TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

Pham Th% Lan Anh

Martingale rèi rac và Nng dnng

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP Hfi ĐAI H6C CHÍNH QUY
Chuyên ngành: Toán - úng dnng

Ngưèi hưéng dan:
TS.Tran Minh Tưéc

Hà N®i - 2013


LèI CÃM ƠN
Lòi đau tiên cúa khóa lu¾n này em xin gúi lòi cám ơn sâu sac
tói thay giáo hưóng dan TS.Tran Minh Tưóc. Thay đã giao đe tài và t¾n
tình hưóng dan em trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n này. Nhân d%p
này em xin gúi lòi cám ơn cúa mình tòi toàn b® các thay cô giáo trong
khoa Toán hoc đã giáng day và giúp đõ chúng em trong suot quá trình
hoc t¾p tai khoa. Đong thòi, tôi xin cám ơn các ban trong lóp K35ACN
Toán ngành
Toán úng dnng, khoa Toán hoc đã nhi¾t tình giúp đõ tôi trong quá trình hoc
t¾p tai lóp.
Hà n®i, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Pham Th% Lan Anh

Mnc lnc
LèI Me ĐAU........................................................3
LèI CAM ĐOAN...................................................4
Chương 1. Martingale rèi rac..............................................................5
1.1. Kỳ vong có đieu ki¾n..................................................................5
1.2. Khái ni¾m tương thích và dN báo đưec.........................................8
1.2.1. Các σ -trưòng liên quan tói dãy bien ngau nhiên.........................8

1.3. Thèi điem Markov và thèi điem dNng........................................9
1.3.1. Đ%nh nghĩa...................................................................................9
1.3.2. Các ví dn ve thòi điem dùng........................................................10
1.3.3. Các tính chat cúa thòi điem dùng...............................................11

1.4. Quá trình Martingale rèi rac.....................................................13
1.4.1. Đ%nh nghĩa.................................................................................14
1.4.2. Các ví dn.......................................................................................14
1.4.3. Các tính chat................................................................................15

Chương 2. Úng dnng..........................................................................19
2.1. Bài toán Gambler và Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. Quá trình dNng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..
2.3. Áp dnng Optional Stopping theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
.
2



LèI Me ĐAU
Lý thuyet xác suat và thong kê là m®t b® ph¾n cúa toán hoc, nghiên
cúu các hi¾n tưong ngau nhiên và úng dnng chúng vào thnc te.Các khái
ni¾m dau tiên cúa xác suat do các nhà toán hoc tên tuoi Pierre Fermat (
1601 - 1665 ) và Bailes Pascal ( 1623 - 1662 ) xây dnng tù the ký thú
XVII dna trên vi¾c nghiên cúu các quy lu¾t trong trò chơi may rúi.Sau
gan 3 the ký phát trien, lý thuyet xác suat đã đưoc A.N.Kolmogorov tiên
đe hóa.
Dna trên nen táng đó, nhieu hưóng nghiên cúu chuyên sâu cúa xác
suat đã ra đòi, trong đó có martingale. Đe tài lu¾n văn cúa em
"Martingale ròi rac và úng dnng " là m®t phan nhó thu®c hưóng nghiên
cúu đó. Đe có the hieu và nam bat đưoc m®t so ket quá cúa đe tài, em
xây dnng lu¾n văn theo 2 chương:
Chương 1: Martingale ròi rac.
Chương 2: Úng dnng.
Tuy đã có nhieu co gang nhưng do thòi gian và khá năng có han nên các
van đe trong khóa lu¾n van chưa đưoc trình bày sâu sac và không the
tránh khói có nhung sai sót trong cách trình bày. Mong đưoc sn góp ý
xây dnng cúa thay cô và các ban. Em xin chân thành cám ơn!


LèI CAM ĐOAN
Khóa lu¾n cúa em đưoc hoàn thành dưói sn hưóng dan cúa TS.Tran
Minh Tưóc, cùng vói sn co gang cúa bán thân trong quá trình nghiên cúu
và thnc hi¾n khóa lu¾n, em có tham kháo m®t so tác giá ( đã nêu trong
mnc tài li¾u tham kháo).
Em xin cam đoan nhung ket quá trong khóa lu¾n là ket quá nghiên
cúu cúa bán thân, không trùng vói ket quá cúa các tác giá khác.Neu sai

em xin ch%u hoàn toàn trách nhi¾m.
Hà n®i, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Pham Th% Lan Anh


Chương 1

Martingale rèi rac.
1.1.

