Các bất đẳng thức trong xác suất

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (261.51 KB, 42 trang )

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN
*************

Hoàng Th% Man

CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC
SUAT

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC

Ngành: Toán - Úng dung

HÀ N®I - 2013

Hoàng Th% Man

CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC
SUAT

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC

Ngành: Toán - Úng
dung Mã so:

Ngưài hưáng dan

Th.s Nguyen Trung Dũng

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

KHÓA LU¾N TOT NGHIfi

ĐE TÀI
CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT

Ho tên sinh viên thNc hi¾n : HOÀNG TH± MAN
Láp
: K35A-CN Toán
Giáng viên hưáng dan

: NGUYEN TRUNG DŨNG

Lài cám ơn
Trong quá trình nghiên cúu và thnc hi¾n khóa lu¾n, vói sn co
gang cna bán thân cùng vói sn hưóng dan và giúp đõ nhi¾t tình
cna các thay cô giáo và các ban sinh viên, em đã hoàn thành
khóa lu¾n này. Em xin bày tó lòng biet ơn tói các thay, các cô
công tác tai Khoa Toán Trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 và
các Thay cô đã trnc tiep giáng day, truyen đat cho em nhung kien
thúc quý báu ve chuyên môn cũng như kinh nghi¾m nghiên cúu
khoa hoc trong thòi gian qua. Em xin chân thành gúi lòi cám ơn
đen nhung ngưòi thân trong gia đình, ban bè đã luôn giúp đõ,
đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n cho em trong suot quá trình hoc
t¾p và hoàn thi¾n lu¾n văn này.
Đ¾c bi¾t em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen thay giáo, thac
sĩ Nguyen Trung Dũng, ngưòi đã t¾n tình giúp đõ chí báo và cung

cap cho em nhung kien thúc nen táng đe em hoàn thành bài khóa
lu¾n này. Thay cũng là ngưòi đã giúp em ngày càng tiep c¾n và
có niem say mê khoa hoc trong suot thòi gian đưoc làm vi¾c cùng
Thay.
Em xin chân thành cám ơn!

Hà N®i, Ngày 16 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
HOÀNG TH± MAN

Hoàng Th% Man - Toán-K35

4

Lài cam đoan
Tên em là: Hoàng Th% Man là sinh viên đai hoc khóa 2009 –
2013, lóp K35A-CN Toán, khoa Toán , trưòng Đai hoc Sư pham
Hà N®i 2. Em xin cam đoan đe tài: “Các bat đang thúc trong xác
suat” là ket quá nghiên cúu và thu th¾p cna riêng em. Nhung n®i
dung trong khóa lu¾n này là do em thnc hi¾n dưói sn hưóng dan
trnc tiep cna thay Nguyen Trung Dũng .Các lu¾n cú, ket quá thu
đưoc trong đe tài là trung thnc, không trùng vói các tác giá khác.
Moi tham kháo dùng trong báo cáo này đeu đưoc trích dan rõ
ràng tên tác giá, tên công trình, thòi gian, đ%a điem công bo. Neu
có gì không trung thnc trong lu¾n văn em xin hoàn toàn ch%u trách
nhi¾m trưóc h®i đong khoa hoc.

Hà N®i, Ngày 16 tháng 5 năm 2013
Sinh viên

HOÀNG TH± MAN

Hoàng Th% Man - Toán-K35

5

Mnc lnc
Lài nói đau................................................................................... 5
Chương 1: Cơ sá lý thuyet

6

1.1 Không gian Lp.......................................................................... 6
1.2 Kì vong có đieu ki¾n...............................................................6
1.2.1 Đ%nh nghĩa.....................................................................6
1.2.2 Tính chat.......................................................................7
1.3 Martingale vói thòi gian ròi rac..............................................9
1.3.1 Khái ni¾m ve tương thích và dn báo đưoc.............9
1.3.2 Thòi điem dùng............................................................9
1.3.3 Martingale...................................................................11
Chương 2: Các bat đang thNc trong xác suat

15

2.1 Bat đang thúc moment.........................................................15
2.1.1 Bat đang thúc Chebyshev........................................15
2.1.2 Bat đang thúc Cr.......................................................16
2.1.3 Bat đang thúc Holder...............................................16

