LèI CÁM ƠN

Em xin chân thành cám ơn Thay giáo Nguyen Văn Tuyên đã t¾n
tình hưóng dan, giúp đõ em trong suot thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n.
Em xin chân thành cám ơn các thay, các cô trong to giái tíchkhoa Toán, trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 đã tao moi đieu ki¾n
giúp đõ em hoàn thành khóa lu¾n này.
Em xin chân thành cám ơn gia đình và ban bè đã tao moi đieu
ki¾n thu¾n loi cho em trong quá trình thnc hi¾n khóa lu¾n.
Em xin chân thành cám ơn!

Hà N®i, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Tran Th% Phưong

i


LèI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna Thay Nguyen Văn
Tuyên khóa lu¾n tot nghi¾p “Bat đang thNc bien phân trong
không gian Hilbert” đưoc hoàn thành không trùng vói bat kỳ đe tài
nào khác.
Trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n, em đã thùa ke nhung
thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Tran Th% Phưong

ii


Mnc lnc

Má đau
1

1

Bat đang thNc bien phân trong Rn

3

1.1. Các đ%nh lý điem bat đ®ng . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Đ¾c trưng cna hình chieu trên m®t t¾p loi . . . . . . . .

5

1.3. Đ%nh lý thú nhat ve bat đang thúc bien phân

8

. . . . . .

1.4. Bat đang thúc bien phân.........................................................11

1.5. M®t so bài toán dan tói bat đang thúc bien phân..................14
2 Bat đang thNc bien phân trong không gian Hilbert

18

2.1. Dang song tuyen tính................................................................. 18
2.2. Sn ton tai nghi¾m...................................................................... 19
2.3. Sn ch¾t cut.................................................................................23
2.4. Không gian Solobev và bài toán biên........................................24
2.5. Nguyên lý cnc đai yeu............................................................... 31
Ket lu¾n

37

Tài li¾u tham kháo

38

iii


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Bài toán bat đang thúc bien phân (Variational Inequality Problem) ra đòi vào nhung năm 1960, gan lien vói các công trình cna G.
Stampacchia, J. L. Lions và G. Fichera [24, 30]. Hi¾n nay, bài toán bat
đang thúc bien phân đã đưoc phát trien thành nhieu dang khác nhau,
ví du: bat đang thúc bien phân vector, tna bat đang thúc bien phân, giá
bat đang thúc bien phân, bat đang thúc bien phân an, bat đang thúc
bien phân suy r®ng ...
Bài toán này thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc vì

các mô hình cna nó chúa nhieu bài toán quan trong cna m®t so lĩnh
vnc khác nhau trong toán hoc như là trưòng hop riêng, ví du: toi ưu
hóa, lý thuyet trò chơi, cân bang Nash, cân bang mang giao thông ...
Trong nhung năm gan đây, bài toán mó r®ng cna bài toán bat
đang thúc bien phân là bài toán cân bang cũng đã thu hút đưoc sn
quan tâm cna nhieu ngưòi, chang han: A. N. Iusem, W. Sosa [14], P. Q.
Khanh và
N. X. Hai [6], M. Bianchi và S. Schaible [20] ...
Trong khóa lu¾n này, chúng tôi h¾ thong lai m®t so ket quá
liên quan tói bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert. Khóa
lu¾n đưoc chia thành hai chương. Chương 1 h¾ thong lai các ket quá
ve bat đang thúc bien phân trên không gian Rn và m®t so bài toán dan
tói bat đang thúc bien phân. Chương 2 trình bày các ket quá liên quan
đen bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert và moi liên h¾
cna bài toán này vói m®t so bài toán khác, ví du: bài toán biên,
nguyên lý cnc đai yeu ...


2

2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu ve bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert
và moi liên h¾ vói m®t so bài toán khác.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu các ket quá cơ bán ve bat đang thúc bien phân và các
bài toán dan đen bat đang thúc bien phân.
Nghiên cúu ve bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert
và moi liên h¾ vói m®t so bài toán khác.