Kỳ vong có đieu ki¾n.

Đ%nh nghĩa 1.1. Cho bien ngau nhiên X mà E(|X|) < ∞. Ta đã biet, E(X|
Y ) là kỳ vong có đieu ki¾n cúa X theo Y và đưoc đ%nh nghĩa là hàm cúa
Y khi Y = y bang:

 P(X = x|Y = y) neu X,Y ròi rac,
∑
E[X|Y = y]
x

=

¸

á đó

x fX|Y (x|y)dx


neu X,Y liên tnc và có hàm m¾t đ® f .

¸

f (x,
y)
x fX|Y (x|y) = ¸

f (x, y)dx

f (x, y)
fY (y)

=
Ket quá quan trong:
E[X ] = E[E[X|Y ]].
Sau đó nó đưoc chúng minh và đưoc viet lai là

 E[X |Y = y]P(Y = y) neu X,Y ròi rac,
∑
E[X ] =


y

¸

E[X|Y = y] fY (y)dyneu X,Y liên tnc.



Đây là ket quá quan trong đưoc sú dnng trong m®t loat các tính chat sau
này.
Đ%nh nghĩa 1.2. Cho hai bien ngau nhiên X,Y ta goi E[X|Y ] là kỳ vong
có đieu ki¾n cúa X theo Y , là m®t hàm h(Y ) mà có tính chat vói moi A
∈ σ (Y )
thì
E[X IA] = E[h(Y )IA].
(1.1.1)
Tính chat 1.1.
1. Neu C là hang so thì E(C|F ) = C (h.c.c).
2. Neu X ≤ Y (h.c.c) thì E(X|F ) ≤ E(Y |F )
(h.c.c). 3. |E(X|F )| ≤ E(|X ||F ).
4. Neu a, b là hang so và aEX + bEY xác đ%nh thì
E((aX + bB)|F ) = aE(X |F ) + bE(Y |F ) (h.c.c).
5.
6.
7.
8.

E(X|{0/ , Ω}) = EX (h.c.c).
E(X |F ) = X (h.c.c).
E[E(X|F )] = EX (h.c.c).
Neu F1 ⊂ F2 thì
E[E(X|F2 )|F1 ] = E[E(X|F1 )|F2 ] = E(X|F1 ) (h.c.c).

9. Neu X đ®c l¾p vói F (nghĩa là σ (X ) và F đ®c l¾p) thì
E(X|F ) = EX (h.c.c).
10. Neu Y là F−đo đưoc và E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ thì
E(XY |F ) = Y E(X |F )(h.c.c).

Chúng minh. (1) là hien nhiên.
(2) X ≤ Y (h.c.c) suy ra E[X IA] ≤ E[Y IA] vói moi A ∈ F
hay
E[E(X|F )I] ≤ E[E(Y |F )I], ∀A ∈ F.


Túc
là

E(X |F ) ≤ E(Y |F ) (h.c.c).

(3) −|X| ≤ X ≤ |X| suy ra
−E(X |F ) ≤ E(Y |F ) ≤ E(|X ||F )
Tù đó ta có đieu phái chúng minh.
(4) A ∈ F thì
E[(aX + bY )IA] = aE[X IA] + bE[Y IA]
= aE[E(X |F )IA] + bE[E(Y |F )IA]
= E[(aE(X |F ) + bE(X |F ))IA]
Tù đó ta có ket lu¾n.
(5) EX đo đưoc đoi vói σ−đai so {0/ , Ω} và neu A = 0/ ho¾c A = Ω thì
ta có.
¸
A

¸

XdP =

A


EXdP.

Đó là đieu phái chúng minh.
(6) Hien nhiên.
(7) Sú dnng (1.1.1) vói A = Ω.
(8) Neu A ∈ F1 thì
¸

¸

¸

E(X|F2 )dP

E[E(X |F2 )|F1 ]dP
A

=

A

=

A

xdP.

tù đó theo bat đang thúc đau. Bat đang thúc sau suy ra tù (6) và nh¾n xét
E(X |F1 ) là F2−đo đưoc.
(9) Neu A ∈ F thì X và IA đ®c l¾p. Do đó

¸

¸

XdP = EX IA = EX · P(A)
A

=

Tù đó ta có ket lu¾n.