2.1.4 Bat đang thúc Cauchy-Buniakowski.......................17
2.1.5 Bat đang thúc Minkowski.........................................18
2.1.6 Bat đang thúc Jensen..............................................18
2.1.7 Bat đang thúc Liapunov...........................................18
2.1.8 Bat đang thúc Kolmogorov......................................19
2.1.9 C¾n trên Chernoff....................................................21
2.2 Bat đang thúc cna kì vong có đieu ki¾n............................22
2.2.1 Bat đang thúc Holder...............................................22
2.2.2 Bat đang thúc Minkowski.........................................22
2.2.3 Bat đang thúc Jensen..............................................22
2.3 Bat đang thúc trong Martingale...........................................25
2.3.1 Bat đang thúc Kolmogorov......................................26
2.3.2 Bat đang thúc Doob.................................................26
2.3.3 Bat đang thúc cat ngang..........................................28
Ket lu¾n.......................................................................................... 30

Hoàng Th% Man - Toán-K35

6

MUC LUC

MUC LUC

Tài li¾u tham kháo...................................................................31

Hoàng Th% Man - Toán-K35

7

Lài nói đau
Bat đang thúc là m®t van đe khá quan trong cna toán hoc, nó là
m®t dang toán tương đoi khó vì chúng ta không có m®t phương
pháp thnc sn “tot” nào đe giái quyet loat các bài toán này. Nhung
lòi giái cho nhung bat đang thúc thưòng mang nhung ý tưóng khá
hay và đ®c đáo.Càng ngày van đe này càng đưoc khai thác sâu
hơn, chính vì đó phương pháp giái cũng rat đa dang phong phú
và ngày càng phúc tap. Trong xác suat bat đang thúc cũng là m®t
đe tài thú v% thu hút sn quan tâm cna khá nhieu ngưòi.
Vói nhung lí do trên cùng vói lòng say mê nghiên cúu cùng sn
giúp đõ t¾n tình cna thay giáo, Th.s Nguyen Trung Dũng, em đã
chon đe tài: "Các bat đang thNc trong xác suat"
N®i dung khóa lu¾n bao gom 2 phan sau:
• Chương 1: Cơ só lý thuyet
é phan này em trình bày nhung lý thuyet cơ só phuc vu cho
vi¾c chúng minh các bat đang thúc em trình bày ó chương 2.
• Chương 2: Các bat đang thúc trong xác suat.
Đây là chương trình bày các bat đang thúc và chúng minh gom
các bat đang thúc moment, các bat đang thúc cna kì vong có
đieu ki¾n, và các bat đang thúc trong Martingale vói thòi gian ròi
rac.
Tuy đã có nhieu co gang nhưng do thòi gian và khá năng có han
nên các van đe trong khóa lu¾n van chưa đưoc trình bày sâu sac
và không the tránh khói có nhung sai sót trong cách trình bày.
Em rat mong đưoc sn góp ý xây dnng cna thay cô và các ban.
Em xin chân thành cám ơn!
Hà N®i, Ngày 16 tháng 5 năm 2013
Sinh viên

HOÀNG TH± MAN
Hoàng Th% Man - Toán-K35

8

Chương 1

Cơ sá lý thuyet
1.1

Không gian Lp

Đ%nh
1.1.1. nhiên
Vói p X(
> 0,
hi¾u trên
Lp =(Ω,
Lp(Ω,
F, sao
P) là
t¾p
hopp cácnghĩa
bien ngau
xáckíđ%nh
F, P))
cho
E
p

=
f
(y)
Y
f (x, y)dx

M®t ket quá quan trong là
E[X] = E[E[X | Y ]].
Sau đó nó đưoc chúng minh và đưoc viet lai là

Hoàng Th% Man - Toán-K35

9

1.2 Kì vong có đieu ki¾n

CHƯƠNG 1. CƠ Sá LÝ THUYNT


.
E[X | Y = y]P(Y = y) neu X, Y ròi rac

y
E[X] =  ¸

E[X | Y = y]fY (y)dy
neu X, Y liên tuc.

