TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐẶNG THỊ THU

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ
TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người
đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nền
tảng để em hoàn thành bài khóa luận này. Thầy cũng là người đã giúp em
ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được
làm việc cùng Thầy.
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người đã rất nhiệt
tình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ Tex và hoàn
thành khóa luận. Anh cũng là người cung cấp thêm tư liệu và kiến thức
giúp em giải đáp được những điều chưa hiểu và băn khoăn.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy, các Cô công tác tại Khoa
Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Thầy Cô đã trực tiếp
giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên môn
cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.

Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong
gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, Tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đặng Thị Thu


Lời cam đoan
Tên em là: Đặng Thị Thu, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp K35
CN Toán – Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Em xin cam
đoan đề tài: “Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục”, là
kết quả nghiên cứu và thu thập của riêng em. Các luận cứ, kết quả thu
được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có
gì không trung thực trong luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm
trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, Tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đặng Thị Thu


Mục lục
Mở đầu....................................................................................................i
Nội dung chính.............................................................................. iii
Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục

1

1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục........................................................1
1.2 Nghiệm của hệ tuyến tính thời gian liên tục...................................3

1.3 Hàm Truyền...........................................................................................4
1.3.1 Phép biến đổi Laplace và tính chất.......................................4
1.3.2 Các phép toán với ma trận Hàm truyền...............................6
Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được của hệ tuyến
tính thời gian liên tục

8

2.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính thời gian liên tục
.
. .
8
2.1.1 Các tiêu chuẩn cho tính điều khiển của hệ tuyến tính
thời gian liên tục......................................................................8
2.1.2 Ví dụ minh họa......................................................................13
2.2 Tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục.............16
2.2.1 Các tiêu chuẩn cho tính quan sát được của hệ tuyến
tính thời gian liên tục............................................................17
2.2.2 Ví dụ minh họa......................................................................20
Chương 3: Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục

22

3.1 Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục.......................22
3.1.1 Tính ổn định Lyapunov của hệ tuyến tính thời gian liên
tục............................................................................................22


3.2 Mối liên hệ giữa tính ổn định và phương trình Lyapunov............24
3.2.1 Các định lý về mối liên hệ giữa tính ổn định và phương

trình Lyapunov........................................................................24
3.3 Ví dụ minh họa...................................................................................27
Tài liệu tham khảo.......................................................................31


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong đời
sống, đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn thông và xử lý tín hiệu
nói riêng. Ta thường xây dựng mô hình toán học từ các quá trình
vật lý. Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần nghiên cứu trong lĩnh vực điều
khiển. Một trong số những vấn đề có tính chất kinh điển là bài toán
điều khiển. Nó có ứng dụng rộng rãi trong ngành toán ứng dụng, nên
từ trước đến nay, nó vẫn luôn là đề tài mà các nhà khoa học rất
quan tâm và nghiên cứu. Để có thể hiểu rõ hơn về bài toán này em
đã chọn đề tài “Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên
tục” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu
Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quan
trọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái
niệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết
điều khiển tuyến tính.
Luận văn này em trình bày về bài toán điều khiển của hệ tuyến tính
thời gian liên tục.
Nội dung bao gồm các phần sau:
• Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục.
• Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được của hệ tuyến
tính thời gian liên tục.
• Chương 3: Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục.


i
Đặng Thị Thu - Toán K35CN


MỤC LỤC

3. Mục đích- Yêu cầu
• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng
của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng
dụng, ...)
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình
4. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục và các kiến
thức liên quan.
5. Phạm vi
• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm
• Thời gian thực hiện khóa luận
• Nơi thực hiện khóa luận (những khó khăn và thuận lợi tại nơi
nghiên cứu khoa học)

ii
Đặng Thị Thu - Toán K35CN


Nội dung chính
1. Tên đề tài
Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục
2. Kết cấu của nội dung