4. Phương pháp nghiên cNu
Tra cúu tài li¾u, tong hop và theo sn chí đao cna ngưòi hưóng
dan đe hoàn thành muc tiêu đe ra.

5. Cau trúc khoá lu¾n
Ngoài phan mó đau, ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham kháo thì
khoá lu¾n bao gom 2 chương:
Chương 1: Bat đang thúc bien phân trong Rn.
Chương 2: Bat đang thúc bien phân trong không gian Hn.


Chương 1
Bat đang thNc bien phân trong Rn
1.1.

Các đ%nh lý điem bat đ®ng
Lý thuyet điem bat đ®ng là m®t nhánh cna toán hoc, nhieu van

đe cna giái tích có the đưoc giái quyet bang các đ%nh lý ve điem bat
đ®ng. M®t so ket quá ve ton tai điem bat đ®ng noi tieng đã xuat hi¾n
tù đau the ký XX, trong đó phái ke đen nguyên lý điem bat đ®ng
Brouwer(1912) và nguyên lý ánh xa co Banach(1922). Các ket
quá kinh đien này đã đưoc mó r®ng ra các lóp ánh xa và không gian
khác nhau.
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho F là m®t ánh xa tù t¾p A vào chính nó, F : A →
A. Điem x ∈ A đưoc goi là điem bat đ®ng cna F neu F (x) = x.
Nói cách khác, các điem bat đ®ng cna F là nghi¾m cna phương
trình F (x) = x.
Đ%nh nghĩa 1.2. Cho (S, d) là không gian metric. Ánh xa F : S → S
đưoc goi là m®t ánh xa co neu ton tai hang so a ∈ [0, 1) sao cho

d(F (x), F (y)) ≤ ad(x, y),
∈ S.
xa F đưoc goi là ánh xa không giãn.

x, y

(1.1) Khi a = 1, thì ánh


7

Đ%nh lý 1.1. Cho S là không gian metric đay và F : S → S là m®t ánh
xa co. Khi đó, ánh xa F có ít nhat m®t điem bat đ®ng.
Chúng minh. Lay x0 ∈ S bat kỳ và l¾p dãy xn = F (xn−1) ∀n = 1, 2,
...
Ta có:
d(x2, x1) = d(F (x1), F (x0)) ≤ ad(x1, x0) = ad(F (x0, x0))
d(x3, x2) = d(F (x2), F (x1)) ≤ ad(x2, x2) ≤ a2d(F (x0, x0))
.....................................................................
n
d(xn+1, xn) = d(F (xn), F (xn−1)) ≤ ad(xn, xn−1) d(F (x0, x0)),

≤a
vói n = 1, 2, ...
Vói bat kỳ n, p = 1, 2, ... sú dung bat đang thúc tam giác liên
tiep
p lan ta đưoc
p

p


.

d(xn+p, xn) ≤
.
(x0, x0))
a
k=1
n

k=1
n+p

=a −a
1−a

Vì 0

n+k−1

d(xn+k, xn+k−1) ≤ d(F

a < 1 nên lim
≤
n→∞

d(F (x0), x0) an
d(F (x0),
≤
1−

x0).
a
an = 0. Suy ra d(xn+p,
lim
x
n→∞ n

) = 0 ∀p ∈

N∗ ,
xn = x¯ ∈ S. Ta có

nghĩa là dãy {xn} là dãy cơ bán.
Vì S là không gian đay nên ton tai lim
n→∞

d(F (x¯), x¯) ≤ d(F (x¯), xn ) + d(xn , x¯) = d(F (x¯), F (xn−1 ))
+ d(xn , x¯)
≤ ad(xn−1 , x¯) + d(xn , x¯),

∀n = 1, 2, ...