A

EXdP.


1.2.

Khái ni¾m tương thích và dN báo đưec.

1.2.1.

Các σ -trưèng liên quan téi dãy bien ngau nhiên

Cho trưóc quá trình ngau nhiên X = {Xn, n ∈ N}. Ký hi¾u σ ({Xn,
n ∈ N}) là σ -trưòng bé nhat cúa A chúa tat cá các σ -trưòng σ (Xn), n
∈ N. Ta goi σ ({Xn, n ∈ N}) là σ -trưòng sinh ra tù X = {Xn, n ∈ N}.
Đ¾t
σ ≤n = σ≤n = σ ({Xm, m ≤ n}), m, n ∈ N,
σ

σ =n = σ=n = σ (Xn),
σ ≥n = σ≥n = σ ({Xm, m ≥ n}), m, n ∈ N,
σ >n = σ>n = σ ({Xm, m > n}), m, n ∈ N.
Cho dãy σ -trưòng {An, n ∈ N} đưoc goi là không giám neu
Am ⊂ An, m ≤ n, ∀m, n ∈ N.
Chang han, {σ≤n, n ∈ N} là ho không giám. Ta lưu ý rang σ≤n gom các
bien co quan sát đưoc tính đen thòi điem n.
Đ%nh nghĩa 1.3. Dãy quá trình ngau nhiên X = {Xn, n ∈ N} đưoc goi
là tương thích vói dãy các σ-trưòng {An, n ∈ N} neu ∀n ∈ N thì Xn là
An-đo
đưoc.
Đ%nh nghĩa 1.4. Ta nói rang V = {Vn, An−1, n ∈ N}, A1 = A0 là dãy
dn báo đưoc neu Vn là An−1-đo đưoc vói moi n ∈ N.
Rõ ràng, dãy dn báo đưoc là dãy tương thích. Tat nhiên, ta luôn có X =
{Xn, σ≤ n, n ∈ N} là dãy tương thích. Ngưòi ta thưòng goi σ≤n là σ
-trưòng tn nhiên cúa dãy X = {Xn, n ∈ N}. Nó gom tat cá nhung bien
co liên quan
đen quá khú ( trưóc n ) và hi¾n tai ( tai n) cúa dãy.


1.3.

Thèi điem Markov và thèi điem dNng.

Tù nay ve sau ta luôn giu các giá thiet sau:
• Giá sú (Ω, A , P) là không gian xác suat vói A chúa tat cá các
t¾p có xác suat 0 (t¾p O đưoc goi là xác suat 0, neu ton tai A ∈
A sao cho P(A) = 0 và O ⊂ A). Trong trưòng hop này, ta nói
(Ω, A , P) là
không gian xác suat đay

đú.
• N = {0, 1, 2, . . .}, N = N ∪ {∞}.
• R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}.
• A , n ∈ N dãy các σ -trưòng không giám. Ký hi¾u
∞
_

A∞ =

A n.

n=0

là σ -trưòng bé nhat chúa tat cá An, n ∈ N.

1.3.1.

Đ%nh nghĩa.

Giá sú τ : Ω → N ∪ {∞} là bien ngau nhiên ( có the lay giá tr% ∞).Ta
nói rang τ là thòi điem Markov đoi vói {A , n ∈ N}, neu
{ω : τ(ω) = n} ∈ An

, ∀n ∈ N.

Neu thêm vào đó P(τ < ∞) = 1, thì τ đưoc goi là thòi điem dùng.
Chú ý: τ là thòi điem Markov khi và chí khi:
{ω : τ(ω) ≤ n} ∈ An,

∀n ∈ N.

