TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ THƠ

BÀI TOÁN NHẬN DẠNG
TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU
KHIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ HÀ BÌNH
MINH, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em
những kiến thức nền tảng để em hoàn thành bài khóa luận
này. Thầy cũng là người đã giúp em ngày càng tiếp cận và
có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc
cùng Thầy. Em xin bày tỏ tới anh PHẠM VĂN DUẨN, người đã
rất nhiệt tình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá
trình gõ Tex và hoàn thành khóa luận. Anh cũng là người
cung cấp thêm tư liệu và kiến thức giúp em giải đáp được
những điều chưa hiểu và băn khoăn. Em xin bày tỏ lòng biết
ơn tới các thầy, các cô công tác tại Khoa Toán Trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2 và các Thầy cô đã trực tiếp giảng

dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời
gian qua. Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến
những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ,
động viên và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình
học tập và hoàn thiện luận văn này.


Lời cam đoan
Tên tôi là: Hoàng Thị Thơ, sinh viên Đại học khóa 2009 –
2013 lớp K35CN Toán Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan đề tài: “ Bài toán nhận dạng
trong lý thuyết điều khiển”, là kết quả nghiên cứu và thu
thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề
tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có gì
không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm trước hội đồng khoa học.


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
i
Nội dung chính....................................................................... iii
Chương 1: Hệ động lực tuyến tính

1

1.1 Hệ động lực tuyến tính..........................................................1
1.2 Hàm Truyền................................................................................5

1.2.1 Phép biến đổi Laplace...............................................5
1.2.2 Một số phép toán với ma trận hàm truyền........7
1.3 Các tham số Markov của hàm truyền..............................8
1.3.1 Biểu diễn trong không gian trạng thái của hàm
truyền 8
1.3.2 Biểu diễn của điều khiển được và quan sát được
..
10
1.4 Dạng biểu diễn tối thiểu của hệ......................................12
1.4.1 Tính chất.......................................................................13
Chương 2: Xác định biểu diễn tối thiểu từ các tham số
Markov
19
2.1 Một số đặc tính cơ bản ma trận Hankel của tham số
Markov 19
2.2 Thuật toán SVD cho biểu diễn tối thiểu.......................24
2.2.1 Thuật toán SVD.........................................................24
2.2.2 Ví dụ...............................................................................25
2.3 Thuật toán SVD sửa đổi cho biểu diễn tối thiểu........29
2.3.1 Ví dụ...............................................................................30
Tài liệu tham khảo................................................................ 36


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng
trong đời sống, đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn
thông và xử lý tín hiệu nói riêng. Ta thường xây dựng mô
hình toán học từ các quá trình vật lý. Có rất nhiều vấn đề
cơ bản cần nghiên cứu trong lĩnh vực điều khiển. Một

trong số những vấn đề có tính chất kinh điển là bài toán
điều khiển. Nó có ứng dụng rộng rãi trong ngành toán
ứng dụng, nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn là đề tài mà
các nhà khoa học rất quan tâm và nghiên cứu. Để có thể
hiểu rõ hơn về bài toán này em đã chọn đề tài “Bài toán
nhận dạng trong lý thuyết điều khiển” để làm đề tài
nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu
Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản
và quan trọng của lý thuyết điều khiển nói chung các
phát triển mới về khái niệm điều khiển nâng cao đều có
sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính.
Khóa luận này tôi chọn đề tài bài toán nhận dạng trong
lý thuyết điều khiển.
Nội dung bao gồm 2 phần sau:
• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính.
• Chương 2: Xác định biểu diễn tối thiểu từ các tham số
Markov.
3. Mục đích- Yêu cầu
i
Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN


MỤC LỤC

• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự
định hướng của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung
khoa học
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết
(Các khái niệm, các tính chất, các bài toán đã được

đặt ra, một số ứng dụng, ...)
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình
4. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán nhận dạng của hệ tuyến tính thời gian liên tục và
các kiến thức liên quan.
5. Phạm vi
• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu
thập thêm
• Thời gian thực hiện khóa luận

ii
Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN


Nội dung chính
1. Tên đề tài
Bài toán nhận dạng trong lý thuyết điều khiển.
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 2 chương:
• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính
- Hệ động lực tuyến tính
- Hàm truyền
- Các tham số Markov của hàm truyền
- Dạng biểu diễn tối thiểu của hệ
• Chương 2: Xác định biểu diễn tối thiểu từ các tham số
Markov
- Một số đặc tính cơ bản ma trận Hankel của tham số
Markov
- Thuật toán SVD cho biểu diễn tối thiểu
- Thuật toán SVD sửa đổi cho biểu diễn tối thiểu

3. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tra cứu, phân tích,tổng hợp tài liệu
• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều
khiển
• Phương pháp quan sát, đọc sách

iii
Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN


Chương 1

Hệ động lực tuyến tính
Chương này giới thiệu hệ động lực tuyến tính trong mô
hình không gian trạng thái và các khái niệm liên quan.
1.1

Hệ động lực tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1. Một hệ động lực tuyến tính liên tục với tham
số bất biến được mô tả qua hai phương trình :
.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0
(1.1)
y(t) = Cx(t) + Du(t),
(1.2)
trong đó:
x(t) là vectơ n chiều được gọi là trạng thái của hệ,
u(t) là vectơ m (m ≤ n) chiều được gọi là đầu vào của hệ,

y(t) là vectơ r chiều được gọi là đầu ra của hệ,
x(t0) là điều kiện ban đầu.
Ma trận A, B, C và D là các ma trận thực, có số chiều lần
lượt là
n × n, n × m, r × n, r × m.

1
Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN


Nếu n=r=1, ta nói hệ thống có duy nhất đầu vào và đầu
ra hay còn gọi là hệ thống SISO.

2
Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN


CHƯƠNG
1.

HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN
TÍNH

Nếu có nhiều đầu vào và đầu ra ta gọi là hệ thống MIMO.

Hình 1.1: Hình minh họa một hệ động lực tuyến
tính.

Ví dụ 1.1.2. Ta xét một ví dụ trong [2]. Ta xét mạch điện RLC
nối tiếp có sơ đồ sau:


Hình 1.2: Mạch điện RLC nối tiếp.


Các biến trạng thái được lấy là điện thế tại tụ và dòng qua các
điện cảm :

L1
L2
C

diL1 (t)

= −R i (t) − e (t) + e(t),
1 L1

(t)
diLdt
2

C

= −R i (t) + e (t),
2 L2

dedt
C (t)

C


= i (t) − i (t)
L1

dt

L2

 
 L11 
0 , ta biểu diễn
Chọn x1 = iL1 , x2 = iL2 , x3 = eC , u = e(t),
b=
 
0
trong mô hình không gian trạng thái của hệ trên bởi hệ:




 R1
1
x˙
0
−
x
(t)
1 (t)
1 

 − L1

R2
1L1  
x˙
(t)
=
=
x˙
(t)
0
−
x

2
2(t) + bu(t).




L12
L2  
1
−C
0
x˙3(t)
x3(t)
C
Định lý 1.1.3. Nghiệm của hệ phương trình động lực (1.1), (1.2) được
cho bởi:
¸ t
A(t−t0)

x(t) = (e
)x0
eA(t−s)Bu(s)ds.
(1.3)
t0
+
y(t) = C(e
+
Nếu u(t)=0 thì

A(t−t0)

¸
)x0

t

CeA(t−s)Bu(s)ds + Du(t).

(1.4)

t0

x(t) = eA(t−t1)x(t1),

với mỗi t ≥ t0, và bất kì t1 ≥ t0.
Định nghĩa 1.1.4. Ma trận eA(t−t1) được gọi là ma trận chuyển
trạng thái.



Tại thời điểm bất kỳ có thể xác định từ trạng thái tại một
thời điểm khác qua ma trận chuyển trạng thái nên không làm
mất tính tổng quát,


giả sử rằng t0 = 0.
Giả sử t0 = 0, khi đó phương trình (1.3) và (1.4) được rút gọn
như sau:
x(t) = eAtx0 + ¸

t

eA(t−s)Bu(s)ds.

0

và
y(t) = Ce
+

A(t)

¸
x0

t
0

CeA(t−s)Bu(s)ds + Du(t).


(1.5)
(1.6)

Định nghĩa 1.1.5. Ma trận eAt được định nghĩa như trên có dạng :
At

e

=

∞
.
k=0

k

(At)
k!

được gọi là ma trận hàm mũ.
Chứng minh. Lưu ý rằngdtd (eAt) = AeAt.
Trước tiên ta khẳng định rằng biểu thức (1.5) thỏa mãn (1.1)
với t = 0. Từ (1.5) ta có:
¸ d
.
t

x(t) = AeAtx0 + Bu(t) +

eA(t−s)Bu(s)ds

0 dt
¸ t
A(t−s)
At
Bu(s)ds
= Ae x0 + Bu(t) + A e
0

At

= A[e x0
+

¸

t
0

eA(t−s)Bu(s)ds] + Bu(t) = Ax(t) + Bu(t).

Cũng lưu ý rằng tại t = 0 thì x(0) = x0. Do đó nghiệm x(t) thỏa
mãn các điều kiện ban đầu.
Thay biểu thức x(t) từ (1.5) vào (1.6) ta được:


y(t) = Cx(t) + Du(t).