đây là ket quá quan trong mà đưoc sú dung trong m®t loat các tính

toán sau này.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho hai bien ngau nhiên X, Y, ta goi E[X | Y ]
là
kì vong
có Ađieu
ki¾n) thì
cna X theo Y , là m®t hàm h(Y ) mà có tính
chat
vói moi
∈ σ(Y
E[XIA] = E[h(Y )IA].
(1.1)
1.2.2

Tính chat

(1) Neu C là hang so thì E(C | F ) = C (h.c.c).
(2) Neu X ≤ Y (h.c.c) thì E(X | F ) ≤ E(Y | F ) (h.c.c).
(3) |E(X | F )| ≤ E(|X| | F ).
(4) Neu a, b là hang so và aEX + bEY xác đ%nh thì
E((aX + bY ) | F ) = aE(X | F ) + bE(Y | F )

(h.c.c).

(5) E(X | {∅, Ω}) = EX (h.c.c).
(6) E(X | F ) = X

(h.c.c)

(7) E[E(X | F )] = EX

(h.c.c).
(8) Neu F1 ⊂ F2 thì
E[E(X | F2) | F1] = E[E(X | F1) | F2] = E(X | F1) (h.c.c).
(9) Neu X đ®c l¾p vói F (nghĩa là σ(X) và F đ®c l¾p) thì
E(X | F ) = EX (h.c.c).
(10)Neu Y là F− đo đưoc, và E |Y | < ∞, E |XY | < ∞ thì
E(XY | F ) = Y E(X | F ) (h.c.c).
Chúng minh. (1) Là hien nhiên.

(2) X ≤ Y (h.c.c) suy ra E[XIA] ≤ E[Y IA] vói moi A ∈ F
hay
E[E(X | F )I] ≤ E[E(Y | F )I],
∀A ∈ F.
Túc là
E(X | F ) ≤ E(Y | F ) (h.c.c).
(3) − |X| ≤ X ≤ |X| suy ra
−E(|X| | F ) ≤ E(X | F ) ≤ E(|X| | F )
Tù đó, ta có đieu can chúng minh.
(4) A ∈ F thì
E[(aX + bY )IA] = aE[XIA] + bE[Y IA]
= aE[E(X | F )IA] + bE[E(Y | F )IA]
= E[(aE(X | F ) + bE(X | F ))IA]
Tù đó có ket lu¾n.
(5) EX đo đưoc đoi vói σ− đai so {∅, Ω} và neu A = ∅ ho¾c A = Ω
thì có
¸ XdP ¸
=
EXdP.
A

A

Đó là đieu phái chúng minh.
(6) Hien nhiên.
(7) Sú dung (1.1) vói A = Ω.
(8) Neu A ∈ F1 thì
¸
E[E(X | F2) | F1]dP
=

¸

¸
E(X | F2)dP
=

A

XdP.

A

A

Tù
vàratùtù
đ%nh
nghĩa
1.2.1

có| đang
Đang thúc
sauđó
suy
(6) và
nh¾n
xét ta
E(X
F1) làthúc
F2−đau.
đo đưoc.
(9) Neu A ∈ F thì X và IA đ®c l¾p. Do đó
¸
¸
XdP = EXIA = EX · P(A)
EXdP.
A

=
A

11

Tù đó ta có ket lu¾n.

12

1.3 Martingale vói thòi gian ròi rac

1.3
1.3.1

CHƯƠNG 1. CƠ Sá LÝ THUYNT

Martingale vái thài gian rài rac
Khái ni¾m ve tương thích và dN báo đưac

Giá
súA(Ω,
A,
P)
không
gian
xácnào
suat,
F Ta
∈A
làrang
σ− trưòng
con
cna
và
XX
làlàlà
bien
ngau
nhiên
đó.

nói
X viet
tương
thích
vói
F
neu
F−
đo
đưoc.
Trong
trưòng
hop
đó ta
X
−1
∈
F
Kí
hi¾u
σ(X)
=
X
(B),
trong
đó
B
là
σ−
trưòng

Borel
cna
R.
Rõ
ràng,
X
∈
F
khi
và
chí
σ(X)
⊂
F
Cho
trưóc
dãy
ngau
nhiên X =
{X
n chúa
∈ N}.tatKícáhi¾u
σ({X
N}) là σ− trưòng
conσ({X
bé nhat
n, A
n, n ∈ σ(X
cna
σ−ratrưòng

N. Ta goi
n, n
∈ N})
là σ− trưòngcác
sinh
tù X = {Xnn,),nn∈∈N}.
Đ¾t
σ≤n = σ≤n = σ({Xm, m ≤ n}), m, n ∈ N,
X
σ
X
σ=n = σ=n = σ(Xn),
X
σ≥n = σ≥n = σ({Xm, m ≥ n}), m, n ∈ N,
X
>n
σ
X

= σ>n = σ({Xm, m > n}), m, n ∈ N.