Th¾t v¾y, chúng minh suy ra tù các bat đang thúc sau;
n

{ω : τ(ω) ≤ n}
=

[

{ω : τ(ω) = k} ∈ An

k=0


{ω : τ(ω) = n} = {ω : τ(ω) ≤ n}|{ω : τ(ω) ≤ n− 1} ∈ An
Ký hi¾u Aτ là lóp gom tat cá các t¾p con A cúa Ω sao cho:
A ∈ A∞, và A∩ (τ ≤ n) ∈ An
Như v¾y, Aτ gom tat cá các bien co quan sát đưoc tính đen thòi điem τ.
De dàng chúng minh rang Aτ là σ -trưòng con cúa σ -trưòng A . Th¾t
v¾y:
• Ω ∈ Aτ , vì Ω ∩ (τ ≤ n) = (τ ≤ n) ∈ An.
• Giá sú Ak ∈ Aτ , k = 1, 2, . . . túc là: Ak ∩ (τ ≤ n) ∈ An, k = 1,
2, . . .
Khi đó, ta có:
∞

(
Suy ra

[

∞

)Ak ∩ (τ ≤

S∞ n) =

[

(Ak ∩ (τ ≤ n)) ∈ An.

k=1

k=1

)Ak ∈ An;

k=1

• Giá Sú A ∈ A∞, và Ac = Ω|A. Ta thay:
Ac ∩ (τ ≤ n) = Ω ∩ (τ ≤ n)|A ∩ (τ ≤ n)
= (τ ≤ n)|A ∩ (τ ≤ n) ∈ An
Suy ra Ac ∈ Aτ .

1.3.2.

Các ví dn ve thèi điem dNng.

Ví dn 1. Neu τ(ω) ≡ n (∈ N¯ ) thì hien nhiên τ là thòi điem Markov.
Ví dn 2.Giá sú {Xn, n ∈ N} là dãy các bien ngau nhiên, và B là t¾p Borel

cúa
R. Đ¾t:

τB :=



S Xn ∈ B ,

min{n : Xn ∈ B} neu ω ∈n∈N


0

neu Xn ∈/ B ∀n ∈ E .


Khi đó τB là thòi điem Markov đoi vói {σ≤n}, n ∈ N. Chúng minh suy ra
tù:
n

{τB ≤ n}
=

[

{Xk ∈ B} ∈ σ≤n, ∀n ∈ N

k=0

Ví dn 3. Giá sú {Xn, n ∈ N} là dãy các bien ngau nhiên và Bn, n = 1, 2,
...
là dãy Borel cúa R. Đ¾t τ1 = τB1 :
 S
min{n
> τ1 : Xn ∈ B2}, ω
{Xn ∈ B2} ∩ {τ1 < ∞}
∈
n∈N
τ2 := 
∞
trong các trưòng hop còn lai.
τn đưoc đ%nh nghĩa tương tn. Khi đo {τn, n ∈ N} là dãy các thòi điem
Markov đoi vói {σ≤n}, n ∈ N. Chúng minh đoi vói τ2 suy ra tù:
n

{τ2 ≤ n} = {τ2 ≤

{Xk ∈ B2}

k>τ1

n} ∩

1.3.3.

[

Các tính chat cúa thèi điem dNng

Tính chat 1.2. Giá sú τ là thòi điem Markov đoi vói{An, n ∈ N} . Khi dó
{τ < n} ∈ An
Th¾t v¾y ta
thay:

{τ < n}
=

n

[

{τ ≤ n − k} ∈ An−1 ⊂ An

k=
1

Can lưu ý rang, nói chung, tù đieu ki¾n {τ < n} ∈ An không suy ra đưoc τ
là thòi điem Markov.
Tính chat 1.3. Neu τ1, τ2 là các thòi điem Markov đoi vói {An, n ∈ N},
thì
τ1 ∧ τ2 = min(τ1, τ2), τ1 ∨ τ2 = max(τ1, τ2)
và (τ1 + τ2) là thòi điem Markov đoi vói {An, n ∈ N}.
Th¾t v¾y chúng minh suy ra tù:


