PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2017.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

1 / 96


NỘI DUNG BÀI HỌC

1

ĐẶT VẤN ĐỀ

2

KHOẢNG CÁCH LY NGHIỆM

3

PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

4

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

5

PHƯƠNG PHÁP NEWTON

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

2 / 96


Đặt vấn đề

ĐẶT VẤN ĐỀ

Mục đích của chương này là tìm nghiệm
gần đúng của phương trình
(1)

f (x) = 0

với f (x) là hàm liên tục trên một khoảng
đóng hay mở nào đó.


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

3 / 96


Đặt vấn đề

Những vấn đề khó khăn khi giải pt (1)
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0, (an = 0), với
n = 1, 2 ta có công thức tính nghiệm một cách đơn
giản. Với n = 3, 4 thì công thức tìm nghiệm cũng
khá phức tạp. Còn với n 5 thì không có công

thức tìm nghiệm.
Mặt khác, khi f (x) = 0 là phương trình siêu việt, ví
dụ: cos x − 5x = 0 thì không có công thức tìm
nghiệm.
Những hệ số của phương trình (1) ta chỉ biết một
cách gần đúng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.


4 / 96


Đặt vấn đề

Khi đó việc xác định chính xác nghiệm của
phương trình (1) không có ý nghĩa. Do đó
việc tìm những phương pháp giải gần đúng
phương trình (1) cũng như đánh giá mức độ
chính xác của nghiệm gần đúng tìm được
có một vai trò quan trọng.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

5 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Định nghĩa

KHOẢNG CÁCH LY NGHIỆM

Nghiệm của phương trình (1) là giá trị x sao
cho f (x) = 0. Giả sử thêm rằng phương trình
(1) chỉ có nghiệm thực cô lập, nghĩa là với

mỗi nghiệm thực của phương trình (1) tồn
tại một miền lân cận không chứa những
nghiệm thực khác của phương trình (1).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

6 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 2.1
Khoảng đóng [a, b] (hoặc khoảng mở (a, b))
mà trên đó tồn tại duy nhất 1 nghiệm của
phương trình (1) được gọi là khoảng cách ly
nghiệm.
Việc tính nghiệm thực gần đúng của phương trình
(1) được tiến hành theo 2 bước sau:
1
Tìm tất cả các khoảng cách ly nghiệm của
phương trình (1).
2
Trong từng khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm
gần đúng của phương trình bằng một phương

pháp nào đó với sai số cho trước.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

7 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Định lý

KHOẢNG CÁCH LY NGHIỆM

ĐỊNH LÝ 2.1
Nếu hàm số f (x) liên tục trong (a, b) và
f (a).f (b) < 0, f (x) tồn tại và giữ dấu không
đổi trong (a, b) thì trong (a, b) chỉ có 1 nghiệm
thực x duy nhất của phương trình (1).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

8 / 96



Khoảng cách ly nghiệm

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Định lý

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

9 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Phương pháp tìm những khoảng cách ly nghiệm

VÍ DỤ 2.1
Tìm những khoảng cách ly nghiệm của
phương trình f (x) = x3 − 6x + 2 = 0
Giải.

x −∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞
f (x) −∞ -7 6 7 2 -3 -2 11 +∞

Phương trình có nghiệm nằm trong các
khoảng [−3, −2]; [0, 1]; [2, 3]. Vì phương trình
bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên mỗi đoạn trên
chứa một nghiệm duy nhất. Vậy chúng là

khoảng cách ly nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

10 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Phương pháp tìm những khoảng cách ly nghiệm

Bấm máy.
X3 −6∗X +2

- Calc X = −3, −2, . . . , 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

11 / 96


Khoảng cách ly nghiệm


Phương pháp tìm những khoảng cách ly nghiệm

VÍ DỤ 2.2
Tìm những khoảng cách ly nghiệm của
phương trình f (x) = x5 + x − 12 = 0
Giải. Ta có
f (x) = 5x4 + 1 > 0, ∀x ∈ R

nên f (x) đơn điệu tăng. Mặt khác,
f (0) < 0, f (2) > 0

nên f (x) = 0 có duy nhất 1 nghiệm trong
[0, 2].
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

12 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Phương pháp tìm những khoảng cách ly nghiệm

VÍ DỤ 2.3
Tìm những khoảng cách ly nghiệm của
phương trình f (x) = 2x − 5x − 3 = 0
Giải. Ta có f


(x) = 2x ln 2 − 5. Do đó f (x) = 0 ⇔ 2x =

⇔ xlg2 = lg5 − lg(ln2) ⇔ x =

lg5 − lg(ln2)
≈ 2.8507
lg2

5
ln 2

x
−∞ -1 0 1 2
3 4 5 +∞
f (x) +∞ 2.5 -2 -6 -9 -10 -7 4 +∞

Vậy khoảng cách ly nghiệm của phương trình đã cho
là [−1, 0] và [4, 5].
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

13 / 96


Khoảng cách ly nghiệm


Phương pháp tìm những khoảng cách ly nghiệm

VÍ DỤ 2.4
Tìm những khoảng cách ly nghiệm của
phương trình f (x) = x2 − sin πx = 0.
Giải.
f (x) = 0 ⇔ x2 = sin πx.