Gồm 3 chương:
• Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục
- Hệ tuyến tính thời gian liên tục
- Nghiệm của hệ tuyến tính thời gian liên tục
- Hàm truyền
• Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được của hệ tuyến
tính thời gian liên tục
- Tính điều khiển được của hệ tuyến tính thời gian liên tục
- Tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục
• Chương 3: Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục
- Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục
- Mối liên hệ giữa tính ổn định và phương trình Lyapunov
3. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu
• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển
• Phương pháp quan sát, đọc sách

iii
Đặng Thị Thu - Toán K35CN


Chương 1

Hệ tuyến tính thời gian liên tục
Chương này giới thiệu về hệ động lực tuyến tính nói chung và hệ
tuyến tính thời gian liên tục nói riêng. Đây là những mô hình toán học
tổng quát của rất nhiều vấn đề thực tế trong lý thuyết điều khiển.
1.1

Hệ tuyến tính thời gian liên tục


Hệ động lực, có thể hiểu một cách tổng quát là một hệ thống mà các
đặc trưng của nó thay đổi theo thời gian, trạng thái tại mỗi thời điểm phụ
thuộc vào trạng thái của chính nó trong quá khứ và tác động bên ngoài
lên hệ thống. Những ví dụ thực tế của hệ động lực rất phong phú như
máy bơm nước, máy điều hòa nhiệt độ, mạch điện, . . .
Định nghĩa 1.1.1. Một hệ tuyến tính thời gian liên tục với tham số bất
biến biểu diễn qua hệ phương trình sau:
.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0
y(t) = Cx(t) + Du(t)

(1.1)
(1.2)

Trong đó:
x(t) là vector n chiều được gọi là trạng thái của hệ,
u(t) là vector m chiều (m ≤ n) được gọi là đầu vào của hệ,
y(t) là vector r chiều được gọi là đầu ra của hệ,
x(t0) là điều kiện ban đầu, mỗi thành phần của x(t) được gọi là một
biến trạng thái.
9
Đặng Thị Thu - Toán K35CN


CHƯƠNG 1. HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN
TỤC

A, B, C và D là các ma trận không phụ thuộc t với kích thước lần lượt

là
n × n, n × m, r × n, r × m.
Phương trình (1.1) được gọi là phương trình trạng thái,
Phương trình (1.2) được gọi là phương trình đầu ra.
Biểu diễn theo (1.1), (1.2) được gọi là một mô hình không gian trạng
thái với tham số bất biến của hệ động lực.

Hình 1.1: Mô hình của hệ động lực.

Ví dụ 1.1.2. Ta xét một ví dụ được đưa ra trong [2].
Xét mạch RLC được mô tả như hình 1.2 với nguồn vào u(t) và đầu ra là
y(t). Các phương trình cường độ dòng và điện thế của mạch:

Hình 1.2: Mạch RLC.


u = ir + il + ic , ic = de
di
,
e
=
= RiR.
C
C
C
L
L
dt
dt
Định nghĩa các biến trạng thái x1 := iL, x2 := eC thì mạch điện được

mô tả bởi hệ tuyến tính:
.

x = Ax + Bu,
y = Cx + D,
trong đó: x = [x1,
x2]T ,
A=

1.2

.

0

1/L

.

−1/C −1/RC

,B
=

. 0. ,C
=
1/C

. , D = 0.
.

0
1

Nghiệm của hệ tuyến tính thời gian liên tục

Định lý 1.2.1. Nghiệm của các phương trình động lực thời gian liên tục
(1.1), (1.2) được cho bởi:
t

x(t) = eA(t−t00)x
+

eA(t−t0)Bu(s)ds,

(1.3)

¸
t0

y(t) =
CeA(t−t0)x

+
0

t

¸

CeA(t−t0)Bu(s)ds + Du(t).