{τ1 ∧ τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∪ {τ2 ≤ n}


{τ1 ∨ τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∪ {τ2 ≤ n}

n

{τ1 + τ2 ≤ n}

[

{τ1 = k} ∩ {τ2 = n − k}

k=0

=

Tính chat 1.4. Neu τ1, τ2 là các thòi điem Markov đoi vói {An, n ∈ N}, thì
_

τn = sup τn,

^

n

n

τn = inf τn
n

n

cũng là thòi điem Markov đoi vói {An, n ∈ N}
Th¾t v¾y, chúng minh suy ra tù

\ τn ≤ n}
{sup
=
n

τn ≤ n},
{
n

[
{inf τn ≤ n} = τn ≤ n},
n

n

{

Tính chat 1.5. Neu τ là thòi điem Markov đoi vói {An, n ∈ N}, thì τ ∈
Aτ . Neu τ và σ các thòi điem Markov đoi vói {An, n ∈ N} sao cho P(τ
≤ σ ) = 1 thì Aτ ⊂ Aσ .
Th¾t v¾y, giá sú A = {τ ≤ m}. Đe chúng minh τ ∈ Aτ , ta phái chí ra A
∈ Aτ , ho¾c tương đương A∩{τ ≤ n} ∈ An, ta có:
{τ ≤ m} ∩ {τ ≤ n} = {τ = n∩m} ∈ An∩m ⊂ An.
Bây giò giá sú A ⊂ {ω : σ < ∞} và A ∈ Aτ , Khi đó do P(τ ≤ σ ) = 1
và
σ-trưòng An đay đú, hai t¾p:
A∩{σ ≤ n}; a∩{τ ≤ n} {σ ≤ n}
chí sai khác nhau m®t t¾p có đ® đo không, t¾p thú hai thu®c vào An nên
A∩{σ ≤ n} ∈ An túc là A ∈ Aσ .
Tính chat 1.6. Neu τ1, τ2 là các thòi điem Markov đoi vói {An, n ∈ N},

và
τ = inf τk, thì:
k

Aτ =

\
k

Akτ


Th¾t v¾y, theo tính chat 4, ta có: Aτ ⊂ k Aτk
T

M¾t khác, neu A =

T

k Aτk ,

thì:
[

[

A∩{τ ≤ n} = a∩ ( {τk ≤ n}) = (A ∩ {τk ≤ n}) ∈ An
k

k

Suy ra A ∈ Aτ .
Tính chat 1.7. Neu τ1, τ2 là các thòi điem Markov đoi vói {An, n ∈ N},
thì các bien co {τ < σ},{τ = σ},{τ ≤ σ} thu®c vào Aτ ∩ Aσ .
Th¾t v¾y, vói moi n ∈ N ta có:
{τ < σ} ∩ {τ = n} = {σ > n} ∩ {τ = n} ∈ An
{τ = σ} ∩ {τ = n} = {σ = n} ∩ {τ = n} ∈ An
Vì v¾y, {τ = σ} ∈ Aτ và {τ = σ} ∈ Aτ . Tù đó suy ra:
{τ ≤ σ} = {τ < σ} ∪ {τ = σ} ∈ Aτ
Do tính đoi xúng ta có, {τ = σ} ∈ Aτ . Cuoi cùng bien co cúa {τ < σ}
là
{σ ≤ τ} ∈ Aτ , suy ra {τ < σ} ∈ Aτ ; bien co đoi cúa {τ ≤ σ} ∈ Aτ
là
{σ < τ} ∈ Aτ , suy ra {τ ≤ σ} ∈ Aτ .
Tính chat 1.8. Giá sú {Xn, An, n ∈ N} là dãu tương thích và τ là thòi
điem Markov đoi vói {An, n ∈ N} thì:

X (ω)neu ω ∈ {τ(ω) < ∞} ,
Xτ : Ω → R, Xτ (ω)
:=

τ(ω)

0

neu ω ∈ {τ(ω) = ∞} .

là đo đưoc đoi vói Aτ , túc là: Xτ ∈ Aτ .
Th¾t v¾y, vói moi t¾p Borel B cúa đưòng thang.
{Xτ ∈ B} ∩ {τ = n} = {Xn ∈ B}, {τ = n} ∈ An

Vì {Xn ∈ B} ∈ An. Đieu này chúng tó {Xτ ∈ B} ∈ Aτ , túc là Xτ ∈ Aτ

1.4.

Quá trình Martingale rèi rac.

Các đ%nh nghĩa dưói đây có hi¾u lnc khi thay t¾p so nguyên không
âm


N = 0, 1, . . . bang t¾p huu han (0, 1, . . . , N), N ∈ N.


1.4.1.

Đ%nh nghĩa.

