LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian học tập tại khoa Toán - trƣờng ĐHSP Hà Nội 2, đƣợc sự
dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu đƣợc nhiều tri thức,
kinh nghiệm và phƣơng pháp học tập mới, bƣớc đầu làm quen với việc nghiên
cứu khoa học.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy, các cô trong
khoa Toán - những ngƣời đã tận tình dạy dỗ, dìu dắt tôi trong suốt bốn năm học
vừa qua, cũng nhƣ đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Huy Hƣng – ngƣời
đã trực tiếp hƣớng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời
gian tôi thực hiện khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Hoàng Thị Tuyết Nhung


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu, đồng thời đƣợc sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô trong
khoa Toán, đặc biệt là sự hƣớng dẫn nhiệt tình của Thạc sĩ Nguyễn Huy Hƣng.
Trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận tôi có tham khảo tài liệu của
một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Tôi xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của
bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010
Ngƣời cam đoan
Hoàng Thị Tuyết Nhung

-2-


MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU……………………………………………………………………..3
B. NỘI DUNG……………………………………………………………...........5
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………........5
1.1. Vành…………………………………………………………....5
1.2. Miền nguyên và trƣờng………………………………………...8
1.3. Một số mở rộng trƣờng…...……………………………………
9 1.4. Độc lập đại số…………….
…………………………………..10
1.5. Không gian vecto và ánh xạ tuyến tính………………………11
CHƢƠNG 2. CƠ SỞ SIÊU VIỆT…………….
………………………….14 2.1. Định nghĩa……...
…………………………………………….14
2.1.1. Cơ sở siêu việt………..…………………………………..14
2.1.2. Bậc siêu việt (số chiều)…..……………………………….14
2.2. Định lí………………………………………………………...14
2.3. Định lí Nơte về sự chuẩn hóa…………...……………………16
CHƢƠNG 3. ĐỊNH LÍ HILBERT VỀ CÁC NGHIỆM…………………19
3.1. Định nghĩa nghiệm, tập đại số…..……………………………19
3.2. Định lí Hilbert về các nghiệm………...………………………19
3.2.1. Định lí về sự mở rộng các đồng cấu…...…………………19
3.2.2. Một số hệ quả của định lí về sự mở rộng các đồng cấu.
Định lí Hilbert về các nghiệm……………………………21



CHƢƠNG 4. CÁC TẬP ĐẠI SỐ…………..……………………………
24 4.1. Kiến thức mở đầu……………….
……………………………24
4.2. Tập đại số bất khả quy…………..……………………………2
4.2.1. Định nghĩa…………..……………………………………25
4.2.2. Định lí……………...…………………………………….25
4.3. Phổ. Tập mở, tập đóng. Điểm của phổ……………………….27
CHƢƠNG 5. MỘT SỐ MỞ RỘNG………….
………………………….30
5.1. Mở rộng tự do tuyến tính………………..……………………30
5.1.1. Tự do tuyến tính…………………..………………………30
5.1.2. Độc lập đại số…………………….………………………34
5.1.3. Mối quan hệ giữa sự tự do tuyến tính và độc lập đại số.…35
5.2. Mở rộng tách đƣợc……………………………………………
36 5.2.1. Định nghĩa……………..…………………………………
36
5.2.2. Điều kiện tƣơng đƣơng của mở rộng tách đƣợc….………
36
5.2.3. Tiêu chuẩn Mắclên và các hệ quả trực tiếp của nó….……38
5.2.4. Kết quả của việc khảo sát tính tách đƣợc…………...……40
CHƢƠNG 6. PHÉP LẤY ĐẠO HÀM…………..………………………42
6.1. Định nghĩa……………..……………………………………..42
6.2. Bài toán mở rộng phép lấy đạo hàm…………….……………42
6.3. Phép lấy đạo hàm với mở rộng hữu hạn sinh và mở rộng
tách đƣợc đại số…………………….......................................44
6.4. Không gian vecto các phép lấy đạo hàm…………..…………47
C. KẾT LUẬN…………………...…………………………………………….50
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………51