8

cho n → ∞ ta đưoc d(F (x¯), x¯) = 0 hay F x¯, nghĩa là là điem
x¯
(x¯) =
bat đ®ng cna ánh xa F .
*ChNng minh duy nhat



Giá sú ton tai điem x¯r ∈ S cũng là điem bat đ®ng cna ánh xa F
Ta có

.

d(x¯, x¯r ) = d(F x¯, F x¯r ) ≤ ad(x¯, x¯r ).
⇒ (1 − a)d(x¯, x¯r ) ≤ 0 vì
0 ≤ a < 1 ⇒ d(x¯, x¯r ) = 0.
Suy ra: x¯ = x¯r .
Vì v¾y x¯ là điem bat đ®ng duy nhat cna F .
Chú ý rang đ%nh lý không còn đúng khi F là ánh xa không giãn.
Chang han, m®t phép t%nh tien tù không gian tuyen tính vào chính nó
là m®t ánh xa không giãn và nó cũng không có điem bat đ®ng.
Đ%nh lý.1.2. (Đ%nh lý Brouwer) Cho F là ánh xa liên tnc tù hình
cau
⊂ Rn vào chính nó. Khi đó, ánh xa F có điem bat đ®ng
duy đóng
nhat.

1.2.

Đ¾c trưng cúa hình chieu trên m®t t¾p loi
Trong phan này, chúng ta xét phép chieu lên m®t t¾p loi trong

không gian Hilbert H trên trưòng so thnc. Chú ý rang, các chúng minh
tương tn như trong trưòng hop H là không gian huu han chieu.
Bo đe 1.1. Giá sú K là m®t t¾p con loi đóng cúa không gian Hilbert H.
Khi đó, vói moi x ∈ H se ton tai duy nhat y ∈ K sao cho:

"x − y" = inf "x − η".

(1.2)

η∈K

Chúng minh. Kí hi¾u d := inf "η − x". Theo tính chat cna infimum
ton
η∈K

tai dãy {ηk} ∈ K sao cho
lim "ηk − x" = d = inf "η − x".
k→∞

η∈K

(1.3)


"x + y"2 + "x −
y"

Ta có

, x, y ∈ H.
= 2"x +
2
2
2"y"
"


.

Do đó, ta có

2

"x − ηk" + "x − ηh

"ηk − ηh"2 =
2

2

− 4"x − 1/2(ηk +
ηh)"

.

2

. (1.4)

"
Vì K là t¾p loi nên 1/2(ηk + ηh) ∈ K và
2

d2 ≤ "x − 1/2(ηk + η"h)

.


Do đó
2

"ηk − ηh" ≤ 2"x −

2

+ "x − ηh − 4d2.
2

ηk"

"

Tù (1.3) ta có: lim

"ηk − ηh" = 0.
Vì H đay nên có y ∈ K mà lim ηk = y.
k,h→∞

k→∞

Hơn nua

"x − y" = lim "x − ηk" = d.
k→∞

De thay y là duy nhat.
Th¾t v¾y, giá sú có 2 phan tú y, yr ∈ K thóa mãn (1.2). Trong (1.4) ta

thay ηk bói y, ηh bói yr đưoc:
r

r 2

2

"y − y " = 2"x −
y"

+ 2"x −
y"

r

2

− 4"x − 1/2(y + y )"

≤ 4d2 − 4d2 = 0.
Hay y =
yr .
Nh¾n xét 1.1. Các điem thóa mãn (1.2) đưoc goi là chân hình chieu
cna x lên K và kí hi¾u là P rKx. Ta viet: y = P rK x.
Chú ý: P rK x = x, ∀x ∈ K.
Đ%nh lý 1.3. Giá sú K là m®t t¾p con loi, đóng cúa không gian Hilbert


H. Khi đó, y là chân hình chieu cúa x trên K khi và chs khi:
{y ∈ K : (y, η − y) ≥ (x, η − y)

K} .
(1.5)