Giá sú (Ω, A , P) là không gian xác suat. Dãy X = {Xn, An, n ∈ N},
đưoc goi là: Martingale trên (đoi vói {An, n ∈ N}) , neu:
(i) {Xn, An, n ∈ N} là dãy tương thích;
(ii) E|Xn| < ∞, ∀n ∈ N;
(iii) vói m ≤ n, m, n ∈ N.

E(Xn|A ) ≤ Xm,

P− hau chac chan.

Martingale dưéi (đoi vói {An, n ∈ N}) ,neu đieu ki¾n (i), (ii) đưoc
thnc hi¾n, và
(iii’) vói m ≤ n, m, n ∈ N.

E(Xn|Am) ≥ Xm,

P− hau chac chan.

Martingale (đoi vói {An, n ∈ N}) , neu đieu ki¾n (i), (ii) đưoc thnc
hi¾n, và (iii’) vói m ≤ n, m, n ∈ N.
E(Xn|Am) ≥ Xm,
P− hau chac chan.
Martingale (đoi vói {An, n ∈ N}) , neu đieu ki¾n (i), (ii) đưoc thnc
hi¾n, và (iii") vói m ≤ n, m, n ∈ N.
E(Xn|Am) = Xm Phau chac chan.

1.4.2.

Các ví dn.

Ví dn 1.1. Giá sú (ξn, n ∈ N) là dãy các bien ngau nhiên đ®c l¾p
vói
Eξn = 0, n ∈ N.
Khi đó các tong riêng Sn = ξ0 + . . . + ξn là dãy martingale đoi vói An
=
σ (ξ 0 ,..., ξn). Th¾t v¾y, do Sn−1 ∈ An−1 và tính đ®c l¾p cúa ξn vói
An−1, ta
có
E(Sn|An−1) = E(Sn−1 + ξn|An−1) = Sn−1 + Eξn = Sn−1.
Ví dn 1.2. Giá sú X là bien ngau nhiên nào đó có E|X| < ∞ và {An, n ∈ N}
là dãy σ−trưòng con không giám cúa A . Khi đó, dãy
Xn = E(X|An )

là dãy martingale đoi vói An, n ∈ N. Th¾t v¾y, vì An−1 ⊂ An ta có
Xn−1 = E(X|An−1 ) = E(E(X|An )|An−1 ) = E(Xn|An−1)
Ví dn 1.3. Neu X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale và g là hàm loi vói
E|g(Xn)| < ∞, n ∈ N thì {g(Xn), A , n ∈ N} là martingale
dưói. Th¾t v¾y, theo bat đang thúc Jensen vói m ≤ n ta có:
g(Xm) = g(E(Xn|Am)) ≤ E(g(Xn)|Am).

1.4.3.

Các tính chat.

Tính chat 1.9. Neu X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale trên, thì hàm
chung bình EXn không phn thu®c vào n ∈ N.
Th¾t v¾y, vói m ≤ n ta có:
EXm = E(E|Am) = EXn
Tính chat 1.10. Neu X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale dưói, thì hàm
chung bình EXn không giám theo n ∈ N.
Th¾t v¾y, vói m ≤ n ta có:
EXm ≤ E(E|Am) = EXn
Tính chat 1.11. Neu X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale, thì E|Xn|p, 1
≤
p < ∞ không giám theo n ∈ N
Th¾t v¾y, do |x|p, 1 ≤ p < ∞ là hàm loi, nên {|| , A , n ∈ N} là
Xn n
martingale dưói, vì the tù tính chat hai ta có tính chat ba.
Tính chat 1.12. Giá sú X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale trên, và τ, σ
là hai thòi điem Markov (đoi vói {An, n = 0, 1, . . . , N}) sao cho P{τ
≤ N} = 1
. Khi đó:

Xσ ≥ E(Xσ |A ) trên t¾p {τ ≥ σ}, P − hau chac chan.

(1.4.2)


Túc là, P{ω ∈ {τ ≥ σ} : Xσ ≤ E(Xσ |A )} = 0.
Do đó:
Xτ∧σ ≥ E(Xσ |Aτ∧σ ), P − hau chac chan.