A. MỞ ĐẦU

Toán học là môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có
nguồn gốc thực tiễn. Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài ngƣời, Toán học
ngày càng phát triển và chia thành hai lĩnh vực: Toán học lí thuyết và Toán học
ứng dụng. Trong đó, nói đến Toán học lí thuyết không thể không nói đến lí
thuyết số - ngành Toán học có lịch sử phát triển lâu đời.
Cùng với sự phát triển của Toán học hiện đại đòi hỏi chúng ta cần phải tìm
ra ngày càng nhiều hệ thống số mới cũng nhƣ các phƣơng pháp mở rộng các
trƣờng số đã biết. Một trong các mở rộng đó là mở rộng siêu việt. Tuy nhiên cho
đến nay, ở nƣớc ta, tài liệu về loại mở rộng này chƣa nhiều. Dƣới góc độ một
sinh viên Sƣ phạm chuyên ngành Toán, trong khuôn khổ một khóa luận tốt
nghiệp, tôi xin mạnh dạn chọn đề tài “mở rộng siêu việt”. Đề tài đƣợc sự hƣớng
dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của Thạc sĩ Nguyễn Huy Hƣng.
Nội dung khóa luận gồm 6 chƣơng:
Chƣơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Chƣơng 2. Cơ sở siêu việt
Chƣơng 3. Định lí Hilbert về các nghiệm
Chƣơng 4. Các tập đại số
Chƣơng 5. Một số mở rộng
Chƣơng 6. Phép lấy đạo hàm


Mặc dù rất cố gắng, nhƣng do thời gian nghiên cứu cũng nhƣ vốn kiến
thức và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế, nên trong luận văn của tôi không tránh
khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của các
thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận này đƣợc hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Hoàng Thị Tuyết Nhung


B.NỘI DUNG
Chương 1. MỘT

SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Vành
1.1.1. Định nghĩa vành:
Tập hợp R đƣợc gọi là vành nếu trên đó có hai phép toán hai ngôi mà ta ký
hiệu là "+" (phép cộng) và "." (phép nhân) thỏa mãn các điều kiện sau:
a, R là một nhóm giao hoán đối với phép cộng, nghĩa là:
+Phép cộng có tính kết hợp:
x, y, z R :  x y z x y z



+Phép cộng có phần tử trung hòa, nghĩa là:
0 R, x R : 0 x x 0 x
+Mọi phần tử của R có phần tử đối:

x R, xR : x xxx 0
+Phép cộng có tính giao hoán, nghĩa là :

x, y R : x y y x
b, Phép nhân có tính phân phối với phép cộng, nghĩa là

x, y, z R : x.( y z) x.y x.z
c, Phép nhân có tính kết hợp, nghĩa là:


x, y, z R : (x.y).z x.( y.z)
d, Phép nhân có phần tử đơn vị, nghĩa là:

1R, x R :1.x x.1 x


1.1.2. Vành con
*Tập con A của vành R đƣợc gọi là vành con của R nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:

R, 

i, A là một nhóm con của nhóm cộng

ii, x, y A xy A
iii, 1A
*Các vành con đặc biệt:
+Tập gồm một phần tử {0} và chính R là vành con của R
+Cho phần tử a R . Tập các phần tử dạng n.a, n  là vành con
của R.
1.1.3. Đồng cấu vành
Cho R và S là hai vành. Ánh xạ f :R

S đƣợc gọi là đồng cấu vành nếu f

bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R, nghĩa là với mọi a,b R:
f(a + b) =f(a) + f(b)
f(a.b) =f(a).f(b)
f 11


1.1.4. Iđêan. Iđêan nguyên tố. Iđêan tối đại
*Iđêan:
+Vành con A của vành R đƣợc gọi là iđêan trái (hoặc phải) của R nếu x.a

A(

hoặc a.x A) với mọi a A, với mọi x R.
+Vành con A vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của R đƣợc gọi là iđêan của R.
+Giao của họ bất kỳ các iđêan của R là iđêan của R.
+Cho tập con X R. Iđêan nhỏ nhất của R chứa X đƣợc gọi là iđêan sinh bởi X.


*Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại:
Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị, một iđêan X≠A của A gọi là iđêan
tối đại nếu và chỉ nếu các iđêan của A chứa X chính là A và bản thân X.
Một iđêan P≠A của A gọi là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu với u, v thuộc
A mà tích uv thuộc P thì u thuộc P hoặc v thuộc P.
1.1.5. Vành Nơte:
*Định nghĩa:
Vành giao hoán có đơn vị đƣợc gọi là vành Nơte nếu mọi iđêan của nó
đều là hữu hạn sinh, tức là tồn tại một tập sinh hữu hạn phần tử.
*Điều kiện tƣơng đƣơng của môđun Nơte:
-Định nghĩa 1:
Một môđun M trên một vành A đƣợc gọi là thỏa điều kiện dây chuyền
tăng nếu mọi dãy tăng các môđun con M1 M 2 của M đều dừng, nghĩa là
....

tồn tại n sao cho:


M n Mn1 .....
-Định nghĩa 2:
Một môđun M trên một vành A đƣợc gọi là thỏa điều kiện tối đại nếu mọi
họ khác rỗng những môđun con của M, xếp thứ tự theo quan hệ bao hàm, đều có
phần tử tối đại.
-Định lí:
Cho vành A và A-môđun M. Các mệnh đề sau tƣơng đƣơng:
i, M thỏa điều kiện dây chuyền tăng.
ii, M thỏa điều kiện tối đại.
iii, Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.