∀η ∈


Chúng minh. Giá sú x ∈ H và y = P rK x. Vì K là t¾p loi nên:
(1 − t)y + tη = y + t(η − y) ∈ K ∀η ∈ K, 0 ≤ t ≤ 1,
và do (1.2) hàm
Φ(t) = "x − y − t(η − " = "x − y − 2t(x − y, η − y)
y)

2

2

2

"η − y"

2
" +t

đat giá tr% nhó nhat tai t = 0. Suy ra Φr(0) ≥ 0, có nghĩa là:
−2(x − y, η − y) ≥ 0 ⇔ (x − y, η − y) ≤ 0 ∀η ∈ K,
ha
y

(y, η − y) ≥ (x, η − y) ∀η ∈ K.
Ngưoc lai, neu y ∈ K mà (y, η − y) ≥ (x, η − y) ∀η ∈ K. Khi đó:

2

0 ≤ (y − x, (η − x) + (x − y)) ≤ −"x − y" + (y − x, η −
x).
Do đó:

"x − y"2 ≤ (y − x, η − x) ≤ "x − y""η − x".

Suy ra:
"x − y" ≤ "η − x" ∀η ∈
Do đó

K.
"x − y" = inf "x − η" .
η∈K

H¾ quá 1.1. Giá sú K là m®t t¾p loi cúa không gian Hilbert H. Khi đó
toán tú P rK là không giãn, có nghĩa là
"P rK x − P rK xr " ≤ "x − xr", vói moi x, xr ∈ H.

(1.6)

Chúng minh. Giá sú x, xr ∈ H sao cho y = P rK x và yr = P rK xr . Khi
đó,
y ∈ K : (y, η − y) ≥ (x, η − y), η ∈ K (1),


yr ∈ K : (yr, η − yr ) ≥ (xr, η − yr),

η ∈ K (2).


Trong bat đang thúc (1) ta chon η = yr , trong bat đang thúc (2) ta chon
η = y. Ta đưoc:
2

"y − yr" = (y − yr, y − yr ) ≤ (x − xr, y − yr ) ≤ "x − xr""y −
yr".
"y − yr " ≤ "x − xr".

Suy ra

Hay:

"P rK x − P rK xr " ≤ "x −
xr".

Đ%nh lý 1.4. (Brouwer) Cho K ⊂ Rn là m®t t¾p loi compact và ánh
xa: F : K → K liên tnc. Khi đó, ánh xa F có m®t điem bat đ®ng.
.

Chúng minh. Giá sú
là m®t hình cau đóng trong Rn sao cho K
.
⊂ . Tù H¾ quá 1.1, P rK liên tuc và do đó ánh xa
.

.

F ◦ P rK :
→K⊂

.
là m®t ánh xa liên tuc tù
vào chính nó. Khi đó, theo Đ%nh lý 1.2,
F ◦ P rK có điem bat đ®ng duy nhat x
F ◦ P rK (x) = x ∈ K.
Do: P rK x = x nên F (x) = x.

1.3.

Đ%nh lý thN nhat ve bat đang thNc bien phân
Trong các nghiên cúu ve bat đang thúc bien phân chúng ta thưòng

quan tâm tói m®t ánh xa F tù không gian tuyen tính X ho¾c t¾p loi
K ⊂ X vào không gian đoi ngau X r .


Nhac lai rang, không gian đoi ngau (Rn)r cna Rn là không gian tat
cá các hàm tuyen tính có dang
a : Rn → R,

x → (a, x)

xác đ%nh trên Rn. Ánh xa song tuyen tính
(Rn)r × Rn → R, a, x → (a, x)
phép nhân giua (Rn)r và Rn.
M¾t khác, chúng ta luôn có the đong nhat (Rn)r vói Rn. Ví
du, chúng ta có the đong nhat a ∈ (Rn)r vói πa ∈ Rn, như v¾y (a,
x) = (πa, x). Phép đong nhat xác đ%nh là duy nhat, nhưng chúng ta
luôn giá đ%nh rang
(a, x) = (πa, x), a ∈ Rnr, x ∈ Rn