(1.4.3)

Th¾t v¾y, đau tiên ta chú ý rang:
E|Xτ |
=

N

∑
n=
0

¸
{τ=n
}

|Xτ |dP
=

N

∑

¸
{τ=n
}

n=
0

N

|Xn|dP
≤

∑ E|Xn| < ∞

n=0

túc là E|Xτ | < ∞. Tiep theo, chúng ta chú ý rang:
N

[

{τ ≥ σ}
=

N

{σ = n}{τ ≥ n}, Ω
=

[

{σ = n}

n=0

n=0

Vì the ta xét t¾p {σ − n} và chúng tó rang (1.4.2) đúng đoi vói:
ω ∈ {σ = n} ∩ {τ ≥ σ} = {σ = n} ∩ {τ ≥ n}
Trên t¾p này Xσ = Xn, nên theo 1.1.3 (tính chat 8) ta có:
E(Xτ |Aσ ) = E(Xτ |An), ({σ = n}, P − hau chac
chan) Do đó chí can chí ra rang trên t¾p {σ = n} ∩ {τ ≥ n}
Xn ≥ E(Xτ |An), P − hau chac chan.
Giá sú A ∈ A . Khi đó:
¸

A∩{σ
=n}∩{τ≥n}

¸

(Xn − Xτ )dP
=
+

¸

(Xn − Xτ )dP

A∩{σ
=n}∩{τ>n}

A∩{σ =n}∩{τ>n}

¸

=
≥

(Xn − Xτ )dP

¸A∩{σ =n}∩{τ>n}

(Xn − Xτ )dP
(Xn+1 − Xτ )dP

A∩{σ
=n}∩{τ≥n+1}

Trong đó bat đang thúc sau cùng đưoc thnc hi¾n là do: (Xn) là
martingale trên, nên trên t¾p:
A∩{σ = n} ∩ {τ > n} ∈ An

(1.4.4)


Ta
có:

Xn ≥ E(Xn+1|An), P − hau chac chan.

ho¾c tương đương:

¸

¸

¸

E(Xn+1|A )dP

Xn dP ≥

A

A

=

A

Xn+1dP, ∀A ∈ An

Tiep tnc bat đang thúc (1.4.4) ta đưoc:
¸

¸

(Xn − Xτ )dP

A∩{σ
=n}∩{τ≥n}

≥
≥

¸

(Xn+1 − Xτ )dP
A∩{σ
=n}∩{τ≥n+1}

A∩{σ =n}∩{τ=N}

Vì v¾y t¾p Ω|

SN

n=
0

(Xn − Xτ )
dP

(1.4.5)

{σ = n} có đ® đo không, nên tù (1.4.5) suy ra (1.4.2)

Tính chat 1.13. Neu X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale trên và τ, σ là

hai thòi điem Markov (đoi vói {An, n = 0, 1, . . . , N}) sao cho P{σ ≤
τ ≤ N} = 1
. Khi đó:
EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN
• Giá sú X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale dưói,và τ, σ là hai
thòi điem Markov (đoi vói {An, n = 0, 1, . . . , N}) sao cho
P{σ ≤ τ ≤ N} = 1.Khi đó, ta có:
EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN
• Giá sú X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale dưói, và τ, σ là hai
thòi điem Markov (đoi vói {An, n = 0, 1, . . . , N}) sao cho
P{σ ≤ τ ≤ N} = 1, khi đó ta có:
E|Xτ | ≤ EX0 + 2EX−
≤ 3 sup E|Xn|.
N
n N
≤

Th¾t v¾y, tù tính chât 4 ta có 2 khang đ%nh đau trong tính chat 5 .
Khang đinh thú 3 đưoc chúng minh như sau. Ta thay |Xτ | = Xτ +
2Xτ− , và theo khang đ%nh thú nhat thì E|Xτ | = EXτ + 2E−τ ≤ EX0 +
2EXτ− . Do {Xn− , An , n =


0, 1, . . . , N} là martingale dưói, nên theo khang đ%nh thú hai thì
EXτ− ≤
EXN− . V¾y là :
E|Xτ |