Cho
dãy σ−
trưòng
con⊂{FFn,, nm∈≤N}
A.
đưochan,
goi
là

không
giám,
neu
F
n, cna
∀m,
n Dãy
∈
N.này
Chang
m
n
{σ
,
n
∈
N}
là
ho
không
giám.
Ta
lưu
ý
rang
σ
gom
các
bien
≤n

≤n
co quan sát
đưoc tính đen thòi điem n.
Đ%nh
nghĩa 1.3.1.
Vói{X
các
kí hi¾u như trên, ta nói rang quá
trình
n, Fn, n ∈ N} là dãy tương thích, neu
Xn ∈ ngau
Fn vóinhiên
moi nX∈=N.
Ta
nóineu
rang
V =
n, Fmoi
n−1,nn∈∈
đưoc
V ∈
F {Vvói
N.N, F−1 = F0} là dãy dn báo
n

n−1

Rõ ràng dãy dn báo đưoc là dãy tương thích.
1.3.2

Thài điem dNng

Đ%nh
1.3.2.
: Ω
→ N
∪ thòi
{∞}điem
là bien
ngauđoi
nhiên
( có thenghĩa
lay giá
tr% Giá
∞). sú
Ta τnói
rang
τ là
Markov
vói
{Fn, n ∈ N}, neu
{ω : τ (ω) = n} ∈ Fn,

∀n ∈ N.

Neu thêm vào đó P(τ < ∞) = 1, thì τ đưoc goi là thòi điem dùng.

Chú ý 1.3.3. τ là thòi điem Markov khi và chí khi
{ω : τ (ω) ≤ n} ∈ Fn,

∀n ∈ N.
Ví dn 1.3.4. Neu τ (ω) ≡ n(∈ N ∪ ∞), thì hien nhiên τ là thòi
điem Markov.
Ví dn 1.3.5. Giá sú {Xn, n ∈ N} là dãy các bien ngau nhiên, và B
là t¾p Borel cna R. Đ¾t
[
min{n : Xn ∈ B}
neu ω ∈
{Xn ∈ B}
τB =
n∈N

∞
neu Xn ∈/ B ∀n ∈ N.
Khi đó, τB là thòi điem Markov đoi vói {σ≤n, n ∈ N}. Chúng
minh suy ra tù
{τB ≤ n}
=

n

[

{Xk ∈ B} ∈ σ≤n, ∀n ∈ N.

k=0

Ví dn 1.3.6. Giá sú {Xn, n ∈ N} là dãy các bien ngau nhiên, và
Bn, n = 1, 2, . . . là dãy t¾p Borel cna R. Đ¾t τ1 = τB1 ;
[


{Xn ∈ B2} ∩ {τ1 < ∞}
min{n > τB 1 : Xn ∈ B2}, ω ∈
τ2 = 
n∈N
∞ trong trưòng hop còn lai.
τđiem
đ%nhđoi
nghĩa
(τn, n minh
∈ N)đoi
là dãy
thòi
n đưoc
Markov
vói tương
{σ≤n, ntn.∈Khi
N}.đó,
Chúng
vói τcác
2 suy ra
n
[
{τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∩
{Xk ∈ B2}.
k=0

Tính chat 1. Giá sú τ là thòi điem Markov đoi vói {Fn, n ∈ N.
Khi đó
{τ < n} ∈ Fn.