-Một môđun M trên một vành A đƣợc gọi là môđun Nơte nếu M thỏa mãn một
trong các điều kiện của định lí trên.
1.2. Miền nguyên và trường
1.2.1. Miền nguyên:
Một phần tử

a  của vành R gọi là một ƣớc của không nếu và chỉ nếu
0

tồn tại một phần tử b

của R sao cho ab
hoặc ba 0 .
0
0

Một miền nguyên là một vành giao hoán khác không và không có ƣớc của
không.

1.2.2. Trường:
Trong một vành giao hoán khác không R , một phần tử x

R

gọi là khả

nghịch hay gọi là ƣớc của đơn vị, nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử
y R

sao

cho xy 1 .
Một trƣờng T là một vành giao hoán khác không trong đó mọi phần tử
khác không đều là khả nghịch.
Cho K là một trƣờng với phần tử đơn vị e. Khi đó số tự nhiên nhỏ nhất
n

0

sao cho bộ ne bằng 0 đƣợc gọi là đặc số của trƣờng K. Trong trƣờng hợp

ngƣợc lại ta nói K có đặc số 0.
1.1.5. Địa phương hóa. Trường các thương
*Định nghĩa 1:
Giả sử R là một vành giao hoán, có đơn vị. Tập con S R đƣợc gọi
là một tập con nhân tính nếu S khép kín đối với phép nhân và 1 S.
*Định nghĩa 2:



Giả sử S là một tập con nhân tính của vành giao hoán , có đơn vị R. Khi đó
đƣợc gọi là vành các thƣơng của R theo S. Nó cũng đƣợc gọi là địa

vành S

1
R


phƣơng hóa của R tại R\S, hay địa phƣơng hóa của R bằng cách làm khả nghịch
mọi phần tử của S.
*Định nghĩa 3:
Nếu R là một miền nguyên thì S=R\{0} là một tập con nhân tính, và
là một trƣờng, bởi vì mọi phần tử khác không của nó đều khả

R \
01

R

nghịch. Trƣờng này đƣợc gọi là trƣờng các thƣơng của miền nguyên R.
1.3. Một số mở rộng trường
1.3.1. Mở rộng hữu hạn sinh
Giả sử K là trƣờng con của trƣờng E
và

u1 , u2 ,...,
un

là các phần tử nào đó


thuộc E. Khi đó, trƣờng con bé nhất của E chứa K và chứa tập

u1 , u2 ,...,

un 
đƣợc gọi là mở rộng hữu hạn sinh của K sinh bởi u1 , u2 ,...,
un
K  u1 ,u2 ,...,un .

và kí hiệu bởi

1.3.2. Mở rộng đại số
*Phần tử đại số và phần tử siêu việt:
Giả sử A là vành con của vành V và

x   có dạng:
Ax
f

n
f x a0 a1x ... a
nx

+Phần tử c
V

đƣợc gọi là nghiệm
của



x
f

nếu:

n
anc 0
f  c a0 a1c ...


+Phần tử c
V

g x 
0

đƣợc gọi là đại số trên A nếu c là nghiệm của một đa thức

nào đó của Ax. Trong trƣờng hợp trái lại, c đƣợc gọi là phần tử
siêu

việt trên A .


*Định nghĩa:
Trƣờng mở rộng F của trƣờng K đƣợc gọi là mở rộng đại số nếu mọi
phần tử của nó đều là đại số trên K.
*Định lí:
Cho dãy các mở rộng trƣờng:


K E F
Khi đó F là mở rộng đại số trên K khi và chỉ khi F là đại số trên E và E là đại số
trên K.
1.3.3. Mở rộng tách được
*Định nghĩa:
Đa thức

x  
K x
f

bậc n 1 gọi là tách đƣợc trên trƣờng K nếu nó
có n

nghiệm phân biệt trong một trƣờng nghiệm N K . Trong trƣờng hợp trái
lại f(x)
gọi là không tách đƣợc.
Mở rộng K