trong đó, π : (Rn)r → Rn là m®t phép đong nhat và (.,.) là tích vô
hưóng trên Rn. Hàm
F : Rn → (Rn)r
là liên tuc neu moi hàm F (x1), F (x2), ..., F (xn) xác đ%nh bói h¾ thúc
.
(F (x), y) = (πF (x), y) = (Fj (x)yj )
j

liên tuc.
Đ%nh lý 1.5. (Đ%nh lý thN nhat ve bat đang thNc bien phân)
Giá sú K ⊂ Rn là m®t t¾p loi compact và ánh xa F : R → (Rn)r liên
tnc. Khi đó, ton tai m®t điem x ∈ K sao cho:
(F (x), y − x) ≥ 0 ∀y ∈ K.

(1.7)

Chúng minh. Chúng minh cna đ%nh lý tương đương vói vi¾c chí ra sn
ton tai:
x ∈ K : (x, y − x) ≥ (x − πF (x), y − x) ∀y ∈ K.


P rKx(I − πF ) : K → K

xét ánh xa

trong đó, I(x) = x liên tuc; do đó theo Đ%nh lý 1.4, có m®t điem
bat đ®ng x ∈ K, cu the là
x = P rKx(I − πF )x.
theo Đ%nh lý 1.3, ta có
(x, y − x) ≥ (x − πF (x), y − x) ∀y ∈ K.

Đieu này tương đương vói
⇔ (F (x), y − x) ≥ 0 vói moi y ∈ K.

H¾ quá 1.2. Cho x là nghi¾m cúa bat đang thúc (1.7) và giá sú rang
x ∈ intK, thì F (x) = 0.
Chúng minh. Neu x ∈ intK, thì các điem (y − x) mô tá m®t lân
c¾n cna x, có nghĩa là, vói moi ξ ∈ Rn ton tai ε ≥ 0 và y ∈ K
sao cho ξ = ε(y − x).
Suy ra
(F (x), ξ) = ε(F (x), y − x) ≥ 0, ∀ξ ∈ Rn,
tù đó, ta có F (x) = 0.
Đ%nh nghĩa 1.3. Cho K là m®t t¾p loi cna Rn và x ∈ ∂K, m®t siêu
phang
(a, y − x) = 0, a ∈ Rnr − {0}
đưoc goi là m®t siêu phang tna cna K neu
(a, y − x) ≥ 0 ∀y ∈ K.


H¾ quá 1.3. Cho x là nghi¾m cúa bat đang thúc (1.7) và giá sú rang
x ∈ ∂K. Khi đó, F (x) xác đ%nh m®t siêu phang tna cúa K, mien là
F (x) ƒ= 0.
Cn the là, hàm afine f (y) = (F (x), y − x) là không âm vói
moi
y ∈ K.

1.4.

Bat đang thNc bien phân

Bài toán 1.1. Cho K là m®t t¾p loi, đóng trong Rn và F : R → (Rn)r

liên tnc, tìm x ∈ K sao cho:
(F (x), y − x) ≥ 0

∀y ∈ K.

Neu t¾p K b% ch¾n, chúng ta đã đưa ra sn ton tai nghi¾m cna Bài
toán 1.1. M¾t khác, cũng phái chú ý rang không phái lúc nào bài toán
này cũng có nghi¾m . Ví du, neu K = R thì bat đang thúc
f (x)(y − x) ≥ 0 ∀y ∈ R
không có nghi¾m vói f (x) = ex.
Đ%nh lý sau đây cho chúng ta đieu ki¾n can và đn cho sn ton tai
.
.
nghi¾m. Cho K là m®t t¾p loi, ta đ¾t : KR = K
∩ R. Trong đó, R
n
là m®t hình cau đóng
bán
kính
R,
tâm
0
∈
R
.
Chúng ta chú ý rang,
n
ánh xa F : K → R r luôn ton tai ít nhat m®t điem
xR ∈ KR : (F (xR), y − xR) ≥ 0 vói moi y ∈ KR,
(1.8)

