TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẰNG

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ
THỜI GIAN TUYẾN TÍNH RỜI
RẠC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình
Minh, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho em
những kiến thức nền tảng để em hoàn thành bài khóa luận
này. Thầy cũng là người đã giúp em ngày càng tiếp cận và
có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc
cùng Thầy. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh
Phạm Văn Duẩn, người đã rất nhiệt tình giúp đỡ, chỉ bảo và
hướng dẫn em trong quá trình gõ Tex và hoàn thành khóa
luận. Anh cũng là người cung cấp thêm tư liệu, kiến thức
giúp em giải đáp được những điều chưa hiểu và băn khoăn.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại
Khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy,

cô khác đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những
kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm
nghiên cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, em xin
chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia
đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện
cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn
này. Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, Tháng 5 năm
2013 Sinh viên
Nguyễn Thị Hằng


Lời cam đoan
Tên em là: Nguyễn Thị Hằng, sinh viên đại học khóa 2009
– 2013 lớp K35CN Toán, Khoa Toán – Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2. Em xin cam đoan đề tài: “Bài toán điều
khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc”, là kết quả nghiên
cứu và thu thập của riêng em. Các luận cứ, kết quả thu
được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả
khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn em xin
hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, Tháng 5 năm
2013 Sinh viên
Nguyễn Thị Hằng


Mục lục
Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc

1


1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc.....................................................1
1.1.1 Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời . . . . 1
.
1.1.2 rạc.
Nghiệm
của hệ động lực tuyến tính
. . . . 2
1.2 Khái niệm về
hàm
truyền...............................................................3
rời rạc .
1.2.1 Phép biến đổi z.............................................................3
1.2.2 Xây dựng công thức hàm truyền...........................5
1.3 Một số phép toán về hàm truyền rời rạc........................6
Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn
tối thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc
9
2.1 Tính điều khiển được
. . . . . . . . . . .. . . 9
2.1.1 Định nghĩa . .. . .. . . .. . .. . . . . . .. . . 9
2.1.2 Tiêu
lực tuyến
. chuẩn điều khiển được
. của .hệ động
.
.
tính rời rạc.....................................................................10
2.1.3 Ví dụ................................................................................15
2.2 Tính quan sát được.................................................................17

2.2.1 Định nghĩa........................................................................17
2.2.2 Định lý các điều kiện tương đương......................17
2.2.3 Ví dụ................................................................................18
2.3 Biểu diễn tối thiểu..................................................................20
2.3.1 Định nghĩa........................................................................20
2.3.2 Định lý Kalman............................................................23


2.3.3 Ví dụ minh họa..........................................................25
Chương 3: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc 27
3.1 Định nghĩa tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 2
. . .kiện để hệ động lực tuyến tính rời rạc ổn . . . 7
3.2 .Điều
2
định
8
3.3 Ví
dụ minh họa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.4 Mối
. . .liên
. hệ giữa tính ổn định và phương trình lyapunov
9
.
29
Tài liệu tham khảo................................................................36


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng

trong đời sống, đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn
thông và xử lý tín hiệu nói riêng. Các vấn đề trong các
lĩnh vực này thường được mô hình hóa bởi một mô hình
toán học. Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần nghiên cứu
trong lĩnh vực điều khiển. Một trong số những vấn đề có
tính chất kinh điển là bài toán điều khiển. Nó có ứng
dụng rộng rãi trong ngành toán ứng dụng, nên từ trước
đến nay, nó vẫn luôn là đề tài mà các nhà khoa học rất
quan tâm và nghiên cứu. Để có thể hiểu rõ hơn về bài
toán này em đã chọn đề tài “Bài toán điều khiển của hệ
thời gian tuyến tính rời rạc” để làm đề tài nghiên cứu cho
khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu
Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản
và quan trọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các
phát triển mới về khái niệm điều khiển nâng cao đều có
sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính.
Khóa luận này em trình bày về bài toán điều khiển của
hệ thời gian tuyến tính rời rạc.
Nội dung bao gồm phần sau:
• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
Chương này trình bày khái niệm về hệ động lực tuyến
tính rời rạc, xây dựng ma trận hàm truyền và các
phép toán đối với ma