1.2
1.2.1


Hàm Truyền
Phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.2.1. Giả
∞ sử f là một hàm của biến số thực t sao
cho tích phân ¸ f (t)e−stdt hội tụ với ít nhất một số phức s, thì
khi đó ảnh của
0

hàm f qua phép biến đổi Laplace là hàm F được định nghĩa bởi
tích phân sau
¸ ∞
F (s) = L{f (t), }
f (t)e−stdt.
(s) =
0
Xét hệ động lực tuyến tính mô tả bởi hệ:
.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0
y(t) = Cx(t) + Du(t)

(1.7)
(1.8)

Cho
s),
tương ứng biểu thị cho các phép biến đổi
ˆ
ˆ ˆ s) và s)

Laplace
x( y(
u(
của x(t), y(t), u(t).
Thực hiện phép biến đổi Laplace cho hệ (1.7), (1.8) với x(0)
= x0 ta được:

ˆ

x(s) + Bu(s)
ˆ
x(s) + Du(s)
ˆ

(1.9)
(1.10)


Từ (1.9), (1.10) ta
có:

u(s),
u(s).

ˆ

(1.11)
(1.12)

ˆ

Trong đó
:

R(s) = (sI − A)−1, G(s) = C(sI − A)−1B + D.

Nếu x(0)=0 thì ta có:
ˆ

u(s).

Định nghĩa 1.2.2. Hàm truyền là tỉ số của biến đổi Laplace
đầu vào và đầu ra khi các điều kiện ban đầu bằng 0. Gọi
G(s) là hàm truyền ta có:
y(s)
ˆ
G(s) =
,
u(s)
ˆ
trong
đó:
y(s) là biến đổi Laplace đầu vào.
ˆ
u(s) là biến đổi Laplace đầu ra.
ˆ
Để tiện cho việc tính toán, ma trận hàm truyền G(s) có thể
được biểu diễn dưới dạng
G(s) = .

AB

C D

.

.


Ví dụ 1.2.3. Hệ (1.1), (1.2) với các ma trận tham số
0 ., B
A=
=
0 −3
.1

1
có hàm
truyền

1.2.2

G(s) = C(sI

−

.
.
0
1

D = 7,


.,

A)−1B + D =

7s + 23
s+3

.

Một số phép toán với ma trận hàm truyền

Cho G1(s) và G2(s) là các hàm truyền của hai hệ S1 và S2.
Khi đó ta có:
1. Tổng của 2 hàm truyền G1(s) + G2(s) biểu diễn hàm
truyền của các kết nối song song S1với S2:

.
.
A
0
1

 1
. .
2 2
B
A1 B1 +
=
0


G1(s)+G2(s)
B2
A B

C2
C1
=
A2

D2
D1
C1 C2 D1 + D2
2. Tích hai hàm truyền G1(s)G2(s) là hàm truyền của hệ nối
tiếp của
S1với S2:
. .

.
G1(s)G2(s)
=

A1 B1
C1
D1

A

=
B


C2
D2



.

2
2



A1


A2
B1 C2

0



BB1D2

1


D1C2 C1 D1D2
3. Ma trận chuyển vị của hàm truyền G(s) được xác định như

sau:
GT (s) = BT (sI − AT )−1CT + DT ,


hay
GT (s)
=

.

T

A B

T

.

C T DT

4. Ma trận liên hợp của G(s) được xác định là:
G˜(s) ≡ GT (−s) = B T (−sI − AT )−1C T + DT ,
tương đương với

. −A −C .
T
T
˜
G (s) =
−BT DT


5. Nghịch đảo ma trận hàm truyền G(s) được ký hiệu bởi
Gˆ(s), là ma trận sao cho:
G(s)Gˆ(s) = Gˆ(s)G(s) = I.
Nếu G(s) là bậc 2 và D là
. khả nghịch thì:
.
−1
−1
A − BD C −BD
Gˆ(s) ≡ G−1 (s)
D−1C
D−1
=
1.3
1.3.1

Các tham số Markov của hàm truyền
Biểu diễn trong không gian trạng thái của hàm truyền

Định nghĩa 1.3.1. Cho G(s) là ma trận hàm truyền có cỡ r × m.
Một bộ các ma trận (A, B, C, D) thỏa:
G(s) = C(sI − A)

−1

B+D

(1.13)


được gọi là một biểu diễn trong không gian trạng thái của G(s).