vói KR ƒ= ∅ đưoc xác đ%nh như trong các đ%nh lý trưóc.
Đ%nh lý 1.6. Cho K ⊂ Rn là m®t t¾p loi, đóng và F : K → Rnr liên
tnc. Đieu ki¾n can và đú đe ton tai nghi¾m cho Bài toán 1.1 là ton tai
m®t R > 0 sao cho m®t nghi¾m xR ∈ KR cúa (1.8) thóa mãn
|xR| < R.

(1.9)


Chúng minh. Rõ ràng, neu ton tai m®t nghi¾m cna Bài toán 1.1, thì x
là nghi¾m cna bat đang thúc (1.8) vói |x| < R.
Bây giò giá sú rang, xR ∈ KR thóa mãn (1.9). Thì xR cũng là
nghi¾m cna Bài toán (1.1). Th¾t v¾y, vì |x|R < R, nên y ∈ K, ω =
xR + ε(y − xR) ∈ KR vói ε ≥ 0 đn nhó. Suy ra
xR ∈ KR ⊂ K : 0 ≤ (F (xR), ω − xR) = ε (F (xR), y − xR) vói
K,

y∈

đieu này có nghĩa là, xR là m®t nghi¾m cna Bài toán 1.1.
H¾ quá 1.4. Cho ánh xa F : K → (Rn)r thóa mãn
(F (x) − F (x0), x −
+∞ khi |x| → +∞, x ∈ K
x0 )
→
|x − x0 |

(1.10)

vói x0 ∈ K nào đó thì ton tai m®t nghi¾m cho Bài toán 1.1.

Chúng minh. Chon H > F (x0) và R > |x0| sao cho:
(F (x) − F (x0), x − x0) ≥ H |x − x0|
K.

vói

|x| ≥ R, x ∈

Do v¾y,
(F (x), x − x0) ≥ H |x − xo| + (F (x), x − x0)
≥ H|x − x0| − |F x0 ||x − x0|
≥ (H − |F (x0)|)(|x| − |x0|) > 0 vói |x| =
R.

Bây giò, cho xR∈ K là nghi¾m cna Bài toán 1.1, ta có
(F (xR), xR − x0) = − (F (xR), x0 − xR) ≤ 0.
Theo (1.11) thì |xR|
=ƒ

R, hay |xR| < R.

(1.11)


Nói chung nghi¾m cna bat đang thúc bien phân là không duy nhat.
Tuy nhiên, có m®t đieu ki¾n rat tn nhiên nhưng lai đám báo đưoc tính


duy nhat. Giá sú rang, x, xr ∈ K là 2 nghi¾m khác nhau cna Bài toán
1.1. Khi đó, ta có

x ∈ K : (F (x), y − x) ≥ 0,

y ∈ K,

xr ∈ K : (F (xr), y − xr) ≥ 0,

y ∈ K.

Bói v¾y, đ¾t y = xr trong bat đang thúc thú nhat, y = x trong bat
đang thúc thú hai và c®ng hai bat đang thúc đó vói nhau, ta đưoc:
(F (x) − F (xr), x − xr) ≤ 0.
Do đó, m®t đieu ki¾n rat tn nhiên cho tính duy nhat là
(F (x) − F (xr), x − xr) > 0 vói x, xr ∈ K, x ƒ= xr. (1.12)
Đ%nh nghĩa 1.4. Đieu ki¾n (1.10) cna H¾ quá 1.4 đưoc goi là m®t
đieu ki¾n búc.
Đ%nh nghĩa 1.5. Bang cách tương tn như (1.12), chúng ta nói ánh xa
F : K → Rnr đơn đi¾u neu
(F (x) − F (xr), x − xr) ≥ 0 ∀x, xr ∈ K.
Ánh xa F đưoc goi là đơn đi¾u ch¾t neu đang thúc xáy ra chí khi x =
xr, có nghĩa là, khi đieu ki¾n (1.12) đưoc thóa mãn.
M¾nh đe 1.1. Cho F : K1 → Rnr là ánh xa liên tnc đơn đi¾u ch¾t trên
t¾p loi đóng K1 ⊂ Rn. Cho K2 ⊂ K1 loi, đóng. Giá sú, ton tai
nghi¾m cúa các bài toán
xj ∈ Kj : (F (xj ), y − xj) ≥ 0