trận hàm truyền.
• Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát được và
biểu diễn tối thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc.
Chương này nêu khái niệm tính điều khiểm được, tính

quam sát được của một hệ động lực tuyến tính rời
rạc, phát biểu và chứng minh định lý về các tiêu
chuẩn tương đương với các tính chất này. Từ đó, đưa
ra khái niệm biểu diễn tối thiểu của một hệ động lực
tuyến tính rời rạc và nêu phương pháp đưa một biểu
diễn bất kỳ về biểu diễn tối thiểu (Định lý Kalman) và
định lý về điều kiện cần và đủ để một biểu diễn là
biểu diễn tối thiểu.
• Chương 3: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời
rạc. Đưa ra khái niệm ổn định của một hệ động lực
tuyến tính rời rạc, các tính chất của phương trình
Lyapunov rời rạc, từ đó chứng minh định lý về sự liên
hệ giữa hai khái niệm này.
3. Mục đích- Yêu cầu
• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự
định hướng của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung
khoa học.
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết
(Các khái niệm, các tính chất, các bài toán đã được
đặt ra, một số ứng dụng, ...).
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.
4. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán điều khiển của hệ động lực tuyến tính rời rạc và
các kiến thức liên quan.
5. Phạm vi
• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu
thập thêm.
• Thời gian thực hiện khóa luận.
• Nơi nghiên cứu (những khó khăn và thuận lợi tại nơi
nghiên cứu).



Nội dung chính
1. Tên đề tài
Bài toán điều khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc.
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 3 chương:
• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Khái niệm hàm truyền.
- Một số phép toán về hàm truyền.
• Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được và
biểu diễn tối thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc.
- Tính điều khiển được.
- Tính quan sát được.
- Biểu diễn tối thiểu.
• Chương 3: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời
rạc.
- Định nghĩa tính ổn định.
- Điều kiện hệ ổn định.
3. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.
• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều
khiển.
• Phương pháp quan sát, đọc sách.


Chương 1

Hệ động lực tuyến tính rời rạc

1.1
1.1.1

Hệ động lực tuyến tính rời rạc
Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời rạc.

Định nghĩa 1.1.1. Một hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến
được xác định bởi phương trình trạng thái sau:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x0
(1.1)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
(1.2)
Trong đó:
x(k) là vectơ thực n chiều được gọi là vectơ trạng thái của hệ.
Với k ∈ N. u(k) là vectơ thực m chiều được gọi là vectơ đầu
vào.
y(k) là vectơ thực r chiều được gọi là vectơ đầu ra.
x(0) là trạng thái ban đầu của hệ, các thành phần của x(t) là
các tham biến điều khiển.
Các ma trận A, B, C, D là ma trận thực có kích thước tương
ứng là:
n × n, n × m, r × n, r × m.

1
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN


1.1.2

CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI

RẠC

Nghiệm của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định lý 1.1.2. Nghiệm của hệ động lực (1.1), (1.2) xác định như sau:
k−1
k

x(k) = A x0 +
y(k) = CAkx0

+

.

Ak−1−iBu(k), x(0) = x0,

i=0
.
k−1
.

(1.3)

.
+ Du(k).

CA

k−i−1


(1.4)

Bu(i)

i=0

Chứng minh. Từ:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

(1.5)

ta
có
x(k) = A[Ax(k − 2) + Bu(k − 2)] + Bu(k − 1)
= A2x(k − 2) + ABu(k − 2) + Bu(k − 1)
= A2[Ax(k − 3) + Bu(k − 3)] + ABu(k − 2) + Bu(k −
1)
..

.
=

Tha
y

k−1
k
A x0


+

.

Ak−1−iBu(i)
i=0
k

k−1.

x(k) = A x0 +

Ak−1−iBu(i)

i=0

vào (1.2) ta có (1.4).
Ví dụ 1.1.3. Cho hệ động lực tuyến tính rời rạc:
x(k + 1) = 5x(k) + 2u(k),
y(k) = x(k) + 3u(k)

x(0) = 1

(1.6)
(1.7)


Tính x(3), y(3).