(1.4)

t0

Nhận xét 1.2.2. Nếu u(t)=0 thì x(t) = eA(t−t0)x(t1), với t ≥ t0, t1 ≥ t0.
Định nghĩa 1.2.3. Ma trận eA(t−t1) được gọi là ma trận chuyển trạng
thái.
Do trạng thái tại thời điểm bất kỳ có thể xác định từ trạng thái tại
một thời điểm khác qua ma trận chuyển trạng thái nên không làm mất


tính tổng quát, giả sử rằng t0 = 0. Khi đó các phương trình (1.3) và (1.4)
được viết lại


như
sau:

t

At

x(t) = e x0 +

¸

0

eA(t−s)Bu(s)ds,


(1.5)

t

y(t) = CeA(t)0x + CeA(t−s)Bu(s)ds + Du(t).

(1.6)

¸
0

Định nghĩa 1.2.4. Ma trận eAt được định nghĩa như trên có dạng :
∞

At

e

=

k

.

k=0

(At)
k! .


được gọi là ma trận hàm
mũ.
Chứng minh. Lưu ý rằng d (eAt) = AeAt.
Trước tiên ta khẳng địndt h rằng biểu thức (1.5) thỏa mãn (1.1) với t = 0.
Từ (1.5) ta có:
x(t)
= AeAtx
.

¸
0 + Bu(t) +

t
0

= AeAtx + Bu(t) +
0
A
t

= A[eAtx0 +

¸

¸

d eA(t−s)Bu(s)ds
dt
t
eA(t−s)Bu(s)ds


0

eA(t−s)Bu(s)ds] + Bu(t).

0

= Ax(t) + Bu(t).
Cũng lưu ý rằng tại t = 0 thì x(0) = x0. Do đó nghiệm x(t) thỏa
mãn các điều kện ban đầu. Thay biểu thức x(t) từ (1.5) vào (1.6) ta được:
y(t) = Cx(t) + Du(t).
1.3
1.3.1

Hàm Truyền
Phép biến đổi Laplace và tính chất


Định nghĩa ∞1.3.1. Giả
sử f là một hàm của biến số thực t sao cho
phân ¸ f (t)e−stdt hội tụ với ít nhất một số phức s, thì khi đó ảnh
ctích
ủa hàm
0


f qua phép biến đổi Laplace là hàm F được định nghĩa bởi tích phân sau
¸ ∞
−st
F (s) = L{f (t), }(s) f (t)e dt.

=

0

Một số tính chất của phép biến đổi Laplace.
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử F, G tương ứng là các hàm ảnh qua phép biến
đổi Laplace của hai hàm f, g. Khi đó,
1. Tính tuyến tính của biến đổi Laplace
L{af + bg}(s) = aF (s) + bG(s), s ∈ C.

t

2. Biến đổi Laplace của đạo hàm
df
L{ }(s) = sF (s) − f (0), s ∈ C.
d

Định nghĩa 1.3.3. Xét:

.
x(t)
= Ax(t) + Bu(t), x(0) =
x0
y(t) = Cx(t) + Du(t)

(1.7)

Cho X(s), Y (s), U (s) tương ứng biểu thị cho các phép biến đổi
Laplace của x(t), y(t), u(t).
Thực hiện phép biến đổi Laplace cho hệ (1.7) với x(0) = x0 ta được:


sX(s) − x = AX(s) + BU
0
(1.8)
(s)
Y (s) = CX(s) + DU (s)
Từ (1.8) ta có:


X(s) = R(s)x(0) + R(s)BU
(s)

Y
(s)
=


CR(s)x0 +
G(s)U (s)

(1.9)


Trong đó :


R(s) = (sI − A)−1
G(s) = CT (sI − A)−1B +
D


(1.10)

Nếu x(0)=0 thì: Y (s) = G(s)U (s).
Định nghĩa 1.3.4. Ma trận R(s) như trên được gọi là giải thức, còn G(s)
được gọi là Hàm truyền.
Ví dụ 1.3.5. Xét hệ tuyến tính thời gian liên tục
.2 1. x(t)
+
x(t) =
0 3
.

