TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

HOÀNG TH± THÙY DUNG

Hf AUTONOM PHANG VÀ SU TUYEN TÍNH HÓA

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI
H6C
Chuyên ngành: Giái tích

Ngưèi hưéng dan khoa
hoc TS. TRAN VĂN
BANG

Hà N®i - 2013


LèI CÃM ƠN
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo TS. Tran Văn Bang
- Ngưòi thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn
thành bài khóa lu¾n cúa mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn
các thay cô trong to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng
Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu
ki¾n cho em hoàn thành tot bài khóa lu¾n này.
Trong khuôn kho có han cúa m®t bài khóa lu¾n, do đieu ki¾n
thòi gian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa
hoc cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì
v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa các thay cô và các
ban.
Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, ngày 10 tháng 05 năm
2013
Sinh viên

Hoàng Th% Thùy Dung


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Khóa lu¾n là công trình nghiên cúu cúa
riêng tôi. Trong khi nghiên cúu khóa lu¾n này, tôi đã ke thùa thành
quá cúa các nhà khoa hoc và cúa các thay cô vói sn trân trong và biet
ơn.
Hà N®i, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Hoàng Th% Thùy Dung

2


Mnc lnc
Mé đau...............................................................................................4
Chương 1. Phương trình vi phân cap hai trong m¾t phang pha

6

1.1. Phương trình autonom trong m¾t phang pha......................6
1.2. Ví dn ve phương trình con lac đơn trong m¾t phang pha . . 9
Chương 2. H¾ autonom phang và sN tuyen tính hóa.......................12
2.1. M¾t phang pha tong quát.....................................................12

2.2. Ví dn ve mô hình dân so........................................................15
2.3. Xap xí tuyen tính tai các điem cân bang...............................19
2.4. Nghi¾m tong quát cúa h¾ autonom tuyen tính..................20
2.5. Đưòng cong pha cúa h¾ autonom tuyen tính......................29
2.6. Tý l¾ trong lưoc đo pha cúa h¾ tuyen tính autonom.........38
2.7. Cách xây dnng lưoc đo pha...................................................40
2.8. H¾ Hamilton..........................................................................43
Ket lu¾n...........................................................................................48
Tài li¾u tham kháo..........................................................................49


Me ĐAU
Phương trình vi phân là m®t lý thuyet có úng dnng quan trong
trong V¾t lý. Tuy nhiên rat nhieu phương trình vi phân không giái
đưoc (nhat là phương trình phi tuyen). Khi đó chúng ta bu®c phái
nghiên cúu các tính chat đ%nh tính cúa nghi¾m và m¾t phang pha là
m®t công cn huu hi¾u trong nghiên cúu đ%nh tính cúa các phương
trình vi phân cap hai (xem chương 1). Ý tưóng chính là chuyen
nghiên cúu phương trình vi phân cap hai autonom:
x¨ = f (x, x˙),
ve nghiên cúu h¾ phương trình vi phân cap m®t:


x˙ = y

(I)

y˙ = f (x, y).
Đieu này goi ý cho ta xét h¾ phương trình vi phân tong quát
hơn:


(II)
 x˙ = X (x,
y)
y˙ = Y (x,
y).
Hy vong rang, tương tn như h¾ (I), chúng ta cũng có các ket quá
huu dnng đoi vói h¾ (II).
Thnc te h¾ (II) rat phúc tap khi X, Y là các hàm phi tuyen. Do đó
chúng ta xét mô hình tuyen tính hóa cúa h¾ (II) và chí ra vai trò cúa
h¾ tuyen tính hóa đoi vói h¾ (II) trong khi nghiên cúu các tính chat đ
%nh tính. Vói lí do đó, chúng tôi chon đe tài:


"H¾ autonom phang và s? tuyen tính hóa".


N®i dung cúa khóa lu¾n gom hai chương. Chương 1 trình bày
tong quát vói cách sú dnng m¾t phang pha nghiên cúu phương trình
vi phân cap 2. Chương 2 nghiên cúu ve h¾ autonom phang tong quát
thông qua vi¾c tuyen tính hóa, nghiên cúu lưoc đo pha cúa h¾ autonom
tuyen tính.
Do là lan đau nghiên cúu, thòi gian và năng lnc bán thân còn han
che nên chac chan bài nghiên cúu này khó tránh khói nhung thieu sót.
Tôi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay cô và ban đoc
đe đe tài này hoàn chính và đat ket quá cao hơn.