CHƯƠNG 1. HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI

RẠC


Ta có:
x(3) = 5[5x(1) + 2u(1)] + 2u(2)
= 52x(1) + 5.2u(1) + 2u(2)
= 52[5x0 + 2u(0)] + 5.2u(0) + 2u(2)
2
.
3
= 5 x0 +
52−iu(i)
i=0

Thế x(3) ta được:
2
3

y(3) = 5 x0 + 2

.

52−iu(i) + 3u(3).

i=0

1.2
1.2.1

Khái niệm về hàm truyền

Phép biến đổi z

Định nghĩa 1.2.1. Biến đổi z hai phía của một dãy x(n) được
định nghĩa như sau:
∞

X(z) =

.

x(n)z−n

n=−∞

Chú ý 1.2.2. Ta sẽ có biến đổi z một phía nếu thay đổi cận n
chạy từ 0 đến ∞ :
X(z) =

.∞

x(n)z−n

n=0

Vùng hội tụ của biến đổi z là tập hợp những giá trị của z
làm cho
X(z) có giá trị hữu hạn. Ký hiệu bởi toán tử:
ZT [x(n)] = X(z)
x(n) −→ X(z)



Vùng hội tụ của biến đổi z kí hiệu là (ROC)
ROC = {z ∈ C|X(z) ƒ= ∞}
Tính chất 1.2.3. Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi z
(1) Tuyến tính:
. x1n

↔ X1(z)

x2n ↔ X2(z)
⇒ a1x1(n) + a2x2(n) ↔ a1X1(z) + a2X2(z), ∀a1, a2
(2) Dịch chuyển trong miền thời gian rời rạc:
x(n) ↔ X(n) ⇒
−n
. x(n − n0) ↔ z 0 X1(z)
x(n + n0) ↔ zn0 X2(z)
(3) Vi phân trong miền Z:
x(n) ↔ X(z) ⇒ nx(n) ↔

−zdX (z)
d
z

Ví dụ 1.2.4. Xác định biến đổi z của các tín
hiệu sau a. x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}
b. x(n) = anu(n)
Lời giải:
a. Từ định nghĩa:
X(z) = z2 + 2z + 5 + 7z−1 + z−3; ROC : z ƒ= 0; z ƒ= ∞
b. Ta có:

+∞
.

x(n)z
n=−∞

+∞
.
−n

=

n

a u(n)z
(az
)
−1 n

n=−∞

−n

+∞ .

=

n=0

+∞

n −n

a z

n=0

=

.


.
.
Nếu az−1 < 1 → |z| > |a| thì:
.
.
1
X(z) =
1 − az−1
1.2.2

ROC : |z| > |a|

Xây dựng công thức hàm truyền

Ta xây dựng hàm truyền cho hệ rời rạc. Gọi X(k), Y (k), U
(k) lần lượt là biến đổi z của x(k), y(k), u(k).
Áp dụng các tính chất của biến đổi z vào x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)
ta có:
Z(x(k + 1))

Z(Ax(k) + Bu(k))
=
= AZ(x(k)) + Bz(u(k))
= AX(k) + BU (k)
Mặt khác
Z(x(k + 1)) = Z(x(k))z
= X(k)z

(1.8
)(1.9
)
(1.1
0)
(1.11)
(1.12)

→ X(k)z = AX(k) + BU (k)
⇔ (zI − A)X(k) = BU (k)
⇔ X(k) = (zI − A)−1BU (k)
Tượng tự ta áp dụng tính chất của biến đổi z vào
y(k) = Cx(k) + Du(k) ta có:
Y (k) = CX(k) + DU (k)

(1.13)


Thay X(k) = (zI − A)−1BU (k) vào (1.13) ta có:
Y (k) = C(zI − A)−1BU (k) + DU (k)
= (C(zI − A)−1B + D)U (k)
= G(z)U (k)


(1.14)
(1.15)
(1.16)

Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.5. Ma trận G(z) = C(zI − A)−1B + D được gọi
là hàm truyền của hệ động lực (1.1), (1.2).
Định nghĩa 1.2.6. Các điểm p mà tại đó G(p) = ∞ được gọi là
các cực của hệ động lực.
Để thuận tiện cho tính toán, ma trận hàm truyền G(z) sẽ
được viết là:
G(z) =

.

B
CA D

.