Vẽ đồ thị 2 hàm y = x2 và y = sin πx.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

14 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Phương pháp tìm những khoảng cách ly nghiệm

Phương trình có 1 nghiệm x = 0 và 1 nghiệm

1
, 1 . Vậy khoảng cách ly
2
nghiệm của f (x) = 0 là − 21 , 12 ; 12 , 1 .


nằm trong đoạn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

15 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Sai số tổng quát

SAI SỐ TỔNG QUÁT

ĐỊNH LÝ 2.2
Giả sử hàm f (x) liên tục trên [a, b], khả vi
trong (a, b). Nếu x∗ là nghiệm gần đúng của
nghiệm chính xác x trong [a, b] và
m > 0, ∀x ∈ [a, b],

|f (x)|

thì công thức đánh giá sai số tổng quát là
∗

|x − x|
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)


|f (x∗ )|
m

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

16 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Sai số tổng quát

VÍ DỤ 2.5
Xét phương trình f (x) = x3 − 5x2 + 12 = 0 trong
đoạn [−2, −1] có nghiệm gần đúng x∗ = −1.37.
Khi đó
|f (x)| = |3x2 − 10x|

13 = m > 0, ∀x ∈ [−2, −1].

Do đó
|x∗ − x|

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

|f (−1.37)|
≈ 0.0034.

13
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

17 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Bài tập

BÀI TẬP 5.1
Tìm những khoảng cách ly nghiệm thực của
phương trình sau f (x) = x4 − 4x + 1 = 0
Giải. Ta có f (x) = 4x3 − 4. Do đó
f (x) = 0 ⇔ x = 1
x −∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞
f (x) +∞ 94 25 6 1 -2 9 70 +∞

Vậy khoảng cách ly nghiệm của phương
trình đã cho là [0, 1] và [1, 2].
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

18 / 96



Khoảng cách ly nghiệm

Bài tập

BÀI TẬP 5.2
Tìm những khoảng cách ly nghiệm thực của
phương trình sau f (x) = 1 + x − e−2x = 0
Giải. Ta có
f (x) = 1 + 2e−2x > 0, ∀x ∈ R.

Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm
duy nhất. Mặt khác
f (0) = 0, f (−1) = −e2 < 0

nên khoảng cách ly nghiệm là [−1, 0]
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

19 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Bài tập

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


BÀI TẬP 5.3
Phương trình f (x) = 5x3 + 12x − 5 = 0 trên
khoảng cách ly nghiệm [0, 1] có nghiệm gần
đúng là x∗ = 0.40. Sai số nhỏ nhất theo công
thức đánh giá sai số tổng quát của x∗ là
1

2

3

0.0100
0.0102
0.0104

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

4

0.0106

5

Các câu kia sai.

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.


20 / 96


Khoảng cách ly nghiệm

Bài tập

Công thức đánh giá sai số tổng quát

|f (x∗ )|
, trong đó,
|x − x|
m
|f (x)| = |15x2 + 12| min{|f (0)|, |f (1)|} = 12
⇒ m = 12.
d
Tìm min{|f (0)|, |f (1)|}. Bấm máy. Shift- −
dx
chọn X = 0 và X = 1. So sánh |f (0)|, |f (1)|. Ta
có |f (x)| min{|f (0)|, |f (1)|} = |f (0)| = m.
|f (x∗ )| |f (0.40)|
Sai số nhỏ nhất là
=
= 0.01 ⇒
m
12
∗

Câu 1.


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

21 / 96


Phương pháp chia đôi

Nội dung phương pháp

NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của
phương trình (1). Nội dung của phương
pháp chia đôi như sau:
Giả sử phương trình (1) có nghiệm chính
xác x trong khoảng cách ly nghiệm [a, b]
và f (a).f (b) < 0. Đặt a0 = a, b0 = b,
d0 = b0 − a0 = b − a và x0 là điểm giữa của
đoạn [a, b].
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

22 / 96



Phương pháp chia đôi

Nội dung phương pháp

Nếu f (x0) = 0 thì x0 chính là nghiệm và
dừng lại. Ngược lại nếu f (x0).f (a0) < 0 thì
đặt a1 = a0, b1 = x0. Nếu f (x0)f (b0) < 0 thì
đặt a1 = x0, b1 = b0. Như vậy, ta được
[a1 , b1 ] ⊂ [a0 , b0 ] và d1 = b1 − a1 =

d0 b − a
=
.
2
2

Tiếp tục quá trình chia đôi đối với
[a1 , b1 ], [a2 , b2 ], . . . , [an−1 , bn−1 ] n lần, ta được
n
an x bn , an xn = an +b
bn
2
f (an ).f (bn ) < 0, dn = bn − an = b−a
2n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN


TP. HCM — 2017.

23 / 96


Phương pháp chia đôi

Sự hội tụ của phương pháp

SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

24 / 96


Phương pháp chia đôi

Sự hội tụ của phương pháp

Vì dãy (an) là dãy không giảm và bị chặn
trên bởi b, còn (bn) là dãy không tăng và bị
chặn dưới bởi a nên khi n → +∞ ta được
lim an = lim bn = x, [f (x)]2

n→+∞


n→+∞

0.

Vậy f (x) = 0 hay x là nghiệm của phương
trình (1).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TP. HCM — 2017.

25 / 96