Chương 1


Phương trình vi phân
cap hai trong m¾t phang
pha
1.1. Phương trình autonom trong m¾t phang pha
Xét phương trình autonom cap hai dang:
x¨ = f (x, x˙).

(1.1)

Đe nghiên cúu đ%nh tính cúa phương trình này ta đ¾t:
y = x˙.
Khi đó phương trình (1.1) đưoc đưa ve phương trình vi phân cap m®t:





x˙ = y
y˙ = f (x,
y).

(1.2)


M¾t phang Oxy đưoc goi là m¾t phang pha cúa phương
trình (1.1). Tù h¾ (1.2) ta có moi liên h¾ giua x và y xác đ%nh bói
phương trình vi
phân cap m®t:

dy

dx
=

f (x, y)

.
(1.3)
y
Moi đưòng cong nghi¾m cúa (1.3) đưoc goi là m®t đưòng cong
pha cúa (1.1) ho¾c (1.2), do đó phương trình (1.3) còn đưoc goi là
phương trình vi phân xác đ%nh đưòng cong pha.
Trên đưòng cong pha chúng ta đưa vào các mũi tên chí hưóng
bien đoi cúa x theo thòi gian t. Có the thay, neu y = x˙ > 0 thì x tăng
khi y tăng, neu y = x˙ < 0 thì x giám khi t tăng. Do đó, hưáng cúa
đưòng cong pha luôn tù trái sang phái ó núa trên m¾t phang và tù
phái sang trái ó núa m¾t phang dưói.
Moi điem P(x, y) trên m¾t phang pha tương úng vói m®t trang
thái v¾t lý (x, x˙) chí v% trí và v¾n toc cúa h¾ mà phương trình vi phân
(1.1) mô tá, do đó P - đưoc goi là m®t trang thái cúa h¾ v¾t lý đó.
Trang thái cân bang cúa h¾ v¾t lý là trang thái không bien đoi
theo thòi gian, túc là ta có x˙ ≡ 0. Khi đó ta cũng có x¨ ≡ 0. Do đó,
trong m¾t phang pha, trang thái cân bang tương úng vói các điem
P(x, 0) vói x là
nghi¾m cúa phương trình x¨ = y˙ hay:
f (x, 0) = 0.

(1.4)

Vì the, các điem P(x, 0) vói x thóa mãn (1.4) đưoc goi là điem
cân bang cúa (1.1) ho¾c (1.2).

Trong m¾t phang pha, bieu dien các đưòng cong pha cùng vói
hưóng cúa chúng đưoc goi là lưac đo pha.


Phương pháp m¾t phang pha là phương pháp sú dnng lưoc đo
pha đe đưa ra các tính chat cúa nghi¾m x = x(t) cúa phương trình vi
phân cap hai (1.1), cũng như mô tá các tính chat v¾t lý cúa h¾ xác đ
%nh bói (1.1).
Giá sú A, B là hai điem trên m®t đưòng cong pha. Khi đó thòi gian
đe trang thái P(x, y) bien đoi tù A tói B doc theo đưòng cong đó đưoc
goi là thài gian chuyen tù A tói B. Đó là m®t đai lưong không
phn thu®c vào thòi điem P bat đau tù A và xác đ%nh bói:
¸

TAB =

dx
A
ˆ
B

y

.

(1.5)

Các tính chat đ%nh tính có the quan sát qua lưoc đo pha bao gom:
i) Moi đưòng cong pha kín tương úng vói m®t nghi¾m tuan hoàn
cúa (1.1). Tuy nhiên có nghi¾m tuan hoàn cúa (1.1) tương úng vói

đưòng cong pha không kín.
ii) Moi điem cân bang tương úng vói m®t nghi¾m hang cúa (1.1).
iii) Quan sát quanh điem cân bang trong lưoc đo pha ta có the suy
ra tính chat on đ%nh hay không on đ%nh cúa trang thái cân bang v¾t lý.
Chang han:
+) Neu gan m®t điem cân bang, các đưòng cong pha là các đưòng
cong kín bao quanh nó thì điem cân bang đó đưoc goi là m®t tâm,
đó là điem cân bang on đ%nh.
+) Neu moi đưòng cong pha trong m®t lân c¾n cúa điem cân
bang đeu có hưóng ve điem cân bang thì đó là m®t điem cân bang on
đ%nh.