Trong đó (A, B, C, D) gọi là biểu diễn không gian trạng thái
của hàm truyền G(z) và đây không phải là biểu diễn duy
nhất.
Ví dụ 1.2.7. Cho hệ rời rạc
x(k +
= 3x(k) + 2u(k),
1) y(k) = x(k) + 3u(k)

x(0) = 1


(1.1
7)
(1.1

8)
Khi đó hàm truyền G(z) của hệ (1.17), (1.18) được xác định
bởi công thức: G(z) = 2(z − 3)−1 + 3.
1.3

Một số phép toán về hàm truyền rời rạc

Gọi G1(z) và G2(z) là hàm truyền của 2 hệ động lực S1 và
S2. Khi đó ta có:


(1) Tổng của 2 hàm truyền G1(z) + G2(z) biểu diễn hàm
truyền của các kết nối song song S1và S2.
.

1

A B

1.

G1(z)+G2(z)
=



.

2

A B

2.

+
C1 D1

=

0

A1

0

 A2
C1

C2
D2

B

1

B2

D1 + D2

(2) Tích của 2 hàm truyền là hàm truyền khi tác động nối
tiếp vào S1 và S2( tức là, một hệ thống với đầu ra của hệ
thống thứ 2 như là đầu vào của hệ động lực).

.
. .
2
.
A2
0
1 


A
A1
= B1 C2
BB1D2
G1(z)G2(z)
2
=
B1
B
A1


C1 D1
C2
D1C C1 D1D2

2
D2

GT (z) = .

ATT

C

BTT

.

D

(4) Liên hợp của G(z)
G˜(z) ≡ GT (−z) = B T (−zI − AT )−1 C T + DT ,
Tương đương:




C2

(3) Ma Trận hàm truyền G(z) có chuyển vị như sau:
GT (z) = BT (zI − AT )−1CT + DT ,
Tương đương:





G˜(z) =

.

T

−A −C

T

.

−BT −DT
(5) Nghịch đảo của ma trận hàm truyền G(z) kí hiệu là Gˆ(z).
Ta có G(z)Gˆ(z) = Gˆ(z)G(z) = I nếu G(z) là ma trận
vuông và D là khả nghịch khi đó:


Gˆ(z) ≡ G−1 (z)
=

.
A − BD
D−1C

−1

C
D


−BD
.
−1

−1

.


Chương 2

Tính điều khiển được, quan sát
được và biểu diễn tối thiểu của hệ
động lực tuyến tính rời rạc
Trong chương này ta tìm hiểu về tính điều khiển được và
quan sát được. Đây là hai tính chất rất quan trọng khi đánh
giá một hệ động lực nói chung và hệ động lực rời rạc nói
riêng. Phần cuối chương, ta tìm hiểu về biểu diễn tối thiểu
của một hệ động lực rời rạc.

2.1
2.1.1

Tính điều khiển được
Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1. Hệ động lực tuyến tính rời rạc cho bởi:
x(k +
= Ax(k) + Bu(k), x(0) = x0

1) y(k) = Cx(k) + Du(k)
được gọi là điều khiển được hoặc (A, B) gọi là điều khiển
được nếu cho bất kỳ hai trạng thái x0, x1 luôn tồn tại một
chuỗi hữu hạn của đầu vào
{u0, u1, ..., uN −1} chuyển từ x0 tới x1, sao cho xN = x1.
9
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

(2.1
)(2.2
)


CHƯƠNG 2.
CỦA

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU
HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI

Để tránh bất kỳ sự nhầm lẫn, không mất tính tổng quát
ta giả sử rằng x0 = 0.

2.1.2

Tiêu chuẩn điều khiển được của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định lý 2.1.2. Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc (2.1) và (2.2), khi
đó các mệnh đề sau đây là tương đương:
(i) Hệ (2.1) và (2.2) là điều khiển được.
(ii) (Tiêu chuẩn Kalman)

Ma trận điều kiển n × nm : CM = (B, AB, A2B, ..., An−1B) có
hạng bằng n.
(iii) Ma trận
N

WC =

.