Tính
chat
2. Neu= τmin(τ
các
điem
Markov, τđoi
vói {Fn, n ∈
1, τ2 là, τ
N},
thì
τđiem
τthòi
τ2∈
= N}.
max(τ
1 ∧ τ2Markov
1 vói
2), {F
1 ∨, n
1 2), và τ1 + τ2 là
các
thòi
đoi
n
Tính chat 3. Neu τ_
1, τ2, . . . là dãy^các thòi điem Markov đoi vói
{Fn, n ∈ N}, thì
τn = sup τn,
τn =n inf τn cũng là thòi điem
n

n

Markov đoi vói {Fn, n ∈ N}.

n

Tính
chat
4. Neuτ và
τ làσ thòi
điem
Markov
đoi vói
N},
n, n
thì
τsao
∈
F
là thì
các
thòi
điem Markov
đoi{F
vói
{F∈
τ . Neu
n, n ∈

N}
cho
P(τ
≤
σ)
=
1,
F
τ ⊂ Fσ .
Tính chat 5. Neu τ1, τ2, . . . là dãy các thòi điem Markov đoi vói
{Fn, n ∈ N}, và τ = inf τk, thì
k
\
Fτ =
Fkτ .
k

Tính chat 6. Neu τ, σ là các thòi điem Markov đoi vói {Fn, n ∈ N},
thì các bien co
{τ < σ},
{τ = σ},
{τ ≤ σ}
thu®c vào Fτ ∩ Fσ.
Tính
7. Giá
∈ N}
điem chat
Markov
đoi sú
vói{X

{Fnn,,Fn.n,∈n N},
thìlà dãy tương thích và τ là thòi
Xτ (ω)(ω) neu ω ∈ {τ (ω) < ∞}
Xτ : Ω → R, Xτ (ω)
0
neu ω ∈ {τ (ω) = ∞}.
=
là đo đưoc đoi vói Fτ , túc là, Xτ ∈ Fτ .
Tính
chat
8. điem
Giá sú
f : Ω đoi
→ Rvói
là {F
bien, nngau
nhiên
Fđó
∞−fđo
và
τđưoc
là
thòi
Markov
∈ N}.
Khi
là đưoc
Fτ −
n N, han
đo

neu
và
chí
neu
vói
moi
n
∈
che
cna
f
trên
{τ
=
n} là Fn− đo đưoc, túc là, f I{τ = n} ∈ Fn.
Neu Z là bien ngau nhiên không âm ho¾c có kì vong huu han, thì
ta có
E(Z | Fτ ) = E(Z | Fn) trên t¾p {ω : τ = n}, ∀n ∈ N.
1.3.3

Martingale

Đ%nh nghĩa 1.3.7. Giá sú (Ω, A, P) là không gian xác suat. Dãy X =
{Xn, Fn, n ∈ N} đưoc goi là martingale trên (đoi vói {Fn, n ∈ N}),
neu
(i) {Xn, Fn, n ∈ N} là dãy tương thích;
(ii) E |Xn| < ∞,

∀n ∈ N;

(iii)vói m ≤ n, m, n ∈ N
E(Xn | Fm) ≤ Xm,

P − hau chac chan.

Đ%nh nghĩa 1.3.8. Giá sú (Ω, A, P) là không gian xác suat. Dãy X =
{Xn, Fn, n ∈ N} đưoc goi là martingale dưói (đoi vói {Fn, n ∈ N}),
neu
(i) {Xn, Fn, n ∈ N} là dãy tương thích;
(ii) E |Xn| < ∞,

∀n ∈ N;

(iii) vói m ≤ n, m, n ∈ N
E(Xn | Fm) ≥ Xm,

P − hau chac chan.

Đ%nh nghĩa 1.3.9. Giá sú (Ω, A, P) là không gian xác suat. Dãy
X = {Xn, Fn, n ∈ N} đưoc goi là martingale (đoi vói {Fn, n ∈ N}),
neu
(i) {Xn, Fn, n ∈ N} là dãy tương thích;
(ii) E |Xn| < ∞,

∀n ∈ N;

(iii) vói m ≤ n, m, n ∈ N
E(Xn | Fm) = Xm,

P − hau chac chan.