vói y ∈ Kj, j = 1, 2, ...

(i) Neu F (x2) = 0 thì x1 = x2.
(ii) Neu F (x2) ƒ= 0 và x1 ƒ= x2 thì siêu phang (F (x2), y − x2) =
0 tách

x1 và K2.


1.5.

M®t so bài toán dan tái bat đang thNc bien
phân
Chúng ta tiep tuc làm sáng tó m®t so bài toán cơ bán liên quan

đen bat đang thúc bien phân. Đ¾c bi¾t, chúng ta đưa ra moi quan h¾
giua các hàm loi và các toán tú đơn đi¾u.
Cho f ∈ C1(K), K ⊂ Rn là m®t t¾p loi, đóng và đ¾t F =
gradf (x). Tai điem này, chúng ta không phân bi¾t giua không gian
Rn và không gian đoi ngau (Rn)r.
M¾nh đe 1.2. Giá sú ton tai m®t điem x ∈ K sao cho
f (x) = min f (y).
y∈K

Khi đó, x là m®t nghi¾m cúa bat đang thúc bien phân
x ∈ K : (F (x), y − x) ≥ 0

∀y ∈ K.

Chúng minh. Neu y ∈ K thì z = x + t(y − x) ∈ K vói 0 ≤ t ≤ 1. Do
đó, hàm
ϕ(t) = f (x + t(y − x)),

0≤t≤1

đat giá tr% nhó nhat tai t = 0.

Suy ra
0 ≤ ϕr(0) = (grad f (x), y − x) = (F (x), y − x).

Đieu ngưoc lai xáy ra khi f là hàm loi.
M¾nh đe 1.3. Giá sú f là hàm loi và điem x thóa mãn
x ∈ K : (F (x), y − x) ≥ 0
Khi đó, f (x) = min f (y).
y∈K

∀y ∈ K.


Chúng minh. Th¾t v¾y, vì f là hàm loi nên
f (y) ≥ f (x) + (F (x), y − x) vói bat kỳ

y ∈ K.

Nhưng, theo giá thiet: (F (x), y − x) ≥ 0, bói v¾y:
f (y) ≥ f (x).

M¾nh đe 1.4. Cho f : E → R1, E ⊂ Rn là hàm khá vi liên tnc, loi (loi
ch¾t). Khi đó, hàm F (x) = gradf (x) đơn đi¾u (đơn đi¾u ch¾t).
Chúng minh. Lay x, xr ∈ E, vì E loi nên
f (x) ≥ f (xr) + (F (x), x − xr)
và
f (xr) ≥ f (x) + (F (x), xr − x)
C®ng theo ve cna hai bat đang thúc trên, ta đưoc:
(F (xr) − F (x), xr − x) ≥ 0 x, xr ∈ E.
Do đó, theo Đ%nh nghĩa 1.5, F đơn đi¾u. Vi¾c chúng minh, hàm F đơn
đi¾u ch¾t khi f loi ch¾t là hoàn toàn tương tn.