+) Neu d%ch trang thái cân bang m®t chút nó có the thu®c vào
đưòng cong pha có hưóng đi xa khói điem cân bang thì đó là điem
cân bang không on đ%nh...


1.2. Ví dn ve phương trình con lac đơn trong
m¾t phang pha

Hình 1.1: Con lac đơn vói đ® d%ch chuyen góc x.
Con lac đơn Hình 1.1 bao gom m®t phan tú P khoi lưong m đưoc
treo vào m®t điem co đ%nh O bói m®t soi dây hay thanh mánh có đ®
dài a, dao đ®ng trong m¾t phang đúng. Neu bó qua ma sát và súc cán
thì phương trình chuyen đ®ng cúa con lac đưoc viet là:
2

x¨ + ω sinx = 0,


(1.6)

trong đó, x là góc nghiêng cúa dây so vói phương thang đúng, g là gia
toc trong trưòng và ω 2 = g/a.
Đ¾t x˙ = y ta có h¾ phương trình vi phân cap m®t:


x˙ = y
y˙ = −ω 2 sinx.
Phương trình xác đ%nh đưòng cong pha là:
dy
ω2sinx
=−
.
dx
y


Tích phân phương trình này ta có phương trình các đưòng cong pha:
1

2

2

y = ω cosx + C,
2

vói C là hang so, hay:
y = ±.

2 (ω2cosx + C).

(1.7)

Tù đây ta có lưoc đo pha cho bói Hình 1.2: Chú ý rang moi giá tr%
cúa

Hình 1.2: Con lac đơn vói đ® d%ch chuyen góc x.
tham so C cho ta m®t đưòng cong pha (neu y thnc). Các đưòng cong
pha đi qua hai điem (−π, 0) và (π, 0) úng vói C = ω2,...úng vói −ω2
< C < ω2,...úng vói C > ω 2 .
Các điem cân bang bao gom (x, 0) vói x thóa mãn sinx = 0. Do đó
ta có các điem cân bang tai (nπ, 0), n ∈ Z.
Quan sát lưoc đo pha ta thay:
i) Điem (0, 0) là m®t tâm, do đó là điem cân bang on đ%nh.
ii) Điem (π, 0) là m®t điem cân bang không on đ%nh.
iii) Các đưòng cong pha dang sóng phía trên và phía dưói Hình 1.2


có y = x˙ không đoi dau nên x liên tnc tăng (ho¾c giám) theo t. Đieu
đó úng vói chuyen đ®ng quay tít cúa con lac.


Chương 2

H¾ autonom phang và sN
tuyen tính hóa
2.1. M¾t phang pha tong quát
Xét h¾ autonom cap m®t tong quát:
x˙ = X (x, y), y˙ = Y (x, y),


(2.1)

vói các hàm X (x, y),Y (x, y) đú trơn.
H¾ này đưoc goi là autonom vì bien thòi gian t không xuat hi¾n ó
ve phái cúa (2.1).
Các nghi¾m x(t), y(t) cúa (2.1) đưoc bieu dien trên m®t m¾t
phang vói h¾ toa đ® Đe-các x, y.
Khi t tăng (x(t), y(t)) vach ra m®t đưòng cong đ%nh hưóng trong
m¾t


phang goi là đưòng cong pha.
Dang thích hop cho đieu ki¾n ban đau cúa (2.1) là:
x = x0, y = y0 tai t = t0,

(2.2)

trong đó x0, y0 là các giá tr% ban đau tai thòi điem t0.
Phương trình vi phân xác đ%nh đưòng cong pha là y˙/x˙ = dy/dx
và doc theo đưòng cong pha ta có:
dy
dx

=

Y (x, y)
X (x, y)

.


(2.3)