.−1.
2

u(t)

.2.
y(t) =
Vớ
i

A=

.2 1. , B
=
0 3

1


x(t)

.−1. , C = .1 2. , D = 0
2

Khi đó Hàm truyền G(s) của hệ được xác định bởi công thức:
6
G(s) = C(sI − A)−1B + D =
s2 − 5s + 6
1.3.2

Các phép toán với ma trận Hàm truyền

Để ngắn gọn với hệ động lực có các ma trận tham số A, B, C, D và
hàm truyền G(s) ta ký hiệu
G(s) = .

1

1.

B
CA
1 D1
Cho G1(s) và G2(s) là các hàm truyền của hai hệ S1 và S2. Khi đó ma
trận hàm truyền có kết nối song song của S1 và S2 là G1(s) + G2(s).


(1) Tổng của 2 hàm truyền G1(s) + G2(s) biểu diễn hàm truyền của các
kết




nối song song S1và S2.
.
. .
2 2
A
 1
.
+
A B
=
0
C2
A1 B 1
G1(s) + G2(s) =
A2
D2
C1 D1


0

1

B
B2






C1 C2 D1 + D2
(2) Tích của 2 hàm truyền là hàm truyền khi tác động nối tiếp vào S1 và
S2( tức là, một hệ thống với đầu ra của hệ thống thứ 2 như là đầu
vào của hệ động lực).

.
. .
2
.
A2
0
1 


B
A
A
=
B
C
B
D
1
1
2
1
2

G1(s)G2(s)

2
=
A1
B
B1 C1

C2
D1
D2
D1C2 C1 D1D2
(3) Ma Trận hàm truyền G(s) có chuyển vị như sau:
GT (s) = BT (sI − AT )−1CT + DT ,
Tương đương:
GT (s) = .

ATT

C
(4) Liên hợp của G(s)
T

T −1

T

BTT

.


D

T

T

G˜(s) ≡
G
Tương
đương

(−s) =
B

C +D ,
(−sI − A
)
.
G˜(s) .
T
T
−A −C
=
−BT −DT

(5) Nghịch đảo của ma trận hàm truyền G(s) kí hiệu là Gˆ(s).


Ta có G(s)Gˆ(s) = Gˆ(s)G(s) = I nếu G(s) là ma trận vuông và D

là khả nghịch khi đó:
Gˆ(s) ≡ G−1 (s)
=

.A

− BD−1C −BD−1 .
D−1C

D−1


Chương 2

Tính điều khiển được và quan sát
được của hệ tuyến tính thời gian liên
tục
2.1

Tính điều khiển được của hệ tuyến tính thời gian liên tục

Định nghĩa 2.1.1. Hệ tuyến tính thời gian liên tục :
.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0
y(t) = Cx(t) + Du(t)

(2.1)
(2.2)


được gọi là điều khiển được (controllable) nếu với bất kỳ trạng thái khởi
tạo x(0) = x0 và trạng thái kết thúc x1, t1 > 0 đều tồn tại đầu vào
u(t) sao cho x(t1) = x1.
Hệ điều khiển được khi ma trận điều khiển
CO = [B AB A2B . . . An−1B ]
có hạng bằng n.
2.1.1

Các tiêu chuẩn cho tính điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục

Định lý 2.1.2. (Tiêu chuẩn Hautus)

Đặng Thị Thu - Toán K35CN

2
1


CHƯƠNG 2.

Điều kiện

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH
THỜI
GIAN
LIÊN
TỤC
cần và đủ để hệ tuyến tính (2.1), (2.2) điều khiển được là:

rank(λI − A, B) = n

với mọi λ là giá trị riêng của A.
Chứng minh. Trước hết ta thấy eAt là ma trận không suy biến nên khi phương
t
x(t) =
trình
0 + ¸ eA(t−t0 ) Bu(s)ds
:
eA(t−t0)x
0
với x0 cho trước có nghiệm u(t) thì phương trình:
t

y(t) = CeA(t−t00)x + CeA(t−t0)Bu(s)ds
¸
0

cũng có nghiệm u(t) và ngược lại. Do đó để chứng minh định lý ta sẽ chỉ
ra rằng:
rank(λI − A, B) = n, ∀λ
là điều kiện cần và đủ để mọi điểm x0 trong không gian trạng thái đạt
tới được.
Gọi X(s) là ảnh Laplace của x(t) và U (s) là ảnh của u(t). Chuyển hai
vế của (2.1), (2.2) sang miền phức với toán tử Laplace, trong đó giá trị
đầu của x(t) được giả thiết là bằng 0 và giá trị cuối x0 là tùy ý, ta được:
(λI − A)X(s) = BU (s)