Tuy nhiên không phái tat cá các toán tú đơn đi¾u đeu đưoc bat
nguon tù gradient cna các hàm loi. Chang han, ta xét ví du sau:
F (x) = (x1, x2 + ϕ(x1)),

a = (x1, x2) ∈ R2,

trong đó, ϕ là các hàm trơn cna x1 ∈ R1 sao cho:
|ϕ(x1) − ϕ(xr )| ≤ |x1 − xr | ∀x1, xr ∈ R1
1

1

1


+ ϕ(x1) − ϕ(xr )), (x1 − xr , x2 −
xr ))

Ta có:
(F (x) − F (xr), x − xr) = ((x1 − xr ,
x2 − xr
1
r 2

2

1

r


r

1

2

= |x − x | + (x2 − x )(ϕ(x1) − ϕ(x ))
2
r

1

2

1

r 2

≥ |x − x | − |x2 − x | |ϕ(x1) − ϕ(xr )|
≥ |x − xr | 2

2

2

r
− 1/2|x2 − x2r − 1/2|ϕ(x1 ) − ϕ(x
1 )|

|

2

≥ 1/2|x − xr | .
Đieu ki¾n cho m®t toán tú đơn đi¾u đưoc cho bói gradient cna m®t hàm
loi đưoc nghiên cúu sâu hơn bói Rockafellar.
Đe ket thúc chương này, chúng ta đe c¾p đen m®t bài toán
cúa quy hoach toán hoc mà nó có the quy ve bat đang thNc
bien phân.
Bài toán 1.2. (Bài toán bù) Cho
R
n

= {x = (x1, x2, ..., xn)

+

: xi ≥ 0}

∈ Rn

là m®t t¾p loi, đóng cúa không gian Rn và ánh xa F : Rn+ → Rn. Tìm
điem x0 ∈

+

sao cho:
F (x0) ∈
Rn

Rn


Đ%nh lý 1.7. Điem x0 ∈

+

và

(F (x0), x0) = 0.

+

là m®t nghi¾m cúa Bài toán 1.2 khi và chs

Rn
kh
i

x0 ∈
Rn

+

: (F (x0), y − x0) ≥ 0

vói moiy ∈ Rn .
+

Chúng minh. Đau tiên chú ý rang, neu x0 là m®t nghi¾m cna cna Bài
toán bù 1.2, thì (F (x0), y) ≥ 0 vói bat kỳ y ∈ Rn , do đó
+

(F (x0), y − x0) = (F (x0), y) − (F (x0), x0) = (F (x0), y) ≥ 0.


Ngưoc lai, giá sú rang, x0 ∈

+

là m®t nghi¾m cna bat đang thúc

Rn
bien phân. Khi đó,
y = x0 + ei, ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (1 ó v% trí thú i)


là m®t phan tú cna Rn+, vì v¾y
0 ≤ (F (x0), x0 + ei − x0) = (F (x)0, ei) = (Fi(x0))
hay là (F (x0)) ∈ Rn . Do đó, vì y = 0 ∈ nên
Rn
+

+

(F (x0), x0) ≤ 0.
Nhưng x0, F (x0) ∈ +
Rn , suy ra
(F (x0), x0) ≥ 0.
Bói
v¾y

(F (x0), x0) = 0.



Chương 2
Bat đang thNc bien phân trong
không gian Hilbert
2.1.

Dang song tuyen tính
Nhieu câu hói thú v% trong lý thuyet cna bat đang thúc bien phân

có the đưoc xây dnng theo quan điem cna các dang song tuyen tính trên
không gian Hilbert. Lý thuyet này là m®t sn tong quát hóa cna lý
thuyet bien phân cna các bài toán biên cna phương trình Eliptic tuyen
tính.
Cho H là m®t không gian Hilbert trên trưòng so thnc và Hr là
không gian đoi ngau cna nó. Chúng ta thiet l¾p tích trong (.,.) và chuan
|| . || và
H × Hr → R
f, x → (f, x)
là phép nhân giua H và Hr.
Cho a(u, v) là m®t dang song tuyen tính (thnc) trên H, có nghĩa
là, a : H × H → R liên tuc và tuyen tính theo tùng bien u, v. M®t
dang song tuyen tính a(u, v) là đoi xúng neu
a(u, v) = a(v, u) vói moiu, v ∈ H.