Phương trình (2.3) không cho ta thông tin ve hưóng cúa đưòng
cong pha khi t tăng. Đe biet đưoc hưóng cúa đưòng cong pha chúng ta
can tói h¾ phương trình (2.1).
Dau cúa X và Y tai moi điem cn the se xác đ%nh hưóng cúa
đưòng cong pha qua điem đó, và nói chung là hưóng tai tat cá các
điem khác có the đưoc xác đ%nh bói yêu cau cúa tính liên tnc cúa
hưóng cúa các đưòng cong pha ke nhau.
Lưoc đo mô tá nhung đưòng cong pha đưoc goi là lưoc đo pha.
Moi điem (x, y) đưoc goi là m®t trang thái cúa h¾, như trưóc
đây. Lưoc đo pha cho thay sn bien đoi các trang thái cúa h¾, bat đau
tù trang thái ban đau tùy ý.
Tai các điem mà tai đó X ƒ= 0 đưoc goi là các điem thưòng cúa
(2.3).
Có m®t và chí m®t đưòng cong pha đi qua m®t điem thưòng (x0,
y0), không phn thu®c vào thòi điem t0 - trang thái đat tói điem (x0,
y0). Do đó, có vô han nghi¾m cúa (2.1), chí khác nhau bói phép d%ch
chuyen thòi
gian, cùng sinh ra m®t đưòng cong pha.


Tuy nhiên, phương trình (2.3) có the có điem kì d% tai đó X (x, y)
= 0.
Các điem mà cá X (x, y), Y (x, y) đeu bang không:
X (x, y) = 0, Y (x, y) = 0

(2.4)


đưoc goi là điem cân bang.
Neu (x1, y1) là m®t nghi¾m cúa (2.4) thì x(t) = x1, y(t) = y1 là
m®t nghi¾m hang cúa (2.1) và xác đ%nh đưòng cong pha suy bien.
Điem đó còn đưoc goi là điem co đ%nh.
Do dy/dx = Y (x, y)/X (x, y) là phương trình vi phân cúa đưòng
cong pha, nên các đưòng cong pha cat đưòng cong đưoc xác đ%nh
bói phương trình Y (x, y) = cX (x, y) se có cùng đ® doc (h¾ so
góc) c. Các đưòng cong Y = cX đưoc goi là các đưòng đang tà (có
h¾ so góc không đoi). Hai đưòng đang tà đ¾c bi¾t Y (x, y) = 0
(đưòng có đ® doc bang 0) và X (x, y) = 0 (đưòng có đ® doc vô han)
là các đưòng rat huu ích trong phác hoa lưoc đo pha. Các điem giao
cúa các đưòng đang tà là các điem cân bang. Giua các đưòng đang tà,
X (x, y) và Y (x, y) phái có m®t dau. Chang han, ó trong m®t mien
cúa m¾t phang (x, y) cùng vói X (x, y) > 0 và Y (x, y) > 0, các
đưòng cong pha phái có đ® doc dương. Đieu này cũng xáy ra neu X
(x, y) < 0 và Y (x, y) < 0. Tương tn, neu X (x, y) và Y (x, y) trái dau
nhau trong m®t mien thì đưòng cong pha phái có đ® doc âm.
Ví dn 2.1. Xác đ%nh v% trí các điem cân bang và phác hoa các đưòng
cong pha cúa h¾:
x˙ = y(1
2
− x ),

2

y˙ = −x(1 − y ).

Điem cân bang xáy ra tai điem là nghi¾m cúa h¾:



2

2

y(1 − x ) = 0, x(1 − y ) = 0.


Nghi¾m cúa các phương trình tương úng là: x = ±1, y = 0 và x =
0,
y = ±1, nên ta có năm c¾p nghi¾m (0, 0), (1, 1), (1, −1), (−1, 1)
và
(−1, −1) là nhung điem cân bang.
Các đưòng cong pha thóa mãn phương trình vi phân:
d −x(12
= −y ) 2 .
y
y(1 − x )
d
x

giái phương trình này ta
có:
¸

−
1
⇔
.

2


..
ln 1

xdx
1 − x2
.

2.

=

2

¸

=

ydy
1 − y2

.
−1 .
2
ln 1 − y. + C
2 .
2

⇔ (1 − x )(1 − y ) = A
(A là hang so).

Chú ý rang các nghi¾m đ¾c bi¾t x = ±1 và y = ±1 úng vói
trưòng hop A = 0. Nhung nghi¾m này và v% trí cúa các điem cân
bang giúp chúng ta ve lưoc đo pha (Hình 2.1) các đưòng cong cat trnc
x = 0 vói đ® doc bang 0 và các đưòng cong pha cat trnc y = 0 vói đ®
doc vô han tai các điem cat.
Hưóng cúa đưòng cong pha có the nh¾n đưoc nhò tính liên tnc:
bat đau tai điem (0, 1), ta có x˙ > 0 nên đưòng cong pha se chay tù
trái sang phái.