F

gọi là tách đƣợc trên K nếu mỗi phần tử trong F đều

thỏa mãn một đa thức tách đƣợc nào đó.
1.4. Độc lập đại số
*Định nghĩa:
Cho F là một mở rộng của trƣờng K . Các phần tử

u1 ,..., un

F

đƣợc gọi

là độc lập đại số trên K nếu không tồn tại đa thức khác không P K

 x1 ,..., xn 
sao cho P u ,..., u 0
 1
.
n 
*Phƣơng trình tổng quát bậc n:


Cho A là trƣờng tất cả các số đại số và
trên A. Khi đó phƣơng trình:

u1,...,
un

là n số thực độc lập đại số


f x x u1 x u2 ...x un 0
đƣợc gọi là phƣơng trình tổng quát bậc n trên A.
*Định lí:
Với mỗi số nguyên n

2


nhóm đối xứng

phƣơng trình tổng quát bậc n có nhóm Galoa là

Sn .

1.5. Không gian vecto và ánh xạ tuyến tính:
1.5.1. Định nghĩa:

  

Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu là:


, , ,...
và

một trƣờng. Giả sử V đƣợc trang bị hai phép toán gồm:
 

 

a, Phép cộng:

: V V V,

b, Phép nhân:





. : K V V,



, 
 ,   .

thỏa mãn những tiên đề sau dây:
( V1 )


( V2 )

(V 3 )

     
  
   





, V

 , ,


     

0 V : 0  0
 , V

 ,
  ,  ,  
 V :   
V, 
 0



     
  ,  , V




( V5 )
  .. , ,
 K, V
 


 

( V4 )

là



(V 6 )
(V 7 )

..,
K, , V


(V 8 )




 






  ,  ,

V
  
1. , V

K, 





Khi đó, V cùng với hai phép toán đã cho đƣợc gọi là một không gian
vecto trên trƣờng hay -không gian vecto (gọi tắt là không gian
vecto).
1.5.2. Cơ sở và số chiều của không gian vecto
*Cơ sở:
-Một hệ vecto của V đƣợc gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vecto của V đều
biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
-Một hệ vecto của V đƣợc gọi là một cơ sở của V nếu mọi vecto của V đều
biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này.
*Số chiều:
-Số vecto trong mỗi cơ sở của -không gian vecto hữu
hạn sinh


V  đƣợc

0

gọi là số chiều của V trên trƣờng và kí hiệu là dimV hay rõ hơn là
dimK V .

Nếu V  0 , ta
dimV 0 .



quy ƣớc
-Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó đƣợc gọi là không gian
vecto vô hạn chiều.
1.5.3. Ánh xạ tuyến tính:

*Định nghĩa:
Cho W và V là hai không gian vecto trên trƣờng K. Ánh xạ f : V

đƣợc gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu:
W
 


f

 f  f   ,



với
 mọi 
 ,  V


và mọi k
K.

f

 kkf ,


1.5.4. Không gian vecto đối ngẫu
*Định nghĩa:
Cho V là K-không gian vecto. Ta gọi


Hom  V, K là không gian vecto đối



ngẫu của V và kí hiệu là V* . Mỗi phần tử của V* đƣợc gọi là một dạng tuyến
tính trên V.
*Mệnh đề:


 là một cơ sở của K-không gian vecto V. Với mỗi
 1,..., n
Giả sử 

j=1,…,n, gọi
*




j

là dạng tuyến tính trên V cho bởi:

*







 



j
*Cơ sở đối ngẫu:
Ta gọi cơ sở



1


i
ij

*

0
*

khi i j

của V nói trong mệnh đề trên là cơ sở đối ngẫu

1
,..., n



với cơ sở 1 ,..., n của không gian vecto V.



i=j



*



khi


Chương 2. CƠ

SỞ SIÊU VIỆT

Từ chương này trở về sau, từ “vành” là chỉ “vành giao hoán”.
2.1. Định nghĩa
2.1.1. Cơ sở siêu việt:
Giả sử K là một mở rộng của trƣờng k và S là một tập con nào đó của
K . S độc lập đại số trên k và tối đại đối với thứ tự bao hàm sẽ đƣợc gọi là cơ sở

siêu việt của trƣờng K trên k .
Nếu S là cơ sở siêu việt của K trên k thì K là trƣờng đại số trên k(S).
2.1.2. Bậc siêu việt (số chiều):
Giả sử K là một mở rộng của trƣờng k, S K . Nếu S là một tập con
độc lập đại số của K và nếu lực lƣợng của S là lớn nhất trong các lực lƣợng của

các tập con đó thì ta sẽ gọi lực lƣợng đó là bậc siêu việt hay số chiều của mở
rộng K trên k.
Ta cần phân biệt giữa các bậc siêu việt hữu hạn với các bậc siêu việt vô
hạn. Quan hệ giữa khái niệm bậc siêu việt và khái niệm độc lập đại số cũng
giống nhƣ khái niệm số chiều và khái niệm độc lập tuyến tính mà ta đã đƣợc
biết.
2.2. Định lí
*Định lí 2.1:
Giả sử K là mở rộng của trƣờng k. Hai cơ sở siêu việt tùy ý của K trên k
có cùng lực lƣợng. Nếu là tập sinh của K trên k
(tức là