(2.3)

Vì x0 là tùy ý nên X(s) cũng là tùy ý. Xem các ma trận (λI − A) và
B

như những ánh xạ tuyến tính thì rõ ràng (2.3) có nghiệm U khi và chỉ khi:
Im(λI − A) ⊇ Im(B)
và để điều đó không phụ thuộc λ thì ta phải có:
rank(λI − A, B) = n, ∀λ
Vậy ta có điều phải chứng minh.


Ta nhắc lại định lý Cayley-Hamilton sau:
Định lý 2.1.3. Nếu đa thức đặc trưng của A là:
n

pA (λ) = (λ) + a1
(λ)

n−
1

+ ... + an,

thì pA (A) = An + a1An−1 + ... + anI = 0. Trong đó I là ma trận đơn
vị cấp tương ứng với A.
Định lý 2.1.4. (Tiêu chuẩn Kalman)
Điều kiện cần và đủ để hệ (2.1), (2.2) là điều khiển được:
rank(B, AB, . . . , An−1B) = n
¸

Chứng minh. Vì:

−x0
=


t

Bu(t)dt

(2.4)

At
0

e−

nên hệ sẽ điều khiển được khi và chỉ khi phương trình trên với x0 tùy ý
cho trước luôn có ít nhất một nghiệm u(t).
Từ định lý Cayley-Hamilton ta có:
e−AtB = [a0(−t)I +
a1

(−t)A + · · · +
An−1]B
an−1


 a0(−t)
n−1

= (B, AB, . . . , A
B)
..


. 
an−1(−t)

Thay (2.5) vào (2.4) ta có:
−x0 = (B, AB, . . .
,A

n−
1

23
Đặng Thị Thu - Toán K35CN


 ¸t
 0 a0(−t)u(t)dt
B)

..


.

(2.5)

(2.6)


¸t
0


s

an−1(−t)u(t)dt
z¸(¸t)

x

Ta thấy (2.6) có nghiệm u(t) tức là có nghiệm z(t) mọi x0 ∈ Rn khi và
chỉ

24
Đặng Thị Thu - Toán K35CN


khi :

Im(B, AB, . . . , An−1B) = Rn

hay

rank(B, AB, . . . , An−1B) = n.

Định lý 2.1.5. Lấy A ∈ Rn×n và B ∈ Rn×m (m ≤ n). Các mệnh đề sau
là tương đương:
(i) Hệ (2.1), (2.2) là điều khiển được.
(ii) Ma trận kích thước n × nm: CM = (B, AB, A2B, . . . , An−1B) có
hạng bằng n.
(iii) Ma trận
WC = ¸


T

t1
0

t
eAtBBT eA dt

là ma trận không suy biến với mọi t1 > 0
(iv) Nếu(λ, x) là cặp giá trị của AT thì khi đó xT A = λxT , xT ƒ= 0.
(v) rank(A − λI) = n với mọi giá trị riêng λ của
A. Chứng minh. Chúng ta có thể giả sử t0 = 0,
x(0) = 0.
(i) ⇒ (ii).
Đã chứng minh cụ thể ở định lý 2.1.4.
(ii) ⇒ (iii).
Giả sử rank CM = n nhưng WC =

¸

t1

At

e BB

TT

t


dt là ma trận suy biến.

eA
0

Lấy vector v ƒ= 0 thì WCv = 0 nên vT WCv = 0. Nghĩa là:
¸ t1
T

0