Ví
1.3.10.
n ∈đóN}
là tong
dãy các
bien ngau nhiên đ®c
l¾pdnvói
EXn =Giá
0, nsú∈{X
N.n,Khi
các
riêng
Sn = X0 + · · · + Xn
là
đoi vói
σ(X
, . ,. ta
. , có
Xn). Th¾t v¾y, do Sn−1
∈ dãy
Fn−1martingale
, tính đ®c l¾p
cnaFXn n=vói
F0n−1
E(Sn | Fn−1) = E(Sn−1 + Xn | Fn−1) = Sn−1 + EXn = Sn−1.
Ví
dn 1.3.11. Giá sú {Xn, n ∈ N} là dãy các bien ngau nhiên nào
đó

cnacó E |X| < ∞ và {Fn, n ∈ N} là dãy σ− trưòng con không giám
A. Khi đó, dãy
Xn = E(X | Fn)
là dãy martingale đoi vói Fn, n ∈ N. Th¾t v¾y, vì Fn−1 ⊂ Fn, Xn ta
có
Xn−1 = E(X | Fn−1) = E(E((X | F ) | Fn−1)) = E(Xn | Fn−1).
Tính
chat
Neu X phu
= {X
∈N.
N} là martingale, thì hàm
n, Fn, nn∈
trung
bình
EX1.n không
thu®c
Tính
chat 2.bình
NeuEX
X =không
{Xn, Fgiám
N}nlà∈martingale
dưói, thì
n, n ∈
hàm trung
theo
N.
n

Tính chat 3. Neu X = {Xn, Fn, n ∈ N} là martingale, thì hàm
p
E |Xn| , 1 ≤ p < ∞ không giám theo n ∈ N.
Tính
chat 4. Giávà
súτ,Xσ=là{X
Fn, nđiem
= 0, Markov
1, . . . , N}
n, thòi
martingale
hai
(đoi là
vói Fn, n
= 0, 1, . . . ,trên,
N)
sao cho
P{τ ≤ N} = P{σ ≤ N} = 1.
Khi
đó
Xσ ≥ E(Xτ | Fσ),
({τ ≥ σ}, P − hau chac
chan),
P{ω ∈ {τ ≥ σ} : Xσ < E(Xτ | Fσ)} = 0
túc là
ho¾c tương đương
Xτ∧σ ≥ E(Xτ | Fσ),
(P − hau chac chan)
Tính chat 5.

• Giá
X = thòi
{Xn, Fn, nMarkov
= 0, 1, .(đoi
. . , vói
N} là, martingale
τ,
σ sú
là hai
n = 0, 1, . trên,
. . , Nvà)
sao
cho
P{σ ≤ điem
τ ≤ N} = 1. Khi
đó, taFncó
EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN .
• Giá
sú
=hai
{Xthòi
0, 1, . . (đoi
. , N}
là
martingale
n, Fn, n = Markov
và
σX
là
vóita

Fncó
, n = 0, 1, dưói,
...,
N ) τ,sao
cho
P{σ ≤điem
τ ≤ N} = 1. Khi
đó,
EX0 ≤ EXσ ≤ EXτ ≤ EXN .
• Giá
X = thòi
{Xn, Fn, nMarkov
= 0, 1, .(đoi
. . , vói
N} là martingale trên, và
τ,
σ sú
là hai
sao
cho
P{τ ≤ điem
N} = 1. Khi đó,
ta có Fn, n = 0, 1, . . . , N )
E |Xτ | ≤ EX0 + 2EX−N ≤ 3 sup E |Xn| .
n≤N

Tính
chat 6. Giá
{Xthòi
0, 1, . . . vói

, N}
n, Fn, n =Markov
martingale
và sú
τ,
σXP{τ
là=hai
Fn, là
n
= 0, 1, . . . ,trên,
N ) sao
cho
≤ N} =điem
P{σ ≤ N} =(đoi
1. Khi đó
Xσ = E(Xτ | Fσ),
({τ ≥ σ}, P − hau chac
chan), ho¾c tương đương
Xτ∧σ = E(Xτ | Fσ),

(P − hau chac chan)

Đ¾c bi¾t, neu P{σ ≤ τ ≤ N} = 1, thì
EX0 = EXσ = EXτ = EXN .
Tính
chat 7. Giá sú X dưói),
= {Xn,và
Fnτ, n
0, 1,

. . .Markov
, N} là(đoi vói
martingale
là =thòi
điem
Fn, n ∈ N).(martingale
Khi
đó, dãy "ngat" tai thòi điem τ , túc là
X τ = {Xn τ , , n ∈ N}
∧F
n
cũng là martingale (martingale dưói).