K k() ) và S là

một

tập con của , độc lập đại số trên k, thì tồn tại cơ sở siêu việt
trƣờng K
trên k, sao cho S B .

B của


Chứng minh:
Ta chứng minh rằng nếu tồn tại một cơ sở siêu việt hữu hạn thì mọi cơ sở
siêu việt tùy ý khác cũng phải hữu hạn và chứa số phần tử bằng số phần tử của
cơ sở hữu hạn kia.
Ta gọi:
w2, ..., wn 


x1, x2 ,..., xm, m 1

là một cơ sở siêu việt hữu hạn và

 w1 ,

là một cơ sở siêu việt của trƣờng K trên k. Ta đi chứng minh n m . (Vì
sau đó ta có thể dùng sự đối xứng). Thật vậy: Theo giả thiết, tồn tại đa thức
khác không
f1 của m 1 biến với các hệ tử thuộc k, sao cho:

f1 (w1 , x1 , x2 ,..., xm ) 0 .
Mặt khác, theo giả thiết w có mặt
1
trong
cũng có mặt trong

f1 và một số

f1 . Từ đó, suy ra x1 là phần tử đại số

trên

xi , chẳng hạn x1

k(w1, x1, x2 ,..., xm )
.

Theo quy nạp, ta giả thiết rằng sau khi đánh số lại một cách thích hợp
x2 , x3 ,...,

xm

ta có thể tìm các w1, w2 ,..., wr ,(r sao cho K là mở rộng đại số
 n)

trên:
k(w1,..., wr , xr 1,..., xm ) .
Thế thì tồn tại đa thức khác không f của m 1 biến với hệ tử thuộc k sao
cho:

trong đó

wr
1

f1 (wr 1 , w1 ,..., wr , xr 1 ,..., xm ) 0
thực sự có mặt trong f . Vì mọi w độc lập đại số trên k nên có

phần tử x j nào đó
(với

j r 1,..., m ) cũng có mặt trong f . Sau khi đánh
số lại


ta có thể coi j r 1 .
Thế thì

xr là phần tử đại số trên
1


k(w1 ,..., wr 1, xr 2 ,..., xm )


Vì tháp các mở rộng đại số là một mở rộng đại số, nên K là mở rộng đại
số trên k(w ,..., w , x
1
r 1
r 2 ,..., xm ) .
Lặp lại quá trình trên, nếu n
m

thì sau khi thay tất cả các x bởi các w ,

ta phát hiện ra rằng K là mở rộng đại số trên k(w1 ,..., wm ) . Điều đó chứng tỏ
rằng từ n  suy ra đẳng thức n m . Ta có điều phải chứng minh. 
m
Từ định lí trên, ta rút ra một số nhận xét sau:
(i) Hoặc bậc siêu việt hữu hạn và bằng lực lƣợng của một cơ sở siêu việt
tùy ý, hoặc nó vô hạn và lúc đó mọi cơ sở siêu việt là vô hạn.
(ii) Mọi tập các phần tử độc lập đại số có thể bổ sung tới cơ sở siêu việt,
chọn trong tập các phần tử sinh đã cho.
2.3. Định lí Nơte về sự chuẩn hóa
*Định lí 2.2:
Giả sử

k  x1 ,..., xn

là một vành nguyên hữu hạn sinh trên trƣờng k ,


k  x 
trong đó

k
x

có bậc siêu việt r . Thế thì trong k  x tồn tại các phần
tử

y1 ,..., yr

sao cho k x  là vành nguyên trên:
k y k y1, y2 ,...., yr 

Chứng minh:
Nếu
xn 

x1, x2 ,...,

là độc lập đại số thì ta có ngay điều phải chứng minh.


Ngƣợc lại, nếu

x1, x2 ,...,

phụ thuộc đại số thì ta có hệ thức không

xn 

tầm thƣờng:

a x

...x 0
j

n

j1

1

jn

(*)