aˆ


 aˆ aˆaˆ  aˆaˆ aˆ   aˆ aˆ 


Naˆaˆ   aˆ
□
,
a
ˆ


N
□

a
ˆ

a
ˆ
N
□



 aˆ,
Vậy:



aˆ 
aˆ= 
aˆ
[N□ , aˆ ]

=aˆ
hay


18









N
□

aˆ =

aˆ
ha
y

[
a
a

N□ aˆ = aˆ
1

+ Nếu ta kí
hiệu n






N  N□ aˆ = aˆ
□


,
a
ˆ



N□ n  n n .
a
n  N□  n n  aˆ  aˆˆ  n

n nn
nn


 N□ aˆ n
 0.





N aˆ aˆ
n n
Vậy ta có
các giá trị
riêng của
toán tử
N□




2

(r) dr  0
n0


 (n  1)aˆ
aˆ(n n
□
N   1) n

to nhưng ứng với trị riêng (n 1) .
á
n
n
t
ử
N
□

aˆ

là các số
không âm.

Xét véctơ trạng
thái thu được

 N□  1


Hệ thức vừa aˆ n cũng là một
thu được có véctơ riêng của
nghĩa là

n

n n 

= aˆ

ta được:


1 n

Vì  (r) 2dr  0.
n
n 
Và:

tác động
lên n

được aˆ n . Tác dụng lên
véctơ trạng thái này toán
tử N□

N□


ứng với
trị riêng
n

là véctơ riêng
của toán tử
N□


cách cho toán tử aˆ

 N □  1



Tương tự như vậy
ta dễ dàng chứng
minh được

b
19

aˆ n aˆ 3
2

,


n ;… cũng
là các

ứng với trị riêng
véctơ riêng (n  2), (n  3) ,
của toán tử …. Tiếp
N□

20




theo xét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử aˆ tác động lên n .
Đa . Tác dụng
ó ˆ lên véctơ
 trạng thái
l này toán tử
àn □
N và
v
é
c
t
ơ
t
r
ạ
n
g
t
h
á

i
sử dụng công
thức (1.14) ta
được:
 □  
 N aˆ = aˆ
a
a
N□  1


 N□ aˆ = 1 


aˆ
n

aˆ n (n 
1) n









N□




 (n  1)aˆ n .

aˆ nmin  0

Hệ thức trên cũng aˆ cũng là một véctơ riêng

có nghĩa là
n của toán

Th
ật
vậ
y
vì
khi
đó
véc
tơ
trạ
ng
thá
i
ứn
g
với
trị
riê
ng




t nhưng ứng với trị riêng (n  1) . Tương tự như
ử vậy ta cũng dễ dàng
N
□

chứng
;… cũng là các véctơ riêng của
aˆ ,
3
minh được 2
n aˆ
toán tử N□
n

ứng với trị riêng (n  2), (n  3) ,
…

ứng với trị riêng n
Nếu n là một véctơ riêng thì với
của toán tử N□

p  1, ta a n cũng là một véctơ riêng
2,3,... có ˆ của toán tử N□
p

ứng với
trị


riêng (n  aˆ  cũng là một véctơ riêng của ứng với
p
p) và
trị
n toán tử N□
riêng (n  p) nếu chúng khác 0.
N
Kết hợp hai điều trên ta thấy rằng nếu n là □
một trị riêng của toán tử thì chuỗi các số không âm N
(n  1), (n  2) ,…cũng là trị riêng của toán tử Vì □ .
chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm
nhỏ nhất nmin .
Xét véctơ
trạng thái

n
mi
n

ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin .
Ta có:

(1.18)
nmin
1
0,
trái
với


gilà trị
a n 
ả riêng nhỏ
m
thnhất. Từ ˆ Nin 0
iế(1.18) ta
□ .
n
t suy ra: aˆ
m
n
i
n

min

Mnhn t
ặtcủa
m a
k in
h c
á ó
c
th
e
o
đị

Nn
□ mi

n

n
nm
m
i
n

in


 0 . So
sánh hai phương trình ta có trị riêng nhỏ
nhất của toán tử N□

là nmin 
0.


Véctơ trạng thái ứng với trị riêng của toán tử N□ được kí hiệu là 0 .
Véctơ
trạng thái  0 .
này thỏa
mãn điều
kiện aˆ 0
Khi đó: tỉ lệ với ứng với

aˆ 0
véctơ
trị riêng

2
1
aˆ 0 riêng
n  1,
n
aˆ 0 của N□ tỉ
ứng với
lệ
với
trị riêng
véctơ
n2,
riêng
2
… ứng
□
của N tỉ
với trị
lệ
với
riêng n
véctơ
riêng
n .
của N□
Vì H□   aˆ  aˆ  1 nên:


1   N□
 








1

24

2
2


0 là H□ ứng
véctơ với trị
riêng riêng
của
1 là H□ ứng
véctơ với trị
riêng riêng
của
n là H□ ứng
véctơ với trị
riêng riêng
của

lượng
vào trạng thái 0 …


E0  
2
E1  1
(1  ) , …
2

E  (n 

1

n

).
2

Vậy các trạng thái dừng của dao động
tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các
giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng
giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng
cùng một lượng tử năng lượng  :
● Trạng thái 0 có E0 .
năng lượng thấp
E0  có thể
nhất là
 xem là
● Trạng thái tiếp
theo 1
với năng lượng
kết quả của việc thêm

một lượng tử năng lượng


vào
trạng

thái 0 .
● Trạng thái tiếp
theo 2
với năng lượng

E 1    E 0 
2 có

thể được xem là kết quả của việc
thêm một lượng tử năng lượng
 vào trạng thái 1 , cũng có
nghĩa là thêm hai lượng tử năng
25