Chương 2

Các bat đang thNc trong xác suat
2.1

Bat đang thNc moment

2.1.1

Bat đang thNc Chebyshev

Giátrên
sú X[0,∈∞).
L0 Khi
và gđó
: Rneu

−→g(X)
R+ >
là 0hàm
giám
thì Borel không âm và không
Eg(X)
.
P{ω : X(ω) ≥ s}
g(X)
≤
Chúng minh. Đ¾t A = {ω : X(ω) ≥ s}, ta có
Eg(X) ≥ Eg(X)1A ≥ g(s) · E1A = g(s) · P(A)
H¾ quá 2.1.1.

DX

P{ω : |X(ω) − EX| ≥ s}
≤
E |X|

s2

∀s > 0,

(2.1)

p

P{ω : |X(ω)| ≥ s}
∀p > 0, ∀s > 0

(2.2)
sp
≤
Ngưòi ta thưòng goi (2.1) là bat đang thúc Chebyshev; (2.2) là bat
đang thúc Markov
Ý nghĩa: Neu biet phương sai cna X thì ta se biet vói xác suat
bang bao nhiêu đe X rơi vào lân c¾n s cna giá tr% trrung bình, túc
là cho ta biet múc đ® t¾p trung (phân tán) cna X quanh EX.
Ví dn 2.1.2. Neu D = 5 · 10−2; s = 10−1 thì:
P{ω : |X(ω) − EX| < 0, 1} ≥ 1 − 5 · 10−2 = 95%
19

2.1 Bat đang thúc moment

2.1.2

CHƯƠNG 2. CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT

Bat đang thNc Cr

Neu X, Y ∈ Lr vói r > 0 thì
r

r

r

E |X + Y | ≤ CrE |X| + CrE |Y | .
trong

đó

.

1 2r−1vói vói
0 1
1.

Cr =

Chúng minh. Trưóc het ta chúng minh bat đang thúc so hoc
r

r

r

|a + b| ≤ Cr |a| + Cr |b|

∀a, b, r > 0.

(2.3)

Xét hàm ϕ(t) = tr + (1 − t)r trên [0, 1].
1
Vói r > 1 hàm ϕ(t) có cnc tieu tai t . Túc là
2
=
1

1
1
ϕ(t) = tr + (1 − t)r ≥ ϕ( ) =
=
.
2
2r−1
Cr
Vói 0 < r ≤ 1, hàm ϕ(t) có cnc tieu tai t = 0 và t = 1. Túc là
1
ϕ(t) ≥ ϕ(0) = ϕ(1) =
Cr
V¾y ta có
1
∀r > 0; 0 ≤ t ≤ 1.
tr + (1 − t)r ≥
Cr
|a| , ta có
Thay t =
|a| + |
b|
r

r

r

|a + b| ≤ (|a| + |b|)r ≤ Cr |a| + Cr |b| .
Thay a, b cna (2.3) bang X, Y roi lay kì vong ta đưoc
r

r

r

E |X + Y | ≤ CrE |X| + CrE |Y | .

2.1.3

Bat đang thNc Holder

Giá sú p, q ∈ (1, +∞) sao
cho

1 1
Khi đó

∈
L

p

q

X +p q = 1 và

2.1 Bat đang thúc moment

CHƯƠNG 2. CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT

,Y ∈L.
E |XY | ≤" X "p · " Y "q .

(2.4)

Chúng minh. Vì hàm f (x) = xp, x ∈ (0, +∞) loi dưói, nên
f (x) − f (1) ≥ f r(1)(x − 1)
hay
xp − 1 ≥ p(x − 1) vói x > 0.

a 1
Thay x = )p , (a > 0, b > 0) vào bat đang thúc sau cùng, ta có
b
(
1
a b
1− 1
p
p − b,
− ≥a b
p p
hay
1 1
a b
p
q
.q p+ q ≥ a b
p

Tù đó ta có (2.4). Neu E |X| · E |Y | = 0 thì (2.4) là hien nhiên.
2.1.4

Bat đang thNc Cauchy-Buniakowski

Giá sú X, Y ∈ L2. Khi đó
E |XY | ≤" X "2" Y "2 .