= EX0 + 2EXτ−

EX0 + 2EXN− ≤ EX0 + 2E|XN | ≤ 3 sup E|Xn|
n≤N

Ví các bat đang thúc (1.4.4) và (1.4.5) tró thành đang thúc đoi vói martingale nên ta thu đưoc đieu phái chúng minh.
Tính chat 1.14. Neu X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale và τ, σ là hai
thòi điem Markov (đoi vói {An, n = 0, 1, . . . , N}) sao cho
P{τ ≤ N} = P{σ ≤ N} = 1.
Khi đó, Xσ = E(Xσ |A ) trên t¾p {τ ≥ σ} , P−hau chac chan.
Đ¾c bi¾t, neu P{σ ≤ τ ≤ N} = 1 thì
EX0 = EXσ = EXτ = EXN
Tính chat 1.15. Giá sú X = {Xn, A , n ∈ N} là martingale (martingale
dưói)
τ là hai thòi điem Markov (đoi vói {An, n = 0, 1, . . . , N}) . Khi đó dãy
"ngat"
tai thòi điem τ, Túc là:
τ

X = {Xn ∧ τ , A , n ∈ N}
cũng là martingale (martingale dưói).
Chúng minh. Th¾t v¾y, ta thay:
n−1

Xn∧τ =

∑ XmIτ=m + XnIτ≥n

m=0

Suy ra Xn∧τ là A -đo đưoc và có kỳ vong huu han. Hơn nua,
Xn+1∧τ − Xn∧τ = Iτ≥n(Xn+1 − Xn ).

do
đó:

E(Xn+1∧τ − Xn∧τ |An) = Iτ>nE((Xn+1 − Xn |An ) = 0 (≤ 0)


Chương 2

Úng dnng .
2.1.

Bài toán Gambler và Martingale

Bài toán Gambler Hai đau thú A và B chơi m®t trò chơi như sau: tung
m®t đong xu neu đong xu ngúa thì đau thú A đưoc 1 đong ngưoc lai đau
thú A mat 1 đong. Giá sú rang, so tien ban đau cúa các đau thú A và B là
a đong và b đong và ho se tiep tnc chơi đen khi m®t trong so ho het tien.
Neu đau thú A thang thì đau thú B het tien, ngưoc lai, đau thú B
thang thì đau thú A het tien. Vì v¾y ta chí quan tâm đen tien cúa đau thú
A.
Kí hi¾u Xi là so tien mà đau thú đưoc đưoc ó lan tung thú i. Khi đó.
Xi, i = 1, 2, . . . là các bien ngau nhiên đ®c l¾p vói phân phoi xác suat
P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = q
vói q = 1 − p và E(Xi) = p−q.
Tong so tien sau lan gieo thú n cho bói
Sn = X1 + X2 + · · · + Xn


vói S0 = 0 và n = 1, 2, . . .
Kí hi¾u Fn = σ (X1, X2 , . . . , Xn) cho σ -đai so nhó nhat sinh bói X1,

X2 , . . . , Xn
Khi đó Fn ⊂ Fn+1 đưoc xem như l%ch sú cúa trò chơi đen thòi điem n (
lan
gieo thú n ).
Tính chat 2.1. So tien trung bình sau lan gieo thú n + 1. Khi cho bói l
%ch sú đen thòi điem thú n là Sn + p−q.
Chúng minh. Chúng ta có
E[Sn+1|Fn]

= E[Sn + Xn+1|Fn]
= E[Sn|Fn] + E[Xn+1|Fn]
= Sn + E[Xn+1].

6 đây chúng ta sú dnng tính chat Sn là Fn-đo đưoc và Xn+1 đ®c l¾p vói
Fn. Vì v¾y
E[Sn+1|Fn] = Sn + p−q.

Chú ý

•

Neu p = q = 2 thì E[Sn+1|Fn] = Sn tương úng trưòng hop này trò
1

chơi dien ra công bang và {Sn, n ≥ 0} là martingale.
• Neu p > q thì E[Sn+1|Fn] > Sn tương úng trưòng hop này {Sn, n ≥
0} là martingale dưói.
• Neu p < q thì E[Sn+1|Fn] < Sn tương úng trưòng hop này {Sn, n ≥
0} là martingale trên.
Tính chat 2.2. Trong trưòng hop dien ra công bang, túc là {Sn, F, n ≥ 0}

là martingale vói {Fn = σ (X1, X2 , . . . , Xn)}. Khi đó {Yn =n S2 − n, n ≥ 0}