2.2. Ví dn ve mô hình dân so


Ví dn 2.2. Bài toán ve loài săn moi-con moi (Mô hình cúa Volterra)


Hình 2.1: Lưoc đo pha cho x˙ = y(1 − x2 ); y˙ = −x(1 − y2 ); các đưòng nét
đút là
đưòng đang tà vói đ® doc bang 0 và đ® doc vô han.

Hình 2.2: Lưoc đo pha cho (a): x˙ = y ,y˙ = −x. (b): x˙ = xy ,y˙ =
−x2 .

Trong m®t ho cá có 2 loài cá: A (con moi) ăn thnc v¾t và giá thiet
là có nguon cung doi dào và B (loài săn moi) ăn A. Chúng ta se xây
dnng m®t mô hình thô cho sn tương tác cúa A và B.
Goi x(t) là so lưong cúa loài A và y(t) là so lưong cúa loài B. Chúng


ta giá sú rang A tương đoi song lâu và sinh sán rat nhanh neu còn lai
m®t mình.

Khi đó, trong thòi gian δt, có m®t sn gia tăng so lưong đưoc cho
bói:
axδt, a > 0.
Tí l¾ sinh tú tn nhiên (a > 0) và ”gia tăng âm”
−cxδ t, c > 0,
do A b% ăn th%t bói B (so lưong đưoc ăn trong thòi gian này đưoc giá đ
%nh là tí l¾ thu¾n vói so lưong g¾p gõ giua A và B). Sn gia tăng so
lưong cúa A, δx có dang:
δx = axδ t − cxyδ t.
Chia hai ve cho δt roi cho δt → 0 ta có:
x˙ = ax − cxy.

(2.5)

Giá sú rang, trong trưòng hop không có con moi, tí l¾ chet đói cúa
B chiem ưu the so vói tí l¾ sinh, nhưng đieu đó đưoc bù lai bói tí l¾
g¾p A tăng tí l¾ thu¾n. Đieu này cho ta:
y˙ = −by + xyd,

(2.6)

vói b > 0, d > 0. H¾ phương trình (2.5)+(2.6) là m®t h¾ phương trình
phi tuyen có dang (2.1).
Bây giò chúng ta ve lưoc đo pha trong m¾t phang x, y và chí quan
tâm tói góc phan tư x “ 0, y “ 0. Điem cân bang là nghi¾m cúa:
X (x, y) = ax − cxy = 0, Y (x, y) = −by + xyd = 0,


đó là tai (0, 0) và (b/d, a/c). Đưòng cong pha đưoc cho bói:
dy

dx

=

Y
X

=

(−b + xd )y
,
(a − cy)x

là m®t phương trình tách bien và ta có:
¸

hay:

¸

(a − cy)
(−b + xd )
.dy =
.dx
y
x
alogcy + blogcx − cd = C,

(2.7)


trong đó C là m®t hang so bat kì, goi là tham so cúa h¾. Viet (2.7)
dưói dang (alogc y − cy) + (blogc x − xd) = C, là m®t ho các đưòng
cong đóng
quanh điem cân bang (b/d, a/c).
Hình 2.3 bieu dien các đưòng cong trong m®t trưòng hop cn the.
Hưóng trên đưòng cong pha nh¾n đưoc tù dau
cúa

x˙ tai m®t điem
bat

kì th¾m chí là trên đưòng y = 0 nhò tính liên tnc. Tù (2.6) và (2.5),
các đưòng đang tà vói đ® doc 0 xuat hi¾n khi y˙ = 0, đó là đưòng y
= 0 và x = b/d và đưòng đang tà vói đ® doc vô han xuat hi¾n khi x˙
= 0, là các đưòng x = 0 và y = a/c.
Do các đưòng cong pha đóng, nên sn bien thiên cúa x(t) và y(t)
bat đau tù so lưong ban đau bat kì đeu tuan hoàn, so lưong lón nhat
cúa A thu đưoc vào khoáng 1/4 chu kì sau thòi điem so lưong cúa B
đat lón nhat. Khi A b% ăn khien B phát trien manh và dân so x cúa A
giám, cuoi cùng lai gây ra sn snt giám cúa B. Khi đó, sn thieu hnt cúa
loài săn moi dan đen sn hoi sinh cúa A và chu kì bat đau lai m®t lan
nua.


M®t sn thay đoi đ®t ng®t trong trang thái do các nguyên nhân
bên ngoài, chang han như m®t mùa xau cho các loai thnc v¾t thì ta
hi vong