(2.5)

Chúng
the giá minh.
thiet "(2.5)
X "2là· tam
" Y thưòng
"2> 0. neu " X "2 · " Y "2= 0. V¾y có
Thay a, b trong bat đang thúc sơ cap
2 |ab| ≤ a2 + b2 ,
tương úng, sau đó lay kỳ vong hai ve, ta có
Y
X
và
bói
"X
"Y
"2
"2
.
2E
|

|XY

.

. X2 .
≤E
2

. Y
2

+E

.=
2

2.

" X "2 · " Y
"2
Tù đó ta có (2.5).

"X
"2

" Y "2

2.1.5

Bat đang thNc Minkowski

Giá sú X, Y ∈ Lp, 1 ≤ p < ∞. Khi đó X + Y ∈ Lp và
" X + Y "p≤" X "p + " Y "p .

(2.6)

Chúng minh. Do bat đang thúc Cr ta chí còn phái chúng minh
bat đang thúc Minkowski vói p > 1. Ta có
p

p−1

|X + Y | = |X + Y |·|X + Y |

≤ |X|·|X + Y |

p−1

p−1

+|Y |·|X + Y |

,

M¾t khác, bat đang thúc Holder cho ta:
p−1

E |X| |X + Y |
và

p−1

1

p

1

p

≤ (E |X| ) (E |X + Y | )
1

p

p

1

q

p

E |Y | |X + Y |
≤ (E |Y | )p (E |X + Y | ) q .
Tù đây suy ra đieu phái chúng minh.
2.1.6

Bat đang thNc Jensen

Giá sú ϕ : R → R là hàm loi dưói, X và ϕ(X) là các bien ngau
nhiên khá tích. Khi đó
Eϕ(X) ≥ ϕ(EX).

(2.7)

Chúng minh. Th¾t v¾y, vì ϕ là hàm loi nên ϕ liên tuc có đao hàm
phái, và đao hàm trái tai moi điem. Do đó ϕ(X) cũng là bien ngau
nhiên, ngoài ra vói x0 ∈ R tùy ý ta có
ϕ(x) ≥ ϕ(x0) + (x − x0)k(x0),

x ∈ R,

(2.8)

ó đây k(x0) có the lay là đao hàm phái ho¾c trái cna ϕ tai x0.
Thay x bói X, x0 bói EX vào (2.8) sau đó lay kỳ vong ta có
Eϕ(X) ≥ ϕ(EX) + k(EX)(EX − EX) = ϕ(EX).

2.1.7

Bat đang thNc Liapunov

Đoi vói bien ngau nhiên X bat kì và 0 < s < t, ta có
" X "s≤" X "t .

(2.9)

t
s

Chúng minh. Th¾t v¾y, áp dung (2.7) vói ϕ(x) = |x| và thayX bói
s
|X| ta có
t
t
s

s

E(|X| )s ≥ (E |X| )s ,
hay

t

s

E |X| ≥ (E |X| )st .
Đó chính là (2.9). Đ¾c bi¾t
2

1

1

n

E |X| ≤ (EX ) ≤ · · · ≤ (EX )n ≤ · · · ≤" X∞ "
2

,

trong
đó
" X "∞ = sup{x : P[|X| > x] > 0}
= inf{y : P[|X| > y] = 0}.

2.1.8

Bat đang thNc Kolmogorov

a. Giá
đ®c
= 0,sú
DX(X
<)n≥1
∞, klà=dãy
1, n.các
Khibien
đó, ngau
vói s nhiên
tùy ý ta
có:l¾p và EXk
k n
DSn
P {max |Sn| ≥ s} ≤

,
k≤ n

trong đó Sn = X1 + · · · + Xn.
b. Neu có m®t so c > 0 nào đó mà P {|Xk | ≤ c} = 1, k = 1, n thì
(c + s)2
.
P {max |Sn| ≥ s} ≥ 1
−
DSn
k≤n

Chúng minh.

a. Kí hi¾u A = {max |Sk| ≥ s}
k≤n

Ak = {ω : |S1| < s, . . . , Sk−1 < s, |Sk| ≥ s}, k = 1, n.
n
.
Ta có A =
Ak và
k=1
2

2

n

ES ≥ ES IA =

n

.

n

k=1

M¾t
khác

n

ES2IA
k

Các bất đẳng thức trong xác suất

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về