Ak BBT (AT )k

k=1

không suy biến với mọi N > 1.
(iv) Nếu (λ, x) là một cặp trị riêng, véc tơ riêng của AT , tức xT A =
λxT , thì xT B ƒ= 0.
(v) (Tiêu chuẩn Hautus)
rank(A − λI, B) = n với mọi giá trị riêng λ của A.
Chứng minh.
(i) → (ii).
Chứng minh bằng phản chứng, giả sử rằng rank (CM ) ƒ= n. Ta
có:
k−1
k

x(k) = A x0 +

.

i=0


10
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

Ak−1−iBu(i)

(2.3)


⇒

k−1

.

k

x(k) − A x0 =

Ak−1−iBu(i)

i=0

⇒ x(k) = (Ak−1Bu(0) + Ak−2Bu(2) + ... + A0Bu(k − 1))
(2.4)
⇒ x(k) = Bu(k − 1) + ABu(k − 2) + ... + Ak−1Bu(0) (2.5)
Như vậy,
véc tơ x(k) là một tổ hợp tuyến tính của các cột B, AB, ...,
An−1B. Khi rank (CM ) ƒ= n các véc tơ cột không thể tạo
thành một cơ sở của không gian trạng thái và chọn x(k) =

x1 bất kỳ thuộc không gian trạng thái thì không tồn tại
(2.5). Vậy điều giả sử là sai ta có điều phải chứng minh.
(ii) → (iii). Giả sử rank (CM ) = n, nhưng ma trận
WC =

N
.

Ak BBT (AT )k

k=1

là suy biến với mọi N > 1.
Khi đó tồn tại v là một véc tơ khác 0 sao cho

11
Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN

(2.6)


WC v = 0
⇒ v T WC v = 0

N

⇒ vT
N

⇒

⇒

.

Ak BBT (AT )kv

= 0

vA k BBT (AT )kvT

= 0

v(AT )kBT BAkv T

= 0

k=1

.
k=1
N
.
k=1

N

⇔

.


cT (t)c(t) = 0

k=1

Với c(t) = BAkv. Ta thấy cT (t)c(t) > 0, ∀t nên để
N
.

cT (t)c(t) = 0

k=1

thì c(t) = 0
tức

BAk vT = 0, k = 1, 2, ..., n − 1

Khi đó v trực giao với tất cả các cột của ma trận CM . Mà ta
giả sử
rank (CM ) = n nên v = 0. Điều này là vô lý nên điều giả sử là
sai.
(iii) → (i).
Do B, AB, ..., An−1B sinh ra Rn nên với mọi x0, x1 cho trước, luôn
tồn
tại dãy {u0, u1, ..., un} sao cho:
x1 − Anx0 = Bun−1 + ABun−2 + ... + Ak−1Bu0
x1 = Anx0 + Bun−1 + ABun−2 + ... + Ak−1Bu0


= xn



Vậy hệ (2.1), (2.2) là điều khiển được.
(ii) → (iv).
Cho x ƒ= 0 là một véc tơ riêng của AT tương ứng với giá trị
riêng λ. Khi đó
xT A = λxT
Giả sử rằng xT B = 0. Ta
có
xT CM = (xT B, λxT B, λ2xT B, ..., λn−1xT B) = 0.
Do rank(CM ) = n, nên x = 0.
(iv) ⇒ (ii).
Giả sử không có véc tơ riêng nào của AT trực giao với các
cột của ma trận B, nhưng rank (CM ) = k < n. Trong trường
hợp này tồn tại một ma trận không suy biến T như sau:
0 A¯12 , B¯ = T B
.
.
=
A¯ = T AT −1
A¯22
=
1.
¯
B0
¯
.A 11
trong đó A¯22 có kích thước n − k và k = rank (CM ).
Lấy v2 là giá trị vec tơ của (A¯)T tương ứng với một giá trị
riêng của

λ. Khi đó:
(A¯)T

Hơn
nữa

. 0. .
. . 0 ..
.
. 0.
=
=
λ
T
A¯ ¯
0
v2
11
=
¯T AT
A
A¯2T v2
v2
v
12
22
(0, v2T
v 2 )T

)B¯ = (0,


. 0.

2

2

.
B¯
0

1.

=0


của (A¯)T trực giao với các véc tơ cột
của
¯
B . Điều này có nghĩa là cặp (A¯, B¯ ) không là điều khiển
được. Do đó
Như vậy véc tơ riêng
v2