Định nghĩa 1.3.2. Hệ động lực cho bởi:
.

x(t) = Ax(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t) + Du(t),

(1.14)
(1.15)

được gọi là điều khiển được (controllable) nếu với bất kỳ trạng
thái khởi tạo x(0) = x0 và trạng thái kết thúc x1, t1 > 0 đều
tồn tại đầu vào u sao cho thỏa mãn x(t1) = x1.
Điều này được chứng minh tương đương với ma trận điều khiển
CO = [B AB A2B . . . An−1B ]
có hạng bằng n.
Định nghĩa 1.3.3. Hệ động lực cho bởi:
.

x(t) = Ax(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t) + Du(t),

(1.16)
(1.17)

được gọi là quan sát được (observable) nếu với bất kỳ t1 > 0,
trạng thái khởi tạo x(0) = x0 có thể được xác định từ đầu vào
u(t) và đầu ra y(t) trong đoạn [0, t1].

Điều này được chứng minh tương đương với ma trận quan sát
OB =


C 
CA



2
 CA 
 có hạng bằng n.

.. 
 . 
CAn−1


1.3.2

Biểu diễn của điều khiển được và quan sát được

Cho ma trận truyền được viết lại như sau:
G(s) = D + P
.
(s)
Ở đây P (s) là đa thức bậc h − 1:
d(s)

(1.18)


P (s) = P0 + P1s + · · · + Ph
−
h−1
1s

,

(1.19)

và d(s) = sh + −1sh−1 + · · · + s + là đa thức đặc trưng có bậc
dh
là
d0
d1
h (h là bậc của đa thức mẫu chung nhỏ nhất của tất cả các
thành phần
của G(s)). Cho 0p và Ip biểu thị tương ứng ma trận 0 và ma
trận đơn vị cấp p. Ta định nghĩa:

m
m

 0

I

0m
Im



.
A =
..
. .
,
 .

.
.
.


···
0m
Im 
 0m
−d0Im −d1Im −d2Im · · · −dh−1Im
 m
0 
0

 m
B =  . , C = (P0, · · · ,
.
.
P
h−
0m


 


1),

Im
Ta dễ dàng xác định được.
10
Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN

D = lim G(s),
s→∞

(1.20)

(1.21)


C(sI

−

A)

−1

P (s)
B + D = G(s) = D +
.
d(s)


11
Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN

(1.22)


Cặp ma trận (A, B) là điều khiển được ứng với ma trận hàm
truyền
G(s) được gọi là biểu diễn điều khiển được và có kích thước m
× h.
Khai triển Taylor G(s) :
G(s) = Dr
+

1

1

H1
s
+

s2

H2 + · · ·

(1.23)

Ma trận {Dr, Hk} có thể tìm được như

sau:
Dr = lim G(s)
s→∞

1

H1 = lim s(G(s)− Dr)
s→∞
2

H2 = lim s (G(s) − D
s
−

r

s

H 1)

→∞

..

.

Định nghĩa 1.3.4. Ma trận {Hi} xác định ở trên được gọi là
tham số Markov của hàm truyền G(s).
Chú ý 1.3.5. Tham số Markov có thể được viết:
Hi = CAi−1B, i = 1, 2, · · ·


(1.24)

Ma trận Ar, Br , C r được xác định:

r
 0


Ar =  .
 ..
.

 0r







r

I
0r

Ir
..

..

.

···

0r

Ir





−d0Ir −d1Ir −d2Ir · · ·

−dh−1Ir


Br

Cr

 1
H 
H2 
= 
 3 
H
 .. 
. 
Hh

= (Ir, 0r, · · · , 0r)

Do đó Ar, Br , Cr , Dr được biểu diễn:
G(s) = Cr (sI − Ar)

−1 r

B + Dr .

(1.25)

Đó là một biểu diễn khác của G(s). Khi (Cr , Ar) là quan sát
được gọi là biểu diễn quan sát được của ma trận hàm truyền
G(s) có cỡ r × h.
2
1/4s
2
Ví dụ 1.3.6. Xét hệ SISO với hàm truyền G(s) =
−
s −
=
1/4
.
1
4(s3 − 1)
s3 − 1
Biểu diễn điều khiển được và biểu diễn quan sát được của G(s)
lần lượt
là


















.
.
x= 0 0 1 x+ 0
x= 1 0 0 x+
u,
u,
0
















.
1 0 0
1
0 1 0


1/4
.
.


y .

0 0 1
y = .−1/4 0
=
1/4
1.4

Dạng biểu diễn tối thiểu của hệ



Định nghĩa 1.4.1. Một biểu diễn trong mô hình không gian
trạng thái (A, B, C, D) của G(s) gọi là một biểu diễn tối thiểu
nếu ma trận A có kích thước nhỏ nhất có thể, tức là, nếu (Ar,
Br , C r , Dr) là một biểu diễn khác của G(s) thì khi đó số chiều
của Ar lớn hơn hoặc bằng số chiều của A.